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W.V.O. Quine über Löwenheim, Satz v – Lexikon der Argumente

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Gültigkeit/Satz/Menge/Schema/Quine: wenn Mengen und Sätze derart auseinander fallen, sollte es einen Unterschied zwischen diesen beiden Definitionen der Gütligkeit (Über Schema (mit Sätzen) bzw. Modelle (mit Mengen) geben. Aber aus dem Satz von Löwenheim folgt, dass die beiden Definitionen der Gültigkeit (über Sätze, bzw. Mengen) nicht auseinanderfallen, solange die Objektsprache nicht allzu ausdrucksschwach (ausdrucksarm) ist.
Bedingung: die Objektsprache muss die elementare Zahlentheorie ausdrücken können. (enthalten).
OS. In einer solchen Sprache wird ein Schema, das bei allen Einsetzungen von Sätzen wahr bleibt, auch von allen Modellen erfüllt und umgekehrt.
Die Forderung der elementaren Zahlentheorie ist ziemlich schwach.
Def elementare Zahlentheorie/eZT/Quine: spricht über die positiven ganzen Zahlen mit Hilfe der Addition, Multiplikation, Identität, Wahrheitsfunktionen und Quantifikation.
Standardgrammatik/Quine: die Standardgrammatik würde die Funktoren der Addition, Multiplikation, wie die Identität, durch geeignete Prädikate ausdrücken.
So erhalten wir die beiden Sätze:

(I) Wenn ein Schema bei allen Einsetzungen von Sätzen der elementaren Zahlentheorie wahr bleibt, dann wird es von allen Modellen erfüllt.

X 80
(II) Wenn ein Schema von jedem Modell erfüllt wird, dann ist e bei allen Einsetzungen von Sätzen wahr.

Quine: Satz (I) geht auf Löwenheim 1915 zurück:

Satz von Löwenheim/Quine: jedes Schema, das überhaupt von einem Modell erfüllt wird, wird von einem Modell ‹U,α,β,γ...› erfüllt, wo U nur die positiven ganzen Zahlen umfasst.
Löwenheim/Hilbert/Bernays: Verschärfung: die Mengen α, β,γ,...usw. können je durch einen Satz der eZT bestimmt sein: Also:

(A) Wird ein Schema überhaupt von einem Modell erfüllt, so ist es wahr bei einer Einsetzung von Sätzen der eZT anstelle seiner einfachen Schemata.

Voraussetzung für die Einsetzungen: die quantifizierbaren Variablen müssen in ihrem Wertebereich die positiven ganzen Zahlen haben. Sie dürfen aber auch noch andere Werte haben.

(I) folgt aus (A) wie folgt: (A) ist mit seiner Kontraposition äquivalent: ist ein Schema bei allen Einsetzung von Sätzen der elementaren ZT falsch, so wird es von keinem Modell erfüllt. Wenn wir hier anstelle des Schemas über seine Negation sprechen, dann wird aus „falsch2 „wahr“ und „von keinem Modell“ zu „von jedem Modell“. Damit haben wir (I).
Dem Satz (II) liegt der Satz von der deduktiven Vollständigkeit der Quantorenlogik zugrunde.

- - -
II 29
Klassen: man könnte alle Klassen in ihr Komplement umdeuten: "kein Element von.. " - Man würde nie etwas merken! - Unterste Schicht: jeder Relativsatz, jeder allgemeine Term bestimmt eine Klasse.
V 160
Löwenheim/Quine: keine Neudeutung von Zeichen - wohl aber Veränderung von Termini und der Bereiche - konstant bleiben die Bedeutungen der Zeichen für Wahrheitsfunktionen und für die Quantoren. - Der Unterschied ist nicht so groß und lässt sich allein mit Hilfe eines neuen Terminus wiedergeben: Bsp "ε" oder "abzählbar". - Für Quantoren und Wahrheitsfunktionen spielt nur der Unterschied endlich/unendlich eine Rolle. - Überabzählbarkeit ist nicht Auffassungssache. - Lösung: es geht nur darum, welcher Begriff grundlegend ist: abzählbar oder überabzählbar.


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Zeichenerklärung: Römische Ziffern geben die Quelle an, arabische Ziffern die Seitenzahl. Die entsprechenden Titel sind rechts unter Metadaten angegeben. ((s)…): Kommentar des Einsenders.
Der Hinweis [Autor1]Vs[Autor2] bzw. [Autor]Vs[Begriff] ist eine Hinzufügung des Lexikons der Argumente.

Quine I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Quine II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Quine III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Quine V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Quine VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Quine VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Quine VII (a)
W. V. A. Quine
On what there is
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (b)
W. V. A. Quine
Two dogmas of empiricism
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (c)
W. V. A. Quine
The problem of meaning in linguistics
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (d)
W. V. A. Quine
Identity, ostension and hypostasis
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (e)
W. V. A. Quine
New foundations for mathematical logic
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (f)
W. V. A. Quine
Logic and the reification of universals
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (g)
W. V. A. Quine
Notes on the theory of reference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (h)
W. V. A. Quine
Reference and modality
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (i)
W. V. A. Quine
Meaning and existential inference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982

Quine IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Quine X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Quine XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003

Quine XIII
Willard Van Orman Quine
Quiddities Cambridge/London 1987

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> Gegenargumente gegen Quine

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