Thiel I 245
Endlichkeit/Finitheit/Finit/Hilbert: Es geht im Sinne Hilberts nur darum, wie sich Aussagen über unendliche Objekte zirkelfrei mit Hilfe "finiter" Methoden rechtfertigen lassen.
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Unendlichkeit, >
Zirkularität, vgl. >
Rekursion, >
Rekursivität.
Hilbert fand die Finitheit in den "operativen" Verfahren vor allem der Kombinatorik, der Arithmetik, und der elementaren Algebra schon exemplarisch verwirklicht.
Sie waren bis in das zweite Drittel des 19. Jahrhunderts "genetisch" (=konstruktiv) aufgebaut, während der Aufbau der Geometrie als Paradebeispiel für den Axiomatischen Aufbau einer Disziplin galt.
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Konstruktivismus, >
Geometrie, >
Zahlentheorie, >
Arithmetik, >
Axiome, >
Axiomensysteme.
I 246
Jede finite Operation ist ein für die handelnde Person überschaubarer Bereich. Dieser Schauplatz kann im Fortgang des Verfahrens wechseln.
I 247
Dass die für Gödels Beweis benötigten arithmetischen Funktionen sogar primitiv rekursiv sind (I 232) ist insofern bemerkenswert, als durchaus nicht alle effektiv berechenbaren Funktionen primitiv rekursiv sind, die primitiv rekursiven Funktionen also eine echte Teilklasse der berechenbaren Funktionen bilden.
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K. Gödel, >
Vollständigkeit/Gödel, >
Unvollständigkeit/Gödel.
I 248
Eine effektiv berechenbare, aber nicht primitiv rekursive Funktion wird z.B. durch folgende Schemata zur Berechnung ihrer Werte erklärt (nicht bewiesen) (x' ist der Nachfolger von x):
ψ(0,n) = n'
ψ(m',0) = ψ(m,1)
ψ(m',n')= ψ(m,ψ(m',n)).
I 248
Will man dem allgemeinen Berechenbarkeitsbegriff näherkommen, muss man als neues Ausdruckmittel, den sogenannten µ Operator hinzunehmen.
I 249
Berechenbarkeit/Church/Thiel: Wie nahe ist man damit einem Begriff der "allgemeinen Berechenbarkeit" gekommen? Es gibt den Begriff der "Turing Berechenbarkeit", der "l-Definierbarkeit bei Church und der "kanonischen Systeme" bei Post. .
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Berechenbarkeit, >
A. Turing.
Jede Funktion, die in einer dieser Klassen liegt, liegt nachweislich auch in den anderen.
Church: Church hat daraufhin die Vermutung ausgesprochen, dass damit eine adäquate Präzisierung des allgemeinen Berechenbarkeitsbegriffs erreicht sei.
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Church These".
Er meint aber, dass das eine "außermathematische" Vermutung sei, und keines mathematischen Beweises fähig. Es handelt sich um einen intuitiven Begriff. Ob eine derartige Präzisierung "adäquat" sei, sei mit mathematischen Mitteln nicht zu beantworten.
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Beweise, >
Beweisbarkeit, >
Adäquatheit.
I 250
Es bleiben außer Finitheit und Konstruktivität noch andere Fragen: Keine der Definitionen für die angebotenen Funktionenklassen ist nämlich finit (z.B. µ-rekursive Funktionen).
Der Versuch, mit klassischen Mitteln effektive Ausführbarkeit zu beschreiben bleibt fragwürdig, deuten wir den Existenzquantor aber konstruktiv, so haben wir den Begriff der Konstruktivität bereits vorausgesetzt.
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Quantifikation, >
Existenzquantifikation, >
Quantoren.
