Philosophie Lexikon der Argumente

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Typentheorie: Beschränkung formaler Systeme auf eine Art der Bezugnahme, die verhindert, dass sich Symbole einer Ebene (eines Typs) auf Symbole derselben Ebene (desselben Typs) beziehen. Dadurch sollen Paradoxien vermieden werden, die aus einer Selbstbezüglichkeit der verwendeten Zeichen oder Ausdrücke entstehen. Ursprüngliche Vorschläge für Typentheorien stammen von B. Russell (B. Russell, Mathematical logic as based on the theory of types, in American Journal of Mathematics 30 (1908), pp. 222–262). Siehe auch Selbstbezüglichkeit, Zirkularität, Paradoxien, Russells Paradoxie, Stufen, Verzweigte Typentheorie.

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Anmerkung: Die obigen Begriffscharakterisierungen verstehen sich weder als Definitionen noch als erschöpfende Problemdarstellungen. Sie sollen lediglich den Zugang zu den unten angefügten Quellen erleichtern. - Lexikon der Argumente.

 
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VII 91ff
QuineVsTypentheorie: 1. Allklasse: weil die Typentheorie nur uniforme Typen als Elemente einer Klasse zulässt, führt die Allklasse ϑ zu einer unendlichen Serie von Quasi-Allklassen, jede für einen Typ - 2. Negation: ~x hört auf, alle Nichtelemente von x zu umfassen, und umfasst nur noch diejenigen Nichtelemente, die der nächst niedrigeren Stufe angehören - 3. Nullklasse: sogar sie führt entsprechend zu unendlich vielen Nullklassen - 4. Boolesche Klassenalgebra: ist nicht länger auf Klassen im allgemeinen anwendbar, sondern ist auf jeder Stufe reproduziert - 5. Relationenkalkül: entsprechend. auf jeder Stufe neu zu etablieren - 6. Arithmetik: die Zahlen hören auf, einheitlich zu sein! auf jeder Stufe (Typ) erscheint eine neue 0, neue 1 ,neue 2, usw.
IX 186
Def verzweigte Typentheorie/Russell/Quine: Unterscheidung von Ordnungen für Aussagenfunktionen, deren Argumente von einer einzige Ordnung sind. - Damit zwei Attribute mit gleicher Extension sich hinsichtlich ihrer Ordnungen unterscheiden können, müssen Attribute mit gleicher Extension ausgezeichnet werden und Attribute und nicht Klassen genannt werden. - Neu: das wird hinfällig, wenn wir die Verzweigung fallen lassen - Lösung: Kontextdefinition/Russell: wir definieren Klassenabstraktion durch Kontext, damit bleibt "ε" als einziger einfacher Grundbegriff neben Quantoren, Variablen und aussagenlogischen Verknüpfungen. - Kontextdefinition für Klassenabstraktion: "yn ε {xn: Fxn}" steht für "Ez n + 1["xn(xn ε z n+1 <> Fxn) ∧ yn ε z n + 1]"
IX 191~
Kumulative Typen/Mengenlehre/Quine: Typ 0: allein Λ sei vom Typ 0 - Typ 1: Λ und {Λ} und sonst nichts - Typ n: soll allgemein die und nur die 2 hoch n Mengen umfassen, die zum Typ n-1 gehören. - So interpretiert jede Quantifizierung nur endlich viele Fälle. Jede geschlossene Aussage kann mechanisch auf Wahrsein geprüft werden - das funktioniert nicht mehr, wenn das Unendlichkeitsaxiom hinzugefügt wird.
IX 198
Kumulative Typen/Quine: Vorteile: wenn wir die Nullklassen aller Klassentypen gleichsetzen, ist (~T0x ∧ ~T0y ∧ ∀w(w ε x ↔ w e y) ∧ x ε z) > y ε z jetzt ein einziges Axiom, nicht mehr Axiomenschema. - Darin wird mit " "~T0x u ~T0y" verhindert, dass die Individuen mit Λ oder miteinander identifiziert werden. - Wir brauchen Individuen, aber wir identifizieren sie mit ihren Einerklassen (s.o.) - aber eine Ausnahme: wenn x ein Individuum ist, soll "x ε x" als wahr zählen. (Oben wurde "x ε y" ,wenn beide nicht Objekte von aufeinanderfolgendem Typ waren, falsch.)
IX 201
Kumulative Typentheorie/Quine: Individuen: mit ihren Einerklassen identifiziert - nicht mehr elementlos, haben sich selbst als Elemente. - Daher Def Identität: a = b wenn a < b < a. - Nullklassen aller Typen können jetzt identifiziert werden (früher: "keine Individuen", "keine Klassen" usw.
IX 204f
Natürliche Zahlen/QuineVsRussell: sein Typentheorie hat sogar mit Freges Zahlen Probleme: vielleicht liefert die Nachfolgerrelation nicht jedesmal etwas neues: Bsp 5 ist dann die Klasse aller Klassen aus fünf Individuen, Angenommen, dass es in dem Universum nur fünf Individuen gibt. also ist 5 im Typ 2 gleich {J1} dann ist 6, oder S"5, im Typ 5 gleich {z1: Ey0(y0 e z1 ∧ z1 ∩ _{y0} = J1)}: das ist gleich L², weil "y ε z ∧ z ∩ _{y} = ϑ" widerspruchsvoll ist. - Dann ist aber 7, oder S"6, gleich S"Λ², was sich auch auf L² reduziert - also S"x = x, wenn x gleich 6 vom Typ 2, vorausgesetzt, daß es nicht mehr als fünf Individuen gibt. - Dann bricht die Zahlentheorie zusammen.


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Zeichenerklärung: Römische Ziffern geben die Quelle an, arabische Ziffern die Seitenzahl. Die entsprechenden Titel sind rechts unter Metadaten angegeben. ((s)…): Kommentar des Einsenders.

Q I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Q II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Q III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Q IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Q V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Q VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Q VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Q VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg), München 1982

Q X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Q XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003

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> Gegenargumente zu Typentheorie



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Hg. Martin Schulz, Abfragedatum 23.08.2017