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W.V.O. Quine über Imaginäre Zahlen – Lexikon der Argumente

XIII 30
Imaginäre Zahlen/Quine: sind eigentlich von derselben Art wie reelle Zahlen, sie wurden nur später eingeführt.
Sie wurden nur gebraucht, um die Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen zu können.
Gleichung: hat immer n Lösungen wenn der höchste Exponent n ist.
Reelle Zahlen: sind die positiven Zahlen und die 0.
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Negative reelle Zahlen/Quine: um sie überhaupt erst einmal zu erhalten, brauchen wir zunächst eine neue Art von Proportionen (ratios) zusammen mit irrationalen Zahlen
Lösung: wir gebrauchen ausgezeichnete reelle Zahlen (positive und negative) um sie von den (positiven) reellen Zahlen zu unterscheiden.
Schreibweise: ausgezeichnete (signed, bezeichnete) reelle Zahlen: als geordnete Paare (gP) ‹0,x› und ‹x, 0›.

Geordnete Paare/gP/Reihenfolge/Quine: eine künstliche Weise, ein gP zu konstruieren ist z.B. {{x,y},x}… Hier ist x Element beider Elemente. ((s) So wird die Reihenfolge festgelegt). Danach können wir leicht auch y herausholen.
imaginäre Einheit: Schreibweise i: = √–1.
Def imaginäre Zahl: ist jedes Produkt yi, indem y eine bezeichnete (ausgezeichnete, signed) reelle Zahl ist.
Def komplexe Zahl: ist jede Summe x + yi, wobei x und y bezeichnete (als positiv oder negativ bezeichnete) reelle Zahlen sind. Wegen der „Unverdaulichkeit“ von i ist die Summe nicht kommutativ. D.h. die Summe kann nicht verschieden aufgebrochen werden. Bsp 5 = 3 + 2 = 4 + 1.
Das ist der Grund, warum komplexe Zahlen oft gebraucht werden, um Punkte einer Ebene zu repräsentieren.
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Komplexe Zahl/Tradition: vorher (im 19. Jahrhundert) wurden sie als geordnete Paare zweier bezeichneter reeller Zahlen angenommen.

Proportionen/ratio/rationale Zahlen/Quine: haben zwei Sinne (senses)
Positive ganze Zahlen: haben drei Sinne (senses)
komplexe Zahlen: dasselbe passiert hier. Bsp a) √2, wie ursprünglich konstruiert, b) die positiv bezeichnete reelle Zahl + √2, c) die komplexe Zahl √2, also √2 + 0i, also ‹√2,0>.
Reelle Zahl: kann immer auch als komplexe Zahl mit Imaginärteil = 0 dargestellt werden.
Pointe: dadurch haben die rationalen Zahlen jetzt vier Sinne und die positiven ganzen Zahlen fünf Sinne! Aber das spielt in der Praxis keine Rolle. Auch nicht als philosophische Konstruktionen. In „Mengenlehre und ihre Logik“ habe ich diese Verdopplungen fast vollständig eliminiert.
Bezeichnete komplexe Zahlen mit Imaginärteil 0 werden zu bezeichneten reellen Zahlen und diese zu unbezeichneten, normalen reellen Zahlen usw.
Zahlen/Quine: (Mengenlehre und ihre Logik): am Ende werden alle diese Zahlen, (komplexe, imaginäre, reelle, rationale) zu natürlichen Zahlen. Nur diese letzteren werden verdoppelt, und zwar nur einmal, von der natürlichen Zahl n zu der rationalen Zahl 1/ n.


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Zeichenerklärung: Römische Ziffern geben die Quelle an, arabische Ziffern die Seitenzahl. Die entsprechenden Titel sind rechts unter Metadaten angegeben. ((s)…): Kommentar des Einsenders.
Der Hinweis [Autor1]Vs[Autor2] bzw. [Autor]Vs[Begriff] ist eine Hinzufügung des Lexikons der Argumente.

Quine I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Quine II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Quine III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Quine V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Quine VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Quine VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Quine VII (a)
W. V. A. Quine
On what there is
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (b)
W. V. A. Quine
Two dogmas of empiricism
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (c)
W. V. A. Quine
The problem of meaning in linguistics
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (d)
W. V. A. Quine
Identity, ostension and hypostasis
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (e)
W. V. A. Quine
New foundations for mathematical logic
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (f)
W. V. A. Quine
Logic and the reification of universals
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (g)
W. V. A. Quine
Notes on the theory of reference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (h)
W. V. A. Quine
Reference and modality
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (i)
W. V. A. Quine
Meaning and existential inference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982

Quine IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Quine X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Quine XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003

Quine XIII
Willard Van Orman Quine
Quiddities Cambridge/London 1987

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