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Imprädikativität: Imprädikativ sind Begriffe, die nur mit den Mitteln der Aussagenmenge, zu denen sie selbst gehören, definiert sind. Probleme treten in Zusammenhang mit möglichen Zirkelschlüssen auf. Zur Vermeidung von Paradoxien wird manchmal die Forderung aufgestellt, imprädikativer Begriffe zu vermeiden. Siehe auch Paradoxien, Russellsche Paradoxie, Poincaré.

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Anmerkung: Die obigen Begriffscharakterisierungen verstehen sich weder als Definitionen noch als erschöpfende Problemdarstellungen. Sie sollen lediglich den Zugang zu den unten angefügten Quellen erleichtern. - Lexikon der Argumente.

 
Autor/Titel Begriff Zusammenfassung Metadaten

W.V.O. Quine über Imprädikativität – Lexikon der Argumente

XIII 93
Imprädikativität/Quine: früher sagte man, dass man eine Klasse spezifiziert hatte, ohne etwas Weiteres von ihr zu wissen, wenn man die Enthaltenseinsbedingung nennen konnte.
Russellsche Antinomie: zeigte, dass es hier Ausnahmen geben musste.
Problem: lag darin, eine Klasse durch eine Enthaltenseinsbedingung zu spezifizieren, indem man direkt oder indirekt auf eine Menge von Klassen referierte, die die fragliche Klasse enthielt.
Russellsche Antinomie: hier war die problematische Enthaltenseinsbedingung die Nicht-Selbst-Elementschaft. Bsp x ist kein Element von x.
Paradox: entsteht dadurch, dass man das x der Enthaltenseinsbedingung unter anderem gerade die Klasse sein lässt, die durch diese Enthaltenseinsbedingung definiert wird.
Def imprädikativ/Poincaré/Russell: ist gerade diese Enthaltenseinsbedingung für eine Klasse, die in der Klasse selbst besteht. Dies muss verboten sein, um Paradoxien nicht aufkommen zu lassen.
Zirkelfehlerprinzip/QuineVsRussell: das war allerdings ein zu harscher Begriff:
Spezifikation/Klassen/Mengen/Existenz/Quine: eine Klasse zu spezifizieren heißt nicht, sie zu erschaffen!
XIII 94
Spezifikation/Zirkel/Einführen/QuineVsRussell: indem man etwas spezifiziert ist es nicht falsch auf einen Bereich zu referieren, zu dem dies Ding schon immer gehörte. Bsp Statistische Aussagen über einen typischen Einwohner durch Aussagen über die Gesamte Einwohnerschaft, die ihn enthält.
Einführen/Definition/sprachlich/Quine: alles was wir brauchen ist, dass ein ungewohnter Ausdruck mit einem Ausdruck gleichgesetzt wird, der vollständig mit vertrauten Ausdrücke gebildet wird.
Russellsche Antinomie/Quine: ist noch völlig in Ordnung, so lange die Klasse R durch ihre Enthaltenseinsbedingung definiert wird: „Klasse aller Objekte x, so dass x nicht ein Element von x ist“.
Paradox/Lösung/Russell/Quine: eine Lösung: vertraute Ausdrücke so zu entstellen, dass sie nicht mehr vertraut sind, um eine Paradoxie zu vermeiden. Das war Russells Lösung. Letztlich „x ist ein Element von x“ („enthält sich selbst“) aus der Sprache zu verbannen.
Lösung/Zermelo/Quine: besser: die Sprache so lassen, wie sie ist, aber
neu: für Klassen soll gelten, dass nicht jede Enthaltenseinsbedingung eine Klasse festlegt. Bsp die Klasse „R“ bleibt dann wohldefiniert, aber „Pegasus“ hat kein Objekt. D.h. es gibt keine (wohldefinierte) Klasse wie R.
Zirkel/George Homans/Quine: echte Zirkularität: Bsp ein finaler Club ist einer, in den man nur gewählt werden kann, wenn man nicht in andere finale Klubs gewählt wurde.
Quine: wenn das die Definition eines unvertrauten Ausdrucks ist, dann insbesondere die des letzten Vorkommnisses von „finaler Klub“.
Zirkel/Zirkularität/Quine: Pointe: dennoch ist es verständlich!
Imprädikativität/imprädikativ/Russell/Quine: das eigentliche Verdienst war es klarzustellen, dass nicht jede Enthaltenseinsbedingung eine Klasse determiniert.
Formal: brauchen wir eine hierarchische Notation. Ähnlich wie die Hierarchie von W-Prädikaten, die wir bei der Lügner-Paradoxie brauchten.
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Variablen: erhalten Indizes: x0,y0: über Individuen, x1,y2 usw. über Klassen, aber Klassen dieser Ebene dürfen nicht selbst durch Variablen dieser Stufe definiert werden. Bsp für die Definition höherstufiger Klassen x2, y2 dürfen nur Variablen vom Typ x0 und x1 gebraucht werden.
Typentheorie/Russell/Quine. Pointe: Klassen verschiedener Ebenen können vom selben Typ sein!
Klassen/Mengen/Existenz/Quine: das passt zu der Metapher, dass Klassen nicht existieren, bevor sie bestimmt sind. D.h. sie sind nicht unter den Werten der Variablen, die gebraucht werden, um sie zu spezifizieren. ((s) Und daher ist die Sache nicht zirkulär).
Problem/QuineVsRussell: das ist alles viel strenger als man es braucht, um Paradoxien zu vermeiden und es ist so streng, dass es andere nützliche Konstruktionen verhindert.
Bsp die Vereinigung mehrerer Klassen derselben Ebene, z.B. Ebene 1 zu spezifizieren
Problem: wenn wir schreiben „Fx1“ um auszudrücken, dass x1 eine aus der Vielheit der fraglichen Klassen ist, dann ist die
Enthaltenseinsbedingung: für eine Menge in dieser Vereinigung, etwas ist Element davon gdw. es ein Element einer Klasse x1 ist, so dass Fx1.
Problem: das gebraucht eine Variable der Ebene 1. D.h. dass die Vereinigung von Klassen einer Ebene nicht als zu dieser Ebene gehörig betrachtet werden kann (cannot be counted on to belong to that level).
Kontinuitätshypothese: für ihren Beweis bedeutet dies Schwierigkeiten.
Imprädikativität/Kontinuum/Russell/Quine: konsequenterweise ließ er bei der Arbeit am ersten Band von Principia Mathematica die Imprädikativität fallen. Sie bleibt aber interessant im Zusammenhang mit dem Konstruktivismus. Es ist interessant zu unterscheiden, was wir mit dieser Einschränkung erreichen können und was nicht.
XIII 96
Prädikative Mengenlehre/QuineVsRussell/Quine: jst nicht nur frei von Paradoxa, sondern auch von unspezifizierbaren Klassen und höheren Unbestimmtheiten, die Segen und Fluch der imprädikativen Theorie ist. (siehe „unendliche Zahlen“, "Klassen" Versus "Mengen“).
Prädikative Mengenlehre/Quine: ist heute konstruktive Mengenlehre.
Imprädikativ: ist strenggenommen genau so, wie oben dargestellt, aber dabei spielt es heute keine Rolle mehr, welche Enthaltenseinsbedingungen man wählt, um eine Klasse zu spezifizieren.


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Zeichenerklärung: Römische Ziffern geben die Quelle an, arabische Ziffern die Seitenzahl. Die entsprechenden Titel sind rechts unter Metadaten angegeben. ((s)…): Kommentar des Einsenders.
Der Hinweis [Autor1]Vs[Autor2] bzw. [Autor]Vs[Begriff] ist eine Hinzufügung des Lexikons der Argumente.

Quine I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Quine II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Quine III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Quine V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Quine VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Quine VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Quine VII (a)
W. V. A. Quine
On what there is
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (b)
W. V. A. Quine
Two dogmas of empiricism
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (c)
W. V. A. Quine
The problem of meaning in linguistics
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (d)
W. V. A. Quine
Identity, ostension and hypostasis
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (e)
W. V. A. Quine
New foundations for mathematical logic
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (f)
W. V. A. Quine
Logic and the reification of universals
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (g)
W. V. A. Quine
Notes on the theory of reference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (h)
W. V. A. Quine
Reference and modality
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (i)
W. V. A. Quine
Meaning and existential inference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982

Quine IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Quine X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Quine XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003

Quine XIII
Willard Van Orman Quine
Quiddities Cambridge/London 1987

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> Gegenargumente zu Imprädikativität

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