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Letztbegründung/Fundierung/Mathematik/Wainsmann:
Die Frage nach dem letzten Ankergrund ist mit diesen Forschungen nicht gelöst, sondern nur weiter zurückgeschoben. Eine Begründung kommt mit Hilfe der Arithmetik nicht in Frage, wir haben ja schon die letzten Anhaltspunkte der arithmetischen Deduktion erreicht. Aber es scheint sich eine solche Möglichkeit aufzutun, wenn man über die Arithmetik hinausblickt: das führt zum dritten Standpunkt.
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Fundierung.
Arithmetik/Waismann: wird auf Logik gegründet. Dabei macht man starken Gebrauch von Begriffen der Mengenlehre, bzw. des Klassenkalküls. Die Behauptung, die Mathematik sei nur ein >
Teil der Logik schließt zwei Thesen ein, die nicht immer deutlich auseinandergehalten werden:
a) Die Grundbegriffe der Arithmetik lassen sich durch Definition auf rein logische zurückführen
b) Die Grundsätze der Arithmetik lassen sich durch Beweis herleiten aus rein logischen Sätzen.
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Logik, >
Beweise, >
Beweisbarkeit, >
Empirismus.
I 51
Es sieht so aus, dass die Sätze der Logik Tautologien sind. (Wittgenstein 1921 führte überhaupt den Begriff der Tautologie ein).
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Tautologien.
Dass die ganze Logik damit nichtssagend wird, diese Einsicht fehlte Frege noch völlig, weil er das Wesen der Logik gar nicht verstand!
Freges Meinung nach sollte die Logik eine beschreibende Wissenschaft sein, wie die Mechanik. Und auf die Frage, was sie beschreibe antwortete er: die Beziehungen zwischen idealen Gegenständen, wie "und", "oder", "wenn" usw. Platonische Auffassung von einem Reich von unerschaffenen Gebilden.
Die Zurückführung der Mathematik auf die Logik verlor daher für die Mathematiker an Wert. Es schien vielmehr nötig, die Widerspruchslosigkeit der Logik mit mathematischen Mitteln sicherzustellen.
Da die Mathematik aber logische Schlussregeln verwendet muss das Ziel in einer gemeinsamen Entwicklung gesucht werden.
Das wird mit einer axiomatischen Methode versucht. Sie ist zuerst in der Geometrie versucht worden, bevor sie in andere Bereiche eindrang.
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Platonismus, >
G. Frege.
