I 289
Klassenabstraktion zurückgeführt auf sing Kennzeichnungen: (iy)(x)(x aus y genau dann, wenn ..x..) - statt: x^(..x..)- geht nicht für intensionale Abstraktion
Unterschied Klassen/Eigenschaften: Klassen identisch mit gleichen Elementen - Eigenschaften noch nicht identisch, wenn sie den gleichen Dingen zukommen.
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Eigenschaften.
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II 29
Klassen: man könnte alle Klassen in ihr Komplement umdeuten: "kein Element von.." - man würde nie etwas merken! - unterste Schicht: jeder Relativsatz, jeder allgemeine Term bestimmt eine Klasse.
II 100
Russell (PM) Klassen sind Dinge: sie dürfen nicht mit dem Klassenbegriff verwechselt werden - Allerdings: Paradoxa gelten auch für Klassen-Begriffe und Aussagenfunktionen nicht nur für Klassen.
Unvollständige Symbole (Erklärung durch Gebrauch) - sollen Klassen wegerklären.
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VII (a) 18
Klassen/Quine: vereinfachen unseren Zugang zur Physik. - Sie sind dennoch ein Mythos!
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VII (f) 114
Klassen/Quine: keine Ansammlungen oder Kollektionen! Bsp die Klasse der Steine in einem Haufen kann nicht mit dem Haufen identifiziert werden: sonst könnte auch eine andere Klasse mit demselben Haufen identifiziert werden: z.B. die Klasse der Steinmoleküle in dem Haufen - Theorie der Gültigkeit appelliert an Klassen, aber nicht die einzelnen Sätze - Prädikate keine Namen von Klassen, Klassen Extension von Prädikaten - Klassen werden als präexistierend angenommen (s.u.).
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IX 21
Klassen/Relationen/Quine: sind reale Objekte wenn Werte von gebundenen Variablen
IX 23
Klasse/Individuen/Quine: alles ist Klasse! wenn wir Individuen als identisch mit ihrer Einerklasse auffassen (d.h. nicht elementlos)
IX 223
Klassen/Quine: Quantifikation über Klassen ermöglicht Begriffe, die sonst außerhalb unserer Reichweite lägen.
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XIII 24
Klasse/Menge/Quine: wir Menschen sind geizig und so veranlagt, dass wir niemals zwei Wörter für dieselbe Sache gebrauchen, oder wir verlangen eine Unterscheidung, die dem zugrunde liegen müsste.
XIII 25
Bsp ape/monkey: unterscheiden wir nach Größe, während Franzosen und Deutsche nur ein Wort dafür haben.
Problem: Wie soll das Wörterbuch (Lexikon) den Unterschied zwischen „Bier, was richtigerweise so genannt wird“ und „Ale, was richtigerweise so genannt wird“ erklären.
Bsp Mengen/Klassen/Quine: hier verhielt es sich ähnlich.
Klasse/Mathematik: einige Mathematiker behandeln Klassen als etwas von gleicher Art wie Eigenschaften (Quine pro, s.o.) Mengen als etwas robusteres, wenn auch immer noch abstraktes.
Klassen: können Mengen als Elemente enthalten, aber nicht andere Klassen. (siehe
Imprädikativität).
Paradox/Paradoxien/Quine: führen dazu, dass einige Elementbeziehungen keine Mengen festlegen können. Dennoch können sie immer noch Klassen festlegen!.
von Neumann: legte 1925 ein solches System fest. Es vereinfacht Beweise und stärkt das System, wenn auch auf die Gefahr von Paradoxa hin.
Problem: es erfordert fantasievolle Unterscheidungen und Verdopplungen, Bsp für jede Menge muss es eine koextensive Klasse geben.
Lösung/Quine: (Quine 1940): einfach die Mengen mit den koextensiven Klassen identifizieren.
XIII 26
Def Klassen/Def Mengen/QuineVsNeumann: neu: Mengen sind dann Klassen einer bestimmten Art: Eine Klasse ist eine Menge wenn es ein Element einer Klasse ist. Eine Klasse ist eine
Def äußerste Klasse/Quine: wenn sie kein Element von einer Klasse ist.
Russellsche Paradoxie/Quine: Einige Autoren haben gedacht, durch die Unterscheidung von Klassen und Mengen hätte sie gezeigt, daß die Russellsche Antinomie eine bloße Verwirrung sei.
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Russelsche Paradoxie.
Lösung/einige Autoren: Klassen seien selbst keine so substantiellen Objekte, dass sie als Kandidaten für Elemente nach einer Enthaltenseinsbedingung in Frage kämen. Mengen wohl. Aber
Mengen: seien nie als definiert durch Enthaltenseinsbedingungen aufgefasst worden. Und sie seien von Anfang an durch Prinzipien regiert worden, die Zermelo später explizit machte.
QuineVs: das sind ganz verderbliche Annahmen! In Wirklichkeit waren Mengen von Anfang an Klassen, egal wie sie genannt wurden. Vagheit eines Worts war auch Vagheit des anderen Worts.
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Paradoxien, >
Vagheit.
Mengen/Cantor/Quine: sicher, die ersten Mengen bei Cantor waren Punktmengen, aber das ändert nichts.
QuineVsTradition/Quine: es ist ein Mythos zu behaupten, dass Mengen unabhängig von Klassen ersonnen worden wären, und später dann von Russell mit ihnen verwechselt worden wären. Das ist wieder der Fehler, in einem Unterschied zwischen Wörtern auch einen Unterschied in der Sache zu sehen.
Lösung/Quine: wir brauchen nur Mengen und äußerste Klassen, um die Vorteile von von Neumann genießen zu können.
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Mengen.
