I 137f
Quantoren/Alltagssprache/Quine/Kaplan/Geach/Cresswell:
nicht 1. Stufe: Bsp
Einige Kritiker bewundern nur einander
2. Stufe: (Eφ)(Exφx u (x)(φx > x ist ein Kritiker) u (x)(y)((φx u x bewundert y) > (x ≠ y u φy))).
Das ist nicht äquivalent mit irgendeinem Satz 1. Stufe.
Er involviert plurale Nominalphrasen (plurale Quantifikation).
Folgendes geht nicht: "zwei Fs sind G".
Man müsste annehmen, dass "bewundern" in beiden Richtungen gelten soll. Dann:
"x ist ein K u y ist ein K u x ≠ y...").
Besser: "sich gegenseitig bewundern" sei ein Prädikat, das auf Paare angewendet wird.
I 139
Richtig: "Smart und Armstrong sind anwesend" für "Smart ist a u Armstrong ist a".
Problem: "König u Königin sind ein liebenswertes Paar", dann "Der König ist ein liebenswertes...". Analog: Bsp "ähnlich", Bsp "weniger werden".
Lösung/Cresswell: Prädikat, auf Mengen anzuwenden.
I 140
"...Bewundert einen anderen Linguisten" muss ein Prädikat sein, das auf alle Logiker angewendet wird. - Das zeigt, dass Quantifikation höherer Stufe verlangt wird.
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Logik 2. Stufe.
Problem: Das führt dazu, dass die Möglichkeiten, verschiedene Reichweiten zu haben, eingeschränkt wird.
I 142
Quantoren höherer Stufe/plurale Quantoren/Boolos: These: Quantoren höherer Stufe müssen nicht über mengentheoretische Entitäten gehen, sondern können einfach interpretiert werden als semantisch primitiv. ((s) Grundbegriff.)
Cresswell: vielleicht hat Boolos recht.
Hintikka: Hintikka schlägt als Lösung Spieltheorie vor.
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Spieltheorietische Semantik.
CresswellVsHintikka: Wir brauchen bloß Entitäten höherer Ordnung - Quantifikation 2. Stufe wegen Referenz auf Mengen.
I 156
Verzweigte Quantoren/Boolos/Cresswell: "für jedes A gibt es ein B".
(x)(Ey)
(x = z ↔ y = w) u (Ax > By)
(z)(Ew)
Übersetzung 2. Stufe: EφEψ(x)(z)((x = z ↔ φ(x) = ψ(z)) u (Ax > Bφ(x)).
Funktion/eineindeutige Abbildung/Zuordnung/logische Form/Cresswell: "(x = z ↔ φ(x) = ψ(z)" sagt, dass die Funktion 1:1 ist.
Verallgemeinerung/Cresswell: Wenn wir W, C, A, B und R durch Prädikate ersetzen, die wahr von allem sind, und Lxyzw durch Boolos’ ((x = z ↔ y = w) u Ax > By)), haben wir einen Beweis der Nicht-Ordenbarkeit 1. Stufe.
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Ordenbarkeit.
