Philosophie Lexikon der Argumente

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Widerspruchsfreiheit, Logik, Mathematik, Philosophie: Der Ausdruck der Widerspruchsfreiheit wird auf Systeme bzw. Mengen von Aussagen angewendet. Aus einem widersprüchlichen System kann jede beliebige Aussage abgeleitet werden (siehe ex falso quodlibet). Daher sind widersprüchliche Systeme grundsätzlich unbrauchbar. Siehe auch Systeme, Beweisbarkeit, Beweise, Kalkül, Konsistenz, Theorien, Vollständigkeit, Gültigkeit, Ausdrucksstärke.

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Anmerkung: Die obigen Begriffscharakterisierungen verstehen sich weder als Definitionen noch als erschöpfende Problemdarstellungen. Sie sollen lediglich den Zugang zu den unten angefügten Quellen erleichtern. - Lexikon der Argumente.

 
Autor/Titel Begriff Zusammenfassung Metadaten
Quine IX 224
Henkin: zeigt die Widerspruchfreiheit eines ω-widerspruchsvollen (omega-widersrpuchsvollen) Systems. (Auch Gödel und Tarski).
Man interpretiere einfach "F" als wahr für alle außer solchen Objekten x die (7) erfüllen.
(7) x ε N, x ≠ 0, x ≠ 1, x ≠ 2... ad infinitum
(Siehe Mengen/Henkin).
Eine Theorie, die ω-widerspruchsvoll ist, scheint selbst dann unannehmbar, wenn sie widerspruchsfrei ist. Aber man sieht nach Henkin leicht, dass der Begriff und seine Definition irreführend sind.
Wenn ein System widerspruchsfrei ist und dennoch "Ex(x e N u ~Fx)" und "F0", "F1"...alle als Theoreme zulässt und wenn wir die Interpretation von "0" , "1" usw. als Namen von Zahlen garantieren, dann liegt das Problem offenbar darin, "N" als "Zahl" zu interpretieren und nicht umfassender.
Henkin: zeigt, dass "N" selbst unter günstigsten Umständen so interpretiert werden kann, dass N Extras enthält. (Siehe Mengen/Henkin) Wenn das System ω-widerspruchsvoll ist, muss N sogar so interpretiert werden. ((s) "Extras": z.B. "...und ihre Nachfolger").
Manchmal ist es dann möglich, "N" noch zu begrenzen, dass es die Extras vermeidet, und manchmal ist dies nicht möglich.
Bsp zu jeder formulierbaren Bedingung, die nachweisbar von 0,1,2... ad infinitum erfüllt ist, gibt es eine andere Bedingung, von der wir beweisen können, dass sie auch noch von 0,1,2... erfüllt ist und trotzdem nicht von allen Dingen, die die erste Bedingung erfüllen. Das ist die chronische Form der ω-Widersprüchlichkeit, die nicht durch eine verbesserte Version von "N" geheilt werden kann. (Quine: "zahlenmäßig insegregativ"). (>Löwenheim).

Def omega-widerspruchsvoll/(w)/Gödel: (Gödel 1931) ist ein System, wenn es eine Formel "Fx" gibt derart, dass jede einzelne der Aussagen "F0", "F1", "F2",... ad infinitum in dem System bewiesen werden kann, aber gleichermaßen auch "Ex(x ε N und ~Fx)".


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Zeichenerklärung: Römische Ziffern geben die Quelle an, arabische Ziffern die Seitenzahl. Die entsprechenden Titel sind rechts unter Metadaten angegeben. ((s)…): Kommentar des Einsenders.
Der Hinweis [Autor1]Vs[Autor2] bzw. [Autor]Vs[Begriff] ist eine Hinzufügung des Lexikons der Argumente.

Henkin I
Leon Henkin
Retracing elementary mathematics New York 1962

Quine I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Quine II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Quine III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Quine V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Quine VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Quine VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Quine VII (a)
W. V. A. Quine
On what there is
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (b)
W. V. A. Quine
Two dogmas of empiricism
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (c)
W. V. A. Quine
The problem of meaning in linguistics
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (d)
W. V. A. Quine
Identity, ostension and hypostasis
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (e)
W. V. A. Quine
New foundations for mathematical logic
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (f)
W. V. A. Quine
Logic and the reification of universals
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (g)
W. V. A. Quine
Notes on the theory of reference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (h)
W. V. A. Quine
Reference and modality
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (i)
W. V. A. Quine
Meaning and existential inference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982

Quine IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Quine X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Quine XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003

Quine XIII
Willard Van Orman Quine
Quiddities Cambridge/London 1987

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