Philosophie Lexikon der Argumente

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Axiom: Grundsatz oder Regel für die Verknüpfung von Elementen einer Theorie, der nicht innerhalb der Theorie bewiesen wird. Es wird angenommen, dass Axiome wahr und evident sind. Das Hinzufügen oder Eliminieren von Axiomen verwandelt ein System in ein anderes System. Entsprechend sind mehr oder weniger Aussagen in dem neuen System konstruierbar oder ableitbar. Siehe auch Systeme.

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Anmerkung: Die obigen Begriffscharakterisierungen verstehen sich weder als Definitionen noch als erschöpfende Problemdarstellungen. Sie sollen lediglich den Zugang zu den unten angefügten Quellen erleichtern. - Lexikon der Argumente.

 
Autor/Titel Begriff Zusammenfassung Metadaten
III 389ff
Axiome/unendlich/Kripke: dann sind nicht mehr alle Tarski-Sätze ableitbar - Beweis/Kripke: hat nur endlich viele Schritte und zitiert nur endlich viele Axiome - sonst Regel (Beweisregel): "implizite Definition" (Hilbert: "Welche Axiome sind gültig?" > Regeln/Kripke).
III 389
Unendlich/Axiome/Kripke: aus unendlicher Menge der W-Sätze T(f) ↔ f kann man nicht die Tarski-Sätze für beliebige f ableiten - Bsp angenommen, wir addieren zur Zahlentheorie ein einfaches Prädikat P(x) und nehmen P(0), P(1),P(2),... als zahlentheoretische Axiome. Diese neuen Axiome haben die Kraft, dass P(x) für jede Zahl gilt - folgt dann (x)P(x) noch den normalen Deduktionsregeln? Nein - ein Beweis zitiert nur endlich viele Axiome.
reductio ad absurdum: wenn (x)P(x) deduzierbar (ableitbar) wäre, müsste es von einer endlichen Anzahl von Axiomen ableitbar sein: P(m1)...P(mn) - m: Zahlenname der formalen Sprache der Zahlentheorie, der die Zahl m denotiert - klar, dass es nicht von einer endlichen Anzahl Axiomen ableitbar ist - wenn wir P(x) als wahr von m1...mn definieren, wird jedes der endlichen vielen Axiome wahr sein, aber (x)P(x) wird falsch sein. - Man weiß jede Instanz aber nicht die Verallgemeinerung. - Das gilt aber auch für endliche Systeme!
III 390
Lösung: Unendlichkeitsregel (z.B. Omega-Regeln) zulassen.
III 391
KripkeVsWallace: dieselben Probleme gelten für die >referentielle Quantifikation.


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Zeichenerklärung: Römische Ziffern geben die Quelle an, arabische Ziffern die Seitenzahl. Die entsprechenden Titel sind rechts unter Metadaten angegeben. ((s)…): Kommentar des Einsenders.
Der Hinweis [Autor1]Vs[Autor2] bzw. [Autor]Vs[Begriff] ist eine Hinzufügung des Lexikons der Argumente.

Kripke I
S.A. Kripke
Name und Notwendigkeit Frankfurt 1981

Kripke II
Saul A. Kripke
"Speaker’s Reference and Semantic Reference", in: Midwest Studies in Philosophy 2 (1977) 255-276
In
Eigennamen, Ursula Wolf Frankfurt/M. 1993

Kripke III
Saul A. Kripke
Is there a problem with substitutional quantification?
In
Truth and Meaning, G. Evans/J McDowell Oxford 1976

Kripke IV
S. A. Kripke
Outline of a Theory of Truth (1975)
In
Recent Essays on Truth and the Liar Paradox, R. L. Martin (Hg) Oxford/NY 1984

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