X 80
Vollständigkeitssatz/deduktiver/Quantorenlogik/Quine:
(B) Ein Schema, das von jedem Modell erfüllt wird, ist beweisbar.
Satz (B) lässt sich für viele Beweismethoden beweisen. Stellen wir uns eine solche vor, so folgt (II) aus (B).
(II) Wenn ein Schema von jedem Modell erfüllt wird, dann ist e bei allen Einsetzungen von Sätzen wahr.
X 83
Beweisverfahren/Beweismethode/Quine: einige vollständige beziehen sich nicht notwendig auf Schemata, sondern lassen sich auch direkt auf die Sätze anwenden,
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Die aus dem Schema durch Einsetzen hervorgehen.
Solche Methoden erzeugen wahr e Sätze direkt aus anderen wahren Sätzen. Dann können wir Schemata und Gültigkeit beiseitelassen und logische Wahrheit als Satz definieren, der durch diese Beweisverfahren erzeugt wird.
1. VsQuine: das pflegt Protest auszulösen: die Eigenschaft, „durch eine bestimmte Beweismethode beweisbar zu sein“ sei an sich uninteressant. Interessant sei sie erst aufgrund des Vollständigkeitssatzes, der die Beweisbarkeit mit der logischen Wahrheit gleichzusetzen erlaubt.
2. VsQuine: wenn man logische Wahrheit indirekt durch Bezug auf eine geeignete Beweismethode definiert, entzieht man damit dem Vollständigkeitssatz den Boden. Er wird inhaltsleer.
QuineVsVs: die Gefahr besteht gar nicht: Der Vollständigkeitssatz in der Formulierung (B) hängt nicht davon ab, wie wir logische Wahrheit definieren, denn sie wird gar nicht erwähnt! Ein Teil seiner Bedeutung liegt aber darin, dass er zeigt, dass wir logische Wahrheit durch die bloße Beschreibung der Beweismethode definieren können, ohne etwas von dem zu verlieren, was die logische Wahrheit erst interessant macht.
X 100
Scheintheorie/Mengen/Klassen/Relation/Quine: verkappte reine Logik. Mathematik: beginnt, wenn wir die Elementbeziehung "ε" als echtes Prädikat mit hinzunehmen und Klassen als Werte der quantifizierten Variablen. - Dann haben wir den Bereich der vollständigen Beweisverfahren verlassen. - Logik: Quantorenlogik vollständig. - Mathematik: unvollständig.
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Logische Wahrheit/Quine.
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Intuitionismus/Quine: gewann Auftrieb durch Gödels Unvollständigkeitsbeweis.
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XIII 157
Prädikatenlogik/Vollständigkeit/Gödel/Quine: Gödel bewies ihre Vollständigkeit 1930.
