A. d'Abro Die Kontroversen über das Wesen der Mathematik 1939 in Kursbuch 8 Mathematik 1967
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Formalismus/D'Abro: Der Formalist sieht Arithmetik und Logik als komplementär an.
Eine gewisse Übereinstimmung der beiden Lehren ergibt sich aus der Unmöglichkeit, die Zahl und insbesondere ganze Zahlen zu definieren (VsFrege). Die Formalisten behaupten jedoch eine indirekte Möglichkeit auf der Basis von Axiomen.
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Formalismus/Frege, >
Formalismus/Heyting.
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Intuitionismus/Formalismus/d’Abro: Der Intuitionist ist ein Rigorist, insofern, als er Definitionen und Beweise, die der Formalist akzeptiert, für unzureichend hält. Man sollte zugeben, dass sie nicht von der Logik, sondern der Intuition gegeben werden.
Bsp Zermelos (Formalist) Beweis, dass das Kontinuum eine geordnete Menge ist. d.h., dass die Punkte nacheinander platziert werden können, mit einem Nachfolger für jeden Punkt.
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Intuitionismus.
PoincaréVsZermelo: Poincaré erfand dazu ein typisches Streitgespräch.: Der Pragmatiker lehnt Zermelos Beweis ab weil er zu viel Zeit beanspruchen würde um ihn auszuführen, die Zahl der durchzuführenden Operationen wäre sogar größer als Aleph
0, nicht mit endlich vielen Worten auszudrücken. Der Pragmatiker wird folgern, dass das Theorem sinnlos ist.
Lager: Formalisten: Cantor, Hilbert, Zermelo, Russell – Intuitionisten: Poincaré, Weyl.
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G. Cantor, >
D. Hilbert, >
E. Zermelo, >
B. Russell, >
H. Poincaré.
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Nach Weyl muss der Begriff der irrationalen Zahl entweder aufgegeben, oder gründlich modifiziert werden.
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Irrationale Zahlen.
Brouwer: Bei der Behandlung unendlicher Mengen gilt der Satz vom ausgeschlossenen Dritten nicht.
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Ausgeschlossenes Drittes.
Die Intuitionisten behaupten mit Poincaré, dass Antinomien ohne Unendlichkeiten läppisch seien.
Poincaré: Die Antinomien gewisser Logiker sind einfach zirkulär.
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Paradoxien, >
Zirkularität.
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Formalismus/d‘Abro: Bsp Der Formalismus sieht kein Hindernis, x in der folgenden Weise zu definieren:
(a) x hat diese und diese Beziehung zu allen Gliedern vom Typ G.
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(b) x ist ein Glied von G.
Für einen Intuitionisten ist, Poincaré zufolge, eine derartige Definition zirkulär.
Bsp Kontroverse um Definitionen die man nicht in einer endlichen Anzahl von Wörtern ausdrücken kann. Von den Intuitionisten abgelehnt.
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Definitionen, >
Definierbarkeit.
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8...
Diese Reihe ist nach den Intuitionisten geeignet, in endlich vielen Worten ausgedrückt zu werden, da eine Regel formuliert werden kann.
Es sei darauf hingewiesen, dass der Unterschied theoretisch und nicht praktisch wichtig ist, ein Beweis, der in z.B. eine Trillion Wörtern formuliert werden könnte, wäre akzeptabel.
