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Mathematik/Waismann: nach unserer Auffassung besteht die Mathematik nicht aus Tautologien und ist auch kein bloßer Zweig der Logik. Sie ruht nur auf ihren eigenen Festsetzungen.
Der Glaube, dass die Mathematik durch die Logik sicherer fundiert würde ist ein Missverständnis.
2+2 = 4 entspricht nicht einer Tautologie, sondern einer Anweisung. Sie steht einem empirischen Satz viel näher als eine Tautologie. Sie ist eben eine Regel, ähnlich wie beim Schach, die befolgt oder übertreten wird. Das wäre bei einer Tautologie nicht möglich, denn was soll es heißen, eine Tautologie zu befolgen oder zu übertreten?
Die Meinung, dass die gesamte Mathematik auf Peanos 5 Axiomen fußt, ist heute nicht mehr aufrechtzuerhalten. Die Mathematik ist eine Vielheit von Systemen.
Die Sätze der Arithmetik sind weder wahr noch falsch, sondern verträglich oder unverträglich mit gewissen Festsetzungen.
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Theoreme, >
Beweise, >
Beweisbarkeit.
Damit wird ein gewisser Dualismus überwunden:
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man glaubte, nur die natürlichen Zahlen seien ewige, unumstößliche Wahrheiten, bzw. sie drückten solche aus, während die rationalen und reellen Zahlen bloße Konventionen seien. (Kronecker).
WaismannVsKronecker: das ist eine Halbheit, und die ganze Entwicklung der Arithmetik zeigt, welchen Weg wir zu gehen haben: die Möglichkeit einer Zahlenreihe 1,2,3,4,5, viele wurde schon erwähnt.
Bsp Denken wir uns, eine Strecke werde durch Punkte in Teile zerlegt, dann hat es Sinn zu sagen, die Strecke hat 2,3,4..Teile, aber nicht: "die Strecke hat einen Teil." Man möchte hier viel lieber zählen:
0,2,3,4...
und das entspricht der Satzreihe: "Die Strecke ist ungeteilt", "die Strecke ist in zwei Teile geteilt", ...usw. d.h. wir zählen hier nicht nach dem Schema, das wir sonst verwenden, und dennoch ist das ein alltäglicher Fall.((s) sprachliche Überbewertung von "besteht aus". Lösung: 1 = unechter Teil.)
Aber nicht nur die Zahlenreihe, auch die Operationen könnten wir uns geändert denken: AG wir sollte Additionen mit vielen Millionen Stellen ausführen. Die Ergebnisse zweier Rechner werden dann nicht übereinstimmen. Kommt hier der Begriff der Wahrscheinlichkeit in die Arithmetik hinein? Oder man führt einen neuen Kalkül ein.
Der Irrtum der Logik war, dass sie glaubte, die Arithmetik fest untermauert zu haben. Frege: "Die Grundsteine, in einem ewigen Grund befestigt, sind von unserem Denken zwar überflutbar, aber nicht verrückbar."
WaismannVsFrege: allein der Ausdruck die Arithmetik "begründen" gibt uns ein falsches Bild,
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als ob ihr Gebäude auf Grundwahrheiten errichtet sei, während sie ein Kalkül ist, der nur von gewissen Festsetzungen ausgeht, frei schwebend, wie das Sonnensystem, das auf nichts ruht.
Wir können die Arithmetik nur beschreiben, d.h. ihre Regeln angeben, nicht begründen.
