Lexikon der Argumente

 

Thiel I 20/21
Kalkül/Ontologie/Mathematik/Thiel: Kalkültheorie: Zur Tätigkeit des Mathematikers gehört ja sowohl, Kakülregeln gemäß zu verfahren, als auch darüber zu reflektieren. Die Grenze zwischen Mathematik und Metamathematik ist fragwürdig. Die Grenzziehung dient nur bestimmten Zwecken, ist ist manchmal hinderlich: Bsp Neunerprobe: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

Thiel I 211
Kalkül/Thiel: Bsp Die konstruktive Arithmetik mit dem Kalkül N und der Konstruktionsgleichheit von Zählzeichen liefert ein operatives Modell der Axiome. Mathematiker verfahren in der Praxis und in Büchern keineswegs so. Die ist Praxis nicht lückenlos.
I 213
Insistieren auf "sauberen" Lösungen kommt erst bei metamathematischen Bedürfnissen auf.

Terminologie/Schreibweise:
Regelpfeil: >>
Implikation imp
Für alle gilt: V
Regel (VP) A(y) imp B >>Vx A(x) imp B.

I 214
Alltagssprachliche Übersetzung: Die Regel (VP) besagt, dass wir von einer gültigen Implikationsformel A(y) imp B, in der "y" als freie Variable vorkommt, übergehen dürfen zu einer, in der die Aussageform "A(y)" durch einen Existenzquantor quantifiziert ist.
Präzisierung: "y" darf in der Konklusion der Regel nicht frei vorkommen und "x" muss frei für yx, d.h. nicht in den Wirkungsbereich eines schon vorhandenen Quantors mit dem Index "x" geraten.
Das betrifft aber nur die Beweispraxis. Beweistheoretische Überlegungen erfordern weitere Präzisierung. Der Gegenstand der vorgenommenen Formalisierung kann in so hohem Maße differenziert werden, dass wir von einem neuen Gegenstand sprechen müssen.

Thiel I 216
Ein "vollformalisierter" Kalkül für die Arithmetik bei Lorenzen 1962 besteht aus 75 Regeln, darunter solchen mit 7 Prämissen.
I 217
Wir können solche Regelsysteme "linearisieren": d.h. grundlegende Regeln ohne Prämissen einführen und dann aufsteigend fortsetzen.
I 219
Ideal ist das lückenlose syntaktische Erfassen von Beweisen.
>Beweise, >Beweisbarkeit, >Syntax, >Formalisierung.