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Thiel I 242/243
Brouwer/Thiel: Für Brouwer sind sämtliche Gesetze der formalen Logik nur Extrapolationen aus Verhältnissen bei endlichen Mengen. Manche versagen bei unendlichen Gesamtheiten.
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Mengen, >
Mengenlehre, >
Unendliches, >
Endlichkeit.
In Anlehnung an Jacques Herbrand stellt Brouwer folgende Kriterien für das Vorgehen der Metamathematik auf (Hilbert hat selbst keinen Kriterienkatalog):
1. Nur mit einer endlichen Anzahl von Gegenständen und Funktionen operieren. Insbesondere darf jede Ausdrucksbildungsregel und jede Schlussregel nur endlich viele Prämissen enthalten.
>
Prämissen, >
J. Herbrand.
2. Der Wert jeder verwendeten Funktion für jedes Argument muss eindeutig berechnet werden können.
>
Eindeutigkeit, >
Funktionen, >
Berechenbarkeit.
3. Niemals darf die Menge aller zu einer unendlichen Gesamtheit gehörenden Objekte betrachtet werden. Demgemäß darf die Definition eines mathematischen Objektes nicht
Def >imprädikativ sein in dem Sinne, dass in der definierenden Bedingung eine dieses Objekt ("später") als Element enthaltende Menge auftritt.
>
Imprädikativität, >
Prädikativität.
4. Die Existenz eines Objekts soll nur unter Aufweis desselben oder eines konstruktiven Verfahrens behauptet werden.
>
Existenzbehauptung.
5. Jede Behauptung einer Aussage über "alle x" eines Bereichs muss von einer Anweisung begleitet sein, wie sich für ein beliebig vorgelegtes xo aus dem Bereich die Aussage A(xo) beweisen lässt.
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Allaussage.
I 242
Def finit: Verbot des (sorglosen) Umgangs mit unendlichen Gesamtheiten.
Vgl. >
Finitismus.
Hilbert akzeptierte die von Brouwer provozierte neue Ausgangslage. Es gab in der Geschichte prominente Beispiele von Fehlern die durch falsche Übertragungen von endlichen auf unendliche Gesamtheiten entstanden waren.
>
D. Hilbert.