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W.V.O. Quine über Gödel – Lexikon der Argumente

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Gödel/Gödels Theorem/Quine:
Beweis/Selbstevidenz/Quine: es ist zu viel verlangt, dass ein Beweis selbstevident sein müsste. Bsp Euklids Parallelenaxiom ist nicht selbstevident. Bsp Mengenlehre ist auch nicht selbstevident, weil sie von Paradoxa geschüttelt ist.
Selbstevidenz/Quine: finden wir in einer kleinen Anzahl von Axiomen der Zahlentheorie. Es sind die Axiome von Dedekind, die die Axiome von Peano genannt werden.
Elementare Zahlentheorie/Quine: es war immer die Frage, ob es nicht noch gültige Gesetze gäbe, die aus den Axiomen nicht abgeleitet werden könnten. Es gab sie! Das war eine Frage der Adäquatheit.
Gesetze/DF/Quine: die Frage weiterer, noch unentdeckter Gesetze schien ein Problem aller Zweige der Mathematik zu sein. Durch Ergänzungen der Axiome könnte man das vielleicht beheben? Aber Gödel bewies 1931, dass das nicht so sein kann!
Gödel/Quine: bewies, dass es kein vollständiges deduktives System für ein noch so kleines Fragment der Mathematik geben kann, wie es z.B. die Elementare Zahlentheorie ist.
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Gödel/Quine: bewies, dass es kein vollständiges deduktives System für ein noch so kleines Fragment der Mathematik geben kann, wie es z.B. die elZT ist
Def Elementare Zahlentheorie /Quine: umfasst Ziffern, Notation für plus, mal, Potenz und Gleichheit
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Satzoperatoren: für „nicht“, „und“ und „oder“ und die Quantoren „Jede Zahl x ist so, dass…“und „es gibt eine Zahl x so dass…“. Die Zahlen sind die positiven ganzen Zahlen und die Null. Damit kann man Bsp Fermats letztes Theorem ausdrücken.
Gödel/Quine: These: Kein Axiomensystem oder anderer deduktiver Apparat kann alle Wahrheiten abdecken, die selbst in dieser moderatesten Notation ausdrückbar sind. Jedes gültige Beweisverfahren wird einige wahre Sätze außer acht lassen, ja sogar unendlich viele davon.
Selbstevidenz/Mathematik/Gödel/Quine: daher müssen wir die Forderung der Selbstevidenz fallen lassen.
falsche Lösung/Quine: könnte man nicht einfach alle entdeckten Wahrheiten als Axiome nehmen?
Vs: das ist nicht deswegen unmöglich, weil es keine Axiomensysteme mit unendlich vielen Axiomen geben könnte, solche gibt es. Es ist vielmehr so, dass ein Beweis in endlicher Zeit geprüft werden können muss.
Gödel/Gödels Theorem/Quine: ist verwandt mit den reflexiven Paradoxa. Es geht darum, dass die Notation der elZT über sich selbst sprechen können muss. ((s) >Selbstreferenz).
Gödelnummerierung/Gödelzahl/Quine: …+…
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Erwähnung/Gebrauch/Gödel/Quine: Gödels Beweis verlangt auch diese Unterscheidung. Bsp die Ziffer „6“ benennt die Zahl 6 und hat die Gödelzahl 47. Wir können sagen, die Gödelzahl 47 benennt die Zahl 6. (>Stellvertreter).
Syntax/Arithmetik/Gödel/Quine: nachdem alle Ausdrücke ihre Benennung durch Gödelzahlen haben, können die syntaktischen Operationen über Ausdrücke, durch arithmetische Operationen über Zahlen gespiegelt werden.
Zitat/Gödel/Quine: Problem: die entsprechende Notation ist nicht Teil der symbolischen Logik und Arithmetik. Anführungszeichen (AZ) können dann auch nicht einfach durch Gödelzahlen benannt werden.
Zitat/Quine: eines Ausdrucks: benennt diesen Ausdruck.
Gödelzahlen/Gödelnummer/Quine: 47 benennt 6, weiterhin benennt 5361 die Zahl 47, wenn zufällig 53 und 61 die Gödelzahlen der Ziffern „4“ und „7“ sind. ((s) Anführungszeichen sic).
Zitat/Gödel/Quine: die Zitatrelation ist als repräsentiert durch die arithmetische Relation, die 5361 zu 47 und 47 zu 6 hat. Die allgemeine Relation kann in der Notation der elZT ausgedrückt werden, wenn auch nicht leicht. Die arithmetische Rekonstruktion syntaktischer Begriffe wie dieses war ein substantieller Teil von Gödels Arbeit.
Lügner/Lügnerparadoxie/Gödel/Quine: ist dienlich in einem der beiden Teile, in den Gödels Beweis aufgeteilt werden kann. Die Bombe explodiert, wenn die beiden Teile zusammengesetzt werden. Der Lügner kann vollständig
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durch Gödelnumerierung ausgedrückt werden mit Ausnahme eines einzigen Ausdrucks: „Wahrheit“. Wenn das ginge, hätten wir das Paradox gelöst, aber die elZT in Misskredit gebracht.
Wahrheit/Gödelzahl/Gödelnummer/Quine: Wahrheit ist nicht definierbar mittels Gödelzahlen, innerhalb der elZT.
Gödels Theorem/Quine: formal: keine Formel in der Notation der elZT ist wahr von allen und nur den Gödelnummern von Wahrheiten der elZT. (Das ist der eine Teil.
anderer Teil/Quine: behandelt jedes echte Beweisverfahren, hier geht es darum, dass jeder Beweis prüfbar sein muss.
formal: eine gegebene Formel in der Notation der elZT ist wahr von allen und nur den Gödelzahlen beweisbarer Formeln.
Church/Quine: ich übergehe hier seine These (Church-These), (siehe Rekursion; s.u.).
Gödel/Quine: die beiden Teile zusammen besagen, daß die beweisbaren Formeln nicht mit den Wahrheiten der elZT zusammenfallen. Entweder sie enthalten einige Falschheiten, oder sie decken einige Wahrheiten nicht ab. Gott verbietet das.
Gödel/Quine: sein eigener Beweis war direkter. Er zeigte, dass ein gegebener Satz, ausgedrückt in Gödelzahlen, nicht bewiesen werden kann. Entweder ist er falsch oder beweisbar, oder wahr und nicht beweisbar. Vermutlich das Letztere.
Falsche Lösung/Quine: man könnte diese verirrte Wahrheit als Axiom hinzufügen, aber dann bleiben wieder andere unbeweisbare.
Gödel/Pointe/Quine: ironischerweise war es zwar unplausibel, dass es eine Beweisprozedur für alle Wahrheiten der elZT geben könnte. Dieses würde Fermats Satz klären, und vieles andere mehr.
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Andererseits schlug Gödels Ergebnis wie eine Bombe ein.
Pointe: diese beiden Mängel stellten sich nun aber als äquivalent heraus! Denn:
Kleene/Quine: zeigte, dass wenn es ein vollständiges Beweisverfahren gibt, könnte jede Aussage als wahr oder falsch getestet werden wie folgt: ein Computer müsste so programmiert werden, jede Aussage herunter zu spulen, in alphabetischer Reihenfolge, die kürzesten zuerst, dann immer längere. Am Ende, wegen der Vollständigkeit des Verfahrens, wird er jeden einzelnen Satz bewiesen oder widerlegt haben.


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Zeichenerklärung: Römische Ziffern geben die Quelle an, arabische Ziffern die Seitenzahl. Die entsprechenden Titel sind rechts unter Metadaten angegeben. ((s)…): Kommentar des Einsenders.
Der Hinweis [Autor1]Vs[Autor2] bzw. [Autor]Vs[Begriff] ist eine Hinzufügung des Lexikons der Argumente.

Quine I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Quine II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Quine III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Quine V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Quine VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Quine VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Quine VII (a)
W. V. A. Quine
On what there is
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (b)
W. V. A. Quine
Two dogmas of empiricism
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (c)
W. V. A. Quine
The problem of meaning in linguistics
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (d)
W. V. A. Quine
Identity, ostension and hypostasis
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (e)
W. V. A. Quine
New foundations for mathematical logic
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (f)
W. V. A. Quine
Logic and the reification of universals
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (g)
W. V. A. Quine
Notes on the theory of reference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (h)
W. V. A. Quine
Reference and modality
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (i)
W. V. A. Quine
Meaning and existential inference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982

Quine IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Quine X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Quine XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003

Quine XIII
Willard Van Orman Quine
Quiddities Cambridge/London 1987

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