Philosophie Lexikon der Argumente

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Field I 20
Mathematik/Identifikation/Interpretation/Benacerraf: (1965) These: es gibt eine Fülle von Willkür in der Identifizierung mathematischer Objekte mit anderen mathematischen Objekten:
Bsp Zahlen: können mit Mengen identifiziert werden, aber mit welchen?
reelle Zahlen: für sie gibt es aber keine einheitliche mengentheoretische Erklärung. Man kann sie mit Dedekindschen Schnitten, mit Cauchy Folgen,
I 21
mit geordneten Paaren, mit dem Tensor Produkt zweier Vektor Räume oder mit Tangenten Vektoren an einem Punkt einer Mannigfaltigkeit identifizieren.
Tatsache: es scheint hier keine Tatsache zugeben, die darüber entscheidet, welche Identifikation man zu wählen hat! (>Nonfaktualismus).
Field: das Problem geht aber noch tiefer: es ist dann willkürlich, was man als grundlegende Objekte wählt, z.B. Mengen?
Field I 21
Basis/Mathematik/Benacerraf: man kann Funktionen als grundlegend annehmen und Mengen als bestimmte Funktionen definieren, oder Relationen als Grundbausteine und Mengen als Relation der Additivität 1. (adicity).
I 23
Mathematik/Unbestimmtheit/Willkür/Crispin Wright: (1983): Benacerrafs Paper schafft kein besonderes Problem für die Mathematik:
Benacerraf: "Nichts in unserem Gebrauch von numerischen singulären Termini ist hinreichend um zu spezifizieren, welche, wenn überhaupt Mengen sie sind.
WrightVsBenacerraf: das gilt aber auch für die singulären Termini , die für die Mengen selbst stehen! Und nach Quine auch für die singulären Termini , die für Kaninchen stehen!
FieldVsWright: das geht an Benacerrafs Argument vorbei. Es richtet sich mehr gegen eine anti platonistisches Argument: dass wir skeptisch gegenüber Zahlen sein sollten, denn, wenn wir annehmen, dass sie nicht existieren, dann scheint es unmöglich zu sein zu erklären, wie wir auf referieren oder Glaubenseinstellungen über sie haben.
Nach Benacerrafs Argument ist unsere Praxis hinreichend um sicherzustellen, dass die Entitäten, auf die wir das Wort "Zahl" anwenden, eine  Sequenz unterschiedener Objekte bildet, unter der Relation die wir "<" nennen. (Kleiner Relation).Aber das ist auch alles. Vielleicht legt aber unser Gebrauch nicht einmal das fest.
Vielleicht bilden sie nur eine Sequenz, die unsere beste axiomatische Theorie erster Stufe von  Sequenzen erfüllt. D.h. alles was durch den Gebrauch bestimmt wird, wäre dann ein Nicht Standardmodell einer solchen Theorie. Und das gälte dann auch für Mengen.


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Zeichenerklärung: Römische Ziffern geben die Quelle an, arabische Ziffern die Seitenzahl. Die entsprechenden Titel sind rechts unter Metadaten angegeben. ((s)…): Kommentar des Einsenders.

Bena I
P. Benacerraf
Philosophy of Mathematics 2ed: Selected Readings Cambridge 1984

Fie I
H. Field
Realism, Mathematics and Modality Oxford New York 1989

Fie II
H. Field
Truth and the Absence of Fact Oxford New York 2001

Fie III
H. Field
Science without numbers Princeton New Jersey 1980

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