Lexikon der Argumente

Philosophische Themen und wissenschaftliche Debatten
 
[englisch]


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IX 205
Def Unendlichkeitsaxiom/Quine: unendlich viele Elemente in Typen sollen möglich sein. Eine Möglichkeit:
Tarski: dass es eine nicht leere Klasse x² gibt, derart, dass jedes ihrer Elemente Teilklasse eines weiteren Elements ist.
Russell: zu jedem x² e N ³ gibt es eine Klasse y1 mit x² Elementen: kurz L² ε N³.

(1) Ex² (Ey1(y1ε x²) u ∀y1[y1 ε x² › Ez1(y1 ‹ z1 ε x²)]).

Vs: manche meinten, die Frage, ob es unendlich viele Individuen gäbe, sei eher eine Frage der Physik oder Metaphysik. Es sei unangemessen, die Arithmetik davon abhängen zu lassen. Russell und Whitehead bedauerten das UA und das Auswahlaxiom und machten beide von speziellen Fällen abhängig, So wie ich die meisten Komprehensionsannahmen.
Fregesche natürliche Zahlen/Quine: sind von der Notwendigkeit es Unendlichkeitsaxioms geplagt, und zwar auch dann, wenn wir die Typentheorie, Liberalisierung und kumulative Typen oder endlich heterogene Klassen zulassen.
Denn innerhalb jedes Typs gibt es eine endliche Schranke, wie groß eine Klasse sein kann, es sei denn, es gibt unendlich viele Individuen.
Zermelos Zahlbegriff wäre hier eine Lösung, bringt aber Probleme mit der vollständigen Induktion.
IX 206
Reelle Zahlen/Quine: für sie und darüber hinaus sind aber immer Unendlichkeitsaxiome notwendig.
Unendlichkeitsaxiom/Zermelo:

(5) Ex[Λ ε x u ∀y(y ε x › {y} ε x)].

Es postuliert eine Klasse, zu der zumindest alle natürlichen Zahlen in Zermelos Sinn gehören. Es ist äquivalent zu "N ε ϑ" denn N ist selbst ein x, das (5) erfüllt und umgekehrt, wenn x (5) erfüllt, so N ‹ x., und somit "N ε ϑ" nach dem Aussonderungsschema.
Im Unterschied zu dem von Russell sagt dieses UA nichts über die Existenz von Individuen aus.
Aber es trennt die letzten Verbindungen zur Typentheorie. Zermelos und Neumanns Zahlen sind sogar zur kumulativen Typentheorie antithetisch, denn eine solche Klasse sprengt die Grenzen aller Typen.
Unendlichkeitsaxiome/Russell: wurde bei ihm durch das Subtraktionsgesetz "S'x = S'y > x = y" hervorgerufen.
Andersrum gesagt: es wurde gebraucht, damit die natürlichen Zahlen nicht abbrechen. Gleicherweise für die reellen Zahlen. Aber seine Bedeutung geht noch weiter: jeder nachfolgende Typ ist die Klasse aller Teilklassen seines Vorgängers und somit nach dem Satz von Cantor größer als sein Vorgänger.
Unendlich viele Individuen anzunehmen, bedeutet daher, höhere Unendlichkeiten ohne Ende anzunehmen.
Bsp die Potenzklasse in (7) sagt, dass {x:x ‹ N} ε ϑ, und diese letzte Klasse ist nach dem Satz von Cantor größer als N. Und so geht es weiter nach oben.

Unendlichkeitsaxiom/Zermelo: sprengt die Typengrenzen. Quine pro: das befreit uns von der Bürde die den Typenindices vergleichbar ist, denn selbst in der Typentheorie mit universellen Variablen waren wir zur Fregeschen Fassung der natürlichen Zahlen gezwungen, das bedeutete Anerkennung einer unterschiedlichen 5 in jedem Typ (über Klassen von Individuen) einer unterschiedlichen 6 in jedem Typ, einem unterschiedlichen N in jedem Typ usw.
Dazu kommt noch, durch die ganze Hierarchie hindurch eine Vervielfachung aller Details der Theorie der reellen Zahlen. 3/5 ist in jedem nachfolgenden Typ etwas anderes und ebenso π, Q, R.
Für alle diese Konstanten ist praktisch eine Beibehaltung der Typenindices erforderlich.
In Zermelos System mit seinem Unendlichkeitsaxiom entfallen mit der Aufgabe der Typengrenzen solche Vervielfachungen.
Zermelos Schutz bestand darin, daß er zu große Klassen mied.
Für die umgekehrte Zusicherung, daß Klassen nur dann nicht existieren können, wenn sie größer wären als alle existierenden, wurden in seinem Aussonderungsschema nur sehr wenig Vorkehrungen getroffen.
IX 208
Das machten erst Fraenkel und Skolem in ihrem Axiomenschema der Ersetzung.

- - -
VII (e) 93
Unendlichkeitsaxiom/QuineVsRussell: Principia Mathematica(1) müssen durch das Unendlichkeitsaxiom ergänzt werden, wenn gewisse mathematische Prinzipien abgeleitet werden sollen. - Unendlichkeitsaxiom: sichert die Existenz einer Klasse mit unendlich vielen Elementen. - New Foundation/Quine: stattdessen kommt mit der Allklasse aus: V oder x^ (x = x).
>Unendlichkeit, >Klassen.


1. Whitehead, A.N. and Russel, B. (1910). Principia Mathematica. Cambridge: Cambridge University Press.

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