Lexikon der Argumente

Philosophische Themen und wissenschaftliche Debatten
 
[englisch]


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II 210
Metasprache/Addition/Algorithmus/Summe/Gauß/Genz: die Summe der Zahlen von 1 bis 100 ist 5050 = 101 x 50:
Bsp 1 bis 10:

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = (1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6) = 11+11+11+11+11 = 5 x 11 = 55

Die Summe kann so umgeordnet werden, dass das Resultat der Addition aufgrund des Algorithmus von der Reihenfolge der Zahlen unabhängig ist.
Pointe: das ist eine Aussage über die Resultate von Additionen, in der Metasprache.
II 211
Metasprache/Schwärzung/Zeichen/Formalismen/Hofstadter/Genz: Bsp für eine rein typographische Ableitung: wenn 0+0=0, 1+0= 1 usw. sowie 1 = 1 vorgegeben ist, kann man 1 + x = 1 + x für beliebiges x hinzufügen.
Ableitung/Formalismus/Genz: dass negative Zahlen hier ausgeschlossen werden müssen, hat für den Formalismus keine Bedeutung und kann für die Begründung von Ableitungen innerhalb seiner nicht herangezogen werden.
Hofstadter/Genz: gebraucht die Nachfolgerrelation Bsp SS0 statt 2. Daher sind bei ihm keine Bedeutungen eingeschlichen.
Beweis/Hofstadter: ist etwas Informales. Das Ergebnis eines Nachdenkens.
Formalisierung/Hofstadter: dient dazu, Intuitionen logisch zu verteidigen.
Ableitung/Hofstadter: künstlich hergestellte Entsprechung des Beweises
II 212
die die logische Struktur explizit macht.
Einfachheit/Ableitung/Hofstadter: es kann sein, dass Myriaden von Schritten notwendig sind, aber die logische Struktur stellt sich als ganz einfach heraus.
Bedeutung/Genz: der unendlichen Folge der obigen Aussagen fasst der Satz zusammen, dass alle Zahlen, wenn um 0 vermehrt, unverändert bleiben. Pointe: das beruht aber nicht auf der Bedeutung der Symbole, sondern nur auf den typographischen Ableitungsregeln der Objektsprache.
Metasprache/Genz: es ist eine Einsicht über den Formalismus die garantiert, dass alle Tokens zutreffen.
Objektsprache: sei hier so, dass die obige Verallgemeinerung ("alle Zahlen, durch 0 vermehrt, bleiben unverändert") in ihr formuliert, aber nicht abgeleitet werden kann.
1. Metasprache: hier kann er abgeleitet werden. Sie enthält vollständige Induktion.
2. Metasprache: hier kann er nicht abgeleitet werden, jedoch seine Verneinung! (s.u.)
Beide Metasprachen enthalten die OS. Daher können in ihnen die Folgen abgeleitet werden.
II 213
Objektsprache: in ihr können also nicht alle wahren Sätze abgeleitet werden.
Lösung: wir nehmen den Satz selbst zur Sprache hinzu, dann ist er sowohl war, wie (trivial) ableitbar.
Pointe: in der 2. Metasprache, die mit der ersten unverträglich ist, kann statt des Satzes seine Negation hinzugenommen werden, ohne einen Widerspruch zu erzeugen.
2. Metasprache: erzwingt das Auftreten von "unnatürlichen" Zahlen, die nicht als Nachfolger von 0 dargestellt werden können (siehe Hofstadter, Gödel, Escher, Bach S 240).

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