Lexikon der Argumente

 

IX 58
Rekursive Definition/Rekursion/Summe/Produkt/Potenz/Arithmetik/Quine: Rekursionsschema: x + 0 = x - x + S°y = S°(x + y);
x mal 0 = 0; - x mal (S°y) = x + x mal y (s) Differenz zum Nachfolger für x und y gleich)>; - x0 = S°0 (=1) ; - x S°y = x mal x y.
"plus"/Pluszeichen/Quine: damit können wir "+" vollständig aus "x + 3" eliminieren: "S°(S°(S°x))" - aber nicht aus "x + y" (Denn wir wissen nicht, wie oft wir den Nachfolger von x brauchen) - Multiplikation: das "mal" können wir aus "x mal 3" eliminieren: "x + (x + (x + 0))" aber nicht aus "x mal y".
Rekursionen sind echte Definitionen, wenn man die Buchstaben als Schemabuchstaben für Ziffern ansieht, nicht als gebundene Variablen.
IX 126f
Transfinite Rekursion/Summe/Produkt/Potenz/Quine: x * 0 = 0. x * (S "z) = x + x * z - in eine echte oder direkte Definition umgewandelt: x * y = (lv(x + v)) Iy " 0 .
Allgemeines Muster a " 0 = k, a " (S "z) = b "(a "z) - a " y = b Iy " k aus dem letzten Glied: a = U{w: w e Seq ∧ ε w ∧ w I S ^w < b}.
Erweiterte, liberale Rekursion: nicht nur aus dem letzten vorangegangenen Glied - statt dessen. Gesamtheit der vorangegangenen - a = U{w: w ε Seq ∧ "y(y ε ^w " " ϑ > ε g)}.