Philosophie Lexikon der Argumente

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Widerspruchsfreiheit, Logik, Mathematik, Philosophie: Der Ausdruck der Widerspruchsfreiheit wird auf Systeme bzw. Mengen von Aussagen angewendet. Aus einem widersprüchlichen System kann jede beliebige Aussage abgeleitet werden (siehe ex falso quodlibet). Daher sind widersprüchliche Systeme grundsätzlich unbrauchbar. Siehe auch Systeme, Beweisbarkeit, Beweise, Kalkül, Konsistenz, Theorien, Vollständigkeit, Gültigkeit, Ausdrucksstärke.

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Anmerkung: Die obigen Begriffscharakterisierungen verstehen sich weder als Definitionen noch als erschöpfende Problemdarstellungen. Sie sollen lediglich den Zugang zu den unten angefügten Quellen erleichtern. - Lexikon der Argumente.

 
Autor/Titel Begriff Zusammenfassung Metadaten

 
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Berka I 413
Hilbert/Vortrag: "Mathematische Probleme (1900) zweites Problem: die Widerspruchsfreiheit der arithmetischen Axiome zu beweisen.
Widerspruchsfreiheit/Arithmetik/Problem/Schröter: zunächst ist gar kein Weg zu sehen, denn ein Beweis durch Angabe eines Modells verbietet sich von selbst, da ja gerade die Arithmetik das einfachste Gebiet sein soll auf dessen WSF alle WSF Beweise in anderen Gebieten zurückgeführt werden sollen. Es muss also ein neuer Weg eingeschlagen werden.
Widerspruchsfreiheits Beweis/Schröter: für die arithmetischen Axiome: verlangt den Nachweis, dass mit einer arithmetischen Aussage nicht auch die kontradiktorische Verneinung dieser Aussage aus den Axiomen abgeleitet werden kann.
Dazu genügt es, die Unableitbarkeit irgendeiner Aussage Bsp 0 ungleich 0 zu beweisen. Wenn das gelingen soll, muss gezeigt werden, dass alle Folgerungen aus den arithmetischen Axiomen eine gewisse Eigenschaft besitzen, die der Aussage, die besagt, dass 0 ungleich 0 ist, abgeht.
I 414
Problem: die Menge der Folgerungen ist völlig unabsehbar.
Lösung/Hilbert: der Prozess des Folgens (logische Folgerung) muss selbst formalisiert werden. Damit wird das Schließen allerdings jeglichen Inhalts entkleidet.
Problem: jetzt kann man nicht mehr sagen, dass eine Theorie z.B. von den natürlichen Zahlen handelt.
Formalismus/Schröter: danach handelt die Mathematik überhaupt nicht mehr von Gegenständen, die sich auf eine reale oder eine ideale Welt beziehen, sondern nur noch von gewissen Zeichen, bzw. deren Umformungen, die nach gewissen Regeln vorgenommen werden.
WeylVsHilbert: das mache eine Umdeutung der gesamten bisherigen Mathematik nötig.


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Zeichenerklärung: Römische Ziffern geben die Quelle an, arabische Ziffern die Seitenzahl. Die entsprechenden Titel sind rechts unter Metadaten angegeben. ((s)…): Kommentar des Einsenders.

Brk I
K. Berka/L. Kreiser
Logik Texte Berlin 1983

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Hg. Martin Schulz, Abfragedatum 18.11.2017