Lexikon der Argumente


Philosophische Themen und wissenschaftliche Debatten
 
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Begriff/
Autor/Ismus
Autor Vs Autor
Eintrag
Literatur
Beweis Gödel Brendel Vs Allwissenheit I 159
Allwissenheit/semantisch/Brendel: ist der Begriff überhaupt sinnvoll in einer semantisch offenen Sprache? ((s) Hierarchie, Sprachstufen). VsAllwissenheit/Grim/Plantinga/Brendel: (Patrick Grim 1983, 1984, 1988, 1991, Gödel. Unvollständigkeitssatz, Cantor: Unmöglichkeit der Menge aller Mengen/Plantinga/Grim 1993): (analog zur Lügner-Paradoxie) These: es gibt kein allwissendes Subjekt. (PlantingaVsGrim).
BrendelVsGrim: Problem: das beruht auf einem Wissensbegriff, der von einer universellen semantisch geschlossenen Sprache ausgeht.
Lösung/Brendel: durch Annahme einer semantisch offenen Sprache (Hierarchie).
Paradoxien/BrendelVsGrim: die Paradoxien können daher nicht als Argumente gegen die Möglichkeit der Allwissenheit angeführt werden. Def Allwissenheit*/Variante/Grim/Brendel: s ist allwissend gdw. für jede Aussage A gilt: A ist genau dann wahr, wenn s glaubt, dass A und glaubt, dass A gdw. s weiß, dass A. (Grim 1983, 266ff).
I 160
Allwissenheit/GrimVsAllwissenheit/Grim/Brendel: (analog zum Lügner): eine selbstbezügliche Aussage: soll zeigen, dass es kein allwissendes Subjekt geben kann: (1) G glaubt, dass (1) falsch ist. („G“: sei ein allwissendes Subjekt)
Problem. dann kann G weder unter der Annahme, dass (1) wahr ist, noch, dass (1) falsch ist, im Sinne der Variante Allwissenheit* allwissend sein.
oWW/Grim: selbst wenn (1) als weder wahr noch falsch angenommen wird, ist es ein Argument VsAllwissenheit: denn dann muss G wissen, dass (1) weder wahr noch falsch ist, also kann G nicht glauben, dass (1) falsch ist. (1) muss daher falsch sein. Wenn (1) jedoch falsch ist, dann glaubt G nicht, dass (1) falsch ist. Dann gibt es eine Wahrheit, die G nicht glaubt.
Wissen/metasprachlich/BrendelVsGrim: wenn wir „Wissen“ metasprachlich auffassen, spielt es zunächst eine Rolle, ob „Wissen“ als Operator oder als Prädikat aufgefaßt wird.
a) Operator: dann kann (1) nicht als echte selbstbezügliche Aussage formalisiert werden,
I 161
da der Operator die Aussage nicht mit einem Anführungsnamen erwähnen kann. Logische Form: (+) GlaubtG („A“ ist falsch) A
Erwähnung/Gebrauch/Pointe/Brendel: A wird zwar durch „ist falsch“ erwähnt und steht daher in AZ, die Aussage „A ist falsch“ wird jedoch als Argument des Glaubensoperators nicht erwähnt, sondern gebraucht.
I 162
Glaubensinstabilität/Glauben/Instabilität/Burge/Kroon/Brendel:: (Burge 1984, Sorensen 1987, Kroon 1993): epistemische Paradoxie der Glaubensinstabilität als Problem rationaler Entscheidung: VsAllwissenheit: diese Paradoxie soll die Existenz eines allwissenden Subjekts ad absurdum führen: es wird eine Aussage konstruiert, zu der kein epistemisches Subjekt eine rational vertretbare Position beziehen kann.
I 164
VsAllwissenheit/Brendel: die Unmöglichkeit eines allwissenden Subjekts lässt sich aber auch durch die Unabgeschlossenheit einer unendlichen Sprachstufenhierarchie beweisen.
I 165
Wissen/Brendel: alles was ein Subjekt wissen kann, ist Wissen auf einer bestimmten Sprachstufe.

Bre I
E. Brendel
Wahrheit und Wissen Paderborn 1999
Beweis Gödel Field Vs Anti-Objektivismus II 318
Unentscheidbarkeit/VsAnti-Objektivismus/AO/Field: andere Beispiele sind weniger günstig für den AO: Bsp Gödel. Sogar ganz einfache Sätze können unentscheidbar sein. Bsp (*) Für alle natürlichen Zahlen x, B(x)
wobei B(x) ein entscheidbares Prädikat ist, also ein Prädikat, so daß für jede Zahl (numeral) n wir entweder B(n) oder ~B(n) Beweisen können. (Durch einen unkontroversen Beweis).
Problem: man kann nun behaupten, daß jeder unentscheidbare Satz objektiv korrekt sein muß (s.o. aus den Axiomen folgen). Dann wäre ein Beweis von ~B(n) der Beweis der Negation von (*) im Gegensatz zu seiner Unentscheidbarkeit.
Also, wegen der Annahme über B(x) muß B(n) für jede Zahl n Beweisbar sein, daher vermutlich objektiv korrekt. Das scheint nun aber zu zeigen, daß die Verallgemeinerung (*) auch objektiv korrekt ist. (Das ist nicht unumstritten, denn es verlangt als letzten Schritt, daß es objektiv der Fall ist, daß es keine anderen natürlichen Zahlen gibt, als die, für die es Namen gibt. ((s) >“nicht genug Namen“).
FieldVsextremer Anti-Objektivismus: wenn das aber so angenommen werden kann, muß er eine moderatere Position annehmen.
Elementare Zahlentheorie/EZT/Unentscheidbarkeit/Field: tatsächlich glaubt fast jeder, daß die Wahl zwischen einem unentscheidbaren Satz und seiner Negation objektiv ist, auch für die verallgemeinerte EZT. Das wäre auch kaum aufzugeben, da viele Behauptungen über Beweisbarkeit und WSF eigentlich unentscheidbare zahlentheoretische Behauptungen sind, so daß der Anti-Objektivist sagen müßte, daß sie der Objektivität entbehren. Das wollen nur die wenigsten. Dennoch ist es nicht offensichtlich, daß wenn man der EZT Objektivität zugesteht, sie auch den höheren Regionen zugestehen müßte. …+…
I 347
Anti-Objektivismus/Gödel/Field/Fazit/(s): Gödel liefert keinen Grund anzunehmen, daß einige unentscheidbare Sätze bestimmte Wahrheitswerte (WW) haben. (pro extremer Anti-Objektivismus, pro Field). VsAnti-Objektivismus/Gödel/Field: man kann einwenden daß die Gödel-Sätze der Kandidaten für unsere vollste mathematische Theorie nicht bloß bestimmte WW haben sollten, sondern daß sie wahr sind! Das Argument geht per
Induktion: alle logischen und nichtlogischen Prämissen von M sind wahr. Die Schlußregeln erhalten Wahrheit, daher müssen alle Theoreme wahr sein. Also muß die Theorie konsistent sein, daher muß der Gödelsatz unBeweisbar sind und daher wahr.
Gödelsatz: ist nur wahr, wenn unBeweisbar, wenn Beweisbar, ist er nicht wahr.
Problem: diese Induktion kann in M natürlich nicht formalisiert werden. Aber man fühlt oft, daß er irgendwie „informell gültig“ ist.
Wenn das stimmt, wird aber nur die Wahrheit des Gödel-Satzes bewiesen, nicht seine bestimmte Wahrheit.
Lösung: wir könnten vielleicht die Lücke füllen indem wir ein Prinzip aufstellen, daß wenn wir informell etwas Beweisen können, es bestimmt wahr sein muß. (Vs: Das ist plausibel, aber nicht unumstritten!). Jedenfalls sind die Argumente für die bestimmte Wahrheit des Gödel-Satzes schwächer als die für seine einfache Wahrheit.

Field I
H. Field
Realism, Mathematics and Modality Oxford New York 1989

Field II
H. Field
Truth and the Absence of Fact Oxford New York 2001

Field III
H. Field
Science without numbers Princeton New Jersey 1980

Field IV
Hartry Field
"Realism and Relativism", The Journal of Philosophy, 76 (1982), pp. 553-67
In
Theories of Truth, Paul Horwich Aldershot 1994
Beweis Gödel Field Vs Antirealismus Field I 64
Unverzichtbarkeit: wenn es wahr ist, dass Mathematik nicht nur Inferenzen erleichtert, wäre sie theoretisch unverzichtbar. Wie kann die Unverzichtbarkeit in Begriffen der Konservativität dargestellt werden? Quine Putnam Argument/VsAnti Realismus: (s.o.): nur über Wahrheit! Wir müssen die Wahrheit der Mathematik für ihre Nützlichkeit im außermathematischen Reich annehmen. - FieldVs: das ist sicher eine Übertreibung. Teile des Nutzens können auch durch Konservativität erklärt werden (aber eben doch nicht nur).- I 65 - Letztlich versuche ich zu zeigen, dass Mathematik eben nicht unverzichtbar ist.
Field I 66
Realismus/Mathematik/Gödel: ("Was ist Cantors Kontinuum Problem?", 1947) (Pro Quine Putnam Argument, VsField, GödelVsAnti Realismus):selbst bei sehr enger Definition des Begriffs "mathematischer Daten" (nur Gleichungen der Zahlentheorie) können wir ganz abstrakte Teile durch Erklärungserfolg rechtfertigen: Gödel: auch ohne die Notwendigkeit eines neuen Axioms annehmen zu müssen, und sogar, wenn es gar keine intrinsische Notwendigkeit hat, ist eine Entscheidung über seine Wahrheit möglich, indem wir mit Induktion seinen "Erklärungserfolg" untersuchen. Die Fruchtbarkeit seiner Konsequenzen, insbesondere der "verifizierbaren", d.h. jener, die ohne das neue Axiom demonstrierbar sind, deren Beweise aber durch das neue Axiom leichter sind. Oder wenn man damit mehrere Beweise zu einem zusammenziehen kann.
Bsp die Axiome über die reellen Zahlen, die von den Intuitionisten abgelehnt werden.

Field I
H. Field
Realism, Mathematics and Modality Oxford New York 1989

Field II
H. Field
Truth and the Absence of Fact Oxford New York 2001

Field III
H. Field
Science without numbers Princeton New Jersey 1980

Field IV
Hartry Field
"Realism and Relativism", The Journal of Philosophy, 76 (1982), pp. 553-67
In
Theories of Truth, Paul Horwich Aldershot 1994
Beweis Gödel Kripke Vs Beschreibungstheorie Evans I 310/311
Referenz/Beschreibung/Bekanntschaft/Kripke: zwar ist die Referenz durch den Urmeter in Paris festgelegt, aber nicht jeder Sprecher muß ihn kennen oder überhaupt davon wissen. (Laut Evans). Strawson: "Mittelwert verschiedener Meinungen".
KripkeVsBeschreibungstheorie/Evans: seine Angriffe richten sich nur gegen die erste Variante (Sprecher Bezeichnung). Sie ignorieren den sozialen Charakter der Namensgebung.

Field II 117
Referenz/Deflationismus/Field: der Deflationismus scheint die viele Arbeit, die in den letzten Jahren in die Erforschung der Referenz gesteckt wurde, unwichtig zu machen. Denn wenn WB keine zentrale Rolle spielen, kann die Referenz es auch nicht. Bsp: KripkeVsBeschreibungstheorie/Namen/Field: (Kripke 1972): diese ist unkorrekt.
Field: jedenfalls, wenn diese keine MS gebraucht!.
Referenz/Deflationismus/Field: Problem: wenn die Wahrheitsbedingungen keine Rolle spielen, dann gilt das auch für Referenz, denn das relevante Schema ist:
(R) Wenn b existiert, dann referiert "b" auf b und nichts sonst; wenn b nicht existiert, dann referiert "b" auf gar nichts.
Problem: wenn das alles ist, was es über Referenz zu sagen gibt, was soll uns Kripkes Kritik der Beschreibungstheorie dann sagen?
Beschreibungstheorie/Gödel-Schmidt-Fall/Kripke: Bsp Gödel = "der Beweiser des Unvollständigkeitssatzes".
Dann Bsp Schmidt war der eigentliche Beweiser, wurde aber ermordet. Jeder würde sagen, daß "Gödel" dennoch auf Gödel referiert und nicht auf Schmidt.
Deflationismus/Field: Problem: wenn der Deflationismus das nicht erklären kann, dann ist etwas falsch mit ihm! Aber er kann es:
Referenz/Deflationismus/Field: die Referenz ist nicht die eigentliche Grundlage, sondern Beobachtungen über unsere Praxis des Schließens. Das ist es was Kripke eigentlich zeigt.

Stalnaker I 15
KripkeVsBeschreibungstheorie/Stalnaker: erwächst aus einer Verwechslung von Semantik und Metasemantik. Anti-Essentialismus/Kripke/Stalnaker: erwächst aus einer Verwechslung von Semantik und Metaphysik.

Kripke I
S.A. Kripke
Name und Notwendigkeit Frankfurt 1981

Kripke II
Saul A. Kripke
"Speaker’s Reference and Semantic Reference", in: Midwest Studies in Philosophy 2 (1977) 255-276
In
Eigennamen, Ursula Wolf Frankfurt/M. 1993

Kripke III
Saul A. Kripke
Is there a problem with substitutional quantification?
In
Truth and Meaning, G. Evans/J McDowell Oxford 1976

Kripke IV
S. A. Kripke
Outline of a Theory of Truth (1975)
In
Recent Essays on Truth and the Liar Paradox, R. L. Martin (Hg) Oxford/NY 1984

EMD II
G. Evans/J. McDowell
Truth and Meaning Oxford 1977

Evans I
Gareth Evans
"The Causal Theory of Names", in: Proceedings of the Aristotelian Society, Suppl. Vol. 47 (1973) 187-208
In
Eigennamen, Ursula Wolf Frankfurt/M. 1993

Evans II
Gareth Evans
"Semantic Structure and Logical Form"
In
Truth and Meaning, G. Evans/J. McDowell Oxford 1976

Evans III
G. Evans
The Varieties of Reference (Clarendon Paperbacks) Oxford 1989

Field I
H. Field
Realism, Mathematics and Modality Oxford New York 1989

Field II
H. Field
Truth and the Absence of Fact Oxford New York 2001

Field III
H. Field
Science without numbers Princeton New Jersey 1980

Field IV
Hartry Field
"Realism and Relativism", The Journal of Philosophy, 76 (1982), pp. 553-67
In
Theories of Truth, Paul Horwich Aldershot 1994

Stalnaker I
R. Stalnaker
Ways a World may be Oxford New York 2003
Beweis Gödel Gödel Vs Field, H. Field I 66
Realismus/Mathematik/Gödel: ("Was ist Cantors Kontinuum Problem?", 1947) (Pro Quine Putnam Argument, VsField, VsAnti Realismus):selbst bei sehr enger Definition des Begriffs "mathematischer Daten" (nur Gleichungen der Zahlentheorie) können wir ganz abstrakte Teile durch Erklärungserfolg rechtfertigen: Gödel: auch ohne die Notwendigkeit eines neuen Axioms annehmen zu müssen, und sogar, wenn es gar keine intrinsische Notwendigkeit hat, ist eine Entscheidung über seine Wahrheit möglich, indem wir mit Induktion seinen "Erklärungserfolg" untersuchen. Die Fruchtbarkeit seiner Konsequenzen, insbesondere der "verifizierbaren", d.h. jener, die ohne das neue Axiom demonstrierbar sind, deren Beweise aber durch das neue Axiom leichter sind. Oder wenn man damit mehrere Beweise zu einem zusammenziehen kann.
Bsp die Axiome über die reellen Zahlen, die von den Intuitionisten abgelehnt werden.
I 67
FieldVsGödel: wenn keinerlei mE unverzichtbar sind, dann muß man auch nicht die sogenannten "mathematischen Daten" nicht als wahr bezeichnen. Aber anfangs hatte ich gesagt, daß es kein anderes Ziel der Mathematik als Wahrheit geben kann.

Göd II
Kurt Gödel
Collected Works: Volume II: Publications 1938-1974 Oxford 1990

Field I
H. Field
Realism, Mathematics and Modality Oxford New York 1989

Field II
H. Field
Truth and the Absence of Fact Oxford New York 2001

Field III
H. Field
Science without numbers Princeton New Jersey 1980

Field IV
Hartry Field
"Realism and Relativism", The Journal of Philosophy, 76 (1982), pp. 553-67
In
Theories of Truth, Paul Horwich Aldershot 1994
Beweis Gödel Shapiro Vs Field, H. Fie I 125
Stewart ShapiroVsField: (Conservativeness and incompleteness").
I 126
Konservativität/ShapiroVsField: sollte man entweder a) semantisch oder
b) Beweistheoretisch (syntaktisch) nehmen. je nachdem, ob man die Folgebeziehung (Konsequenz) semantisch oder als Ableitbarkeit versteht.
Die Unterscheidung ist wichtig, weil wir bald Logiken höherer Stufe betrachten, die keine vollständigen Beweisverfahren haben.
Logik 2. Stufe/SwN/Field: hier gibt es kein Vollständigkeits Theorem: wir müssen uns die ganze Zeit an semantische Begriffe halten.
Wir können platonistische Argumente für semantische Konservativität der Mengenlehre im Kontext der Logik 2. Stufe geben, aber keine Beweistheoretische.
ShapiroVsField: die Wahl der semantischen statt der Beweistheoretischen Konservativität war philosophisch falsch:
1. Field sagt, daß die Nützlichkeit der Mathematik in der Erleichterung und Verkürzung von Deduktionen liegt. Nichtsdestotrotz können längere Deduktionen gegeben werden.
I 127
ShapiroVsField: 1. das verträgt sich nicht mit dem Anspruch, daß es um semantische Folgebeziehung geht. (Field pro Shapiro). Field: ich hätte sagen sollen, daß Mathematik nützlich ist, weil es oft leichter zu sehen ist, daß eine nominalistische Aussage aus einer nominalistischen Theorie plus Mathematik folgt, als zu sehen, daß sie aus der nominalistischen Theorie alleine folgt.
ShapiroVsField: 2. (tiefer): zweiter Grund, warum Beweistheorie wichtiger als semantische Folgebeziehung ist: der Nominalismus hat Schwierigkeiten, logische Folgerungen (Konsequenzen) zu verstehen, die über das hinausgehen, was Beweistheoretisch erklärbar ist.
FieldVsShapiro: 1. die Folgebeziehung kann modal erklärt werden, und die Modalität kann ohne Erklärung in Begriffen platonistischer Entitäten verstanden werden.
2. die gleichen Schwierigkeiten bestehen für die Beweistheorie, d.h. Ableitbarkeit: die Erklärung müßte über die Existenz abstrakter Sequenzen abstrakter Ausdruckstypen erfolgen, von denen kein Token jemals gesprochen oder geschrieben wurde.
I 133
ShapiroVsField: (nach Gödels 2. Unvollständigkeits Theorem): Field: Anwendung von Mathematik auf physikalische Theorien ist unterminiert, wenn die physikalischen Theorien als 1. Stufe aufgefaßt werden.
FieldVsShapiro: Abschnitt 5 und 6.

Shapiro I
St. Shapiro
Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology Oxford 2000

Varian I
Carl Shapiro
Hal Varian
Information Rules: A Strategic Guide to the Network Economy Brighton, MA 1998
Beweis Gödel Burgess Vs Field, H. Field I 133
BurgessVsField: eine Gödelsche Konstruktion kann in N0 nicht ausgeführt werden. Das führt dazu, daß es einen nominalistischen Satz gibt, der in N0 unentscheidbar ist, aber gleichzeitig beweisbar in P0. Daher kann N0 keine konservative Teil Theorie von P0 sein. Und das zeigt auch, daß P0 überhaupt keine nominalistische Teil Theorien als konservative Erweiterungen haben kann.

Burgs I
J. P. Burgess
Logic, Logic, and Logic Boston 1999

Field I
H. Field
Realism, Mathematics and Modality Oxford New York 1989

Field II
H. Field
Truth and the Absence of Fact Oxford New York 2001

Field III
H. Field
Science without numbers Princeton New Jersey 1980

Field IV
Hartry Field
"Realism and Relativism", The Journal of Philosophy, 76 (1982), pp. 553-67
In
Theories of Truth, Paul Horwich Aldershot 1994
Beweis Gödel Dennett Vs Gödel, K. I 603
Gödelzahl/Dennett: Möglichkeit: mit Gödelzahlen kann man alle möglichen Axiomensysteme in alphabetischer Reihenfolge anordnen. Gödel/Turing: zeigte, dass diese Menge zu einer anderen Menge in der Bibliothek von Babel gehört: der Menge aller möglichen Computer.
Jede Turingmaschine, in der zufällig ein konsistenter Algorithmus zum Beweis mathematischer Wahrheiten läuft, ist mit einem Gödelschen Satz verknüpft, einer arithmetischen Wahrheit, die sie nicht Beweisen kann. - Dennett: Na und?
Geist/Gödel: daraus geht hervor, dass der Geist nicht einfach wie Maschinen sein kann. Menschen sind zu Dingen in der Lage, die keine Maschine vollbringen kann. DennettVs!
DennettVsGödel: Problem. wie kann man überhaupt feststellen, ob ein Mathematiker einen Satz bewiesen hat, oder nur ein Geräusch gemacht hat, wie ein Papagei? >Beweise.

Dennett I
D. Dennett
Darwins gefährliches Erbe Hamburg 1997

Dennett II
D. Dennett
Spielarten des Geistes Gütersloh 1999

Dennett III
Daniel Dennett
"COG: Steps towards consciousness in robots"
In
Bewusstein, Thomas Metzinger Paderborn/München/Wien/Zürich 1996

Dennett IV
Daniel Dennett
"Animal Consciousness. What Matters and Why?", in: D. C. Dennett, Brainchildren. Essays on Designing Minds, Cambridge/MA 1998, pp. 337-350
In
Der Geist der Tiere, D Perler/M. Wild Frankfurt/M. 2005
Beweis Gödel Deutsch Vs Gödel, K. I 233
Beweis: Beweistheorie ist kein Zweig der Mathematik, sondern eine Naturwissenschaft. Beweise sind nicht abstrakt!
I 234
In der Beweistheorie ist nichts eine Frage allein der Logik. DeutschVsGödel: zu seinen Annahmen gehörte beispielsweise, dass ein Beweis immer eine endliche Anzahl von Schritten haben muss. Seit dem Beweis des vier Farben Satzes durch Computer wissen wir jedoch, dass Beweise zumindest so viel Sätze haben können, dass sie von keinem Menschen in seiner Lebenszeit eingesehen werden können.
Skeptiker fragen sich, ob sie dem Computer das Glauben sollten, obwohl es ihnen niemals eingefallen wären, alle Entladungen der Neuronen zu katalogisieren!
Aber was ist ein "Schritt" und was ist "endlich" ?
I 236
Hilbert: "Über das Unendliche": spottete über den Gedanken, dass die Forderung nach der"endlichen Anzahl von Schritten" wesentlich ist. DeutschVsHilbert: aber er irrte sich. DeutschVsGödel: Zumindest eine von Gödels Einsichten in Beweise stellte sich als fehlerhaft heraus.
I 237
Diesem Gedanken zufolge ist ein Beweis etwas besonderes, eine Reihe von Aussagen, die Beweisregeln gehorchen. Wir haben schon gesehen, dass ein Beweis besser nicht als ein Ding, sondern als ein Vorgang (Programm) gesehen werden sollte. Eine Art von Berechnung. Im klassischen Fall ist also die Umwandlung von Beweisvorgängen in Beweisdinge immer durchführbar. Wenn wir aber eine klassisch nicht auszuführende mathematische Berechnung, die ein Quantencomputer leicht machen kann betrachten: hier gibt es keine Möglichkeit all das aufzuzeichnen, was im Beweisprozess abläuft, weil das Meiste in anderen Universen passiert. Auf diese Weise kann man keinen Beweis alter Art führen.

Deutsch I
D. Deutsch
Die Physik der Welterkenntnis München 2000
Beweis Gödel Deutsch Vs Hilbert I 236
Hilbert: "Über das Unendliche": spottete über den Gedanken, dass die Forderung nach der"endlichen Anzahl von Schritten" wesentlich ist. DeutschVsHilbert: aber er irrte sich. DeutschVsGödel: Zumindest eine von Gödels Einsichten in Beweise stellte sich als fehlerhaft heraus.
I 237
Diesem Gedanken zufolge ist ein Beweis etwas besonderes, eine Reihe von Aussagen, die Beweisregeln gehorchen. Wir haben schon gesehen, dass ein Beweis besser nicht als ein Ding, sondern als ein Vorgang (Programm) gesehen werden sollte. Eine Art von Berechnung. Im klassischen Fall ist also die Umwandlung von Beweisvorgängen in Beweisdinge immer durchführbar. Wenn wir aber eine klassisch nicht auszuführende mathematische Berechnung, die ein Quantencomputer leicht machen kann betrachten: hier gibt es keine Möglichkeit all das aufzuzeichnen, was im Beweisprozess abläuft, weil das Meiste in anderen Universen passiert. Auf diese Weise kann man keinen Beweis alter Art führen.

Deutsch I
D. Deutsch
Die Physik der Welterkenntnis München 2000
Beweis Gödel Quine Vs Intuitionismus VII (a) 14
Mengenlehre/Fraenkel: Klassen werden entdeckt. (VsIntuitionismus). Quine: das ist mehr als ein Wortspiel, es ist eine wesentliche Frage.

X 118
QuineVsintuitionistische Logik: ihr fehlt die Handlichkeit und Vertrautheit. Ihre Satzverknüpfungen haben keine wahrheitsfunktionale sondern einer intuitive Bedeutung, die wir mit Hilfe von „widerlegen“ und „ aus...folgen“ erklären. Diese Erklärungen werden aber unklar, wenn man den Unterschied zwischen dem Aussprechen eines Satzes und dem Sprechen über den Satz (>Erwähnung/>Gebrauch) aufrechterhalten will! Quine. dann kann man auch gleich zu Heytings Axiomen übergehen und keine Übersetzung zwischenschalten, sondern
X 119
Die direkte Methode des Sprachlehrers anwenden. Intuitionismus: gewann noch Auftrieb durch Gödels UnvollständigkeitsBeweis.
Konstruktivismus/Quine: für ihn gibt es nicht die eine richtige Definition.

QuineVsintuitionistische Logik: ändert die Bedeutungen der Quantifikation und der Konstanten.
Lösung: man kann konstruktivistisch vorgehen, und dennoch die orthodoxe Logik verwenden: das macht Weyls konstruktive Mengenlehre.
Quantor/abweichende Logik/Quine: es gibt auch Abweichungen bei Quantoren: die intuitionistische Logik verlangt die Kenntnis des Beweisweges.
X 120
Problem: die Variablen müssen alle einen Namen haben (können) damit die Existenzquantifikation der (endlichen) Adjunktion der sie wahrmachenden singulären Sätze entsprechen kann. (s.o.). Problem: bei unendlicher Existenzquantifikation kann man nicht unendlich viele Namen vergeben.
Abweichungen bei der Quantifikation sind natürlich wichtig in Bezug auf die Ontologie.
X 121
Ontologie/QuineVsIntuitionismus/Vsintuitionistische Logik: was der Intuitionist für existieren erklärt, finden wir vielleicht nicht einmal so. Lösung: wir müssen seine Sprache zuerst in unsere übersetzen. Und zwar nicht unbedingt in unsere Logik, aber in unsere Gesamtsprache!
Dann können wir sagen, was er als existierend ansieht (und zwar in unserem Sinn von „existieren“).

Quine I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Quine II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Quine III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Quine V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Quine VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Quine VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Quine VII (a)
W. V. A. Quine
On what there is
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (b)
W. V. A. Quine
Two dogmas of empiricism
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (c)
W. V. A. Quine
The problem of meaning in linguistics
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (d)
W. V. A. Quine
Identity, ostension and hypostasis
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (e)
W. V. A. Quine
New foundations for mathematical logic
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (f)
W. V. A. Quine
Logic and the reification of universals
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (g)
W. V. A. Quine
Notes on the theory of reference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (h)
W. V. A. Quine
Reference and modality
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (i)
W. V. A. Quine
Meaning and existential inference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982

Quine IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Quine X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Quine XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003

Quine XIII
Willard Van Orman Quine
Quiddities Cambridge/London 1987
Beweis Gödel Gödel Vs Künstliche Intelligenz Dennett I 603
Gödel/Turing: zeigte, daß diese Menge zu einer anderen Menge in der Bibliothek von Babel gehört: der Menge aller möglichen Computer. Jede Turingmaschine, in der zufällig ein konsistenter Algorithmus zum Beweis mathematischer Wahrheiten läuft, ist mit einem Gödelschen Satz verknüpft, einer arithmetischen Wahrheit, die sie nicht Beweisen kann. Dennett: Na und? (DF).
Geist/Gödel: daraus geht hervor, daß der Geist nicht einfach wie Maschinen sein kann. Menschen sind zu Dingen in der Lage, die keine Maschine vollbringen kann. DennettVs!
DennettVsGödel: Problem. wie kann man überhaupt feststellen, ob ein Mathematiker einen Satz Beweisen hat, oder nur ein Geräusch gemacht hat, wie ein Papagei? (Verhalten).

Göd II
Kurt Gödel
Collected Works: Volume II: Publications 1938-1974 Oxford 1990

Dennett I
D. Dennett
Darwins gefährliches Erbe Hamburg 1997

Dennett II
D. Dennett
Spielarten des Geistes Gütersloh 1999

Dennett III
Daniel Dennett
"COG: Steps towards consciousness in robots"
In
Bewusstein, Thomas Metzinger Paderborn/München/Wien/Zürich 1996

Dennett IV
Daniel Dennett
"Animal Consciousness. What Matters and Why?", in: D. C. Dennett, Brainchildren. Essays on Designing Minds, Cambridge/MA 1998, pp. 337-350
In
Der Geist der Tiere, D Perler/M. Wild Frankfurt/M. 2005
Beweis Gödel Field Vs McGee, V. II 351
Zahlentheorie 2. Stufe/Logik 2 Stufe/Theorie 2. Stufe/ZT/Field: These (i). volle ZT 2. Stufe ist – anders als ZT 1. Stufe – kategorisch. d.h. hat nur eine Interpretation bis zum Isomorphismus (one interpretation up to isomorphism),
II 352
In der die ZT als wahr herauskommt. Def kategorische Theorie/Field: hat nur eine Interpretation bis zum Isomorphismus, in der sie als wahr herauskommt. Bsp Zahlentheorie 2. Stufe.
(ii). These dass dies zeigt, dass es keine Unbestimmtheit für sie geben kann.
Mengenlehre/ML: hier ist es etwas komplizierter: volle ML 2. Stufe ist nicht ganz kategorisch (wenn es unerreichbare Kardinalzahlen gibt) sondern nur quasi-kategorisch. D.h. für alle Interpretationen, in der sie wahr ist, sind diese entweder isomorph oder isomorph zu einem Fragment der anderen, die durch Beschränkung auf eine weniger unerreichbare Kardinalzahl erhalten wurde.
Pointe: selbst die quasi-kategorische Theorie 2. Stufe ist noch hinreichend, den meisten Fragen über die Mächtigkeit des Kontinuums (MdK) denselben Wahrheitswert (WW) in allen Interpretationen zu geben, so dass die Annahmen einer Unbestimmtheit in ML fast beseitigt ist.
McGee: (1997) zeigt, dass wir volle ML 2. Stufe durch Hinzufügung eines Axioms erhalten können. Dieses Axiom beschränkt sie auf Interpretationen, in denen Quantoren 1. Stufe über absolut alles gehen. Dann erhalten wir volle Kategorizität.
Problem: das geht nicht, wenn die Quantoren 2. Stufe über alle Teilmengen des Bereichs der Quantoren 1. Stufe gehen. (Paradoxien) Aber bei McGee (wie bei Boolos 1984) gehen die Quantoren 2. Stufe nicht buchstäblich über Klassen als spezielle Entitäten, sondern als „plurale Quantoren“. (>plurale Quantifikation).
Unbestimmtheit/Logik 2. Stufe/FieldVsMcGee: (s.io- Kapitel I): Vs den Versuch, der Unbestimmtheit durch Logik 2. Stufe zu entrinnen: es ist fraglich, ob das Unbestimmtheits-Argument auf die Bestimmtheit der Logik 2. Stufe überhaupt anwendbar ist, wie er auf den Begriff der Menge anwendbar ist. Wenn man sagt, dass Sätze über die MdK keinen bestimmten WW haben, führt das zu einem Argument, dass der Begriff „alle Teilmengen“ unbestimmt ist, und daher, dass es unbestimmt ist, was als „volle“ Interpretation zählt.
plurale Quantifikation: auch sie kann unbestimmt sein: Frage: über welche Vielheiten sollen plurale Quantoren gehen?
„Volle“ Interpretation: ist dennoch (obwohl sie relativ auf einen Begriff der „Fülle“ ist) quasi-eindeutig. Aber das mindert nicht die Unbestimmtheit.
McGeeVsField: (1997): dieser behauptet, dass diese Kritik darauf beruht, dass Logik 2. Stufe nicht als richtiger Teil der Logik, sondern als Mengenlehre in Verkleidung angesehen werde.
FieldVsMcGee: das ist falsch: ob Logik 2. Stufe Teil der Logik ist, ist eine terminologische Frage. Selbst wenn sie ein Teil der Logik ist, könnten die Quantoren 2. Stufe unbestimmt sein, und das unterminiert, dass Kategorizität 2. Stufe Bestimmtheit impliziert.
„absolut alles“/Quantifikation/FieldVsMcGee: dass man sich nur für solche Modelle interessiere, in denen die Quantoren 1. Stufe über absolut alles gehen, schafft es nur dann, die Unbestimmtheit der Quantifikation 1. Stufe zu beseitigen, wenn der Gebrauch von „absolut alles“ determiniert (bestimmt) ist!
Pointe: diese Forderung funktioniert nur, wenn sie überflüssig ist: d.h. nur, wenn Quantifikation über absolut alles ohne diese Forderung möglich ist!
Allquantifikation/(s): „über alles“: unbestimmt, weil kein Prädikat angegeben, (wie sonst Bsp (x)Fx). „Alles“ ist kein Prädikat.
Inflationismus/Field: der Vertreter inflationistischer Semantik muß erklären wie es kommt, dass Merkmale unserer Praxis (Gebrauch) bestimmen, dass unsere Quantoren über absolut alles gehen.
II 353
McGee: (2000) versucht eben dies: (*) wir müssen die Hypothese ausschließen, dass die anscheinend unbeschränkten Quantoren einer Person nur über Entitäten vom Typ F gehen, wenn die Person einen Begriff von F hat.
(s) d.h. man sollte auch über etwas Unbestimmtes oder Unbekanntes quantifizieren können.
Field: McGee sagt, dass dies die normalen Versuche ausschließt, die Unbestimmtheit der Allquantifikation zu zeigen.
FieldVsMcGee: das gelingt nicht. Bsp angenommen, wir gehen davon aus, dass unsere eigenen Quantoren bestimmt über alles laufen. Dann scheint es natürlich anzunehmen, dass die Quantoren einer anderen Person von denselben Regeln regiert werden und also auch bestimmt über alles laufen. Dann könnten sie nur dann einen beschränkteren Bereich haben, wenn die Person einen eingeschränkteren Begriff hat.
FieldVs: die eigentliche Frage ist, ob die Quantoren überhaupt einen bestimmten Bereich haben, auch unsere eigenen! Und wenn ja, wie kommt es, dass unser Gebrauch (Praktiken) diesen Bereich festlegen?. Es ist nicht einmal klar in diesem Kontext, was es heißt, den Begriff eines eingeschränkten Bereichs zu haben! Denn wenn Allquantifikation unbestimmt ist, dann sicher auch die Begriffe, die für eine Einschränkung des Bereichs gebraucht werden.
Bereich/Quantifikation/Field: für jeden Kandidaten X für den Bereich unbeschränkter Quantoren, haben wir automatisch einen Begriff der wenigstens ein Kandidat für das Herausgreifen der Objekte in X ist: nämlich den Begriff der Selbstidentität! ((s) Also Allquantifikation. Alles ist mit sich selbst identisch).
FieldVMcGee: wenn auch (*) sogar akzeptabel ist in dem Fall wo unsere eigenen Quantoren unbestimmt sein können, hat es hier keine Zähne.

Field VS Bedeutungswandel od. Vs Induktion!!!
II 355 schematische Arithmetik 1. Stufe/McGee: (1997, S. 57): scheint zu behaupten, dass sie viel stärker ist, als normale Arithmetik 1. Stufe.
G. sei ein Gödel-Satz
PA: „primitive Arithmetik“. Basierend auf den normalen Grundbegriffen.
McGee: scheint zu behaupten, dass G in schematischer PA Beweisbar ist ((s) also nicht wahr ist). Wir müßten nur das W-Prädikat hinzufügen und Induktionen darüber anwenden.
FieldVsMcGee: das ist falsch. Wir erhalten stärkere Ergebnisse, wenn wir außerdem eine bestimmte kompositionale W-Theorie hinzufügen (Das sagt McGee auch am Schluß).
Problem: das geht über schematische Arithmetik hinaus.
McGee: sein Ansatz ist aber mehr modelltheoretisch: d.h. schematische ZT 1. Stufe fixiert die Extensionen der zahlentheoretischen Begriffe eindeutig.
Def Unbestimmtheit: „Nicht-Standard-Modelle habend“.
McGee: Angenommen, unsere arithmetische Sprache ist unbestimmt, d.h. sie läßt unintendierte Modelle zu. Aber es gibt eine mögliche Erweiterung (Ausdehnung) der Sprache mit einem neuen Prädikat „Standard-natürliche Zahl“.
Lösung: Induktion über diesem neuen Prädikat wird die Nicht-Standard-Modelle ausschließen.
FieldVsMcGee: ich glaube, dass das eine Mogelei ist (obwohl einige anerkannte Logiker es vertreten). Angenommen, wir haben hier nur Peano-Arithmetik, mit
Schema/Field: hier: verstanden als nur in der aktualen (current) Sprache Instanzen habend.
Angenommen, wir haben es nicht geschafft, eine einheitliche Struktur („up to“) bis zu einem Isomorphismus herauszugreifen. (Field: diese Annahme ist falsch).
FieldVsMcGee: wenn das der Fall ist, dann wird das bloße Hinzufügen von neuem Vokabular nicht helfen, und zusätzlich neue Axiome für das neue Vokabular würden nicht besser helfen, als wenn man die neuen Axiome einfach ohne das neue Vokabular einführt! Insbesondere für Bsp „Standard-natürliche Zahl“.
Schema/FieldVsMcGee: wie kann seine reiche Sichtweise von Schemata helfen, Bestimmtheit zu sichern? Sie erlaubt nur, eine neue Instanz der Induktion hinzuzufügen, wenn ich neues Vokabular einführe. Für McGee scheint der benötigte relevante Begriff gar nicht „Standard-natürliche-Zahl“ zu sein, und wir haben schon gesehen, dass dieser nicht hilft.
Prädikat/Bestimmtheit/Unbestimmtheit/Field: sicher, wenn ich ein neues Prädikat mit einer gewissen „magischen“ Fähigkeit, seine Extension zu bestimmen, hätte,
II 356
dann hätten wir echte natürliche Zahlen herausgegriffen. Das ist aber ein Tautologie und hat nichts zu tun damit, ob ich das Induktionsschema auf dieses magische Prädikat ausdehne. FieldVsMystik/VsMystizismus/Magie: Problem: wenn man denkt, dass man in der Zukunft vielleicht ein magisches Hilfsmittel zur Verfügung hat, dann könnte man auch denken, dass man es schon jetzt hat und dieses würde wiederum nicht von der schematischer Induktion abhängen. Dann ist die einzige mögliche Relevanz der Induktion nach dem Schema, zu erlauben, die postulierten zukünftigen magischen Fähigkeiten auf die Gegenwart zu übertragen. Und zukünftige Magie ist nicht weniger mysteriös als gegenwärtige.
FieldVsMcGee: es ist Mogelei, die Erweiterung der Sprache in Begriffen ihrer Extensionen zu beschreiben. Die Mogelei besteht darin anzunehmen, dass die neuen Prädikate in der Erweiterung bestimmte Extensionen haben. Und die haben sie nicht, wenn der Indeterminist Recht hat in Bezug auf die ZT (Field: ich glaube zwar nicht, dass der Indeterminismus recht hat in Bezug auf die ZT; aber wir nehmen das hier an).
Erweiterung/Ausdehnung/Sprache/Theorie/FieldVsMcGee: 2.Vs: dieser denkt, dass die benötigten neuen Prädikate solche sein könnten, für die es psychologische unmöglich ist, sie überhaupt hinzuzufügen, wegen ihrer Komplexität. Dennoch würden unsere Sprachregeln ihr Hinzufügen nicht verbieten.
FieldVsMcGee: kann es in dem Fall wirklich bestimmt sein, dass die Sprachregeln uns etwas erlauben, was psychologisch unmöglich ist? Das scheint eher ein besonders gutes Beispiel für Unbestimmtheit zu sein.
FieldVsMcGee: das wichtigste ist aber, dass wir nicht einfach neue Prädikate mit bestimmten Extensionen hinzufügen.

Field I
H. Field
Realism, Mathematics and Modality Oxford New York 1989

Field II
H. Field
Truth and the Absence of Fact Oxford New York 2001

Field III
H. Field
Science without numbers Princeton New Jersey 1980

Field IV
Hartry Field
"Realism and Relativism", The Journal of Philosophy, 76 (1982), pp. 553-67
In
Theories of Truth, Paul Horwich Aldershot 1994
Beweis Gödel Dennett Vs Penrose, R. I 614
Gödel/Toshiba-Bibliothek/Dennett: "es gibt keinen einzelnen Algorithmus, der alle Wahrheiten der Arithmetik beweisen kann". Dennett: über alle anderen Algorithmen in der Bibliothek sagt Gödel aber nichts!
I 615
Insbesondere sagt er nichts darüber, ob in der Bibliothek nicht Algorithmen für besonders eindrucksvolle Leistungen befinden, Sätze "als wahr zu bezeichnen"! "Mathematisches Gespür", riskante, heuristische Algorithmen, usw. DennettVsPenrose: er macht genau den Fehler, diese Gruppe möglicher Algorithmen zu ignorieren und sich allein auf jene zu konzentrieren, deren Unmöglichkeit Gödel nachgewiesen hatte. bzw. von denen Gödel überhaupt etwas aussagt.
Dennett: ein Algorithmus kann "mathematische Einsicht" hervorbringen, obwohl er kein "Algorithmus für mathematische Einsicht" war!
I 617
PenroseVsKünstliche Intelligenz/VsKI: x kann hervorragend ein Schachmatt erreichen -> es gibt keinen Algorithmus für Schach. Deshalb ist die gute Leistung von x nicht damit zu erklären, dass x einen Algorithmus ablaufen lässt.
I 619
DennettVsPenrose: das ist falsch. Die Ebene des Algorithmus ist ganz offensichtlich die richtige Erklärungsebene. X gewinnt, weil er den besseren Algorithmus hat!
I 617/618
Fehlschluss: Wenn der Geist ein Algorithmus ist, dann ist dieser sicher nicht erkennbar oder zugänglich für diejenigen, deren Geist er erzeugt. Bsp es gibt keinen speziellen Algorithmus, kursiv von fett zu unterscheiden, aber das heißt nicht, dass man es nicht unterscheiden kann. Bsp angenommen, in der Bibliothek von Babel gibt es ein einziges Buch, in dem alphabetisch alle New Yorker Teilnehmer stehen, deren Nettovermögen über 1 Mio. Dollar beträgt. ("Megaphonbuch"). Jetzt können wir mehrere Aussagen über dieses Buch beweisen: 1. Der erste Buchstabe auf der ersten Seite ist ein A. 2. Der erste Buchstabe auf der letzten Seite ist kein A. Bsp dass wir keine Überreste der "Eva der Mitochondrien" finden können, bedeutet nicht, dass wir keine Aussagen über sie ableiten können.
Dennett I 619
Penrose: wenn man einen beliebigen einzelnen Algorithmus nimmt, kann dieser nicht die Methode sein, mit der sich menschliche Mathematiker mathematischer Wahrheiten versichern. demnach bedienen sie sich überhaupt keines Algorithmus.
I 621
DennettVsPenrose: damit ist nicht gezeigt, dass ein menschliches Gehirn nicht algorithmisch arbeitet. Im Gegenteil: es macht deutlich, wie die Kräne der Kultur die Gemeinschaft der Mathematiker in dezentralen algorithmischen Prozessen ohne erkennbare Grenzen ausnutzen können.
I 623
DennettVsPenrose: er sagt, das Gehirn sei keine Turingmaschine, er sagt aber nicht, dass das Gehirn von einer Turingmaschine nicht gut wiedergegeben wird.!
I 625/626
Penrose: selbst ein Quantencomputer wäre noch eine Turingmaschine, die nur nachweislich berechenbare Funktionen berechnen kann. Penrose möchte aber darüber hinaus vorstoßen: mit "Quantengravitation".
I 628
DennettVsPenrose: warum glaubt er, eine solche Theorie müsse nicht berechenbar sein? Weil sonst die Künstliche INtellgenz möglich wäre! Das ist alles. (Fehlschluss). DennettVsPenrose: Idee mit Mikrotubuli ist nicht überzeugend: angenommen, er hätte recht, dann hätten auch Küchenschaben einen unberechenbaren Geist! Sie haben nämlich Mikrotubuli wie wir.

Dennett I
D. Dennett
Darwins gefährliches Erbe Hamburg 1997

Dennett II
D. Dennett
Spielarten des Geistes Gütersloh 1999

Dennett III
Daniel Dennett
"COG: Steps towards consciousness in robots"
In
Bewusstein, Thomas Metzinger Paderborn/München/Wien/Zürich 1996

Dennett IV
Daniel Dennett
"Animal Consciousness. What Matters and Why?", in: D. C. Dennett, Brainchildren. Essays on Designing Minds, Cambridge/MA 1998, pp. 337-350
In
Der Geist der Tiere, D Perler/M. Wild Frankfurt/M. 2005
Beweis Gödel Deutsch Vs Penrose, R. I 221
Penrose behauptet, dass schon die Existenz einer Art offener mathematischer Intuition, sich nicht mit der bestehenden Struktur der Physik und insbesondere nicht mit dem Turingprinzip verträgt. Wenn das Turingprinzip wahr ist, können wir das Gehirn (wie jedes andre Objekt) als einen Computer auffassen, der ein bestimmtes Programm ausführt. Ein solches Programm verkörpert eine Menge von Hilbertschen Beweisregeln, die nach Gödels Satz nicht vollständig sein kann.
Deshalb kann der Mathematiker, dessen Geist ein Computer ist, diese Aussage ebenfalls niemals als bewiesen anerkennen.
Penrose schlägt dann vor, die Aussage diesem Mathematiker vorzulegen. Der Mathematiker versteht den Beweis. Er ist ja schließlich selbstverständlich gültig, und deshalb kann der Mathematiker vermutlich sehen, dass er gültig ist. Aber das würde Gödel Satz widersprechen. Hier muss also irgendwo ein Fehler stecken. Und das ist nach Penrose" Meinung das Turingprinzip.
DeutschVsPenrose: Bsp Deutsch kann die Wahrheit diese Aussage nicht widerspruchsfrei Beweisen.
Das kann ich nicht, obwohl ich sehe dass sie wahr ist, oder nicht? Und ich verstehe den Satz auch. So ist es zumindest möglich, dass eine Aussage für einen Menschen unbegreiflich ist, für jeden anderen jedoch selbstverständlich wahr sein kann! (>Gödel/Penrose).

Deutsch I
D. Deutsch
Die Physik der Welterkenntnis München 2000
Beweis Gödel Field Vs Platonismus III 105
1. Stufe/Theorie/Fazit/Field: für jede Theorie 1. Stufe gibt es eine bessere, die intuitiv wahr zu sein scheint, wenn die ursprüngliche es ist und diese ist ausdrucksstärker (stärker).
III 106
Das gilt für nominalistische wie für platonistische Theorien. Daher kann es nicht als Argument für eine Inadäquatheit von N0 gebraucht werden, wenn nicht auch platonistische Theorien 1. Stufe als inadäquat angesehen werden können. Fazit: wenn man auf Theorien 1. Stufe festgelegt ist, gibt es keinen offensichtlichen Weg zu entscheiden, ob eine gut genug ist, die in der Praxis gebrauchten Konsequenzen zu liefern und die „recherché“ Konsequenzen (mit Gödelsatz) auszuschließen.
FieldVsPlatonismus: also ist der obige Einwand kein Argument für den Platonismus.
Theorie 2. Stufe: ist natürlich auf jeden Fall ein Mittel gegen dieses Problem. Aber wir haben gesehen daß N (das ist 2. Stufe) alle Konsequenzen hat, die platonistische ML 2. Stufe hat, und daher ist schwer einzusehen, was die Vorteile des Platonismus im Kontext der Logik 2. Stufe sein sollen.

I 112
Modelltheorie/Erklärung/Field: brauchen wir hier auch eine nominalistische Analogie zur platonistischen MT? Das ist eine verbale Frage. Es hängt davon ab, ob wir Modallogik selbst als ein Analogon platonistischer Modelltheorie verstehen. Wenn ja, dann ist Modelltheorie wie Physik und wir können die vorherigen Überlegungen nutzen. Und wir müssen sie nutzen, denn man kann die Anwendbarkeit der Metalogik nicht allein aus der Konservativität erklären. wenn die Logik nicht modal ist.
Wenn wir andererseits die Modallogik nicht so betrachten, dann ist die Modelltheorie wie die Beweistheorie: wir brauchten kein nominalistisches Analogon der Modelltheorie, weil sie nicht als Erklärung dient.
Sie dient dann nur dazu, etwas über Möglichkeit und Unmöglichkeit herauszufinden. Dann brauchen wir wiederum nicht die Wahrheit der Aussagen anzunehmen., (VsPlatonismus).

Field I
H. Field
Realism, Mathematics and Modality Oxford New York 1989

Field II
H. Field
Truth and the Absence of Fact Oxford New York 2001

Field III
H. Field
Science without numbers Princeton New Jersey 1980

Field IV
Hartry Field
"Realism and Relativism", The Journal of Philosophy, 76 (1982), pp. 553-67
In
Theories of Truth, Paul Horwich Aldershot 1994
Beweis Gödel Gödel Vs Russell, B. Russell I XIV
ZirkelfehlerprinzipPrincipia Mathematica/PM/Russell/Gödel: scheint also nur zu gelten unter konstruktivistischen Annahmen: wenn man unter einem Begriff ein Symbol versteht, zusammen mit einer Regel, um Sätze, die das Symbol enthalten zu übersetzen in Sätze, die es nicht enthalten. Klassen/Begriffe/Gödel: können dagegen auch als reale Objekte aufgefasst werden, nämlich als "Vielheiten von Dingen" und Begriffe als Eigenschaften oder Relationen von Dingen, die unabhängig von unseren Definitionen und Konstruktionen existieren!
Das ist genauso legitim wie die Annahme physikalischer Körper. Sie sind auch für Mathematik notwendig, so wie sie es für die Physik sind. Konzept/Terminologie/Gödel: ich werde „Konzept“ von jetzt an ausschließlich in diesem objektiven Sinne gebrauchen.
Ein formaler Unterschied zwischen diesen zwei Konzeptionen von Begriffen wäre: dass von zwei verschiedenen Definitionen der Form α(x) = φ(x) angenommen werden kann, dass sie zwei verschiedenen Begriffe α im konstruktivistischen Sinn definieren. (Nominalistisch: da zwei solche Definitionen unterschiedliche Übersetzungen geben für Propositionen, die α enthalten.)
Für Konzepte (Begriffe) ist das dagegen keineswegs der Fall, da dasselbe Ding in verschiedener Weise beschrieben werden kann.
Bsp "Zwei ist der Begriff, unter den alle Paare fallen und nichts sonst." Es gibt gewiss mehr als einen Begriff im konstruktivistischen Sinne, der dieser Bedingung genügt, aber es könnte eine gemeinsame "Form" oder "Natur" aller Paare geben.
Alle/Carnap: Vorschlag, "alle" als Notwendigkeit zu verstehen, würde nichts helfen, wenn "Beweisbarkeit" konstruktivistisch eingeführt würde (..+..).
Def Intensionalitätsaxiom/Russell/Gödel: zu verschiedenen Definitionen gehören verschiedene Begriffe.
Dieses Axiom hält für Begriffe im Zirkelfehlerprinzip: konstruktivistischer Sinn.
Konzepte/Russell/Gödel: (ungleich Begriffe!) sollen objektiv existieren. (Also nicht konstruiert). (Realistischer Standpunkt).
Ist nur die Rede von Konzepten, bekommt die Frage einen völlig anderen Sinn: dann scheint es keinen Einwand dagegen zu geben, von ihnen allen zu sprechen, noch dagegen, einige von ihnen unter Bezug auf alle zu beschreiben.
Eigenschaften/GödelVsRussell: man könnte sicher von der Totalität aller Eigenschaften (oder aller eines bestimmten Typs) sprechen, ohne dass das zu einer "Absurdität" führen würde! ((s) > Bsp „Alle Eigenschaften eines großen Feldherrn“.
Gödel: das macht es lediglich unmöglich, ihren Sinn zu konstruieren (d.h. als eine Behauptung über Sinneswahrnehmung oder irgendwelche anderen nichtkonzeptuellen Entitäten zu erklären), was kein Einwand für jemand ist, der den realistischen Standpunkt einnimmt.
Teil/Ganzes/Mereologie/GödelVsRussell:: ebenso wenig ist es widersprüchlich, dass ein Teil identisch (nicht bloß gleich) sein soll mit dem Ganzen, wie im Falle von Strukturen im abstrakten Sinne zu sehen ist. Bsp Die Struktur der Reihe der ganzen Zahlen enthält sich selbst als einen besonderen Teil.
I XVI/XVII
Sogar innerhalb des Bereichs der konstruktivistischen Logik gibt es gewisse Annäherungen an diese Selbstreflektivität (Selbstreflexivität/Heutzutage: Selbstähnlichkeit) imprädikativer Eigenschaften, nämlich Bsp Propositionen, die als Teile ihres Sinns nicht sich selbst enthalten, sondern ihre eigene formale Beweisbarkeit. Es existieren auch Sätze, die sich auf eine Totalität von Sätzen beziehen, zu der sie selbst gehören: Bsp "Jeder Satz einer (gegebenen) Sprache enthält mindestens ein Beziehungswort."
Das macht es nötig, nach anderen Lösungen für die Paradoxien zu suchen, denen zufolge der Trugschluss nicht in der Annahme gewisser Selbstreflektivitäten der Grundterme besteht, sondern in anderen Annahmen über dieselben!
Die Lösung mag vorläufig in der einfachen Typentheorie gefunden worden sein. Natürlich bezieht sich all das nur auf Konzepte.
Klassen: man sollte meinen, dass sie ebenfalls nur durch ihre Definitionen nicht geschaffen, sondern nur beschrieben werden! Dann gilt das Zirkelfehler Prinzip wieder nicht.
Zermelo spaltet Klassen in "Ebenen" auf, so dass nur Mengen niedrigerer Ebenen Elementen von Mengen höherer Ebenen sein können.
Reduzibilitätsaxiom/Russell/Gödel. (später fallengelassen) wird nun vom Klassenaxiom (Zermelos "Aussonderungsaxiom") eingenommen: dass für jede Ebene für eine beliebige Propositionalfunktion(Aussagenfunktion, AF)
φ(x)
die Menge jener x von dieser Ebene existiert, für die φ(x) wahr ist.
Das scheint impliziert zu sein durch das Konzept von Klassen als Vielheiten.
I XVIII
Extensionalität/Klassen: Russell: zwei Gründe gegen die extensionale Sicht von Klassen: 1. Die Existenz der Nullklasse, die nicht gut eine Kollektion sein kann, 2. Die Einerklassen, die identisch sein müssten mit ihren einzigen Elementen. GödelVsRussell: das könnte nur Beweisen, dass die Nullklassen und die Einerklassen (als unterschieden von ihrem einzigen Element) Fiktionen sind zur Vereinfachung des Kalküls, und nicht Beweisen, dass alle Klassen Fiktionen sind!
Russell: versucht, soweit wie möglich ohne die Annahme der objektiven Existenz von Klassen auszukommen. Danach sind Klassen nur eine facon de parler.
Gödel: aber auch "idealistische" Propositionen, die Universalien enthalten, könnten zu denselben Paradoxien führen.
Russell: schafft Regeln der Übersetzungen, nach denen Sätze, die Klassennamen oder den Term "Klasse" enthalten, übersetzt werden in solche, die sie nicht enthalten.
Klassennamen/Russell: eliminieren durch Übersetzungsregeln.
Klassen/PM/Russell/Gödel: Principia kommen so ohne Klassen aus, aber nur wenn man die Existenz eines Konzepts annimmt, wann immer man eine Klasse konstruieren möchte.
Zunächst müssen einige von ihnen, die Grundprädikate und Relationen wie "rot", "kälter" augenscheinlich als reale Objekte angesehen werden. Die höheren Begriffe erscheinen dann als etwas Konstruiertes (d.h. etwas, das nicht zum "Inventar der Welt" gehört).
I XIX
Ramsey: meinte, dass man Propositionen unendlicher Länge bilden könne und hält den Unterschied endlich /unendlich für nicht so entscheidend. Gödel: Logik und Mathematik sind wie Physik auf einem realen Inhalt aufgebaut und können nicht "wegerklärt" werden.
Existenz/Ontologie/Gödel: es verhält sich nicht so, als sei das Universum der Dinge in Ordnungen eingeteilt und wäre es einem verboten, von allen Ordnungen zu sprechen, sondern im Gegenteil: es ist möglich, von allen existierenden Dingen zu sprechen. Klassen und Konzepte sind allerdings nicht darunter.
Wenn sie aber als facon de parler eingeführt werden, stellt sich heraus, dass die Erweiterung des Symbolismus die Möglichkeit eröffnet, sie auf umfassendere Weise einzuführen, und so weiter, bis ins Unendliche.
Um dieses Schema durchzuhalten, muss man allerdings die Arithmetik (oder etwas gleichwertiges) voraussetzen, was nur Beweist, dass nicht einmal diese beschränkte Logik auf nichts aufgebaut werden kann.
I XX
Konstruktivistische Haltung/Konstruktivismus/Russell/Gödel: wurde in der ersten Auflage aufgegeben, da das Reduzibilitätsaxiom für höhere Typen es notwendig macht, dass Grundprädikate von beliebig hohem Typ existieren. Vom Konstruktivismus bleibt lediglich
1. Klassen als facon de parler
2. Die Definition von ~, v,. usw. als geltend für Propositionen, die Quantoren enthalten,
3. Stufenweise Konstruktion von Funktionen von Ordnungen höher als 1(freilich wegen des R-Axioms überflüssig)
4. Interpretation von Definitionen als bloßen typographischen Abkürzungen (alles unvollständige Symbole, nicht solche, die ein durch die Definition beschriebenes Objekt benennt!).
Reduzibilitätsaxiom/GödelVsRussell: dieser letzte Punkt ist eine Illusion, weil wegen des Reduzibilitäts Axioms stets reale Objekte in Form von Grundprädikaten oder Kombinationen von solchen entsprechend jedem definierten Symbol existieren.
Konstruktivistische Haltung/Konstruktivismus/PM/Gödel: wird in der zweiten Auflage wieder eingenommen und das Reduzibilitäts-Axiom fallengelassen. Es wird festgestellt, dass alle Grundprädikate zum niedrigsten Typ gehören.
Variablen/Russell/Gödel: ihr Zweck ist es, die Behauptungen komplizierterer Wahrheitsfunktionen von atomistischen Propositionen zu ermöglichen. (d.h. dass die höheren Typen nur eine facon de parler sind.).
Die Basis der Theorie soll also aus Wahrheitsfunktionen von atomistischen Propositionen bestehen.
Das ist kein Problem, wenn die Zahl der Individuen und Grundprädikate endlich ist.
Ramsey: Problem der Unfähigkeit, unendliche Propositionen zu bilden ist "bloße Nebensache"
I XXI
endlich/unendlich/Gödel: mit dieser Umgehung des Problems durch Missachtung des Unterschieds von endlich und unendlich dann existiert eine einfachere und zugleich weiterreichende Interpretation der Mengenlehre: Dann wird nämlich Russells Apercu, dass Propositionen über Klassen als Propositionen über ihre Elemente interpretiert werden können, buchstäblich wahr, vorausgesetzt, n ist die Zahl der (endlichen) Individuen der Welt und vorausgesetzt, wir vernachlässigen die Nullklasse. (..) + I XXI

Theorie der Ganzen Zahlen: die zweite Auflage behauptet, dass sie zu erreichen sei. Problem: dass in der Definition "jene Kardinalzahlen, die zu jeder Klasse gehören, die 0 enthält und x + 1 enthält, wenn sie x enthält" die Wendung "jede Klasse" sich auf eine gegebene Ordnung beziehen muss.
I XXII
So erhält man ganze Zahlen verschiedener Ordnungen, und vollständige Induktion kann auf ganze Zahlen von Ordnung n nur für Eigenschaften von n angewandt werden! (...) Die Frage der Theorie der ganzen Zahlen auf Basis der verzweigten Typentheorie ist zurzeit noch ungelöst.
I XXIII
Theorie der Ordnung/Gödel: fruchtbarer, wenn sie von einem mathematischen Standpunkt, nicht einem philosophischen betrachtet wird, also unabhängig von der Frage, ob imprädikative Definitionen zulässig sind. (...) imprädikative Totalitäten werden von einer Funktion der Ordnung α und ω vorausgesetzt.
Menge/Klasse/PM/Russell/Typentheorie/Gödel: die Existenz einer wohlgeordneten Menge vom Ordnungstyp ω1 reicht hin für die Theorie der reellen Zahlen.
Def Kontinuumshypothese/Gödel: (verallgemeinert): keine Kardinalzahl existiert zwischen der Potenz irgendeiner beliebigen Menge und der Potenz der Menge ihrer Untermengen.
Typentheorie/GödelVsRussell: gemischte Typen (Individuen zusammen mit Prädikationen über Individuen usw.) widersprechen dem Zirkelfehlerprinzip offensichtlich gar nicht!
I XXIV
Russell stützte seine Theorie auf ganz andere Gründe, die denen ähneln, die Frege bereits für die Theorie einfacherer Typen für Funktionen angenommen hatte. Propositionalfunktionen/Aussagenfunktion/AF/Russell/Gödel: haben immer etwas mehrdeutiges, wegen der Variablen. (Frege: etwas ungesättigtes).
Propositionalfunktion/AF/Russell/Gödel: sozusagen ein Fragment einer Proposition. Sie zu kombinieren, ist nur möglich, wenn sie "zusammenpassen" d.h. von geeignetem Typ sind.
GödelVsRussell: Konzepte (Begriffe) als reale Objekte: dann ist die Theorie der einfachen Typen nicht plausibel, denn wovon man erwarten würde dass es (wie z.B. "Transitivität" oder die Zahl zwei) ein Konzept wäre, schiene dann etwas zu sein, was hinter all seinen unterschiedlichen "Realisationen" auf den verschiedenen Ebenen steht und das demnach zufolge der Typentheorie nicht existiert.
I XXV
Paradoxien in der intensionalen Form/Gödel: hier bringt die Typentheorie eine neue Idee: nämlich die Paradoxien nicht auf dem Axiom zu tadeln, dass jede Propositionalfunktion ein Konzept oder eine Klasse definiert, sondern auf der Annahme, dass jedes Konzept eine sinnvolle Proposition ergibt, wenn es behauptet wird für ein beliebiges Objekt als Argument. Der Einwand, dass jedes Konzept ausgedehnt werden kann auf alle Argumente, indem ein anderes definiert wird, das eine falsche Proposition ergibt, wann immer das ursprüngliche sinnlos war, kann leicht entkräftet werden durch den Hinweis, dass das Konzept "sinnvoll anwendbar" nicht selbst immer sinnvoll anwendbar sein muss.

Göd II
Kurt Gödel
Collected Works: Volume II: Publications 1938-1974 Oxford 1990
Beweis Gödel Quine Vs Russell, B. Chisholm II 75
Prädikate/Benennen/Russell: benennende Ausdrücke: Eigennamen stehen für Einzeldinge und Allgemeinausdrücke für Universalien. (Probleme d. Phil. S. 82f). In jedem Satz bezeichnet wenigstens ein Wort ein Universale. QuineVsRussell: Konfusion!
II 108
Theorie der Kennzeichnungen/VsRussell/Brandl: so gerät die ganze Theorie in Verdacht, die Tatsache zu unterschlagen, daß materielle Gegenstände niemals Teil von Propositionen sein können. QuineVsRussell: Verwechslung von Erwähnung und Gebrauch.
Quine II 97
Pricipia mathematica, 1903: Hier ist Russells Ontologie zügellos: jedes Wort bezieht sich auf etwas. Ist ein Wort ein Eigenname, so ist sein Gegenstand ein Ding, andernfalls ein Begriff. Er beschränkt den Terminus "Existenz" auf Dinge, vertritt aber eine liberale Auffassung der Dinge, die sogar Zeitpunkte und Punkte des leeren Raums miteinschließt! Dann gibt es, jenseits des Existierenden die übrigen Entitäten: "Zahlen, die Götter Homers, Beziehungen, Hirngespinste, und vierdimensionale Räume" Das Wort "Begriff", von Russell in dieser Weise angewendet hat die Nebenbedeutung "bloß ein Begriff". Vorsicht: Götter und Hirgespinste sind für Russell ebenso real wie Zahlen!
QuineVsRussell: dies ist eine unerträglich wahllose Ontologie. Bsp Nehmen wir unmögliche Zahlen, etwa Primzahlen, die durch 6 teilbar sind. Es muss in gewissem Sinne falsch sein, dass es sie gibt, und zwar in einem Sinne, in dem es richtig ist, dass es Primzahlen gibt! Gibt es in diesem Sinne Hirngespinste?

II 101
Russell hat eine Vorliebe für den Ausdruck " Aussagenfunktion" gegenüber "Klassenbegriff". In P.M. kommen beide Ausdrücke vor. Hier: Def "Aussagenfunktion": vor allem auf Notationsformen bezogen z.B. offene Sätze, während Begriffe entschieden notationsunabhängig sind. Doch nach Meinong ist Russells Vertrauen in Begriffe geschwunden, und er bevorzugt den nominalistischerern Ton des Ausdrucks "Aussagenfunktion", der nun die doppelte Last trägt (später als Principia Mathematica.)
Gebrauch/Erwähnung/Quine: wenn wir nun versuchen, den Unterschied zwischen Gebrauch und Erwähnung ebenso nachlässig zu behandeln, wie Russell es vor sechzig Jahren fertiggebracht hat, können wir erkennen, wie er das Gefühl haben mochte, seine Theorie der Aussagenfunktionen sei notationsbezogen, während eine Theorie der Typen realer Klassen ontologisch wäre.
Quine: wir, die auf Gebrauch und Erwähnung achten, können angeben, wann Russells sogenannten Aussagenfunktionen als Begriffe (spezifischer als Eigenschaften und Beziehungen) aufgefasst werden müssen und wann sie als bloße offene Sätze oder Prädikate aufgefasst werden dürfen: a) dann, wenn er über sie quantifiziert, reifiziert er sie (auch unwissentlich) als Begriffe.
Aus diesem Grund kann für seine Elimination der Klassen nicht mehr in Anspruch genommen werden, als ich oben behauptet habe: eine Ableitung der Klassen aus Eigenschaften oder Begriffen mittels einer Kontextdefinition, die so formuliert ist, dass sie die fehlende Extensionalität liefert.
QuineVsRussell: meint fälschlich, seine Theorie habe die Klassen durchgreifender aus der Welt geschafft als im Sinne einer Reduktion auf Eigenschaften.
II 102
RussellVsFrege: "~die ganze Unterscheidung zwischen Bedeuten und Bezeichnen ist falsch. Die Beziehung zwischen "C" und C bleibt völlig mysteriös, und wo sollen wir den bezeichnenden Komplex finden, der angeblich C bezeichnet?" QuineVsRussell: Russells Standpunkt scheint manchmal von einer Verwechslung der Ausdrücke mit ihren Bedeutungen, manchmal Verwechslung des Ausdrucks mit seiner Erwähnung herzurühren.
II 103/104
In anderen Schriften verwendet Russel Bedeutung gewöhnlich im Sinne von "Bezug nehmen" (würde Frege entsprechen): "Napoleon" bestimmtes Individuum, "Mensch" ganze Klasse solcher Einzeldinge, welche Eigennamen haben."
Russell scheint selten unter irgendeiner Rubrik auf eine bestehende Entität zu achten, die dergestalt wäre, dass wir sie die über den existierenden Bezugsgegenstand hinausgehende Bedeutung nennen könnten.
Russell neigt dazu, diese Entität mit dem Ausdruck selbst verschwimmen zu lassen, wozu er im Hinblick auf bestehende Wesenheiten generell tendiert.
QuineVsRussell: für meinen Geschmack geht Russell mit bestehenden Entitäten allzu verschwenderisch um. Gerade, weil er nicht genügend unterscheidet, lässt er Bedeutungslosigkeit und verfehlte Bezugnahme tendenziell ineinander verschwimmen.
Theorie der Kennzeichnungen: Er wird den "König von Frankreich" nicht los, ohne zunächst die Kennzeichnungstheorie zu erfinden: Sinnvoll sein heiße: eine Bedeutung haben und die Bedeutung sei der Bezug. also "König von Frankreich" ohne Bedeutung und "Der König von Frankreich ist kahl" habe eine Bedeutung nur deshalb, weil es die Kurzform eines Satzes sei, der den Ausdruck "König von Frankreich" nicht enthält.
Quine: eigentlich unnötig, aber erhellend.
Russell neigt dazu, bestehende Entitäten und Ausdrücke ineinander verschwimmen zu lassen. Auch anlässlich seiner Bemerkungen über
Propositionen: (P.M.): Propositionen immer Ausdrücke, aber dann spricht er in einer zu dieser Lesart gar nicht passenden Weise von der "Einheit der Propositionen" (S.50) und von der Unmöglichkeit unendlicher Propositionen (S.145) später
II 105
Russell: Die Proposition ist nichts weiter als ein Symbol, noch später, stattdessen: Offensichtlich sind Propositionen gar nichts..." die Annahme, in der wirklichen, natürlichen Welt liefen ganze Mengen falscher Propositionen um, ist ungeheuerlich." Quine: diese Wiederrufung ist verblüffend. Was uns anstelle des Bestehens jetzt angeboten wird, ist das Nichts. Im Grunde hat Russell aufgehört, vom Bestehen zu reden.
Was einst als Bestehendes gegolten hatte, ist jetzt in einer von drei Weisen untergebracht
a) mit dem Ausdruck gleichgesetzt,
b) ganz und gar verworfen,
c) in den Stand der regelrechten Existenz erhoben.

II 107
Russell/später: "Alles was es in der Welt gibt, nenne ich eine Tatsache." QuineVsRussell: Russells Vorliebe für eine Ontologie der Tatsachen ist abhängig von seiner Verwechslung der Bedeutung mit Bezugnahme. andernfalls hätte er vermutlich kurzen Prozess gemacht mit den Tatsachen.
Was dem Leser von "Philosophy of logical atomism" auffällt, hätte ihn selbst abgeschreckt, nämlich wie sehr die Analyse der Tatsachen auf der Analyse der Sprache beruht.
Als fundamental erkennt Russell die Tatsachen ohnehin nicht an. Atomare Tatsachen sind so atomar, wie Tatsachen das sein können.
atomare Tatsachen/Quine: doch sie sind zusammengesetzte Gegenstände! Russels Atome sind keine atomaren Tatsachen, sondern Sinnesdaten!

II 183 ff
Russell: Die reine Mathematik ist die Klasse aller Sätze der Form "p impliziert q" wobei p und q Sätze mit einer oder mehreren Variablen sind, und zwar in beiden Sätzen dieselben. "Wir wissen nie, wovon die Rede ist, noch ob das was wir sagen wahr, ist".
II 184
Diese Disinterpretation der Mathematik war eine Reaktion auf die nichteuklidische Geometrie. Zahlen: Wie steht es mit der elementaren Arithmetik? Die reinen Zahlen usw dürfte man als uninterpretiert auffassen. Dann ist die Anwendung auf Äpfel eine Zusammenhäufung.
Zahlen/QuineVsRussell: Ich finde diese Einstellung grundverkehrt. Die Wörter "fünf " und "zwölf" sind nirgends uninterpretiert sie sind ebenso wesentliche Bestandteile unserer interpretierten Sprache wie Äpfel. >Zahlen. Sie benennen zwei ungreifbare Gegenstände, Zahlen, die Größen von Mengen von Äpfeln und dergl. sind. Das "plus" der Addition ist ebenfalls von Anfang bis Ende interpretiert, doch mit dem Zusammenhäufen von Dingen hat es nichts zu tun. Fünf plus zwölf ist: wie viele Äpfel es in zwei separaten Haufen gibt. Allerdings, ohne dass sie zusammengeschüttet werden. Die Zahlen "fünf" und "zwölf" unterscheiden sich von Äpfeln darin, dass sie keine Körper bezeichnen, dass das hat mit Disinterpretation nichts zu tun. Dasselbe ließe sich von "Nation" oder "Spezies" sagen. Die gewöhnliche interpretierte wissenschaftliche Rede ist auf abstrakte Gegenstände festgelegt, wie sie auf Äpfel und Körper auch festgelegt ist. Alle diese Dinge treten in unserem Weltsystem als Werte von Variablen auf.
II 185
Auch mit Reinheit (etwa der Mengenlehre) hat es nichts zu tun. Reinheit ist etwas anderes als Uninterpretiertheit.
XII 60
Ausdruck/Zahlen/Wissen/Explikation/Erklärung/Quine: unser Wissen über Ausdrücke besteht allein in ihren Gesetzen der Verkettung. Deshalb kommt jede Konstruktion, die diese Gesetze erfüllt, als Explikation in Frage.
XII 61
Wissen über Zahlen: besteht allein in den Gesetzen der Arithmetik. Dann ist jede gesetzmäßige Konstruktion eine Explikation der Zahlen. RussellVs: (früh): These: arithmetische Gesetze reichen für das Verständnis der Zahlen nicht aus. Wir müssen auch Anwendungen (Gebrauch) kennen bzw. die Einbettung in die Rede von anderen Dingen.
Anzahl/Russell: ist hier der Schlüsselbegriff: „es gibt n so und sos“.
Anzahl/Definition/QuineVsRussell: wir können definieren „es gibt n so und sos“ ohne jemals zu entscheiden, was Zahlen über ihre Erfüllung der Arithmetik hinaus sind.
Anwendung/Gebrauch/QuineVsRussell: wo immer Struktur ist, stellen sich die Anwendungen ein. Bsp Ausdrücke und Gödelzahlen: selbst der Hinweis auf eine Inschrift war kein endgültiger Beweis dafür, dass wir über Ausdrücke und nicht über Gödelzahlen reden. Wir können immer sagen, dass unsere Ostension verschoben war.

VII (e) 80
Principia Mathematica/PM/Russell/Whitehead/Quine: zeigt, dass die ganze Mathematik in Logik übersetzt werden kann., Dabei sind nur drei Begriffe zu klären: Mathematik, Übersetzung und Logik.
VII (e) 81
QuineVsRussell: der Begriff der Aussagenfunktion ist unklar und verunklart die ganzen Principia Mathematica.
VII (e) 93
QuineVsRussell: PM müssen durch das Unendlichkeitsaxiom ergänzt werden, wenn gewisse mathematische Prinzipien abgeleitet werden sollen.
VII (e) 93/94
Unendlichkeitsaxiom: sichert die Existenz einer Klasse mit unendlich vielen Elementen. Quine: New Foundations stattdessen kommt mit der Allklasse aus: ϑ oder x^ (x = x).

VII 122
Aussagenfunktionen/QuineVsRussell: zweideutig: a) offene Sätze
b) Eigenschaften.
Russells Keine Klassen Theorie nutzt Aussagenfunktionen als Eigenschaften als Werte gebundener Variablen.

IX 15
QuineVsRussell: unexakte Terminologie. Aussagenfunktion , "propositional function", diesen Ausdruck benutzte er sowohl wenn er sich auf Attribute (reale Eigenschaften) als auch wenn er sich auf Aussagen oder Prädikate bezog. In Wahrheit reduzierter er nur die Theorie der Klassen auf eine nichtreduzierte Theorie der Attribute.
IX 93
rationale Zahlen/QuineVsRussell: in einem Punkt weiche ich ab: für mich sind rationale Zahlen selbst reelle Zahlen, für Russell und Whitehead nicht. Russell: rationale Zahlen sind für sie paarweise elementfremd, wie die von Peano. (vgl. Kap 17), während ihre reellen Zahlen ineinander geschachtelt sind. ((s) paarweise elementfremd, Gegensatz: ineinander geschachtelt.)
natürliche Zahlen/Quine: für mich wie für die meisten Autoren: keine ganzen rationalen Zahlen.
rationale Zahlen/Russell: entsprechend keine rationalen reellen Zahlen. Sie werden von den rationalen reellen Zahlen nur "nachgemacht".
rationale Zahlen/QuineVsRussell: für mich dagegen sind die rationalen Zahlen reelle Zahlen. Und zwar, weil ich die reellen Zahlen nach Russells Version b) konstruiert habe, ohne dabei den Namen und die Bezeichnung für rationale Zahlen zu verwenden.
Daher konnte ich Name und Bezeichnung für die rationalen reellen Zahlen zurückhalten

IX 181
Typentheorie/TT/QuineVsRussell: in der vorliegenden Form ist unsere Theorie dann aber zu schwach, um einige Sätze der klassischen Mathematik zu beweisen. Bsp der Beweis, dass jede beschränkte Klasse reeller Zahlen eine kleinste obere Schranke (koS) hat.
IX 182
Nehmen wir an, die reellen Zahlen seien in der Russellschen Theorie ähnlich wie in Abschnitt VI entwickelt worden, allerdings sollten nun Attribute die Stelle von Klassen einnehmen und die Zuordnung zu Attributen ersetzt die Elementbeziehung zu Klassen. koS: (Kap 18,19) einer beschränkten Klasse zu von reellen Zahlen: die Klasse Uz oder {x:Ey(x ε y ε z)}.
Attribut: parallel dazu könnten wir also erwarten, dass die koS eines beschränkten Attributs φ von reellen Zahlen in Russells System gleich dem
Attribut Eψ(φψ u ψ^x) ist.
Problem: unter der Russellschen Ordnungsdoktrin ist diese koS von höherer Ordnung als die der reellen Zahlen ψ, die unter das Attribut φ, dessen koS gesucht ist, fallen.
Schranke/koS/QuineVsRussell: koS braucht man für die gesamte klassische Technik der Infinitesimalrechnung, der die Stetigkeit zu Grunde liegt. KoS haben aber für diese Zwecke keinen Wert, wenn sie nicht als Werte derselben Variablen erreichbar sind, zu derem Wertebereich bereits diejenige Zahlen gehören, deren obere Grenze gesucht sind.
Eine obere Grenze (d.h. koS) von höherer Ordnung kommt nicht als Wert solcher Variablen in Frage und verfehlt somit ihren Zweck.
Lösung/Russell: Reduzibilitätsaxiom:
Def Reduzibilitätsaxiom/RA/Russell/Quine: jede Aussagenfunktion hat dieselbe Extension wie eine gewisse prädikative. D.h.
Ey∀x(ψ!x φx), Eψ∀x∀y[ψ!(x,y) φ(x,y)], usw.
IX 184
VsKonstruktivismus/Konstruktion/QuineVsRussell: wir haben gesehen, wie Russells konstruktivistischer Zugang zu den reellen Zahlen scheiterte (kleiste obere Schranke, s.o.). Er gab den Konstruktivismus auf und nahm zum RA Zuflucht.
IX 184/185
Die Art wie er es aufgab, hatte aber etwas Perverses an sich: Reduzibilitätsaxiom/QuineVsRussell: das RA impliziert nämlich, dass all die Unterscheidungen, die zu seinem Entstehen Anlass gaben, überflüssig sind! (…+…)

IX 185
Aussagenfunktion/AF/Attribut/Prädikat/TT/QuineVsRussell: übersah folgenden Unterschied und seine Analoga: a) "propositional functions": als Attribute (oder intensionale Relationen) und
b) proposition functions": als Ausdrücke, d.h. Prädikate (und offene Aussagen: Bsp "x ist sterblich"). Entsprechend:
a) Attribute
b) offene Aussagen
Als Ausdrücke unterscheiden sie sich sichtbar in der Ordnung, wenn die Ordnung aufgrund der Indices an gebundenen Variablen innerhalb des Ausdrucks beurteilt werden soll. Bei Russell ist alles "AF".
Da Russell es versäumte, zwischen Formel und Objekt zu unterscheiden (Wort/Gegenstand, Erwähnung/Gebrauch), dachte er nicht an den Kunstgriff, zuzulassen, dass ein Ausdruck von höherer Ordnung sich geradewegs auf ein Attribut oder eine Relation von niedrigerer Ordnung bezieht.

X 95
Kontext Definition/Eigenschaften/Logik 2. Stufe/Quine: wenn man lieber Eigenschaften als Mengen haben möchte, kann man Quantifikation über Eigenschaften einführen und dann die Quantifikation über Mengen durch eine schematische Kontext Definition einführen. Russell: hat diesen Weg eingeschlagen.
Quine: die Definition muss aber dafür sorgen, dass das Extensionalitätsprinzip für Mengen gilt, aber nicht für Eigenschaften. Das. Ist ja gerade der Unterschied. .
Russell/QuineVsRussell: warum wollte er Eigenschaften?
X 96
Er merkte nicht, an welchem Punkt die unproblematische Darstellung von Prädikaten, in das Sprechen über Eigenschaften umschlug. ((s) >Objektsprache, >Metasprache, >Erwähnung, >Gebrauch). Aussagenfunktion/AF: (= propositional function): hat Russell von Frege übernommen.
QuineVsRussell: er gebrauchte AF manchmal, um sich auf Prädikate zu beziehen, manchmal auf Eigenschaften.

Quine I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Quine II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Quine III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Quine V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Quine VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Quine VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Quine VII (a)
W. V. A. Quine
On what there is
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (b)
W. V. A. Quine
Two dogmas of empiricism
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (c)
W. V. A. Quine
The problem of meaning in linguistics
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (d)
W. V. A. Quine
Identity, ostension and hypostasis
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (e)
W. V. A. Quine
New foundations for mathematical logic
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (f)
W. V. A. Quine
Logic and the reification of universals
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (g)
W. V. A. Quine
Notes on the theory of reference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (h)
W. V. A. Quine
Reference and modality
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (i)
W. V. A. Quine
Meaning and existential inference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982

Quine IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Quine X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Quine XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003

Quine XIII
Willard Van Orman Quine
Quiddities Cambridge/London 1987

Chisholm I
R. Chisholm
Die erste Person Frankfurt 1992

Chisholm II
Roderick Chisholm

In
Philosophische Aufsäze zu Ehren von Roderick M. Ch, Marian David/Leopold Stubenberg Amsterdam 1986

Chisholm III
Roderick M. Chisholm
Erkenntnistheorie Graz 2004
Beweis Gödel Quine Vs Smart, J.C. II 118 ff
Der oxfordgeschulte Philosoph wendet heute das eine Ohr dem gesunden Menschenverstand und das andere der Wissenschaft zu. Historiker, die nicht überflügelt werden wollen, behaupten, die eigentliche Triebfeder der Entwicklung sei Mode. Sogar von Quantentheoretikern hört man, dass die nicht den winzigen Gegenständen ihrer Theorie, sondern in erster Linie ihren Versuchsapparaten, also gewöhnlichen Dingen Realität zuschreiben. In erfrischendem Kontrast dazu der australische Philosoph Smart: er vertritt eine schamlos realistische Auffassung der physikalischen Elementarteilchen. Das Weltbild des Physikers ist nicht nur ontologisch respektabel, sondern seine Sprache vermittelt uns ein wahreres Bild der Welt als der gesunde Menschenverstand. (Smart beschäftigt sich hauptsächlich mit Physik).
Es hat auch Materialisten gegeben, nach deren Auffassung Lebewesen zwar materiell sind, aber biologischen und psychologischen Gesetzen unterstehen, die sich prinzipiell nicht auf physikalische Gesetze zurückführen lassen. Dies war der Emergenzmaterialismus.
Smarts Materialismus ist da robuster.
II 119
Smart These: Er bestreitet, dass es in der Psychologie und Biologie überhaupt Gesetze im strengen Sinne gibt. Die Aussagen dort sind ortsspezifische Verallgemeinerungen über einige irdische Gewächse unserer Bekanntschaft.
SmartVsEmergenz.
Sie stehen auf der gleichen Ebene wie Erdkunde oder Berichte über das Verbraucherverhalten. Das gilt sogar für Aussagen über Zellteilung. Sie werden höchstwahrscheinlich mindestens anderswo im Welltall falsifiziert, wenn nicht gar bei uns. (Gesetz: Erklärungskraft) Smart gibt zu, dass Aussagen über die kleinen Prozesse in der Biologie tendenziell erklärungsstärker sind. (Eben, sie kommen der Physikochemie ja auch näher.)
Die Biologie beschreibt einen ortsspezifischen Auswuchs, während die Physik die Natur der Welt beschreibt. Die Psychologie beschreibt dann einen Auswuchs auf diesem Auswuchs.
II 120
Farben: Smart zum Farbbegriff: Farbe dominiert unsere Sinneserfahrung, mit ihrer Hilfe unterscheiden wir Gegenstände. Aber, das ist der Witz von Smarts Ausführungen: Farbunterschiede stehen nur selten in interessantem Zusammenhang mit physikalischen Gesetzen: eine Mischfarbe kann uns vorkommen wie eine reine, abhängig von kontingenten Mechanismen in unserem Inneren. Man kann davon ausgehen, dass außerirdische Lebewesen ähnliche Begriffe von Länge und elektrischer Ladung hätten, aber kaum ähnliche Farbbegriffe. Um die Welt sub specie aeternitatis zu sehen, müssen wir den Farbbegriff und andere sekundäre Qualitäten meiden. Primär: Länge, Gewicht, Härte, Gestalt, usw. sind diejenigen die am leichtesten in physikalische Gesetze eingehen. Bei Smart gewinnt der Physikalismus.
Zum Thema "Mensch als Maschine" haben sich die heutigen Gegner des mechanistischen Gedankens auf den Gödelschen Satz berufen, der besagt, dass kein formales Beweisverfahren die ganze Zahlentheorie erfassen kann.
II 121
Smart, der die mechanistische Auffassung vertritt, polemisiert gegen diese recht trübsinnige Anwendung des großartigen Gödelschen Satzes. Der Ort, an dem sich der Mensch über die Schranken der formalen Beweistheorie hinwegsetzt, ist der der informalen und weitgehend resultatlosen Manöver der wissenschaftlichen Methode. Determinismus: Mit Hobbes geht Smart konform, dass >Determinismus und Freiheit sich nicht antithetisch zueinander verhalten: deterministisches Tun gilt als frei, wenn es in bestimmter Weise durch den Handelnden vermittelt ist.
Ethik: Die Einteilung in Tätigkeiten für die man verantwortlich sein kann, und solche, für die das nicht gilt, folgt der gesellschaftlichen Apparatur des Belohnens und Strafens. Der Verantwortung wird dort eine Stelle zugewiesen, wo Belohnen und Strafen tendenziell funktioniert haben.
Disposition/Smart: Dem entspricht ein wichtiges Element im Gebrauch von "er hätte gekonnt". Smart schließt weiter auf "es hätte gekonnt" (z.B. zerbrechen können). Er bringt das in Zusammenhang mit der Unvollständigkeit von Informationen im Hinblick auf kausale Gegebenheiten.
Quine: für Modalitäten begrüße ich diese These. Diese Modalitäten beruhen nicht auf dem Wesen der Welt, sondern darauf, dass wir selbst z.B. durch Unkenntnis, von Einzelheiten absehen.
Es gibt eine von Smart verspottete Konzeption, wonach sich der gegenwärtige Augenblick mit einer Geschwindigkeit von sechzig Sekunden pro Minute durch die Zeit vorwärtsbewegt.
Ferner gibt es die Vorstellung, Sätze der Zukunft seien bisher weder wahr noch falsch. Sonst bekäme der Fatalismus das Heft in die Hand. Solche Gedanken sind weitverbreitet und konfus und gehen z.T. auf Aristoteles zurück.
Von Donald Williams u.a. sind sie mit großer Klarheit richtiggestellt worden.
Indem Smart sie noch einmal richtigstellt, kommen charakteristische Einzelheiten hinzu.
II 122
Fesselnder Gegensatz zwischen Wahrscheinlichkeit und Wahrheit. Smart: "wahrscheinlich" ist ein Indikator; wie "ich", "du" "jetzt" "damals" "hier", "dort". Ein Wort, das von der Verwendungssituation abhängt. Denn eine spezifische Tatsachenaussage ist wenn überhaupt, ein für allemal wahr, ob wir es wissen oder nicht, aber sogar dann kann sie je nach Situation mehr oder weniger wahrscheinlich sein. So endet der Modalbegriff der Wahrscheinlichkeit schließlich in subjektivem Dahingestelltsein, wie die Modalitäten. Quine: Smart ist ein rechtschaffener Autor. Smart bewältigt alle moralischen Dilemmata; der Materialist packt den Stier bei den Hörnern und erringt mühelos den Sieg gegen die Moralisten!

Quine I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Quine II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Quine III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Quine V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Quine VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Quine VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Quine VII (a)
W. V. A. Quine
On what there is
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (b)
W. V. A. Quine
Two dogmas of empiricism
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (c)
W. V. A. Quine
The problem of meaning in linguistics
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (d)
W. V. A. Quine
Identity, ostension and hypostasis
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (e)
W. V. A. Quine
New foundations for mathematical logic
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (f)
W. V. A. Quine
Logic and the reification of universals
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (g)
W. V. A. Quine
Notes on the theory of reference
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From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (h)
W. V. A. Quine
Reference and modality
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From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (i)
W. V. A. Quine
Meaning and existential inference
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From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982

Quine IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Quine X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Quine XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003

Quine XIII
Willard Van Orman Quine
Quiddities Cambridge/London 1987
Beweis Gödel Barcan Vs Tarski, A. Quine X 124
substitutionaleQuantifikation/sQ/Wahrheitsbedingungen//WB/Barcan-MarcusVsTarski/Quine: die WB für die Quantifikation, wo Namen für die Variablen eingesetzt werden ((s) WB: also dass Namen vorhanden sind) wurden von Ruth Barcan befürwortet. Sie stehen in interessantem Gegensatz zu Tarskis WB. (5) (s.o. X 67) (5) Für alle x, y und i: x erfüllt die Existenzquantifikation von y, bei der var(i) quantifiziert ist, gdw. y von einem n Tupel x’ erfüllt wird, für das gilt: xj = x’j für alle j ungleich i.
Die neuen WB haben aber auch die in der Mitte von Kapitel 3 aufgezeigte Zirkularität an sich: die E Qu. ist wahr, wenn mindestens einer ihrer Fälle wahr ist ((s) „wahr“ kommt zweimal vor).
alt: der große Unterschied ist, dass (5) nur von den Werten von Variablen spricht und keine Namen gebraucht.
((s) Analogie zum Konstruktivismus: der Beweisweg muss bekannt sein, wie hier die Gegenstände, was durch Vergabe von Namen bewiesen werden soll).
(5): Ist viel komplizierter als die neue Form (sQ).
sQ: bis hierher haben wir noch keine Abweichung, nur verschiedene Beschreibungen derselben Quantifikation, solange alle Gegenstände einen Namen haben.
Problem: in einer nicht allzu beschränkten Welt gibt es nie genug Namen für alle Gegenstände, niemals so viele Namen, wie es Gegenstände gibt. Selbst wenn es unendlich viele Namen gibt.
Bsp Wenn eine Menge nicht durch einen offenen Satz bestimmt wird, hat sie auch keinen Namen: sonst , wenn der Name z.B. „a“ ist, heißt der entsprechende offene Satz „x ε a“.
X 125
Bsp für die irrationalen Zahlen können wir nicht lauter verschiedene Namen haben, weil wir sie nicht den ganzen Zahlen zuordnen können. Z.B. können wir kein Gödelnummern für jede Irrationalzahl bilden.

Quine I
W.V.O. Quine
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Quine II
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Quine III
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Quine VI
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Quine VII
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Quine VII (a)
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Two dogmas of empiricism
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Quine VII (c)
W. V. A. Quine
The problem of meaning in linguistics
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From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (d)
W. V. A. Quine
Identity, ostension and hypostasis
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From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (e)
W. V. A. Quine
New foundations for mathematical logic
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (f)
W. V. A. Quine
Logic and the reification of universals
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (g)
W. V. A. Quine
Notes on the theory of reference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (h)
W. V. A. Quine
Reference and modality
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From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (i)
W. V. A. Quine
Meaning and existential inference
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From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
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Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982

Quine IX
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Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Quine X
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Quine XII
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Ontologische Relativität Frankfurt 2003

Quine XIII
Willard Van Orman Quine
Quiddities Cambridge/London 1987
Beweis Gödel Gödel Vs Typentheorie Russell I XXV
Typentheorie/Gödel: in der realistischen (intensionalen) Interpretation: zusätzliche Annahme: "Wann immer ein Objekt x ein anderes Objekt y in einer sinnvollen Proposition ersetzen kann, kann es dies in jeder sinnvollen Proposition". Das hat zur Konsequenz, dass die Objekte in einander ausschließende Bedeutungsbereiche eingeteilt werden.
GödelVsRussell: suspekt, dass seine Annahme selbst seine Formulierung als sinnvolles Prinzip unmöglich macht: weil x und y dann auf definite Bedeutungsbereiche eingegrenzt werden müssen, die entweder dieselben sind, oder verschieden und in beiden Fällen drückt die Feststellung nicht das Prinzip oder auch nur einen Teil von ihm aus.
Andere Konsequenz: die Tatsache, dass ein Objekt x von einem gegebenen Typ ist (oder nicht ) kann ebenfalls nicht durch eine sinnvolle Proposition ausgedrückt werden.
I XXVI
Eine Lösung ist nicht unmöglich. Es könnte sich herausstellen, dass jedes Konzept überall bedeutsam ist, außer für gewisse "singuläre Punkte" oder "Grenzpunkte" so dass die Paradoxien als etwas wie die "Teilung durch Null" erschienen.
I XXVI
Axiome/Russell/Gödel: Frage: sind sie analytisch (wie von Russell hier behauptet?). Analytizität/Gödel: kann zweierlei heißen: 1. rein formal, eliminierbar. In diesem Sinne ist sogar die Theorie der ganzen Zahlen nichtanalytisch, vorausgesetzt, man verlangt, die Eliminierung in einer endlichen Zahl von Schritten auszuführen. ((s) Sonst z.B. für jede Zahl einzeln).
Aber das Ganze der Mathematik als angewandt auf Sätze von unendlicher Länge muss vorausgesetzt werden, um diese Analytizität zu Beweisen, z.B. kann von dem Auswahlaxiom nur bewiesen werden, dass es analytisch ist, wenn angenommen wird, dass es wahr ist!.
I XXXIV
Analytizität im 2. Sinne: "Aufgrund des Sinnes der in ihr vorkommenden Begriffe". Dabei ist dieser "Sinn" vielleicht undefinierbar (d.h. irreduzibel auf etwas Grundlegenderes). Bsp Wenn man "Klasse" und "" definierte als "die Konzepte (Begriffe) welche den Axiomen genügen" wäre man nicht imstande, ihre Existenz zu beweisen. "Konzept " könnte man vielleicht in Termini von "Proposition" definieren, aber dann werden gewisse Axiome über Propositionen nötig, die sich nur unter Bezug auf den undefinierten Sinn dieses Terms rechtfertigen lassen.
Diese Sicht von Analytizität macht es wiederum möglich, dass vielleicht jede mathematische Proposition auf einen Spezialfall von a = a reduziert werden könnte.
I XXVII
Russell: ging den Weg, sowohl Klassen als auch Konzepte (mit Ausnahme der logisch uninteressanten Grundprädikate) als nichtexistent anzusehen und sie durch unsere eigenen Konstruktionen zu ersetzen. Russell/Gödel/(s): konstruktivistisch.
Reduzibilitätsaxiom: ist im Fall von unendlich vielen Individuen Beweisbar falsch, außer man nimmt die Existenz von Klassen oder unendlich vielen "qualitates occultae" an.
Die tatsächliche Entwicklung der mathematischen Logik ist den Weg der Existenz von Klassen und Begriffen gegangen, und Russell war später selbst genötigt, diesen Weg zu gehen.

Göd II
Kurt Gödel
Collected Works: Volume II: Publications 1938-1974 Oxford 1990

Der gesuchte Begriff oder Autor findet sich in folgenden Thesen von Autoren des zentralen Fachgebiets.
Begriff/
Autor/Ismus
Autor
Eintrag
Literatur
Wahrnehmung Gödel, K. Dennett I 600
Gödel: gewisse Wahrheiten kann man "sehen" aber nie beweisen ï·"ï·" Gödel These daher kann der Geist Dinge tun, die keine Maschine kann

Dennett I
D. Dennett
Darwins gefährliches Erbe Hamburg 1997

Dennett II
D. Dennett
Spielarten des Geistes Gütersloh 1999

Dennett III
Daniel Dennett
"COG: Steps towards consciousness in robots"
In
Bewusstein, Thomas Metzinger Paderborn/München/Wien/Zürich 1996

Dennett IV
Daniel Dennett
"Animal Consciousness. What Matters and Why?", in: D. C. Dennett, Brainchildren. Essays on Designing Minds, Cambridge/MA 1998, pp. 337-350
In
Der Geist der Tiere, D Perler/M. Wild Frankfurt/M. 2005