Philosophie Lexikon der Argumente

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Unendlichkeitsaxiom: Ein Axiom der Mengenlehre, das sicherstellt, dass es unendliche Mengen gibt. Formuliert wird es z.B. so, dass eine Bildungsvorschrift für das Zustandekommen von Elementen einer beschriebenen Menge angegeben wird. Wenn {x} der Nachfolger von x ist, so wird durch die Vereinigung x U {x} die Fortsetzung gebildet. Siehe auch Mengenlehre, Nachfolger, Vereinigung, Axiome.

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Anmerkung: Die obigen Begriffscharakterisierungen verstehen sich weder als Definitionen noch als erschöpfende Problemdarstellungen. Sie sollen lediglich den Zugang zu den unten angefügten Quellen erleichtern. - Lexikon der Argumente.

 
Autor/Titel Begriff Zusammenfassung Metadaten
IX 205
Def Unendlichkeitsaxiom/Quine: unendlich viele Elemente in Typen sollen möglich sein. Eine Möglichkeit:
Tarski: dass es eine nicht leere Klasse x² gibt, derart, dass jedes ihrer Elemente Teilklasse eines weiteren Elements ist.
Russell: zu jedem x² e N ³ gibt es eine Klasse y1 mit x² Elementen: kurz L² ε N³.

(1) Ex² (Ey1(y1ε x²) u ∀y1[y1 ε x² › Ez1(y1 ‹ z1 ε x²)]).

Vs: manche meinten, die Frage, ob es unendlich viele Individuen gäbe, sei eher eine Frage der Physik oder Metaphysik. Es sei unangemessen, die Arithmetik davon abhängen zu lassen. Russell und Whitehead bedauerten das UA und das Auswahlaxiom und machten beide von speziellen Fällen abhängig, So wie ich die meisten Komprehensionsannahmen.
Fregesche natürliche Zahlen/Quine: sind von der Notwendigkeit es Unendlichkeitsaxioms geplagt, und zwar auch dann, wenn wir die Typentheorie, Liberalisierung und kumulative Typen oder endlich heterogene Klassen zulassen.
Denn innerhalb jedes Typs gibt es eine endliche Schranke, wie groß eine Klasse sein kann, es sei denn, es gibt unendlich viele Individuen.
Zermelos Zahlbegriff wäre hier eine Lösung, bringt aber Probleme mit der vollständigen Induktion.
IX 206
Reelle Zahlen/Quine: für sie und darüber hinaus sind aber immer Unendlichkeitsaxiome notwendig.
Unendlichkeitsaxiom/Zermelo:

(5) Ex[Λ ε x u ∀y(y ε x › {y} ε x)].

Es postuliert eine Klasse, zu der zumindest alle natürlichen Zahlen in Zermelos Sinn gehören. Es ist äquivalent zu "N ε ϑ" denn N ist selbst ein x, das (5) erfüllt und umgekehrt, wenn x (5) erfüllt, so N ‹ x., und somit "N ε ϑ" nach dem Aussonderungsschema.
Im Unterschied zu dem von Russell sagt dieses UA nichts über die Existenz von Individuen aus.
Aber es trennt die letzten Verbindungen zur Typentheorie. Zermelos und Neumanns Zahlen sind sogar zur kumulativen Typentheorie antithetisch, denn eine solche Klasse sprengt die Grenzen aller Typen.
Unendlichkeitsaxiome/Russell: wurde bei ihm durch das Subtraktionsgesetz "S'x = S'y > x = y" hervorgerufen.
Andersrum gesagt: es wurde gebraucht, damit die natürlichen Zahlen nicht abbrechen. Gleicherweise für die reellen Zahlen. Aber seine Bedeutung geht noch weiter: jeder nachfolgende Typ ist die Klasse aller Teilklassen seines Vorgängers und somit nach dem Satz von Cantor größer als sein Vorgänger.
Unendlich viele Individuen anzunehmen, bedeutet daher, höhere Unendlichkeiten ohne Ende anzunehmen.
Bsp die Potenzklasse in (7) sagt, dass {x:x ‹ N} ε ϑ, und diese letzte Klasse ist nach dem Satz von Cantor größer als N. Und so geht es weiter nach oben.

Unendlichkeitsaxiom/Zermelo: sprengt die Typengrenzen. Quine pro: das befreit uns von der Bürde die den Typenindices vergleichbar ist, denn selbst in der Typentheorie mit universellen Variablen waren wir zur Fregeschen Fassung der natürlichen Zahlen gezwungen, das bedeutete Anerkennung einer unterschiedlichen 5 in jedem Typ (über Klassen von Individuen) einer unterschiedlichen 6 in jedem Typ, einem unterschiedlichen N in jedem Typ usw.
Dazu kommt noch, durch die ganze Hierarchie hindurch eine Vervielfachung aller Details der Theorie der reellen Zahlen. 3/5 ist in jedem nachfolgenden Typ etwas anderes und ebenso π, Q, R.
Für alle diese Konstanten ist praktisch eine Beibehaltung der Typenindices erforderlich.
In Zermelos System mit seinem Unendlichkeitsaxiom entfallen mit der Aufgabe der Typengrenzen solche Vervielfachungen.
Zermelos Schutz bestand darin, daß er zu große Klassen mied.
Für die umgekehrte Zusicherung, daß Klassen nur dann nicht existieren können, wenn sie größer wären als alle existierenden, wurden in seinem Aussonderungsschema nur sehr wenig Vorkehrungen getroffen.
IX 208
Das machten erst Fraenkel und Skolem in ihrem Axiomenschema der Ersetzung.

- - -
VII (e) 93
Unendlichkeitsaxiom/QuineVsRussell: Principia Mathematica müssen durch das Unendlichkeitsaxiom ergänzt werden, wenn gewisse mathematische Prinzipien abgeleitet werden sollen. - Unendlichkeitsaxiom: sichert die Existenz einer Klasse mit unendlich vielen Elementen. - New Foundation/Quine: stattdessen kommt mit der Allklasse aus: V oder x^ (x = x).


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Zeichenerklärung: Römische Ziffern geben die Quelle an, arabische Ziffern die Seitenzahl. Die entsprechenden Titel sind rechts unter Metadaten angegeben. ((s)…): Kommentar des Einsenders.
Der Hinweis [Autor1]Vs[Autor2] bzw. [Autor]Vs[Begriff] ist eine Hinzufügung des Lexikons der Argumente.

Quine I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Quine II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Quine III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Quine V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Quine VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Quine VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Quine VII (a)
W. V. A. Quine
On what there is
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (b)
W. V. A. Quine
Two dogmas of empiricism
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (c)
W. V. A. Quine
The problem of meaning in linguistics
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (d)
W. V. A. Quine
Identity, ostension and hypostasis
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (e)
W. V. A. Quine
New foundations for mathematical logic
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (f)
W. V. A. Quine
Logic and the reification of universals
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (g)
W. V. A. Quine
Notes on the theory of reference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (h)
W. V. A. Quine
Reference and modality
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (i)
W. V. A. Quine
Meaning and existential inference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982

Quine IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Quine X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Quine XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003

Quine XIII
Willard Van Orman Quine
Quiddities Cambridge/London 1987

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> Gegenargumente gegen Quine

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