Lexikon der Argumente

 

Waismann I 70
Beweis/Induktion/Intuitionismus/Brouwer/Waismann: Wenn es heißt, der Beweis gilt für alle Zahlen, muss man sich darüber klar sein, dass man erst durch den Beweis den Sinn des Wortes "alle" bestimmt.
>Beweise, >Beweisbarkeit.
Und dieser Sinn ist ein anderer als Bsp "Alle Sessel in diesem Zimmer sind aus Holz". Denn wenn ich die letzte Aussage verneine, bedeutet das: Es gibt mindestens einen, der nicht aus Holz ist.
Wenn ich aber "A gilt für alle natürlichen Zahlen" verneine, so heißt das nur: Eine der Gleichungen im Beweis von A ist falsch, aber nicht, es gibt eine Zahl, für die A nicht gilt.
>Negation, >Existenzquantifikation, >Allquantifikation, >Quantifikation.
Die allgemeine Formel in der Mathematik und die Existenzaussage gehören gar nicht demselben logischen System an. (Brouwer: die Unrichtigkeit einer Aussage bedeutet nicht die Existenz eines Gegenbeispiels).
>Existenz, >Existenzsätze, >Nichtexistenz.
Nun wird die Leistung der Induktion klar: sie ist nicht ein Schluss, der ins Unendliche trägt. Der Satz a+b = b+a ist nicht eine Abkürzung für unendlich viele einzelne Gleichungen, sowenig wie 0,333... eine Abkürzung ist und der induktive Beweis nicht die Abkürzung für unendlich viele Syllogismen (VsPoincaré).

Tatsächlich beginnen wir mit der Aufstellung der Formeln

a+b = b+a
a+(b+c) = (a+b)+c

einen ganz neuen Kalkül, der aus den Berechnungen der Arithmetik auf keine Weise abgeleitet werden kann.
>Kalkül, >Ableitung, >Ableitbarkeit.