Lexikon der Argumente

 

I 53
Isomorphie/Mathematik/Allgemeinheit/Verallgemeinerung/Axiome/Hilbert/Waismann:
Neu: in der modernen Mathematik kam man zu der Einsicht, dass sich geometrische Sätze auf ein ganz anderes Gebiet übertragen lassen.
Bsp alle Sätze, die von den Geraden unseres Raumes handeln, können so gedeutet werden, dass sie von den Punkten eines vierdimensionalen Raums handeln. Die beiden Gedankensysteme sind völlig isomorph (gleichgebaut).
Das sinnliche Aussehen spielt also für die Geltung der Sätze gar keine Rolle. Man verzichtet nun bewusst darauf, zu sagen, was eine Gerade ist.
>Geometrie, >Raum.
I 54
Unter Punkt, Gerade, Ebene versteht man irgendwelche Dinge, für die die aufgestellten Axiome zutreffen.
Hilbert gibt ein Bsp: Die Zahlenverteilung von Abweichungen bei der Züchtung von Drosophila (Fliegen) stimmen mit den linearen Euklidischen Axiomen der Kongruenz und über den geometrischen Begriff "zwischen" überein. So einfach und so genau, wie man sich nicht hätte träumen lassen.
>Analogien, >Beweise, >Beweisbarkeit.
I 55
Letzter Schritt: auch noch die Zeichen des Logikkalküls werden inhaltlich unbestimmt. (Verknüpfungszeichen).
>Logische Kostanten, >Geichheitszeichen, >Verknüpfungen, >Identität.
Problem: Widerspruchsfreiheit muss man erst definieren z.B.:
Def widerspruchsfrei: ist ein Formelsystem, wenn in ihm niemals 1 ungleich 1 auftritt.
>Widerspruchsfreiheit.
Metamathematik ist dann inhaltlich, mit dem Hauptziel der Widerspruchslosigkeit.
>Wahrheit/Waismann, >Wahrheit/Hilbert >Axiome/Hilbert.
Hilbert: Die Axiome und beweisbaren Sätze sind Abbilder der Gedanken, die das übliche Verfahren der bisherigen Mathematik ausmachten, aber sie sind nicht selbst die Wahrheiten im absoluten Sinn. .