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Widerspruchsfreiheit, Logik, Mathematik, Philosophie: Der Ausdruck der Widerspruchsfreiheit wird auf Systeme bzw. Mengen von Aussagen angewendet. Aus einem widersprüchlichen System kann jede beliebige Aussage abgeleitet werden (siehe ex falso quodlibet). Daher sind widersprüchliche Systeme grundsätzlich unbrauchbar. Siehe auch Systeme, Beweisbarkeit, Beweise, Kalkül, Konsistenz, Theorien, Vollständigkeit, Gültigkeit, Ausdrucksstärke.

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Anmerkung: Die obigen Begriffscharakterisierungen verstehen sich weder als Definitionen noch als erschöpfende Problemdarstellungen. Sie sollen lediglich den Zugang zu den unten angefügten Quellen erleichtern. - Lexikon der Argumente.

 
Autor Begriff Zusammenfassung/Zitate Quellen

Alfred Tarski über Widerspruchsfreiheit – Lexikon der Argumente

Berka I 401
Widerspruchsfreiheit/WSF-Beweis/Gödel: Der Widerspruchsfreiheitsbeweis lässt sich nicht durchführen, wenn die Metasprache keine Variablen höheren Typs enthält.
>Metasprache
, >Stufen, >Beweisbarkeit, vgl. >Typentheorie.
Unentscheidbarkeit: wird beseitigt, wenn man die untersuchte Theorie (Objektsprache) mit Variablen höheren Typs bereichert.(1)
>Objektsprache.
- - -
Berka I 474f
Widerspruchsfreiheit/WSF/logische Form/Tarski: Widerspruchsfreiheit liegt vor, wenn für jede beliebige Aussage x entweder
x ~ε FL(X) oder ~x ~ε FL(x).
((s) Wenn entweder x keine Folgerung aus dem System ist oder seine Negation keine Folgerung aus dem System ist).

Aber:
Vollständigkeit/vollständig: entsprechend: Wenn für jede beliebige Aussage x
entweder x ε FL(X) oder ~x ε FL(X).
((s) Wenn entweder eine beliebige Aussage oder ihre Negation eine Folgerung aus dem System ist).
I 529 f
Satz vom Widerspruch/Tarski: "x ~ε Wr oder ~x ~ε Wr".
Pointe: Aus der Klasse dieser Aussagenfunktionen können wir keine Generalisation ziehen! Die Generalisation dieser Aussagenfunktion wäre selbst eine (allgemeine) Aussage, nämlich der Satz vom Widerspruch.
Problem: unendliches logisches Produkt, das nicht mit normalen Schlussweisen ableitbar ist.
I 531
Lösung: "Regel der unendlichen Induktion" - (unterscheidet sich von allen anderen Schlussregeln durch infinitistischen Charakter).(2)


1. A.Tarski, „Grundlegung der wissenschaftlichen Semantik“, in: Actes du Congrès International de Philosophie Scientifique, Paris 1935, Bd. III, ASI 390, Paris 1936, S. 1-8
2. A.Tarski, Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, Commentarii Societatis philosophicae Polonorum. Vol 1, Lemberg 1935

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Zeichenerklärung: Römische Ziffern geben die Quelle an, arabische Ziffern die Seitenzahl. Die entsprechenden Titel sind rechts unter Metadaten angegeben. ((s)…): Kommentar des Einsenders. Übersetzungen: Lexikon der Argumente
Der Hinweis [Begriff/Autor], [Autor1]Vs[Autor2] bzw. [Autor]Vs[Begriff] bzw. "Problem:"/"Lösung", "alt:"/"neu:" und "These:" ist eine Hinzufügung des Lexikons der Argumente.

Tarski I
A. Tarski
Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923-38 Indianapolis 1983

Berka I
Karel Berka
Lothar Kreiser
Logik Texte Berlin 1983

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