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Widerspruchsfreiheit, Logik, Mathematik, Philosophie: Der Ausdruck der Widerspruchsfreiheit wird auf Systeme bzw. Mengen von Aussagen angewendet. Aus einem widersprüchlichen System kann jede beliebige Aussage abgeleitet werden (siehe ex falso quodlibet). Daher sind widersprüchliche Systeme grundsätzlich unbrauchbar. Siehe auch Systeme, Beweisbarkeit, Beweise, Kalkül, Konsistenz, Theorien, Vollständigkeit, Gültigkeit, Ausdrucksstärke._____________Anmerkung: Die obigen Begriffscharakterisierungen verstehen sich weder als Definitionen noch als erschöpfende Problemdarstellungen. Sie sollen lediglich den Zugang zu den unten angefügten Quellen erleichtern. - Lexikon der Argumente. | |||
Autor | Begriff | Zusammenfassung/Zitate | Quellen |
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Leon Henkin über Widerspruchsfreiheit – Lexikon der Argumente
Quine IX 224 Henkin: Henkin zeigt die Widerspruchfreiheit eines ω-widerspruchsvollen (omega-widersrpuchsvollen) Systems. (Auch Gödel und Tarski). Man interpretiere einfach "F" als wahr für alle außer solchen Objekten x die (7) erfüllen. (7) x ε N, x ≠ 0, x ≠ 1, x ≠ 2... ad infinitum >Mengen/Henkin. Eine Theorie, die ω-widerspruchsvoll ist, scheint selbst dann unannehmbar, wenn sie widerspruchsfrei ist. Aber man sieht nach Henkin leicht, dass der Begriff und seine Definition irreführend sind. Wenn ein System widerspruchsfrei ist und dennoch "Ex(x e N u ~Fx)" und "F0", "F1"...alle als Theoreme zulässt und wenn wir die Interpretation von "0" , "1" usw. als Namen von Zahlen garantieren, dann liegt das Problem offenbar darin, "N" als "Zahl" zu interpretieren und nicht umfassender. Henkin: zeigt, dass "N" selbst unter günstigsten Umständen so interpretiert werden kann, dass N Extras enthält. (Siehe Mengen/Henkin) Wenn das System ω-widerspruchsvoll ist, muss N sogar so interpretiert werden. ((s) "Extras": z.B. "...und ihre Nachfolger"). Manchmal ist es dann möglich, "N" noch zu begrenzen, dass es die Extras vermeidet, und manchmal ist dies nicht möglich. Bsp zu jeder formulierbaren Bedingung, die nachweisbar von 0,1,2... ad infinitum erfüllt ist, gibt es eine andere Bedingung, von der wir beweisen können, dass sie auch noch von 0,1,2... erfüllt ist und trotzdem nicht von allen Dingen, die die erste Bedingung erfüllen. Das ist die chronische Form der ω-Widersprüchlichkeit, die nicht durch eine verbesserte Version von "N" geheilt werden kann. (Quine: "zahlenmäßig insegregativ"). >Löwenheim. Def omega-widerspruchsvoll/(w)/Gödel: (Gödel 1931) ist ein System, wenn es eine Formel "Fx" gibt derart, dass jede einzelne der Aussagen "F0", "F1", "F2",... ad infinitum in dem System bewiesen werden kann, aber gleichermaßen auch "Ex(x ε N und ~Fx)". >Widersprüche, >Beweise, >Beweisbarkeit._____________ Zeichenerklärung: Römische Ziffern geben die Quelle an, arabische Ziffern die Seitenzahl. Die entsprechenden Titel sind rechts unter Metadaten angegeben. ((s)…): Kommentar des Einsenders. Übersetzungen: Lexikon der ArgumenteDer Hinweis [Begriff/Autor], [Autor1]Vs[Autor2] bzw. [Autor]Vs[Begriff] bzw. "Problem:"/"Lösung", "alt:"/"neu:" und "These:" ist eine Hinzufügung des Lexikons der Argumente. |
Henkin I Leon Henkin Retracing elementary mathematics New York 1962 Quine I W.V.O. Quine Wort und Gegenstand Stuttgart 1980 Quine II W.V.O. Quine Theorien und Dinge Frankfurt 1985 Quine III W.V.O. Quine Grundzüge der Logik Frankfurt 1978 Quine V W.V.O. Quine Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989 Quine VI W.V.O. Quine Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995 Quine VII W.V.O. Quine From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953 Quine VII (a) W. V. A. Quine On what there is In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (b) W. V. A. Quine Two dogmas of empiricism In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (c) W. V. A. Quine The problem of meaning in linguistics In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (d) W. V. A. Quine Identity, ostension and hypostasis In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (e) W. V. A. Quine New foundations for mathematical logic In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (f) W. V. A. Quine Logic and the reification of universals In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (g) W. V. A. Quine Notes on the theory of reference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (h) W. V. A. Quine Reference and modality In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (i) W. V. A. Quine Meaning and existential inference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VIII W.V.O. Quine Bezeichnung und Referenz In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 Quine IX W.V.O. Quine Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967 Quine X W.V.O. Quine Philosophie der Logik Bamberg 2005 Quine XII W.V.O. Quine Ontologische Relativität Frankfurt 2003 Quine XIII Willard Van Orman Quine Quiddities Cambridge/London 1987 |