A. d'Abro Die Kontroversen über das Wesen der Mathematik 1939 in Kursbuch 8 Mathematik 1967
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Existenz/d’Abro: Grenzen der Axiomatischen Methode: Eines der Ziele der Mathematiker ist es, sogenannte Existenz-Theoreme aufzustellen, die beweisen sollen, dass die Lösung nach der wir suchen, tatsächlich existiert.
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Beweise, >
Beweisbarkeit, >
Theoreme.
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Nicht-Existenz/Meinong/d‘Abro: Da wir wahrheitsgemäß sagen können, "so etwas wie ein rundes Viereck existiert nicht", muss es so etwas wie ein rundes Viereck geben, wenn auch als nichtexistenten Gegenstand. Russell hatte anfänglich sich dem nicht entziehen können, aber 1905 eine Darstellungstheorie entdeckt, wonach das runde Viereck erwähnt zu werden scheint wenn man sagt: "Ein rundes Viereck existiert nicht". (Principia Mathematica)
(1)
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Nichtexistenz, >
Rundes Quadrat.
IV 43
Existenz/d'Abro: Bei Meinong werden "existiert" und "es gibt" synonym verwendet, was sie aber nicht sind: existieren im mathematischen Sinn heißt: keinen Widerspruch zu enthalten.
Nimmt man Meinong ernst, so zeugt das von der Unfähigkeit, klar zu denken, wie bei dem Scherz: "Wohin geht das Licht, wenn es ausgeht?".
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"Es gibt".
So ist ein Existenz-Beweis für eine Lösung die Feststellung, dass kein Widerspruch aus der Annahme einer Lösung erwächst, auch wenn man die Lösung noch nicht kennt.
Vgl. >
Existenzbehauptung, >
Widersprüche, >
Widerspruchsfreiheit.
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Bsp das berühmte Dirichlet Problem ist ein Existenz Theorem. Es geht darum, ob für die Laplace Gleichung immer eine Lösung existiert, die bestimmten Randbedingungen genügt, oder nicht.
Ein inkonsistentes Modell hat ebenso wenig Anspruch auf mathematische Existenz wie ein rundes Viereck. ((s) Löst das Problem nicht für außermathematische Gegenstände.)
Die Kompatibilität eines Postulatensystems lässt sich nur prüfen, wenn es nur eine endliche Zahl von Konsequenzen hat. Die Hilbertschen lassen aber unendlich viele Folgerungen zu.
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Hilbert umgeht diese Schwierigkeit, indem er sagt, das System sei widerspruchsfrei bewiesen, wenn es gelinge, die Existenz eines Modells darzutun, welches das Sytem bestätigt. Also Existenz gleich Fehlen einer inneren Inkonsistenz.
Hilbert behauptet dann, dass das auf Zahlen beruhende Modell dieser Forderung genüge. Er akzeptiert damit die Widerspruchsfreiheit des arithmetischen Kontinuums. Das Problem ist nur, dass wir uns dessen keineswegs sicher sind.
1. Whitehead, A.N. and Russel, B. (1910). Principia Mathematica. Cambridge: Cambridge University Press.
