Philosophie Lexikon der Argumente

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Mengenlehre: Das System von Regeln und Axiomen, das die Bildung von Mengen regelt. Die Elemente sind hier ausschließlich Zahlen. Mengen enthalten Einzelgegenstände, also Zahlen als Elemente. Des Weiteren enthalten Mengen Teilmengen, also wiederum Mengen von Elementen. Die Menge aller Teilmengen einer Menge heißt ihre Potenzmenge. Jede Menge enthält die leere Menge als Teilmenge, jedoch nicht als Element. Die Größe von Mengen wird als Mächtigkeit bezeichnet. Mengen, die dieselben Elemente enthalten, sind identisch. Siehe auch Komprehension, Komprehensionsaxiom, Auswahlaxiom, Unendlichkeitsaxiom, Paarmengenaxiom, Extensionalitätsprinzip.
 
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P. Lorenzen Ein dialogisches Konstruktivitätskriterium (1959) in Karel Berka/L. Kreiser Logik Texte Berlin, 1983

Berka I 269
Induktive Definition/Mengenlehre//LorenzenVsMengenlehre: Bsp eine induktive Definition einer Menge M durch

a(y) > y ε M, x ε M u b(x,y) > y ε M

worin a(x) und b(x,y) schon definierte Formeln seien, in denen M nicht vorkommt, wird mengentheoretisch dadurch "erklärt", dass M der Durchschnitt aller der Mengen N sein solle, die diese Implikationen mit N statt M erfüllen.
Lorenzen: wer aber eine Behauptung n ε M (sic) verteidigen will, wird schwerlich alle diese Mengen N bemühen. Als P wird er vielmehr O gegenüber entweder direkt a(n) verteidigen oder zunächst ein m angeben, das er b(m,n) und m ε M verteidigen will.
Schrittzahl/Lorenzen: damit wir dieses Vorgehen als den dialogischen Sinn der induktiven Definition von M festsetzen können, muss zusätzlich noch von P verlangt werden, dass er zu jeder Behauptung der Form x ε M die Schrittzahl angibt, die er zum vollständigen Beweis benötigt.
Bsp Angenommen, er führt n ε M auf die Behauptung m ε M zurück und hat er für n ε M
I 270
die Schrittzahl v angegeben, so muss er für m ε M eine Schrittzahl µ < v angeben. Ohne eine solche Angabe könnte P bei der folgenden induktiven Definition der Ordnung "kleiner" < für die ganzen Zahlen Bsp

0 < y für positive Zahlen y

x < y _> x +/ 1 < y +/ 1

z.B. 1 < 0 behaupten, und dafür einen "Beweis" mit Hilfe von 0 < 1, 1 < 2, 2 < 3... beginnen. Natürlich könnte der den Beweis nicht zu Ende führen, aber das könnte O ihm nicht nachweisen.
Dialogische Logik/Lorenzen: es ist in diese Dialogen ja nie gestattet, plötzlich in "freier Rede" auf den Gegner einzureden. Muss P dagegen zusätzlich eine Schrittzahl v angeben, so wird er spätestens nach v Schritten seine Behauptung verloren haben.
Schrittzahl: die Schrittzahlen sind hier selbstverständlich natürliche Zahlen. Will man auch unendlichen induktiven Definitionen, d.h. solchen mit unendlich vielen Prämissen einen dialogischen Sinn geben, so muss man transfinite Ordinalzahlen als Schrittzahl zulassen.
Induktive Definition/LorenzenVsHerbrand: Bsp es sei eine Funktionenfolge f1, f2...schon definiert und es werde das Induktionsschema

a(y) > y ε M (x)fx(y) ε M > y ε M

angeschrieben. Diese Definition ist keineswegs "imprädikativ". Aber sie ist auch nicht eigentlich konstruktiv. Wir haben hier ja unendlich viele Prämissen
f1(y) ε M, f2(y) ε M ... die zum Beweis von y ε M erforderlich sind.
unendlich: im Dialog kann man nicht jede Prämisse verteidigen, man wird daher O erlauben, eine fm(y) e M auszuwählen. Diese muss P dann behaupten und verteidigen. Zusätzlich muss P eine im allgemeinen transfinite Ordinalzahl als Schrittzahl angeben.
Schrittzahl: die Schrittzahl einer Prämisse muss dabei stets kleiner als die Schrittzahl der Konklusion angegeben werden.
Gewinnstrategie: von P: muss für alle Wahlen des Opponenten die Schrittzahlen liefern.
II. Zahlenklasse/zweite/Lorenzen: mengentheoretisch beweist man leicht die Existenz geeigneter Ordinalzahlen der II. Zahlenklasse. Man kann ja durch transfinite Rekursion definieren:

y ε M0 <> a(y) y ε Mλ <> (x)fx(y) ε Ux x < λ Mx. .

dann ist M = Ul l> µ Ml für ein geeignetes µ und wenn M eine Menge natürlicher Zahlen sein soll, kann µ der II. Zahlenklasse entnommen werden,
Konstruktiv: soll die induktive Definition aber konstruktiv sein, so müssen auch die benutzten Ordinalzahlen "konstruktiv" sein. Hier liegt es nahe, sich auf die rekursiven Ordinalzahlen von Church und Kleene zu beschränken.

Lorn I
P. Lorenzen
Constructive Philosophy Cambridge 1987

Brk I
K. Berka/L. Kreiser
Logik Texte Berlin 1983

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Hg. Martin Schulz, Abfragedatum 30.05.2017