Thiel I 188/189
Grenze/Tradition/Thiel: Alt: Bei Aristoteles hat die Grenze stets eine um 1 kleinere Dimension als der Gegenstand selbst. Ein Punkt kann dann keine Grenze mehr haben! Daraus folgt, dass die Punkte einander nicht berühren, und infolgedessen kein Kontinuum bilden können!
Für Aristoteles kann eine Gerade daher nicht aus Punkten bestehen. Sie ist keine Punktmenge im Sinn der voraristotelischen oder nachcantorschen Mathematik. Eine Gerade oder Strecke ist insofern ein Kontinuum, als sie beliebig oft teilbar ist, wobei aber die Teile und damit auch ihre Grenzen, die Punkte immer nur potentiell, "in" einem solchen Kontinuum vorhanden sind.
Nur die beiden Endpunkte einer Strecke gehören ihr als "aktuelle" wirkliche Punkte an, alle übrigen nur "potentiell".
I 190
Neu: Topologie: Ein Punkt p einer Menge M heißt ein
Def Häufungspunkt von M, wenn in jeder Umgebung von p ein weiterer Punkt der Menge M liegt, und man bezeichnet die Menge M als
Def abgeschlossen, wenn alle ihre Häufungspunkte in M selbst enthalten sind. Eine Menge M heißt
Def zusammenhängend, wenn sie sich auf keine Weise in zwei Teile A und B so zerlegen lässt, dass diese zusammen M ergeben, aber keinen Punkt gemeinsam haben, und dabei keine einen Häufungspunkt der jeweils anderen enthält.
Def Kontinuum: eine Menge die zugleich abgeschlossen und zusammenhängend ist, wird Kontinuum genannt.
Def dicht: zu je zwei Punkten gibt es einen weiteren Punkt, der dazwischen liegt.
I 191
Häufungspunkt: Wir kehren zum Intervall 0,1,zurück.... rechts von d kann kein Punkt von L mehr liegen.
Dann können wir, da nach Definition des Häufungspunktes in jeder Umgebung von d ein Punkt von R liegt, eine so kleine Umgebung U wählen, dass ((s) ein bestimmter, gewählter Punkt) e nicht mehr in U liegt.
Dennoch muss es in U einen Punkt p aus R geben und damit p < e gelten.
Dies widerspricht aber der vorausgesetzten Eigenschaft der Zerlegung, dass jeder Punkt von L links von jedem Punkt von R liege und als ob e < p gelten muss.
Das zeigt, dass dieser in L gelegene Häufungspunkt von R eindeutig bestimmt ist, weil von zwei verschiedenen Punkten mit dieser Eigenschaft einer rechts vom anderen liegen müsste, und da beide in L liegen sollen, der gleiche Widerspruch wie eben zwischen d und e entstünde.
Der Punkt d ist also der "größte" d.h. der äußerste rechte Punkt von L.
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Reelle Zahlen.
