Philosophie Lexikon der Argumente

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Waismann I 66
Induktion/Poincaré: Man kann leicht von einer Aussage zur andern übergehen, und sich der Einbildung hingeben, man hätte die Legitimität des rekursiven Verfahrens bewiesen. Man wird aber immer zu einem unbeweisbaren Axiom gelangen.
RussellVsPoincaré: Induktion ist eine Definition und kein Prinzip. Es gibt gewisse Zahlen für die es gilt, andere nicht (Cantors unendliche Kardinalzahlen).
Waismann (Bsp von Wittgenstein) Bsp Division 1:3 mit wiederkehrendem Rest.
I 67
Wir schließen, dass es immer so weitergeht. Ergibt es aber die Rechnung wirklich? Jede Rechnung bricht nach endlich vielen Stellen ab. Andererseits zeigt schon der erste Schritt das Wiederkehren.
Bsp Fiktion: Volksstamm, der unser Dezimalsystem besitzt, aber ohne unendliche Dezimalbrüche. Jene Menschen brechen nach der 5. Stelle ab. Nehmen wir an, eines Tages entdeckte einer, dass die Division 1:3 weitergeht.
Worin bestünde seine Entdeckung? Man könnte zunächst denken, die Wiederkehr es Restes sei ihm als erstem aufgefallen. Denn hätte man einen der die periodische Division noch nicht kennt gefragt, "Ist in dieser Division der Rest gleich dem Dividenden?" hätte er ja gesagt. Aber damit hätte ihm nicht die Periodizität auffallen müssen.
Man wird vielleicht sagen wollen: Wer die Periodizität entdeckt, sieht die Division anders, als der, der sie nicht kennt, er sieht ein unendliche Möglichkeit darin. Das klingt aber, als ob es auf etwas Psychologisches ankäme.
In Wirklichkeit ist die Entdeckung der Periodizität die Konstruktion eines neuen Kalküls. Man kann sie mit einem Strich markieren.
I 68
Das ist keine reine Äußerlichkeit, es weist auf das Gesetz der Division hin.
Die Art, wie er auf die Periodizität aufmerksam macht, ergibt das neue Zeichen. Sobald wir die Periodizität entdeckt haben, haben wir ein neues Gesetz entdeckt. Die Pünktchen vertreten nicht in schattenhafter Weise die mangels Tinte nicht hingeschriebenen Ziffern, sondern sie sind selbst ein vollwertiges Zeichen im Kalkül.
Ein Beweis durch Induktion ist etwas ganz anderes als das, was sonst in der Buchstabenrechnung "Beweis" heißt
.Der Induktionsbeweis führt gar nicht zu der zu beweisenden Formel.
I 69
Ist die Induktion nur das Anzeichen dafür, dass der Satz für alle Zeichen gilt? Dass der Satz für y + 1 gilt wenn er für a gilt, erklärt uns nicht den Sinn des Satzes.
Es gibt uns keine Antwort auf die Frage, wie gebraucht man diesen Satz? Was ist das Kriterium seiner Wahrheit?
Wir können ja nicht alle Zahlen durchlaufen und zwar nicht deshalb, weil wir zu wenig Zeit und Papier haben, sondern weil es nichts heißt, weil es logisch unmöglich ist. Tatsächlich ist der Beweis durch Induktion das einzige Kriterium, das wir haben.


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Zeichenerklärung: Römische Ziffern geben die Quelle an, arabische Ziffern die Seitenzahl. Die entsprechenden Titel sind rechts unter Metadaten angegeben. ((s)…): Kommentar des Einsenders.

Wa I
F. Waismann
Einführung in das mathematische Denken Darmstadt 1996

Wa II
F. Waismann
Logik, Sprache, Philosophie Stuttgart 1976

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Hg. Martin Schulz, Abfragedatum 21.11.2017