Lexikon der Argumente

Philosophische Themen und wissenschaftliche Debatten
 
[englisch]


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VII (e) 91ff
QuineVsTypentheorie:
1. Allklasse: weil die Typentheorie nur uniforme Typen als Elemente einer Klasse zulässt, führt die Allklasse ϑ zu einer unendlichen Serie von Quasi-Allklassen, jede für einen Typ -
2. Negation: ~x hört auf, alle Nichtelemente von x zu umfassen, und umfasst nur noch diejenigen Nichtelemente, die der nächst niedrigeren Stufe angehören
3. Nullklasse: sogar sie führt entsprechend zu unendlich vielen Nullklassen
4. Boolesche Klassenalgebra: ist nicht länger auf Klassen im allgemeinen anwendbar, sondern ist auf jeder Stufe reproduziert
5. Relationenkalkül: entsprechend. auf jeder Stufe neu zu etablieren
6. Arithmetik: die Zahlen hören auf, einheitlich zu sein! auf jeder Stufe (Typ) erscheint eine neue 0, neue 1 ,neue 2, usw.
- - -
IX 186
Def verzweigte Typentheorie/Russell/Quine: Unterscheidung von Ordnungen für Aussagenfunktionen, deren Argumente von einer einzige Ordnung sind.
Damit zwei Attribute mit gleicher Extension sich hinsichtlich ihrer Ordnungen unterscheiden können, müssen Attribute mit gleicher Extension ausgezeichnet werden und Attribute und nicht Klassen genannt werden.
Neu: Das wird hinfällig, wenn wir die Verzweigung fallen lassen.
Lösung: Kontextdefinition/Russell: wir definieren Klassenabstraktion durch Kontext, damit bleibt "ε" als einziger einfacher Grundbegriff neben Quantoren, Variablen und aussagenlogischen Verknüpfungen.
Kontextdefinition für Klassenabstraktion: "yn ε {xn: Fxn}" steht für "Ez n + 1["xn(xn ε z n+1 <> Fxn) ∧ yn ε z n + 1]"
IX 191f
Kumulative Typen/Mengenlehre/Quine: Typ 0: allein Λ sei vom Typ 0 - Typ 1: Λ und {Λ} und sonst nichts - Typ n: soll allgemein die und nur die 2 hoch n Mengen umfassen, die zum Typ n-1 gehören. - So interpretiert jede Quantifizierung nur endlich viele Fälle. Jede geschlossene Aussage kann mechanisch auf Wahrsein geprüft werden - das funktioniert nicht mehr, wenn das Unendlichkeitsaxiom hinzugefügt wird.
IX 198
Kumulative Typen/Quine: Vorteile: wenn wir die Nullklassen aller Klassentypen gleichsetzen, ist (~T0x ∧ ~T0y ∧ ∀w(w ε x ↔ w e y) ∧ x ε z) > y ε z jetzt ein einziges Axiom, nicht mehr Axiomenschema.
Darin wird mit " "~T0x u ~T0y" verhindert, dass die Individuen mit Λ oder miteinander identifiziert werden. - Wir brauchen Individuen, aber wir identifizieren sie mit ihren Einerklassen (s.o.) - aber eine Ausnahme: wenn x ein Individuum ist, soll "x ε x" als wahr zählen. (Oben wurde "x ε y" ,wenn beide nicht Objekte von aufeinanderfolgendem Typ waren, falsch.)
IX 201
Kumulative Typentheorie/Quine: Individuen: mit ihren Einerklassen identifiziert - nicht mehr elementlos, haben sich selbst als Elemente.
Daher Def Identität: a = b wenn a < b < a. - Nullklassen aller Typen können jetzt identifiziert werden (früher: "keine Individuen", "keine Klassen" usw.
>Klassen, >Mengen, >Mengenlehre, >Paradoxien.
IX 204f
Natürliche Zahlen/QuineVsRussell: Russels Typentheorie hat sogar mit Freges Zahlen Probleme: vielleicht liefert die Nachfolgerrelation nicht jedes Mal etwas neues: Bsp 5 ist dann die Klasse aller Klassen aus fünf Individuen, Angenommen, dass es in dem Universum nur fünf Individuen gibt. also ist 5 im Typ 2 gleich {J1} dann ist 6, oder S"5, im Typ 5 gleich {z1: Ey0(y0 e z1 ∧ z1 ∩ _{y0} = J1)}: das ist gleich L², weil "y ε z ∧ z ∩ _{y} = ϑ" widerspruchsvoll ist. - Dann ist aber 7, oder S"6, gleich S"Λ², was sich auch auf L² reduziert - also S"x = x, wenn x gleich 6 vom Typ 2, vorausgesetzt, dass es nicht mehr als fünf Individuen gibt. Dann bricht die Zahlentheorie zusammen.
>Zahlen/Frege, >Zahlen/Quine, >Zahlentheorie.

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