I 321
Fehlschlüsse/Thiel: interessieren nur dann, wenn sie als "Trugschlüsse" absichtsvoll herbeigeführt werden, oder in Form von "Sophismen" vermeintlich legitime Schlüsse in eine Argumentation einschmuggeln, oder wie bei Kant sog. "Paralogismen" die "in der Natur der Menschenvernunft" ihren Grund haben und daher "unvermeidlich obzwar nicht unauflöslich" sind. Bsp arithmetischer Trugschluss: 5 = 7. (I 321 +).
Bsp Syllogismus mit einer quaternia terminorum (verstecktes Auftreten von vier statt drei erlaubter Begriffe in einem Schlussschema
Fliegende Elefanten sind Fantasievorstellungen.
Fantasievorstellungen sind Teil unserer Wirklichkeit.
Also sind fliegende Elefanten Teil unserer Wirklichkeit.
Paradoxien sind etwas der gewöhnlichen Meinung (doxa) Zuwiderlaufendes.
Andere Form: in eine Rätsellösung verpackte Tatsache.
Bsp Dass ein eng um den Äquator gelegtes Band nach Verlängerung um nur einen Meter plötzlich um 1/2π, d.h. um etwa 16cm abstehen würde.
I 322
Im alltägliche Gebrauch sind Paradoxien oft lediglich Kalauer, wie der Hypochonder, der sich lediglich einbildet, Wahnvorstellungen zu haben (Definitionsfrage) oder das "Murphysche Gesetz" dass alles länger dauert, auch wenn man das bereits berücksichtigt hat.
Da in der englischsprachigen wissenschaftlichen Literatur "paradox" beides, Paradoxien (nicht wirkliche Antinomien) und Antinomien steht, hat sich eine Unterscheidung bisher nicht durchgesetzt.
I 327
Bsp "Krokodilschluss" (schon in der Antike bekannt): Ein Krokodil hat ein Kind geraubt, die Mutter fleht es an, es zurückzugeben. Das Krokodil stellt die Aufgabe, zu erraten, was es als nächstes tun werde. Die Mutter (logisch vorgebildet) sagt: Du wirst es mit nicht zurückgeben. Daher Pattsituation.
Denn die Mutter argumentiert jetzt, das Krokodil müsse das Kind zurückgeben, denn falls die Aussage wahr sei, bekomme sie es aufgrund der Vereinbarung zurück, sei sie aber falsch, so sei es eben falsch, dass sie das Kind nicht zurückbekomme, also weil es wahr, dass sie es bekomme.
Das Krokodil dagegen argumentiert, das es das Kind nicht zurückzugeben brauche, denn wenn die Aussage der Mutter falsch sei, bekomme sie es aufgrund der Vereinbarung nicht zurück, sei es aber wahr, so besage dies ja gerade, dass sie das Kind nicht zurückerhalte.
Erst eine sorgfältige Analyse deckt auf, dass die getroffene Vereinbarung ja noch keine Handlungsregel liefert.
Steht "z" für dass Zurückgeben, "a" für die Antwort der Mutter, (die noch unbestimmt, daher nur schematisch durch a repräsentiert sein kann) so liefert die Vereinbarung noch kein befolgbares Regelsystem, sondern das Regelschema
"a" ε wahr >> z
"a" ε falsch >> ~z
Wird dabei der Variabilitätsbereich von a nicht eingeschränkt, so kann man auch Wahlen von a treffen, die mit Tarskis Adäquatheitsbedingung für Wahrheitsdefinitionen unverträglich sind.
Vgl. >
Adäquatheit/Tarski, >
Konvention W.
I 328
Diese besagt, dass für ein Wahrheitsprädikat "W" und jede Aussage p, von der es sinnvoll ausgesagt werden kann, stets
"p" ε W <> p
gelten muss. In dem Krokodilschluss wählt die Mutter ~z für a und macht dadurch aus dem Regelschema das Regelsystem
(R1) "~z" ε wahr >> z
(R2) "~z" ε falsch >> ~z
Das Krokodil schließt nun einerseits nach R2 und andererseits nach Tarski (mit ~z für p) auf ~z. Die Mutter dagegen schließt einerseits nach R1 und andererseits metalogisch von der Falschheit von "~z" sowie von da (nach Tarski) weiter auf z.
Da die Argumentation von einem Wahrheits- und einem Falschheitsprädikat sowie dem Zusammenhang zwischen beiden Gebrauch macht, zählt man den Krokodilschluss gewöhnlich zu den "semantischen" Antinomien.
Man kann in ihm einen Vorläufer der Russellschen Antinomie sehen.
>
Russellsche Paradoxie.
Thiel I 328
Man sollte nicht vorschnell daraus ableiten, dass die Antinomien und Paradoxien für die Mathematik keine Bedeutung haben.
Sowohl Poincarés Kriterium (Imprädikativität) als auch die Typentheorie erzwingen eine Einschränkung des sogenannten Komprehensionsaxioms, das die als definierende Bedingungen für Mengen zulässigen Aussageformen bestimmt.
>
Imprädikativität, >
Komprehension, >
Typentheorie.
