Lexikon der Argumente

 

II 213
Gödel/Unvollständigkeit/Hilbert/Genz: Hilbert hatte 1917 das Programm aufgestellt, die ganze Mathematik in einem Schema in der Logik 1. Stufe zusammenzufassen.
Gödel bewies 1931, dass dies nicht möglich ist. Es gelingt wohl für die Euklidische und Nicht-Euklidische Geometrie, aber nicht für Addition und Multiplikation, wenn man ihre Ableitungsregeln zusammen nimmt.
Dabei geht es immer um Sätze, die in einer Sprache zwar formuliert, aber weder abgeleitet noch widerlegt werden können.
>Unvollständigkeit.
Reichhaltigkeit/Genz: In armen Sprachen können alle Aussagen, die in ihnen formuliert werden können, entweder abgeleitet oder widerlegt werden. Je reicher sie sind, desto mehr Aussagen können formuliert werden, bei denen das nicht gelingt.
>Semantische Geschlossenheit.
II 214
Diese Sätze stellen eine Behauptung über sich selbst auf, nämlich, dass sie nicht abgeleitet werden können.
Lösung: Eine Lösung bietet die Erweiterung der Sprache. Bsp Seine Negation als Axiom hinzunehmen.
>Erweiterung, >Stufen (Ebenen), >Beschreibungsebenen.
Problem: In jeder Erweiterung gibt es wieder neue nicht-ableitbare Sätze.
Ableitbarkeit: Eine Sprache, in der jeder überhaupt sinnvolle Satz abgeleitet werden könnte, würde erlauben, Widersprüche abzuleiten.
>Ableitung, >Ableitbarkeit, >Widersprüche.