Philosophie Lexikon der Argumente

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Berka I 413
Hilbert/Vortrag: "Mathematische Probleme (1900) zweites Problem: die Widerspruchsfreiheit der arithmetischen Axiome zu beweisen.
Widerspruchsfreiheit/Arithmetik/Problem/Schröter: zunächst ist gar kein Weg zu sehen, denn ein Beweis durch Angabe eines Modells verbietet sich von selbst, da ja gerade die Arithmetik das einfachste Gebiet sein soll auf dessen WSF alle WSF Beweise in anderen Gebieten zurückgeführt werden sollen. Es muss also ein neuer Weg eingeschlagen werden.
Widerspruchsfreiheits Beweis/Schröter: für die arithmetischen Axiome: verlangt den Nachweis, dass mit einer arithmetischen Aussage nicht auch die kontradiktorische Verneinung dieser Aussage aus den Axiomen abgeleitet werden kann.
Dazu genügt es, die Unableitbarkeit irgendeiner Aussage Bsp 0 ungleich 0 zu beweisen. Wenn das gelingen soll, muss gezeigt werden, dass alle Folgerungen aus den arithmetischen Axiomen eine gewisse Eigenschaft besitzen, die der Aussage, die besagt, dass 0 ungleich 0 ist, abgeht.
I 414
Problem: die Menge der Folgerungen ist völlig unabsehbar.
Lösung/Hilbert: der Prozess des Folgens (logische Folgerung) muss selbst formalisiert werden. Damit wird das Schließen allerdings jeglichen Inhalts entkleidet.
Problem: jetzt kann man nicht mehr sagen, dass eine Theorie z.B. von den natürlichen Zahlen handelt.
Formalismus/Schröter: danach handelt die Mathematik überhaupt nicht mehr von Gegenständen, die sich auf eine reale oder eine ideale Welt beziehen, sondern nur noch von gewissen Zeichen, bzw. deren Umformungen, die nach gewissen Regeln vorgenommen werden.
WeylVsHilbert: das mache eine Umdeutung der gesamten bisherigen Mathematik nötig.

Brk I
K. Berka/L. Kreiser
Logik Texte Berlin 1983

> Gegenargumente gegen Hilbert



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Hg. Martin Schulz, Abfragedatum 26.05.2017