Philosophie Lexikon der Argumente

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Russels Paradoxie: Auch Russellsche Antinomie genannt. Die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten. Das Problem ist, dass die Bedingung für das Enthaltensein in dieser Menge gleichzeitig die Bedingung für das Nichtenthaltensein in derselben Menge ist. Siehe auch Paradoxien, Menge, Mengenlehre.

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Anmerkung: Die obigen Begriffscharakterisierungen verstehen sich weder als Definitionen noch als erschöpfende Problemdarstellungen. Sie sollen lediglich den Zugang zu den unten angefügten Quellen erleichtern. - Lexikon der Argumente.
 
Autor/Titel Begriff Exzerpt Metadaten

 
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Thiel I 335
Logik/Frege/Thiel Freges Begriff der Logik, auf die er die gesamte nichtgeometrische Mathematik zurückführen wollte, war ein weiterer als der heutige.
Für Frege nämlich zählt die Mengenbildung zu den logischen Prozessen, so dass der Übergang von der Aussage, dass genau dieselben Gegenstände unter zwei Begriffe A und B fallen, zur Aussage der Gleichheit der Begriffsumfänge von A und B bei Frege ein Gesetz der Logik ist.
I 335/336
Heutige Auffassung: Begriffsumfänge sind nichts anderes als Mengen, daher gehört das Gesetz nicht in die Logik, sondern zur Mengenlehre.
In der Traditionellen Logik war die Lehre der Begriffs Umfänge Teil der Logik. Heute Teil der Menglehre, während die Lehre vom "Begriffsinhalt" in der Logik verbleibt. Recht merkwürdig.
Russelssche Antinomie/5. Grundgesetz/Frege: gab die Schuld an der Inkonsistenz dem fünften seiner "Grundgesetze" (d.h. Axiome) nach dem zwei Begriffe dann und nur dann den gleichen Umfang haben, wenn jeder Gegenstand, der unter einen von ihnen fällt, auch unter den anderen fällt.
Und allgemeiner zwei Funktionen den gleichen >"Wertverlauf" (von ihm geprägtes Kunstwort) haben, dann und nur dann, wenn sie für jedes Argument genau denselben Wert ergeben.
Frege kam in seiner ersten Analyse des Unglücksfalles zu dem Schluss, dass nur die Ersetzung der Argumente in den Funktionstermen durch Namen für die gleichgesetzten Begriffsumfänge bzw. Wertverläufe selbst zu dem Widerspruch führe.
Er änderte dementsprechend sein Grundgesetz V ab, in dem er die Verschiedenheit aller einsetzbaren Argumente von diesen speziellen Begriffsumfängen bzw. Wertverläufen durch ein dem Ausdruck vorgeschaltetes Antecedens forderte. Er hat nicht mehr erlebt, dass dieser Versuch ("Freges way out") sich doch als ungeeignet erwies.
Thiel I 337
Russell und Whitehead sahen sich genötigt, mit ihrer verzweigten Typentheorie das logizistische Programm noch einmal zu begraben. Die Existenz eines unendlichen Individuenbereichs musste durch ein eigenes Axiom postuliert werden, (da sie nicht im System selbst beweisbar war), und ein ebenso ad hoc eingeführtes und anders nicht begründbares "Reduzibilitätsaxiom" ermöglichte typenunabhängige Allaussagen z.B. über reelle Zahlen.
Schon beim Erscheinen der zweiten Auflage von Principia Mathematica war offensichtlich, dass die Zurückführung der Mathematik auf Logik gescheitert war. Somit markiert die Russellsche Antinomie das unglückliche Ende des Logizismus.


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Zeichenerklärung: Römische Ziffern geben die Quelle an, arabische Ziffern die Seitenzahl. Die entsprechenden Titel sind rechts unter Metadaten angegeben. ((s)…): Kommentar des Einsenders.

F I
G. Frege
Die Grundlagen der Arithmetik Stuttgart 1987

F II
G. Frege
Funktion, Begriff, Bedeutung Göttingen 1994

F IV
G. Frege
Logische Untersuchungen Göttingen 1993

T I
Chr. Thiel
Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995

> Gegenargumente gegen Frege



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Hg. Martin Schulz, Abfragedatum 29.06.2017