Philosophie Lexikon der Argumente

Screenshot Tabelle Begriffe

 
Paradoxien: Widersprüche innerhalb von formal korrekten Aussagen bzw. Aussagenmengen, die dazu führen, dass eine Existenzannahme, die zunächst plausibel erschien, zurückgezogen werden muss. Paradoxien sind keine Fehler, sondern Herausforderungen, die eventuell zur Neuformulierung der Voraussetzungen und Annahmen oder zur Änderung der Sprache, des Gegenstandsbereichs und des logischen Systems führen. Siehe auch Antinomien, Russellsche Paradoxie, Widersprüche, Reichweite, Konsistenz.

_____________
Anmerkung: Die obigen Begriffscharakterisierungen verstehen sich weder als Definitionen noch als erschöpfende Problemdarstellungen. Sie sollen lediglich den Zugang zu den unten angefügten Quellen erleichtern. - Lexikon der Argumente.

 
Autor/Titel Begriff Zusammenfassung Metadaten

 
Bücher bei Amazon
Thiel I 322
Russellsche Antinomie/Lösung: ein Versuch, die Russellsche Paradoxie zu vermeiden wäre, statt "alle" immer "alle, welche" zu sagen. Damit fällt nun der Verdacht auf das "alle".
Poincaré sah diesen Verdacht bestätigt und behauptete:
Bedingungen wie "~(x ε x) sind ungeeignet, eine Menge zu bestimmen, denn sie verlangen einen circulus vitiosus. Er hatte diese Diagnose nicht anhand der Russellschen Antinomie, sondern der von Jules Richard konstruierten Antinomie gefunden.
I 323
Richardsche Antinomie: Gesamtheit E aller mit endlich vielen Wörtern (aus den Buchstaben eines endlichen Alphabets) definierbaren Dezimalbrüche ..dass auch die Gesamtheit E der Dezimalbrüche abzählbar ist. Dann aber können wir einen neuen Dezimalbruch d durch die Vorschrift definieren:
Ist die n te Ziffer des n-ten Dezimalburchs aus E
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
so sei die entsprechende Ziffer von d
1,2,3,4,5,6,7,8,1,1.
Da sich d definitionsgemäß von dem n-ten Dezimalbruch aus E an der n ten Stelle unterscheidet, und dies für beliebiges n gilt, ist d von jedem Dezimalbruch aus E verschieden, gehört also nicht zu E.
Andererseits muss d aber in E liegen, denn wir haben ihn ja mit endlich vielen Wörtern definiert und E war die Gesamtheit aller solchen Dezimalbrüche.
Lösung/Poincaré verallgemeinerte die von Richard selbst gelieferte Lösung, dass E korrekterweise nur als die Gesamtheit nicht aller , sondern nur derjenigen Dezimalbrüche erklärt sein könne, die man mit endlich vielen Wörtern definieren kann, ohne schon den Begriff der Gesamtheit E selbst einzuführen.

Burali-Forti/Poincaré: übertrug diese Erklärung auch auf andere Antinomien z.B. die Antinomie von Burali-Forti: von der "Menge Ω aller Ordnungszahlen". Man kann sie korrekterweise nur auf die Menge aller Ordnungszahlen beziehen, die sich ohne Einführung der Menge Ω selbst definieren lassen. (Sonst ergibt sich immer Ω + 1).
Thiel I 324
Poincaré: glaubte damit das entscheidende Kriterium gefunden zu haben: illegitime, "nichtprädikative" Bedingungen sind diejenigen, die einen solchen Zirkel enthalten. (>imprädikativ, Russell).
Es schien zunächst ausreichend, von Ausdrücken für die Beziehung zw. Element und Menge zu fordern, dass in "x ε y" das zweite Relationsglied y einer genau um 1 höheren Stufe angehören müsse als x (einfache >Typentheorie) so führt die Forderung, dass jeder zulässige Ausdruck nicht nur selbst "prädikativ" (d.h. nicht imprädikativ) gebildet sein sollte, sondern auch alle in ihm auftretenden Argumente dieser Bedingung genügen müssen, zu einer ">verzweigten Typentheorie".
VsTypentheorie: Zu ihren Komplikationen gehörte nicht nur, dass eine solche Theorie neben Typen auch noch Ordnungen zu berücksichtigen sind, sondern auch die mehr als lästige Tatsache, dass jetzt z.B. die obere Grenze einer nichtleeren Menge reeller Zahlen (deren Existenz bei allen Stetigkeitsbetrachtungen in der klassischen Analysis vorausgesetzt wird) von höherer Ordnung ist, als die reellen Zahlen, deren obere Grenze sie ist.
Das hat zur Folge, dass man nun nicht mehr einfach über "alle reellen Zahlen" quantifizieren kann, sondern nur noch über alle reellen Zahlen, einer bestimmten Ordnung. Für die Fachmathematik inakzeptabel, und für das "Arithmetisierungsprogramm" der klassischen Grundlagenforschung ein gewaltiges Hindernis.
Erst recht für den Logizismus, der sich daran anschließt.

I 325
Poincarés Analyse trägt sogar noch weiter, als er selbst wohl vermutet hat.
Bsp

(1) (1) ist falsch

mit der Variante "der einzige auf dieser Seite numerierte Satz ist falsch". Oder in der Gestalt

"Ich lüge (jetzt)".

akzeptiert man die nötigen empirischen Rückgriffe auf Buchseiten und "jetzt" so führt das zu formalen Widersprüchen.
Schwächer ist der "Lügner", ursprünglich im Brief des Apostels Paulus an Titus, Vers 12 des 1. Kapitels. Luther: Z "Es hat immer einer von ihnen gesagt, ihr eigener Prophet: Die Kreter sind immer Lügner, böse Tiere und faule Bäuche."

A <> "Alle Kreter lügen (immer)"

Gleichbedeutend mit der Aussage: "für diese Aussage gilt: wenn sie von einem Kreter gemacht wird, gilt ihr Gegenteil".
I 326
K(A) > ~A

(>Abtrennungsregel: A, A > B >> B I 92)

Nach der Abtrennungsregel wird die Aussage ~A zur wahren Aussage. Dies besagt aber, dass A falsch ist, während wir doch dieser Forderung selbst aus der Annahme hergeleitet haben, dass A wahr sei. Da dies nur hypothetisch angenommen wurde, zeigt die Überlegung (ebenso I 315 Zermelo-Russellsche Antinomie) unter Heranziehung der reductio ad absurdum: (A > ~A) > A, dass A tatsächlich falsch ist.
Dies führt zu keinem formalen Widerspruch, wenn es einen Kreter gibt, der wenigstens eine einzige wahre Aussage macht A ist dann eben einfach falsch. Trotzdem würde Poincaré die Zulässigkeit bestreiten: das Definiens der Kurzzeichens A ist ja eine Allaussage, in der der Variabilitätsbereich des Quantors aus allen Aussagen besteht, und daher auch die Aussage A selbst enthält, A ist also imprädikativ definiert und daher unzulässig.
Die Anwendbarkeit des Poincaréschen Kriteriums kommt unerwartet, weil die Lügner Antinomie wegen des Auftretens metalogischer Begriffe wie "wahr" und "falsch" zu einer anderen, eigentlich nichtmathematischen Sorte von Schlüssen gehört, die Peano als "linguistische" klassifizierte.


_____________
Zeichenerklärung: Römische Ziffern geben die Quelle an, arabische Ziffern die Seitenzahl. Die entsprechenden Titel sind rechts unter Metadaten angegeben. ((s)…): Kommentar des Einsenders.

T I
Chr. Thiel
Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995

Send Link
> Gegenargumente gegen Poincaré
> Gegenargumente zu Paradoxien ...

Autoren A   B   C   D   E   F   G   H   I   J   K   L   M   N   O   P   Q   R   S   T   U   V   W   Z  


Begriffe A   B   C   D   E   F   G   H   I   J   K   L   M   N   O   P   Q   R   S   T   U   V   W   Z  



> Eigenen Beitrag vorschlagen | > Haben Sie einen Fehler entdeckt? | > Export als BibTeX Datei
 
Hg. Martin Schulz, Abfragedatum 21.11.2017