Waismann I 70
Induktion/Brouwer/Poincaré/Waismann: Die Leistung der Induktion: sie ist nicht ein Schluss, der ins Unendliche trägt. Der Satz a+b = b+a ist nicht eine Abkürzung für unendlich viele einzelne Gleichungen, sowenig wie 0,333... eine Abkürzung ist und der induktive Beweis nicht die Abkürzung für unendlich viele Syllogismen (VsPoincaré).
Tatsächlich beginnen wir mit der Aufstellung der Formeln
a+b = b+a
a+(b+c) = (a+b)+c
einen ganz neuen Kalkül, der aus den Berechnungen der Arithmetik auf keine Weise abgeleitet werden kann.
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Kalkül, >
Unendlichkeit, >
Abkürzungen, >
Gleichungen.
Aber:
Prinzip/Induktion/Kalkül/Definition/Poincaré/Waismann: …das ist das Richtige an Poincarés Behauptung, das Prinzip der Induktion sei nicht logisch zu beweisen.
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Beweise, >
Beweisbarkeit.
VsPoincaré: Aber er stellt nicht, wie er meinte, ein synthetisches Urteil a priori dar, es ist überhaupt keine Wahrheit, sondern eine Festsetzung: Wenn die Formel f(x) für x=1 gilt und f(c+1) aus f(c) folgt, so sagen wir, es sei "die Formel f(x) für alle natürlichen Zahlen bewiesen".
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A. d'Abro Die Kontroversen über das Wesen der Mathematik 1939 in Kursbuch 8 Mathematik 1967
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Induktion/PoincaréVsHilbert: In einigen seiner Demonstrationen wird das Induktionsprinzip gebraucht, und behauptet, diese Prinzip sei der Ausdruck einer außerlogischen Anschauung des menschlichen Geistes. Poincaré schließt daraus, dass die Geometrie nicht auf rein logische Weise von einer Gruppe von Postulaten abgeleitet werden kann.
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Geometrie, >
Postulate, >
Ableitung, >
Ableitbarkeit.
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Induktion wird in der Mathematik fortwährend angewendet, u.a. auch bei Euklids Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen.
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Euklid, >
Primzahlen.
Induktionsprinzip/Poincaré: Das Induktionsprinzip kann kein Gesetz der Logik sein, denn es ist durchaus möglich, eine Mathematik zu konstruieren, in der das Induktionsprinzip geleugnet wird. Auch Hilbert führt es unter seinen Postulaten nicht auf, er scheint also auch der Meinung zu sein, dass es kein reines Postulat ist.
