@misc{Lexikon der Argumente, title = {Quotation from: Lexikon der Argumente – Begriffe - Ed. Martin Schulz, 29 Mar 2024}, author = {Quine,W.V.O.}, subject = {Zahlentheorie}, note = {IX 81 Elementare Zahlentheorie/Quine: darunter versteht man die Theorie, die nur mit den Begriffen "Null, Nachfolger, Summe, Potenz, Produkt, Identität" und mit Hilfe der a.l. Verknüpfungen und der Quantifikation über natürliche Zahlen ausgedrückt werden kann. Man kann die ersten vier dieser Punkte weglassen oder die beiden ersten und den fünften. Die ausführlichere Liste ist aber bequem, weil das klassische Axiomensystem unmittelbar dazu passt. Quine: unsere quantifizierbaren Variablen lassen noch andere Objekte als Zahlen zu. Wir werden jetzt aber stillschweigend eine Begrenzung auf "x ε N" einführen. Elementare Zahlentheorie/Quine: kleiner/gleich: ist hier überflüssig. "Ez(x + z = y)" - x ε N > Λ + x = x. - x,y ε N >{x} + y = {x+y}. IX 239 Relative Stärke/Beweistheorie/Theorie/Beweisbarkeit/Quine: Gödel, Unvollständigkeitssatz (1931)(1). Da die Zahlentheorie in der Mengenlehre entwickelt werden kann, bedeutet das, dass die Klasse aller Theoreme IX 239 (in Wirklichkeit aller Gödelnummern von Theoremen) einer vorliegenden Mengenlehre in dieser selben Mengenlehre definiert werden kann, und verschiedene Dinge können darin über sie bewiesen werden. Unvollständigkeitssatz: Als seine Folge zeigte Gödel aber, dass die Mengenlehre (falls sie widerspruchsfrei ist) eines nicht über die Klasse ihrer eigenen Theoreme beweisen kann, nämlich, dass sie widerspruchsfrei ist, d.h. z.B. dass "0 = 1" nicht in ihr liegt. Wenn die Widerspruchsfreiheit einer Mengenlehre in einer anderen bewiesen werden kann, ist letztere die stärkere (es sei denn, dass beide widerspruchsvoll sind). Zermelos System ist stärker als die Typentheorie. >Typentheorie, >Stärke von Theorien, >Mengenlehre, >Beweisbarkeit. 1.Kurt Gödel: Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. In: Monatshefte für Mathematik und Physik. 38, 1931, S. 173–198, doi:10.1007/BF01700692 - - - II 178 Die elementare Zahlentheorie ist der bescheidene Teil der Mathematik, der sich mit der Addition und Multiplikation ganzer Zahlen beschäftigt. Egal, einige wahre Aussagen werden unbeweisbar bleiben. Dies ist der Kern des Gödelschen Satzes. Er hat gezeigt, wie man bei beliebigem gegebenen Beweisverfahren rein in der dürftigen Notation der elementaren Zahlentheorie einen Satz bilden kann, der sich dann und nur dann beweisen lässt, wenn er falsch ist. Doch halt! Der Satz kann nicht bewiesen werden und dennoch falsch sein. Also ist er wahr, aber nicht beweisbar. Quine: wir pflegten zu glauben, dass mathematische Wahrheit in Beweisbarkeit besteht. Nun sehen wir, dass diese Ansicht für die Mathematik als ganze unhaltbar ist. II 179 Gödels Unvollständigkeitssatz hat sich, (die dort angewandten Techniken) in anderen Gebieten als nützlich erwiesen: Rekursive Zahlentheorie oder kurz Rekursionstheorie. Oder Hierarchientheorie. - - - III 311 Elementare Zahlentheorie/eZT/Quine: hat nicht einmal ein vollständiges Beweisverfahren. Beweis: reductio ad absurdum: Angenommen, wir hätten es, mit dem man jeden wahren Satz in der Schreibweise der eZT beweisen könnte, III 312 Dann gäbe es auch ein vollständiges Widerlegungsverfahren: um einen Satz zu widerlegen beweise man seine Negation. Aber dann könnten wir das Beweis und Widerlegungsverfahren von Seite III 247 Mitte zu einem Entscheidungsverfahren kombinieren. - - - V 165 Substitutionale Quantifikation/referentielle Quantifikation/Zahlen/Quine: Dilemma: die substitutionale Quantifikation verhilft der elementaren Zahlentheorie zu keiner ontologischen Sparsamkeit, den entweder gehen die Zahlen aus oder es gibt unendlich viele Zahlzeichen. Wenn die erklärende Rede von unendlich vielen Zahlzeichen selbst wieder im Einsetzungs Sinn zu verstehen ist, stehen wir vor einem mindestens so schweren Problem wie dem der Zahlen – wenn sie im Sinne der referentiellen Quantifikation zu verstehen ist, dann könnte man sich auch von vornherein unkritisch mit Gegenstands Quantifikation über Zahlen zufrieden geben. >Quantifikation. V 166 Wahrheitsbedingungen: wenn man nun substitutionale Quantifikation annimmt, kann man die Wahrheitsbedingungen für sie über Zahlen tatsächlich erklären, indem man nur von Zahlzeichen und ihrer Einsetzung spricht. Problem: wenn die Zahlzeichen ihren Zweck erfüllen sollen, müssen sie so abstrakt wie die Zahlen sein. Ausdrücke, von denen es unendlich viele geben soll, könnte man mit ihren Gödelnummern identifizieren. Keine andere Betrachtungsweise führt zu einer spürbaren Verringerung der Abstraktheit. Substitutionale Quantifikation: zwingt zum Verzicht auf das Gesetz, dass jede Zahl einen Nachfolger hat. Eine Zahl wäre die letzte, aber der sQ Theoretiker wüsste nicht, welche. Es würde von tatsächlichen Inskriptionen in der Gegenwart und Zukunft abhängen. (Quine/Goodman 1947). Das wäre ähnlich wie die Theorie der herstellbaren Zahlen von Esenin Volpin: man hätte eine unbekannte endliche Schranke. >Substitutionale Quantifikation. V 191 QuineVsSubstitutionale Quantifikation: die einzusetzenden Ausdrücke sind ebenso abstrakte Entitäten wie die Zahlen selbst. V 192 NominalismusVsVs: man könnte die Ontologie der reellen Zahlen oder Mengenlehre auf die der elementaren Zahlentheorie reduzieren, indem man Wahrheitsbedingungen für die sQ anhand von Gödelzahlen aufstellt. >Gödelnummern. QuineVs: das ist nicht nominalistisch, sondern pythagoräisch. Es geht da nicht um die Hochschätzung des Konkreten und Abscheu vor dem Abstrakten, sondern um die Hinnahme der natürlichen Zahlen und die Verwerfung der meisten transzendenten Zahlen. Wie Kronecker sagt: „Die natürlichen Zahlen schuf Gott, die anderen sind Menschenwerk“. QuineVs: aber auch das geht nicht, wir sahen oben, dass die sQ über Klassen grundsätzlich nicht vereinbar mit der Gegenstands Quantifikation über Gegenstände ist. V 193 VsVs: man könnte doch auch die Quantifikation über Gegenstände so auffassen. QuineVs: das ging nicht, weil es nicht genug Namen gibt. Zwar könnte man Raumzeit Koordination beibringen, aber das erklärt nicht das Sprachlernen. - - - X 79 Gültigkeit/Satz/Menge/Schema/Quine: wenn Mengen und Sätze derart auseinander fallen, sollte es einen Unterschied zwischen diesen beiden Definitionen der Gültigkeit (Über Schema (mit Sätzen) bzw. Modelle (mit Mengen) geben. Aber aus dem Satz von Löwenheim folgt, dass die beiden Definitionen der Gültigkeit (über Sätze, bzw. Mengen) nicht auseinanderfallen, solange die Objektsprache nicht allzu ausdrucksschwach (ausdrucksarm) ist. Bedingung: die Objektsprache muss die elementare Zahlentheorie ausdrücken können. (enthalten). Objektsprache: In einer solchen Sprache wird ein Schema, das bei allen Einsetzungen von Sätzen wahr bleibt, auch von allen Modellen erfüllt und umgekehrt. Die Forderung der elementaren Zahlentheorie ist ziemlich schwach. Def elementare Zahlentheorie/eZT/Quine: spricht über die positiven ganzen Zahlen mit Hilfe der Addition, Multiplikation, Identität, Wahrheitsfunktionen und Quantifikation. Standardgrammatik/Quine: die Standardgrammatik würde die Funktoren der Addition, Multiplikation, wie die Identität, durch geeignete Prädikate ausdrücken. X 83 Elementare Zahlentheorie/eZT/Quine: ist zwar ähnlich wie die Theorie der endlichen n tupel effektiv einem gewissem Teil der Mengenlehre äquivalent, aber nur der Theorie der endlichen Mengen. - - - XI 94 Übersetzungsunbestimmtheit/Quine/Harman/Lauener: („Words and Objections): Bsp Übersetzung der Zahlentheorie in die Sprache der Mengenlehre von Zermelo bzw. v. Neumann: beide Versionen übertragen wahre bzw. falsche Sätze der Zahlentheorie in wahre bzw. falsch Sätze der Mengenlehre. Nur die Wahrheitswerte von Sätzen wie Bsp „Die Zahl zwei hat genau ein Element“, die vor der Übersetzung keinen Sinn hatten, weichen in beiden Systemen voneinander ab. ( XI 179 :Er ist wahr in von Neumanns und falsch in Zermelos System, in der Zahlentheorie ist er sinnlos). XI 94 Da sie beide in gleicher Weise sämtliche Zwecke der Zahlentheorie erfüllen, ist es nicht möglich, eine von beiden als richtige Übersetzung auszuzeichnen.}, note = {W.V.O. Quine I Quine Wort und Gegenstand Stuttgart 1980, Reclam II Quine Theorien und Dinge Frankfurt/M 1985, Suhrkamp III Quine Grundzüge der Logik Frankfurt/M 1978 IV Oliver R. Scholz "Quine" aus Hügli (Hrsg) Philosophie im 20. Jahrh., Reinbek 1993 V Quine Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989 VI Quine Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995, Schöningh VII Quine From a logical point of view Cambridge 1953 IX Quine Mengenlehre und ihre Logik 1967, Vieweg X Quine Philosophie der Logik Bamberg 2005 XI Henri Lauener Quine München 1982 XII Quine Ontologische Relativität, Frankfurt/M. 2003 Sprechen über Gegenstände, Naturalisierte Erkenntnistheorie }, file = {http://philosophie-wissenschaft-kontroversen.de/details.php?id=286779} url = {http://philosophie-wissenschaft-kontroversen.de/details.php?id=286779} }