Lexikon der Argumente


Philosophische Themen und wissenschaftliche Debatten
 
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Begriff/
Autor/Ismus
Autor
Eintrag
Literatur
Allgemeingültigkeit Gödel Berka I 314
Allgemeingültigkeit/Gödel: führt zur Allquantifkation: bei Formeln mit freien Individuenvariablen A(x,y,...w) bedeutet das die Allgemeingültigkeit von (x)(y)...(w) A(x,y,...w). Def Erfüllbarkeit/Goedel: führt zur >Existenzquantifikation. - ((s) "es gibt ein Modell".) - Das ist dann entsprechend die Erfüllbarkeit von (Ex)(Ey)...(Ew) A. - Dann kann man sagen: "A ist allgemeingültig" bedeutet: "~A ist nicht erfüllbar".
Widerlegbarkeit: = Beweisbarkeit der Negation.
I 310
Beweisbarkeit/Allgemeingültigkeit/Gödel:... wir haben hier die Äquivalenz zwischen "allgemeingültig" und "beweisbar" bewiesen. Überabzählbar/Gödel: Pointe: diese Äquivalenz beinhaltet für das Entscheidungsproblem eine Reduktion des Überabzählbaren auf das Abzählbare: denn - "allgemeingültig": bezieht sich auf die überabzählbare Gesamtheit der Funktionen, während "Beweisbar": setzt nur die abzählbare Gesamtheit der Beweisfiguren voraus.(1)


1. K. Gödel, Die Vollständighkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls, in: Mh, Math. Phys. 37 (1930) 349-360

Göd II
Kurt Gödel
Collected Works: Volume II: Publications 1938-1974 Oxford 1990

Berka I
Karel Berka
Lothar Kreiser
Logik Texte Berlin 1983
Arithmetik Thiel Thiel I 225
Arithmetik/Lorenzen/Thiel: die Arithmetik ist die Theorie in der das Unendliche in seiner einfachsten Form auftritt, sie ist im Wesentlichen nichts anderes als die Theorie des Unendlichen selbst. Die Arithmetik als Theorie der Zeichenmenge (z.B. Strichliste) ist in dem Sinne universell, als in ihr die Eigenschaften und Relationen jeder anderen unendlichen Zeichenmenge stets auf irgendeine Weise "abgebildet" werden können.
Die Komplexität der Materie hat dazu geführt, dass ein Großteil der Sekundärliteratur zu Gödel auf Metaphern wie "Spiegelung" "Selbstrückbezüglichkeit" usw. eine Menge Unsinn in die Welt gesetzt hat.
I 224
Der logisch arithmetische Vollformalismus wird mit F bezeichnet. Er enthält u.a. induktive Definitionen der Zählzeichen, der Variablen für sie, die Regeln der Quantorenlogik und die als Regeln geschriebenen Dedekind-Peanoschen Axiome.
I 226
Die Ableitbarkeit oder Unableitbarkeit einer Formel bedeutet nichts anderes, als Existenz bzw. Nichtexistenz einer Beweisfigur oder eines Stammbaums mit A als Endformel. Deshalb entsprechen auch die metamathematischen Aussagen "ableitbar", bzw. "unableitbar" jeweils umkehrbar eindeutig einer sie charakterisierenden Grundzahl. > Unvollständigkeitssatz/Gödel.
Terminologie/Schreibweise: S ableitbar, $ nicht ableitbar.
"$ Ax(x)" ist nun zweifellos eine korrekt definierte Aussageform, da die Abzählung bei An(n) eindeutig bestimmt ist. Entweder gilt $An(n) oder nicht.

Thiel I 304
Die jahrhundertealte Dominanz der Geometrie hat Nachwirkungen im Sprachgebrauch. Bsp "quadratische", "kubische" Gleichungen usw. Arithmetik/Thiel: ist heute zur Zahlentheorie geworden, ihr praktischer Teil zu "Rechnen" degradiert, Wahrscheinlichkeitsrechnung ist hinzugekommen.
I 305
In der Vektor- und Tensorrechnung erscheinen Geometrie und Algebra wiedervereinigt. Eine neue Disziplin namens "Invariantentheorie" kommt auf, floriert und verschwindet völlig, um wiederum später abermals wiederaufzuerstehen.
I 306
Funktionenanalysis: taugt wegen des sehr hohen Niveaus der begrifflichen Abstraktion sicher nicht zur Fundamentaldisziplin.
I 307
Bourbaki stellt den klassischen "Disziplinen" die "modernen Strukturen" gegenüber. Die Theorie der Primzahlen ist der Theorie der algebraischen Kurven eng benachbart. Die Euklidische Geometrie grenzt an die Theorie der Integralgleichungen. Das Ordnungsprinzip wird eins der Hierarchie der Strukturen sein, die von einfachen zum Komplizierten und von Allgemeinen zum Besonderen geht.

T I
Chr. Thiel
Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995
Axiome Field I 220
Axiom/Field: ein benötigtes Gesetz kann man einfach beweisen, indem man es als Axiom hinzufügt - Vs: dann braucht man aber für jedes Paar unterschiedener Prädikate Bsp "Der Abstand zwischen x und y ist r mal der zwischen z und w" ein Axiom das sagt, dass das erste gilt und das zweite nicht. - Alles, was der Substantivalismus oder der Hochleistungs-Platonismus als abgeleitete Theoreme einführen kann, muss der Relationismus ("kein leerer Raum") als Axiome einführen. - Das führt zu keiner richtigen Theorie. - Problem der Quantitäten. - Die gebrauchten Axiome wären gerade dann verbindbar, wenn auch nicht-moderate Charakterisierungen möglich sind. - Die modalen Umstände sind genau dann adäquat, wenn sie nicht gebraucht werden.
~I 249
Axiom/Mathematik/Notwendigkeit/Field: Axiome sind nicht logisch notwendig, sonst brauchten wir nur Logik und keine Mathematik.
I 275
Axiome/Field: wir akzeptieren dann nur die, die disquotational wahre modale Übersetzungen haben. - (Wegen der Konservativität). - Konservativität: ist eine holistische Eigenschaft, nicht Eigenschaft von einzelnen Axiomen. - Akzeptierbarkeit: von Axiomen: hängt vom Kontext ab. - Eine andere Theorie (mit dem gleichen Axiom) ist vielleicht nicht konservativ. - disquotationale Wahrheit: ist dagegen für einzelne Axiome erklärbar.
I 276
Bsp Mengenlehre (ML) plus Kontinuumshypothese (KH) und ML ohne KH können jede für ihre Vertreter wahr sein. - Sie können verschiedene Wahrheitsbedingungen zuschreiben. - Das ist nur für den Platonismus nicht-objektiv. - Die beiden Vertreter können die gegnerische Sicht reinterpretieren, so dass sie aus seiner eigenen folgt. (> Gödel: relative Konsistenz).
II 142
Axiom/(s): nicht Teil der Objektsprache (OS) - Schema-Formel: kann Teil der Objektsprache sein. - Field: das erfasst den Begriff der Wahrheit besser.

Field I
H. Field
Realism, Mathematics and Modality Oxford New York 1989

Field II
H. Field
Truth and the Absence of Fact Oxford New York 2001

Field III
H. Field
Science without numbers Princeton New Jersey 1980

Field IV
Hartry Field
"Realism and Relativism", The Journal of Philosophy, 76 (1982), pp. 553-67
In
Theories of Truth, Paul Horwich Aldershot 1994
Deflationismus Field I 91
Deflationismus/Wissen/Field: These: Wir wissen die Konsistenz der Axiome z.B. der Mengenlehre oder der Theorie der reellen Zahlen nicht. - Denn das würde mathematische Entitäten verlangen - Konditionales Möglichkeits-Prinzip/Field: (dies würde auch Frege zugestehen): wenn nicht-modale Form, dann Wissen aus Nachdenken über die logische Form allein - Deflationismus/Field/(s): führt dazu, dass wir kein mathematisches Wissen haben, soweit mathematische Entitäten (mE) betroffen sind, da es diese nicht gibt.
I 108
VsDeflationismus/Modelltheorie/Beweistheorie/Field: Problem: weil es keine mathematische Entitäten (mE) gibt, sind die (platonistischen) Schemata (MTP) Wenn es ein Modell für "A" gibt, dann MA - und (MS) Wenn es einen Beweis von "-A" in F gibt, dann ~MA nur trivialerweise wahr - Lösung: modale Surrogate der Schemata: (MTP#)Wenn N(NBG > es gibt ein Modell für "A") dann MA - und (MS#) Wenn N(NBG > es gibt einen Beweis von "~A" in F) dann ~MA - (F: hier Sprache) - "A" ein Satz - NBG: Neuman/Bernays/Gödel - MA: "möglich A".
I 110
Fazit: der Deflationismus hat kein Problem mit der Modelltheorie und der Beweistheorie wenn es darum geht, etwas über Möglichkeit und Unmöglichkeit heraus zu finden.
I 113
Deflationismus/Field: sagt nicht, dass die mathematischen Aussagen etwas anderes bedeuten, sondern dass das was sie bedeuten, nicht buchstäblich gewusst werden kann. - Deduktivismus: behauptet immer, dass was AQ bedeutet das ist, dass A aus einer anderen Aussage folgt - Deflationismus: muss keine Aussagen isolieren - hier sind andere Aussagen nicht für die Bedeutung von A relevant.
II 104
Inflationismus: Frege/Russell/Tractatus/Ramsey: Wahrheitsbedingungen (WB) sind zentral für Bedeutung und Inhalt - Vs: Deflationismus: keine Wahrheitsbedingungen, stattdessen vielleicht Verifikationstheorie.
II 108
Deflationismus/Field: Hauptsache: dass er keine Wahrheitsbedingungen braucht. - Er braucht eigentlich auch keinen Verifikationismus - Der Deflationismus muss auch ausschließen, dass es eine physikalistische Reduktion von Wahrheitsbedingungen gibt. II 114 logische Verknüpfung/Defla: ein Hauptvorteil scheint zu sein, daß er diese Wahl (zwischen Tatsachen) nicht treffen muß - Lösung: man kann ganz einfach in seinen eigenen Worten erklären, was es ausmacht, daß "oder" der Wahrheits-Tabelle gehorcht: es folgt aus der wahrheitsfunktionalen (wafu) Logik zusammen mit der Logik des disquotationalen W-Prädikats, ohne Erwähnung irgendwelcher Tatsachen über den Gebrauch. "p" ist wahr gdw. p folgt mit begrifflicher Notwendigkeit kraft der kognitiven Äquivalenz der rechten und linken Seite. - Problem: begriffliche Notwendigkeit ist nicht hinreichend um zu zeigen, daß "oder" der WW-Tabelle genügt. - Wir brauchen noch Verallgemeinerung.
II 116
Deflationismus/Gavagai: für ihn gibt es hier nichts zu erklären - es ist einfach Teil der Logik von "referiert", dass" Kaninchen" auf K. referiert.
II 117
Referenz/Deflationismus: wenn Wahrheitsbedingungen unwichtig sind, dann kann auch Referenz keine zentrale Rolle spielen. - Lösung: nicht Referenz ist die Grundlage, sondern Beobachtungen über unsere Praxis des Schließens. - Dann ist Referenz rein disquotational - Bsp nicht: "Gödel referiert nicht auf den Entdecker des Unvollständigkeitssatzes" sondern "Gödel ist nicht der Entdecker" - danach semantischer Aufstieg.
II 118
KausaltheorieVsDeflationismus: der D. kann nicht sagen, dass alles was wir dafür brauchen, dass mein Wort für Hume auf Hume referiert, das Zitattilgungsschema ist. - Dennoch kann der Deflationist akzeptieren, dass das kausale Netzwerk das erklärt, was sonst mysteriös wäre: die Korrelation zwischen Glauben und Tatsachen über Hume.
II 119
Deflationismus: die Grenze zum Inflationismus verschwimmt, weil wir etwas konstruieren müssen, das als inflationistische Relation "S hat die Wahrheitsbedingung p" betrachtet werden könnte, oder auch nicht.
II 127
VsDeflationismus: 1. Er kann nicht zwischen "Entweder er ist ein Frisör oder kein Frisör" und "Entweder er ist ein Faschist..." unterscheiden. (> Strawson) 2. Er kann die Erklärungskraft der Wahrheitsbedingungen nicht erklären - (Bsp für Verhalten und Erfolg)
3. Er kann nicht zwischen vagem und nicht-vagem Diskurs unterscheiden
4. Er kann nicht Wahrheitszuschreibung in anderen Sprachen behandeln
5. Er gibt "wahr" falsche modale Eigenschaften ((s) "notwendig wahr" oder "kontingent wahr")
6. Er kann Mehrdeutigkeit, Indices und Demonstrativa nicht behandeln
7. Er kann Lernen nicht erklären.
Ad II 260
Deflationismus/Nonfaktualismus/Fazit/Field/(s): der Deflationismus (Disquotationalismus) nimmt keine Tatsachen an, die es z.B. ausmachen, warum ein Wort auf ein Ding referiert. - Für ihn ist es sinnlos zu fragen, warum "Entropie" auf Entropie referiert. >Disquotationalismus, >Minimalismus, >Zitat/Zitattilgung.

Field I
H. Field
Realism, Mathematics and Modality Oxford New York 1989

Field II
H. Field
Truth and the Absence of Fact Oxford New York 2001

Field III
H. Field
Science without numbers Princeton New Jersey 1980

Field IV
Hartry Field
"Realism and Relativism", The Journal of Philosophy, 76 (1982), pp. 553-67
In
Theories of Truth, Paul Horwich Aldershot 1994
Endlichkeit Hilbert Thiel I 245
Finit/Hilbert: es geht im Sinne Hilberts nur darum, wie sich Aussagen über unendliche Objekte zirkelfrei mit Hilfe "finiter" Methoden rechtfertigen lassen. Hilbert fand die Finitheit in den "operativen" Verfahren vor allem der Kombinatorik, der Arithmetik, und der elementaren Algebra schon exemplarisch verwirklicht.
Sie waren bis in das zweite Drittel des 19. Jahrhunderts "genetisch" (=konstruktiv) aufgebaut, während der Aufbau der Geometrie als Paradebeispiel für den Axiomatischen Aufbau einer Disziplin galt.
I 246
Jede finite Operation ist ein für die handelnde Person überschaubarer Bereich. Dieser Schauplatz kann im Fortgang des Verfahrens wechseln.
I 247
Dass die für Gödels Beweis benötigten arithmetischen Funktionen sogar primitiv rekursiv sind (I 232) ist insofern bemerkenswert, als durchaus nicht alle effektiv berechenbaren Funktionen primitiv rekursiv sind, die primitiv rekursiven Funktionen also eine echte Teilklasse der berechenbaren Funktionen bilden.
I 248
Eine effektiv berechenbare, aber nicht primitiv rekursive Funktion wird z.B. durch folgende Schemata zur Berechnung ihrer Werte erklärt (nicht bewiesen) (x' ist der Nachfolger von x):
ψ(0,n) = n'
ψ(m',0) = ψ(m,1)
ψ(m',n')= ψ(m,ψ(m',n)). (I 247)
I 248
Will man dem allgemeinen Berechenbarkeitsbegriff näherkommen, muss man als neues Ausdruckmittel, den sogenannten µ Operator hinzunehmen.
Thiel I 249
Berechenbarkeit/Church/Thiel: wie nahe ist man damit einem Begriff der "allgemeinen Berechenbarkeit" gekommen? Es gibt den Begriff der "Turing Berechenbarkeit" der "l Definierbarkeit bei Church, der "kanonischen Systeme" bei Post. Jede Funktion, die in einer dieser Klassen liegt, liegt nachweislich auch in den anderen. Church: hat daraufhin die Vermutung ausgesprochen, dass damit eine adäquate Präzisierung des allgemeinen Berechenbarkeitsbegriffs erreicht sei. (>"Church These").
Es meint aber, dass das eine "außermathematische" Vermutung sei, und keines mathematischen Beweises fähig. Ein intuitiver Begriff. Ob eine derartige Präzisierung "adäquat" sei, sei mit mathematischen Mitteln nicht zu beantworten.

I 250
Es bleiben außer Finitheit und Konstruktivität noch andere Fragen: keine der Definitionen für die angebotenen Funktionenklassen ist nämlich finit: (z.B. µ-rekursive Funktionen). Der Versuch, mit klassischen Mitteln effektive Ausführbarkeit zu beschreiben bleibt fragwürdig, deuten wir den Existenzquantor aber konstruktiv, so haben wir den Begriff der Konstruktivität bereits vorausgesetzt.

T I
Chr. Thiel
Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995
Entscheidbarkeit Hilbert Berka I 331
Unentscheidbarkeit/Prädikatenkalkül 1. Stufe/Gödel(1): zeigt mit "Arithmetisierung" ("Gödelisierung") dass der PK 1.Stufe unentscheidbar ist. Das war eine für das Hilbertsche Programm erschütternde Tatsache.
Tarski: (1939)(2) bewies die Unentscheidbarkeit von Principia Mathematica und verwandter Systeme. Er zeigte, dass sie grundsätzlich ist, d.h. nicht aufgehoben werden kann.
Rosser(3): verallgemeinerte Gödels Beweis, indem er die Bedingung der ω-Widerspruchsfreiheit durch die der einfachen Widerspruchsfreiheit ersetzte.


1. K. Gödel, Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I., Mh. Math. Phys. 38, 175-198
2. A. Tarski, On undecidable statements in enlarged systems of logic and the concept of truth, JSL 4, 105-112
3. J. B. Rosser, Extensions of some theorems of Gödel and Church, JSL 1, 87-91


Berka I
Karel Berka
Lothar Kreiser
Logik Texte Berlin 1983
Entscheidbarkeit Quine II 112
Beweistheoretische Analogie/Quine: Begriff des mechanischen Verfahrens: ist die Rekursivität (z.B. um Gödels Satz oder Churchs Satz der Unentscheidbarkeit zu beweisen oder auch nur zu formulieren.) Doch zum Nachweis der Entscheidbarkeit der Theorie benötigen wir keine Definition des mechanischen Verfahrens, wir legen einfach eine Methode vor, die jeder mechanisch nennen würde.

II 191ff,
Unentscheidbare Logiken: die allgemeine Theorie für ein einziges symmetrisches zweistelliges Prädikat.
II 198
Ebenfalls unentscheidbar: die allgemeine Theorie zweistelliger Formeln, die außer (Ex)(y)(Ez) zu Anfang keinerlei Quantoren aufweisen.

Quine I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Quine II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Quine III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Quine V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Quine VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Quine VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Quine VII (a)
W. V. A. Quine
On what there is
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (b)
W. V. A. Quine
Two dogmas of empiricism
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (c)
W. V. A. Quine
The problem of meaning in linguistics
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (d)
W. V. A. Quine
Identity, ostension and hypostasis
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (e)
W. V. A. Quine
New foundations for mathematical logic
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (f)
W. V. A. Quine
Logic and the reification of universals
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (g)
W. V. A. Quine
Notes on the theory of reference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (h)
W. V. A. Quine
Reference and modality
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (i)
W. V. A. Quine
Meaning and existential inference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982

Quine IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Quine X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Quine XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003

Quine XIII
Willard Van Orman Quine
Quiddities Cambridge/London 1987
Folgebeziehung Tarski Berka I 405f
Folgerung/Folgebeziehung/formal/Alltagssprache/Tarski: der formale deckt sich nicht mit dem alltagssprachlichen - Bsp A0: 0 besitzt die gegebene Eigenschaft E - A1: 1 besitzt die gegebene Eigenschaft E usw. -An: n besitzt die gegebene Eigenschaft E - daraus lässt sich mit normalen Schlussregeln nicht der Satz beweisen: A: Jede natürliche Zahl besitzt die gegebene Eigenschaft E.
Lösung: neue Schlussregel: unendliche Induktion - Problem: unendlich - Lösung: Beweisbarkeit statt tatsächlicher Beweise.
Berka I 407
Folgerung/Folgebeziehung/Gödel: Problem: es lassen sich Aussagen konstruieren, die im üblichen Sinn aus den Sätzen einer Theorie folgen, die sich aber mit den Schlussregeln nicht beweisen lassen.
Berka I 409
Def logische Folgerung/Tarski: die Aussage X folgt logisch aus den Aussagen der Klasse K gdw. jedes Modell der Klasse K zugleich ein Modell der Aussage X ist.
I 410
Def der logischen Folgerung hat mit der Einteilung in logische und außerlogische Termini zu tun - diese ist willkürlich.(1)

1. A.Tarski, „Über den Begriff der logischen Folgerung“, in: Actes du Congrès International de Philosophie Scientifique, Paris 1935, Bd. VII, ASI 394, Paris 1936, S. 1-11

Tarski I
A. Tarski
Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923-38 Indianapolis 1983

Berka I
Karel Berka
Lothar Kreiser
Logik Texte Berlin 1983
Gödel Dennett I 602
Geist/Gödel/Dennett: Gödel selbst schien "Himmelshaken" als Erklärung für den menschlichen Geist für nötig zu halten. Gödel: gewisse Wahrheiten kann man "sehen" aber niemals beweisen. (> Beweis).
I 605
Gödelzahl: Möglichkeit: alle möglichen Axiomensysteme in alphabetischer Reihenfolge anzuordnen. DennettVsGödel: Problem. wie kann man überhaupt feststellen, ob ein Mathematiker einen Satz Beweisen hat, oder nur ein Geräusch gemacht hat, wie ein Papagei? (Verhalten).
J.R.Lucas, 1961: die entscheidende Eigenschaft sollte sein, "einen Satz als wahr darzustellen".
DennettVsLucas: das stößt aber auf unüberwindliche Interpretationsprobleme.
Gödel/Toshiba-Bibliothek/Dennett: "es gibt keinen einzelnen Algorithmus, der alle Wahrheiten der Arithmetik Beweisen kann". Dennett: über alle anderen Algorithmen in der Bibliothek sagt Gödel aber nichts.

Dennett I
D. Dennett
Darwins gefährliches Erbe Hamburg 1997

Dennett II
D. Dennett
Spielarten des Geistes Gütersloh 1999

Dennett III
Daniel Dennett
"COG: Steps towards consciousness in robots"
In
Bewusstein, Thomas Metzinger Paderborn/München/Wien/Zürich 1996

Dennett IV
Daniel Dennett
"Animal Consciousness. What Matters and Why?", in: D. C. Dennett, Brainchildren. Essays on Designing Minds, Cambridge/MA 1998, pp. 337-350
In
Der Geist der Tiere, D Perler/M. Wild Frankfurt/M. 2005
Gödel Deutsch I 222
DeutschVsPenrose: Bsp
Deutsch kann die Wahrheit diese Aussage nicht widerspruchsfrei beweisen.
I 222
Das kann ich nicht, obwohl ich sehe dass sie wahr ist, oder nicht? Und ich verstehe den Satz auch. So ist es zumindest möglich, dass eine Aussage für einen Menschen unbegreiflich ist, für jeden anderen jedoch selbstverständlich wahr sein kann!(> Gödel/Penrose)

Deutsch I
D. Deutsch
Die Physik der Welterkenntnis München 2000
Gödel Field II 347
Gödelsatz/Field: ist nur wahr, wenn unbeweisbar, wenn beweisbar, ist er nicht wahr

Field I
H. Field
Realism, Mathematics and Modality Oxford New York 1989

Field II
H. Field
Truth and the Absence of Fact Oxford New York 2001

Field III
H. Field
Science without numbers Princeton New Jersey 1980

Field IV
Hartry Field
"Realism and Relativism", The Journal of Philosophy, 76 (1982), pp. 553-67
In
Theories of Truth, Paul Horwich Aldershot 1994
Gödel Quine XIII 82
Gödel/Gödels Theorem/Quine: Beweis/Selbstevidenz/Quine: es ist zu viel verlangt, dass ein Beweis selbstevident sein müsste. Bsp Euklids Parallelenaxiom ist nicht selbstevident. Bsp Mengenlehre ist auch nicht selbstevident, weil sie von Paradoxa geschüttelt ist.
Selbstevidenz/Quine: finden wir in einer kleinen Anzahl von Axiomen der Zahlentheorie. Es sind die Axiome von Dedekind, die die Axiome von Peano genannt werden.
Elementare Zahlentheorie/Quine: es war immer die Frage, ob es nicht noch gültige Gesetze gäbe, die aus den Axiomen nicht abgeleitet werden könnten. Es gab sie! Das war eine Frage der Adäquatheit.
Gesetze/DF/Quine: die Frage weiterer, noch unentdeckter Gesetze schien ein Problem aller Zweige der Mathematik zu sein. Durch Ergänzungen der Axiome könnte man das vielleicht beheben? Aber Gödel bewies 1931, dass das nicht so sein kann!
Gödel/Quine: bewies, dass es kein vollständiges deduktives System für ein noch so kleines Fragment der Mathematik geben kann, wie es z.B. die Elementare Zahlentheorie ist.
XIII 82
Gödel/Quine: bewies, dass es kein vollständiges deduktives System für ein noch so kleines Fragment der Mathematik geben kann, wie es z.B. die elZT ist Def Elementare Zahlentheorie /Quine: umfasst Ziffern, Notation für plus, mal, Potenz und Gleichheit
XIII 83
Satzoperatoren: für „nicht“, „und“ und „oder“ und die Quantoren „Jede Zahl x ist so, dass…“und „es gibt eine Zahl x so dass…“. Die Zahlen sind die positiven ganzen Zahlen und die Null. Damit kann man Bsp Fermats letztes Theorem ausdrücken. Gödel/Quine: These: Kein Axiomensystem oder anderer deduktiver Apparat kann alle Wahrheiten abdecken, die selbst in dieser moderatesten Notation ausdrückbar sind. Jedes gültige Beweisverfahren wird einige wahre Sätze außer acht lassen, ja sogar unendlich viele davon.
Selbstevidenz/Mathematik/Gödel/Quine: daher müssen wir die Forderung der Selbstevidenz fallen lassen.
falsche Lösung/Quine: könnte man nicht einfach alle entdeckten Wahrheiten als Axiome nehmen?
Vs: das ist nicht deswegen unmöglich, weil es keine Axiomensysteme mit unendlich vielen Axiomen geben könnte, solche gibt es. Es ist vielmehr so, dass ein Beweis in endlicher Zeit geprüft werden können muss.
Gödel/Gödels Theorem/Quine: ist verwandt mit den reflexiven Paradoxa. Es geht darum, dass die Notation der elZT über sich selbst sprechen können muss. ((s) >Selbstreferenz).
Gödelnummerierung/Gödelzahl/Quine: …+…
XIII 84
Erwähnung/Gebrauch/Gödel/Quine: Gödels Beweis verlangt auch diese Unterscheidung. Bsp die Ziffer „6“ benennt die Zahl 6 und hat die Gödelzahl 47. Wir können sagen, die Gödelzahl 47 benennt die Zahl 6. (>Stellvertreter). Syntax/Arithmetik/Gödel/Quine: nachdem alle Ausdrücke ihre Benennung durch Gödelzahlen haben, können die syntaktischen Operationen über Ausdrücke, durch arithmetische Operationen über Zahlen gespiegelt werden.
Zitat/Gödel/Quine: Problem: die entsprechende Notation ist nicht Teil der symbolischen Logik und Arithmetik. Anführungszeichen (AZ) können dann auch nicht einfach durch Gödelzahlen benannt werden.
Zitat/Quine: eines Ausdrucks: benennt diesen Ausdruck.
Gödelzahlen/Gödelnummer/Quine: 47 benennt 6, weiterhin benennt 5361 die Zahl 47, wenn zufällig 53 und 61 die Gödelzahlen der Ziffern „4“ und „7“ sind. ((s) Anführungszeichen sic).
Zitat/Gödel/Quine: die Zitatrelation ist als repräsentiert durch die arithmetische Relation, die 5361 zu 47 und 47 zu 6 hat. Die allgemeine Relation kann in der Notation der elZT ausgedrückt werden, wenn auch nicht leicht. Die arithmetische Rekonstruktion syntaktischer Begriffe wie dieses war ein substantieller Teil von Gödels Arbeit.
Lügner/Lügnerparadoxie/Gödel/Quine: ist dienlich in einem der beiden Teile, in den Gödels Beweis aufgeteilt werden kann. Die Bombe explodiert, wenn die beiden Teile zusammengesetzt werden. Der Lügner kann vollständig
XIII 85
durch Gödelnumerierung ausgedrückt werden mit Ausnahme eines einzigen Ausdrucks: „Wahrheit“. Wenn das ginge, hätten wir das Paradox gelöst, aber die elZT in Misskredit gebracht. Wahrheit/Gödelzahl/Gödelnummer/Quine: Wahrheit ist nicht definierbar mittels Gödelzahlen, innerhalb der elZT.
Gödels Theorem/Quine: formal: keine Formel in der Notation der elZT ist wahr von allen und nur den Gödelnummern von Wahrheiten der elZT. (Das ist der eine Teil.
anderer Teil/Quine: behandelt jedes echte Beweisverfahren, hier geht es darum, dass jeder Beweis prüfbar sein muss.
formal: eine gegebene Formel in der Notation der elZT ist wahr von allen und nur den Gödelzahlen Beweisbarer Formeln.
Church/Quine: ich übergehe hier seine These (Church-These), (siehe Rekursion; s.u.).
Gödel/Quine: die beiden Teile zusammen besagen, daß die Beweisbaren Formeln nicht mit den Wahrheiten der elZT zusammenfallen. Entweder sie enthalten einige Falschheiten, oder sie decken einige Wahrheiten nicht ab. Gott verbietet das.
Gödel/Quine: sein eigener Beweis war direkter. Er zeigte, dass ein gegebener Satz, ausgedrückt in Gödelzahlen, nicht bewiesen werden kann. Entweder ist er falsch oder Beweisbar, oder wahr und nicht Beweisbar. Vermutlich das Letztere.
Falsche Lösung/Quine: man könnte diese verirrte Wahrheit als Axiom hinzufügen, aber dann bleiben wieder andere unBeweisbare.
Gödel/Pointe/Quine: ironischerweise war es zwar unplausibel, dass es eine Beweisprozedur für alle Wahrheiten der elZT geben könnte. Dieses würde Fermats Satz klären, und vieles andere mehr.
XIII 86
Andererseits schlug Gödels Ergebnis wie eine Bombe ein. Pointe: diese beiden Mängel stellten sich nun aber als äquivalent heraus! Denn:
Kleene/Quine: zeigte, dass wenn es ein vollständiges Beweisverfahren gibt, könnte jede Aussage als wahr oder falsch getestet werden wie folgt: ein Computer müsste so programmiert werden, jede Aussage herunter zu spulen, in alphabetischer Reihenfolge, die kürzesten zuerst, dann immer längere. Am Ende, wegen der Vollständigkeit des Verfahrens, wird er jeden einzelnen Satz bewiesen oder widerlegt haben.

Quine I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Quine II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Quine III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Quine V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Quine VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Quine VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Quine VII (a)
W. V. A. Quine
On what there is
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (b)
W. V. A. Quine
Two dogmas of empiricism
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (c)
W. V. A. Quine
The problem of meaning in linguistics
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (d)
W. V. A. Quine
Identity, ostension and hypostasis
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (e)
W. V. A. Quine
New foundations for mathematical logic
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (f)
W. V. A. Quine
Logic and the reification of universals
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (g)
W. V. A. Quine
Notes on the theory of reference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (h)
W. V. A. Quine
Reference and modality
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (i)
W. V. A. Quine
Meaning and existential inference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982

Quine IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Quine X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Quine XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003

Quine XIII
Willard Van Orman Quine
Quiddities Cambridge/London 1987
Gödel Vollmer I 224
Gödel/Vollmer: hat angeblich gezeigt, dass kein System alle Wahrheiten über sich selbst beweisen kann - dass kein System sich selbst erkennen kann - dass kein System sich selbst erklären kann - dass kein System sich selbst verstehen kann - dass kein System sich selbst übersteigen kann. Vollmer: es ist aber nicht wahr, dass diese Aussagen aus seinen Sätzen folgen.

Vollmer I
G. Vollmer
Was können wir wissen? Bd. I Die Natur der Erkenntnis. Beiträge zur Evolutionären Erkenntnistheorie Stuttgart 1988

Vollmer II
G. Vollmer
Was können wir wissen? Bd II Die Erkenntnis der Natur. Beiträge zur modernen Naturphilosophie Stuttgart 1988
Gödelnummern Gödelnummer, Gödelzahl: Natürliche Zahl, die durch ein bestimmtes Verfahren mathematische und logische Aussagen darstellt. Dazu werden Symbole wie +, -,=, ) usw. ihrerseits durch Primzahlen kodiert und diese anschließend multipliziert, sodass sie später durch Primfaktorzerlegung eindeutig rekonstruiert werden können. Gödelnummern ermöglichen es, Verzeichnisse von Formeln anzulegen und Vollständigkeits- oder UnvollständigkeitsBeweise durchzuführen.
Gödelnummern Quine X 82
Gödelnummern/Gödelisierung/Quine: kommt ohne Mengen aus. Wenn wir mit Gödelnummern arbeiten, brauchen wir keine Mengen.
XII 58
Zusammenhang hier: die Untersuchung der Beschaffenheit einer möglichen Sprache für die Beweistheorie: Protosyntax/Unbestimmtheit/Quine: die Sprache ist hier ein formalisiertes System der Beweistheorie erster Stufe, deren Gegenstandsbereich nur aus Ausdrücken, d.h. aus Zeichenketten eines bestimmten Alphabets besteht.

VII (c) 59
Pointe. statt die Zeichenketten als Mengen von Inschriften zu deuten, kann man sie als (mathematische) Folge (von Zeichen) betrachten. Zeichenreihe/Ausdruck: ist dann eine endliche Menge von Paaren aus einem Zeichen und einer Zahl.
Vs: das ist sehr künstlich und kompliziert.
Einfacher: Gödelnummern selbst (die Zeichen verschwinden).
Problem: Frage: wie klar ist es hier, dass wir gerade hier dazu übergegangen sind, nicht mehr von Ausdrücken sondern von Zahlen zu reden?
Einigermaßen klar ist nur, dass wir mit künstlichen Modellen Gesetze erfüllen wollen, die Ausdrücke in einem nicht expliziten Sinn erfüllen sollen. Siehe auch zur Reduktion mehrsortiger Logik: XII 72.
Im Zusammenhang mit referentieller bzw. substitutionaler Quantifikation: >XII 80

X 125
Es ist nicht möglich, für jede Irrationalzahl eine Gödelnummer zu bilden.

Quine I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Quine II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Quine III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Quine V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Quine VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Quine VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Quine VII (a)
W. V. A. Quine
On what there is
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (b)
W. V. A. Quine
Two dogmas of empiricism
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (c)
W. V. A. Quine
The problem of meaning in linguistics
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (d)
W. V. A. Quine
Identity, ostension and hypostasis
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (e)
W. V. A. Quine
New foundations for mathematical logic
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (f)
W. V. A. Quine
Logic and the reification of universals
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (g)
W. V. A. Quine
Notes on the theory of reference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (h)
W. V. A. Quine
Reference and modality
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (i)
W. V. A. Quine
Meaning and existential inference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982

Quine IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Quine X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Quine XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003

Quine XIII
Willard Van Orman Quine
Quiddities Cambridge/London 1987
Grund/ Ursache Dennett II 66
Absicht/Grund/Wissen/Evolution/Dennett: die frühen, sich verdoppelnden Makromoleküle hatten sehr wohl Gründe, aber sie hatten keine Ahnung von ihren Gründen.
II 77
Grund/Existenz/Ontologie/Dennett: Jahrmillionen gab es Gründe, aber es existierte niemand, der Gründe formulierte, Gründe repräsentierte, oder auch nur im strengen Sinn zu schätzen wusste.
Brandom I 379
Grund/Davidson/Brandom: Gründe sind Ursachen -(anderswo): Dennett legt grundsätzlich Kausalität als Erklärung zugrunde - wir brauchen nur Kausalität.
Den I 627
Grund/Darwin/Kausalität/Dennett: Frage: kann es Gründe geben, die erkannt werden, ohne dass ein bewusster Geist sie erkennt?
I 628
Ja! die Selektion ist der "blinde Uhrmacher"(Dawkins), der aber dennoch erzwungene Züge findet - Zusammenhang: mit Wahrheiten/Gödel, die man sehen, aber nicht beweisen kann - Dennett: Zwischenlösungen sind gut! Bsp beim Halteproblem: ein Programm, das zwar nicht perfekt, aber trotzdem gut wäre.

Dennett I
D. Dennett
Darwins gefährliches Erbe Hamburg 1997

Dennett II
D. Dennett
Spielarten des Geistes Gütersloh 1999

Dennett III
Daniel Dennett
"COG: Steps towards consciousness in robots"
In
Bewusstein, Thomas Metzinger Paderborn/München/Wien/Zürich 1996

Dennett IV
Daniel Dennett
"Animal Consciousness. What Matters and Why?", in: D. C. Dennett, Brainchildren. Essays on Designing Minds, Cambridge/MA 1998, pp. 337-350
In
Der Geist der Tiere, D Perler/M. Wild Frankfurt/M. 2005

Bra I
R. Brandom
Expressive Vernunft Frankfurt 2000

Bra II
R. Brandom
Begründen und Begreifen Frankfurt 2001
Identitätstheorie Quine II 209f
KripkeVsIdentitätstheorie: vorstellbar: Schmerz ohne Gehirnzustand - für Materialisten ist das schwierig auszuschließen. - QuineVsKripke: es ist nur schwierig, wenn der Materialist an metaphysische
Notwendigkeit glaubt.

X 88
Identitätstheorie der Logik: Identität/Logik/Quine: Wahrheiten der Identitätstheorie
Bsp „x = x“, „Ey((x = y)“ oder „~(x = y . ~(y = x))“ ((s) Symmetrie der Identität)
eignen sich nicht als logische Wahrheiten gemäß unseren Definitionen der logischen Wahrheit.
Grund: sie können falsch werden, wenn man „=“ durch andere Prädikate ersetzt.
Konsequenz. Sollen wir die Identität also nicht zur Logik rechnen, sondern zur Mathematik? Und zwar zusammen mit „>“ und „ε“? Siehe >Gleichheitszeichen.
Identität/Logik/Quine: wegen der logischen Wahrheit möchte man die Identität nicht zur Logik rechnen, aber es gibt auch Gründe dafür, sie doch dazuzurechnen:
X 89
Die Identitätstheorie ist vollständig, es gibt vollständige Beweisverfahren für die Quantorenlogik mit Identität. Identitätstheorie/Axiome/Gödel: fügt man das Axiom

(1) x = x
und das Axiomenschema

(2) ~(x = y . Fx . ~Fy)

einem vollständigen Beweisverfahren für die Quantorenlogik hinzu, so ergibt sich ein vollständiges Beweisverfahren für die Quantorenlogik mit Identität.
Universalität: diese Eigenschaft der Identitätstheorie lässt sie ebenfalls der Logik näher stehen als der Mathematik: sie behandelt alle Gegenstände unvoreingenommen.
Das deutet darauf hin, dass die Identitätstheorie wie die Quantorenlogik besonders grundlegend ist.

Quine I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Quine II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Quine III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Quine V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Quine VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Quine VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Quine VII (a)
W. V. A. Quine
On what there is
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (b)
W. V. A. Quine
Two dogmas of empiricism
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (c)
W. V. A. Quine
The problem of meaning in linguistics
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (d)
W. V. A. Quine
Identity, ostension and hypostasis
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (e)
W. V. A. Quine
New foundations for mathematical logic
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (f)
W. V. A. Quine
Logic and the reification of universals
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (g)
W. V. A. Quine
Notes on the theory of reference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (h)
W. V. A. Quine
Reference and modality
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (i)
W. V. A. Quine
Meaning and existential inference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982

Quine IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Quine X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Quine XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003

Quine XIII
Willard Van Orman Quine
Quiddities Cambridge/London 1987
Intuitionismus Quine II 178
Intuitionismus: > href="https://www.philosophie-wissenschaft-kontroversen.de/details.php?id=282339&a=$a&autor=Quine&vorname=W.V.O.&thema=Wahrheit">Wahrheit ist nicht gleich Behauptbarkeit.
X 118
Intuitionismus/Quine: man könnte ihn so charakterisieren: er lehnt die Adjunktion ab, wenn man nicht weiß, wie man entscheiden soll, welcher der Teilsätze wahr ist. SaD: hatten wir über die Negation schützen wollen.
Logik/Quine: in Wirklichkeit kann man da gar keine Unterscheidung treffen: wenn man einmal die Beziehungen zwischen den logischen Operatoren ((s) logischen Konstanten) umwirft, kann man jeden beliebigen oder alle als geändert betrachten. (>Holismus).
Daraus sieht man:
Adjunktion/Negation/logische Operatoren/Quine: sind immanent, nicht transzendent. Denn bei einer abweichenden Logik können wir ihre Bedeutungen nicht aufrechterhalten.
Intuitionismus: ist also nicht anderer Ansicht über die Gesetze für die Operatoren. Vielmehr bekämpft er er sie als für die Wissenschaft unbrauchbar.
QuineVsintuitionistische Logik: ihr fehlt die Handlichkeit und Vertrautheit. Ihre Satzverknüpfungen haben keine wafu sondern einer intuitive Bedeutung, die wir mit Hilfe von „widerlegen“ und „ aus...folgen“ erklären. Diese Erklärungen werden aber unklar, wenn man den Unterschied zwischen dem Aussprechen eines Satzes und dem Sprechen über den Satz (Erwähnung/Gebrauch) aufrechterhalten will!
Quine. dann kann man auch gleich zu Heytings Axiomen übergehen und keine Übersetzung zwischenschalten, sondern
X 119
Die direkte Methode des Sprachlehrers anwenden. Intuitionismus: gewann noch Auftrieb durch Gödels UnvollständigkeitsBeweis.
QuineVsintuitionistische Logik: ändert die Bedeutungen der Quantifikation und der Konstanten.
Lösung: man kann konstruktivistisch vorgehen, und dennoch die orthodoxe Logik verwenden: das macht Weyls konstruktive Mengenlehre.
X 121
Ontologie/QuineVsIntuitionismus/Vsintuitionistische Logik: was der Intuitionist für existierend erklärt, finden wir vielleicht nicht einmal so. Lösung: wir müssen seine Sprache zuerst in unsere übersetzen. Und zwar nicht unbedingt in unsere Logik, aber in unsere Gesamtsprache!
Dann können wir sagen, was er als existierend ansieht (und zwar in unserem Sinn von „existieren“).

Quine I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Quine II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Quine III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Quine V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Quine VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Quine VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Quine VII (a)
W. V. A. Quine
On what there is
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (b)
W. V. A. Quine
Two dogmas of empiricism
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (c)
W. V. A. Quine
The problem of meaning in linguistics
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (d)
W. V. A. Quine
Identity, ostension and hypostasis
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (e)
W. V. A. Quine
New foundations for mathematical logic
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (f)
W. V. A. Quine
Logic and the reification of universals
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (g)
W. V. A. Quine
Notes on the theory of reference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (h)
W. V. A. Quine
Reference and modality
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (i)
W. V. A. Quine
Meaning and existential inference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982

Quine IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Quine X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Quine XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003

Quine XIII
Willard Van Orman Quine
Quiddities Cambridge/London 1987
Komplex/Komplexität Chaitin Barrow I 78
Komplexität/Entscheidbarkeit/Paradox/Chaitin/Barrow: Anweisung: Drucke eine Folge aus, von deren Komplexität sich beweisen lässt, dass sie größer ist als die Länge dieses Programms!". Darauf kann der Computer nicht reagieren. Jede Folge die er erzeugt, muss von geringerer Komplexität sein, als die Länge der Folge selbst (und auch als sein Programm).
(>Neumann: eine Maschine kann nur eine andere Maschine bauen, wenn diese um einen Grad weniger komplex ist, als diese selbst, >Kursbuch 8, 139 ff)
Im obigen Fall kann der Computer also nicht entscheiden, ob die Zahl R zufällig ist oder nicht. Damit ist das >Gödelsche Theorem bewiesen!
In den späten 80er Jahren fand man noch einfachere Beweise für das Gödelsche Theorem, mit denen es in Aussagen über Informationen und Zufälligkeit transformiert wurde.
Informationsgehalt/Barrow: man kann einem System von Axiomen und Regeln ein bestimmtes Maß an Information zuordnen, indem man ihren Informationsgehalt definiert als die Größe des Computerprogramms, das alle möglichen Schlussketten durchprüft.
I 78/79
Wenn man versucht, die Grenze der Beweisbarkeit durch neue Axiome zu erweitern, gibt es immer noch größere Zahlen, bzw. Ziffernfolgen, deren Zufälligkeit unbeweisbar bleibt. Chaitin: hat mit der Diophantischen Gleichung bewiesen:

x + y² = q

wenn wir für x und y nur Lösungen mit positiven ganzen Zahlen suchen, fragte Chaitin,
I 80
ob eine solche Gleichung typischerweise endlich oder unendlich viele ganzzahlige Lösungen hat, wenn wir q alle möglichen Werte q = 1,2,3,4...durchlaufen lassen. Auf den ersten Blick kaum abweichend von der ursprünglichen Frage, ob die Gleichung für
q = 1,2,3.. eine ganzzahlige Lösung hat.
Chaitins Frage ist jedoch unendlich viel schwerer zu beantworten. Die Antwort ist in dem Sinne zufällig, dass sie mehr Information benötigt als in der Problemstellung gegeben ist.
Es gibt gar keinen Weg zu einer Lösung. Man schreibe für q 0 wenn die
Gleichung nur endlich viele Lösungen hat, und 1, falls es unendlich viele gibt.(> Kronecker Symbol). Das Ergebnis ist eine Reihe von Einsen und Nullen die eine reelle Zahl darstellt. (>Putnam)
Ihr Wert kann von keinem Computer berechnet werden.
Die einzelnen Stellen ergeben sich logisch völlig unabhängig voneinander.
omega = 0010010101001011010...
dann verwandelte Chaitin diese Zahl in eine Dezimalzahl
I 81
omega = 0,0010010101001011010... und hatte so das Maß der Wahrscheinlichkeit dass ein zufällig gewähltes Computerprogramm irgendwann nach einer endlichen Schrittzahl aufhört. Ist immer ungleich 0 und 1.
Noch eine weitere wichtige Konsequenz: wählen wir irgendeine sehr große Zahl für q so gibt es keinen Weg, zu entscheiden, ob die q te Binärstelle der Zahl omega eine Null oder eine Eins ist. Das menschliche Denken hat keinen Zugang zu einer Antwort zu dieser Frage.
Die unausweichliche Unentscheidbarkeit mancher Aussagen folgt aus der zu geringen Komplexität des Computerprogramms, das allerdings auf der Arithmetik basiert.

B I
John D. Barrow
Warum die Welt mathematisch ist Frankfurt/M. 1996

B II
John D. Barrow
Die Natur der Natur: Wissen an den Grenzen von Raum und Zeit Heidelberg 1993

B III
John D. Barrow
Die Entdeckung des Unmöglichen. Forschung an den Grenzen des Wissens Heidelberg 2001
Kontinuum Quine XIII 45
Def Diskret/Diskretheit/Quine: eine Ordnung von Zahlen oder anderen Objekten ist diskret, wenn jedes Objekt einen unmittelbaren Vorgänger oder Nachfolger hat oder beides. Bsp die ganzen Zahlen sind diskret. Dagegen Def dicht: Brüche sind dicht und nicht diskret.
Reelle Zahlen: sind mehr als dicht: sie sind kontinuierlich.
Diskret/kontinuierlich: stellen wir hier als Gegensätze gegenüber.
Diskretheit: brauchen wir um Zählen zu lernen, indem wir die Objekte unterscheiden.
Irrationale Zahlen/Cantor: Theorem: die meisten werden uns immer entgehen.
Zahlentheorie: beschäftigt sich mit ganzen Zahlen
Reelle Zahlen: werden von den Wissenschaften gebraucht. Der Kontrast von beiden wird durch ein Paar von Theoremen erhellt:
GödelsTheorem: keine Beweisprozedur kann alle Wahrheiten der elementaren Zahlentheorie umfassen.
Tarskis Theorem: Wahrheit in der genau dazu parallelen Theorie der reellen Zahlen kann routinemäßig überprüft werden, z.B. durch einen Computer.
Pointe: beide Systeme sind identisch in ihrer Notation! Der Unterschied besteht in der verschiedenen Interpretation der Variablen (bzw. ihrer Bereiche, einmal die positiven ganzen Zahlen mit der 0, das andere Mal die positiven reellen Zahlen mit der 0).
XIII 47
Das führt zu einem Unterschied in der Wahrheit der Formeln! a) reelle Zahlen: hier sind die wahren Formeln eine Menge, die gehandhabt werden kann
b) Elementare Zahlentheorie: hier nicht.
Kontinuität/Diskretheit/Sprache/Quine: das Zusammenspiel der beiden Begriffe ist nicht auf die Mathematik beschränkt, es gibt es auch in der Sprache: Phoneme erlegen dem lautlichen Kontinuum Diskretheit auf.
Diskretheit/Quine: erlaubt auch, dass vergilbte oder beschädigte Manuskripte wieder in einen frischen Zustand versetzt werden können. Die Diskretheit des Alphabets hilft, dass die kleinen Abweichungen (z.B. Vergilbungen) sich zu größeren summieren.
Kontinuum/Kontinuität: Bilder sind dagegen ein kontinuierliches Medium: d.h. hier gibt es keine Standards, wie ein beschädigtes Exemplar instand zu setzen oder eine untreue Kopie zu berichtigen wäre.
Technologie: hier wird Diskretheit oft mit Kontinuität kombiniert. Bsp Uhr: sie soll den Eindruck vermitteln, sich kontinuierlich zu bewegen.
XIII 48
Film/Quine: Kontinuität ist hier der Schwäche unserer Wahrnehmung geschuldet. So ähnlich wie bei der Uhr oder unserem Denken über Atome im Lauf der Jahrtausende. Planckzeit/Quine: hier haben wir die nächste Annäherung der Natur an die Kontinuität.

Quine I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Quine II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Quine III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Quine V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Quine VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Quine VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Quine VII (a)
W. V. A. Quine
On what there is
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (b)
W. V. A. Quine
Two dogmas of empiricism
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (c)
W. V. A. Quine
The problem of meaning in linguistics
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (d)
W. V. A. Quine
Identity, ostension and hypostasis
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (e)
W. V. A. Quine
New foundations for mathematical logic
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (f)
W. V. A. Quine
Logic and the reification of universals
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (g)
W. V. A. Quine
Notes on the theory of reference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (h)
W. V. A. Quine
Reference and modality
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (i)
W. V. A. Quine
Meaning and existential inference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982

Quine IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Quine X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Quine XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003

Quine XIII
Willard Van Orman Quine
Quiddities Cambridge/London 1987
Mathematik Lorenzen Thiel I 225
Arithmetik/Lorenzen: die Arithmetik ist die Theorie in der das Unendliche in seiner einfachsten Form auftritt, sie ist im Wesentlichen nichts anderes als die Theorie des Unendlichen selbst. Die Arithmetik als Theorie der Zeichenmenge (z.B. Strichliste) ist in dem Sinne universell, als in ihr die Eigenschaften und Relationen jeder anderen unendlichen Zeichenmenge stets auf irgendeine Weise "abgebildet" werden können.

Die Komplexität der Materie hat dazu geführt, dass ein Großteil der Sekundärliteratur zu Gödel auf Metaphern wie "Spiegelung" "Selbstrückbezüglichkeit" usw. eine Menge Unsinn in die Welt gesetzt hat.
I 224
Der logisch arithmetische Vollformalismus wird mit F bezeichnet. Er enthält u.a. induktive Definitionen der Zählzeichen, der Variablen für sie, die Regeln der Quantorenlogik und die als Regeln geschriebenen Dedekind Peanoschen Axiome.
I 226
Die Ableitbarkeit oder Unableitbarkeit einer Formel bedeutet nichts anderes, als Existenz bzw. Nichtexistenz einer Beweisfigur oder eines Stammbaums mit A als Endformel. Deshalb entsprechen auch die metamathematischen Aussagen "ableitbar", bzw. "unableitbar" jeweils umkehrbar eindeutig einer sie charakterisierenden Grundzahl.

Lorn I
P. Lorenzen
Constructive Philosophy Cambridge 1987

T I
Chr. Thiel
Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995
Mengen Henkin Quine IX 222
Menge/Quine: die Bedingung, eine Menge zu sein:
"Ey(z ε y)".


(6) {x:∀y[(0 ε y u S'' y ≤ y) › x ε y } ≠ {x: ∀y[(y e ϑ u 0 ε y u S''y ≤ y) › x ε y]}.

Hier enthält die rechte Seite Extras! 0,1,2 und ihre Nachfolger gehören zu beiden Klassen. Eine Ungleichheit müsste daher den rechten und nicht den linken Ausdruck als Version von "N" diskreditieren.
IX 223
Rechts enthält natürlich keine Extras, wenn es eine Menge y gibt, deren Elemente genau 0,1,2 und ihre Nachfolger sind. Dann wird im Gegenteil die rechte Seite genau diese Klasse y sein. Gibt es umgekehrt keine solche Menge y, dann enthält die rechte Seite Extras. Denn die Formel erweist sich als stratifiziert, also qualifiziert sich die Klasse als Menge, also würde sie selbst als Menge y gelten, es sei denn, sie enthält Extras.
Pointe: können wir uns in jedem Fall darauf verlassen, dass die linke Seite die knappere der beiden, genau 0,.1,2 und ihre Nachfolger enthält? Nein!
Henkin: einfacher Beweis, dass keine irgendwie geartete Definition von "N" uns in die Lage versetzt zu Beweisen, dass N gerade 0,1,2 und ihre Nachfolger ohne Extras enthält.
Solange "0 ε N", "1 ε N", "2 ε N" usw. alle gelten, kann kein Widerspruch in der Annahme auftreten kann, dass außerdem noch ein x ε N existiert mit

(7) x ε N, x ≠ 0, x ≠ 1, x ≠ 2... ad infinitum

Beweis: …da ein Beweis nur endlich viele Prämissen verwenden kann, benutzt jeder Beweis eines Widerspruchs aus (7) nur endlich viele der Prämissen (7), jede solche endliche Menge ist aber für ein gewisses x wahr.

Klassen/Quantifikation/Begriffe/Quine: die Quantifikation über Klassen ermöglicht uns Begriffe, die sonst außerhalb unserer Reichweite lägen.(s.o. Abschnitt II) Bsp "und ihre Nachfolger". Bsp Vorgänger.
Universum/Mengenlehre/Quine: ist eine ungeregelte Angelegenheit, die von Theorie zu Theorie anders aussieht.
Begriff/Mengenlehre: eine ähnliche Relativität muss bei den Begriffen befürchtet werden. Das wurde von Skolem (1922/23) betont. Insbesondere für das täuschend vertraute "und ihre Nachfolger". (Siehe Widerspruchsfreiheit/Henkin).

Def omega-widerspruchsvoll/(w)/Gödel: (Gödel 1931) ist ein System, wenn es eine Formel "Fx" gibt derart, dass jede einzelne der Aussagen "F0", "F1", "F2",... ad infinitum in dem System bewiesen werden kann, aber gleichermaßen auch "Ex(x ε N und ~Fx)".

Henkin I
Leon Henkin
Retracing elementary mathematics New York 1962

Quine I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Quine II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Quine III
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Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Quine V
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Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Quine VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Quine VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Quine VII (a)
W. V. A. Quine
On what there is
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (b)
W. V. A. Quine
Two dogmas of empiricism
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (c)
W. V. A. Quine
The problem of meaning in linguistics
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (d)
W. V. A. Quine
Identity, ostension and hypostasis
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (e)
W. V. A. Quine
New foundations for mathematical logic
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (f)
W. V. A. Quine
Logic and the reification of universals
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (g)
W. V. A. Quine
Notes on the theory of reference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (h)
W. V. A. Quine
Reference and modality
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (i)
W. V. A. Quine
Meaning and existential inference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982

Quine IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Quine X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Quine XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003

Quine XIII
Willard Van Orman Quine
Quiddities Cambridge/London 1987
Metasprache Genz II 210
Metasprache/Addition/Algorithmus/Summe/Gauß/Genz: die Summe der Zahlen von 1 bis 100 ist 5050 = 101 x 50:
Bsp 1 bis 10:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = (1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6) = 11+11+11+11+11 = 5 x 11 = 55

Die Summe kann so umgeordnet werden, dass das Resultat der Addition aufgrund des Algorithmus von der Reihenfolge der Zahlen unabhängig ist.
Pointe: das ist eine Aussage über die Resultate von Additionen, in der Metasprache.
II 211
Metasprache/Schwärzung/Zeichen/Formalismen/Hofstadter/Genz: Bsp für eine rein typographische Ableitung: wenn 0+0=0, 1+0= 1 usw. sowie 1 = 1 vorgegeben ist, kann man 1 + x = 1 + x für beliebiges x hinzufügen. Ableitung/Formalismus/Genz: dass negative Zahlen hier ausgeschlossen werden müssen, hat für den Formalismus keine Bedeutung und kann für die Begründung von Ableitungen innerhalb seiner nicht herangezogen werden.
Hofstadter/Genz: gebraucht die Nachfolgerrelation Bsp SS0 statt 2. Daher sind bei ihm keine Bedeutungen eingeschlichen.
Beweis/Hofstadter: ist etwas Informales. Das Ergebnis eines Nachdenkens.
Formalisierung/Hofstadter: dient dazu, Intuitionen logisch zu verteidigen.
Ableitung/Hofstadter: künstlich hergestellte Entsprechung des Beweises
II 212
die die logische Struktur explizit macht. Einfachheit/Ableitung/Hofstadter: es kann sein, dass Myriaden von Schritten notwendig sind, aber die logische Struktur stellt sich als ganz einfach heraus.
Bedeutung/Genz: der unendlichen Folge der obigen Aussagen fasst der Satz zusammen, dass alle Zahlen, wenn um 0 vermehrt, unverändert bleiben. Pointe: das beruht aber nicht auf der Bedeutung der Symbole, sondern nur auf den typographischen Ableitungsregeln der Objektsprache.
Metasprache/Genz: es ist eine Einsicht über den Formalismus die garantiert, dass alle Tokens zutreffen.
Objektsprache: sei hier so, dass die obige Verallgemeinerung ("alle Zahlen, durch 0 vermehrt, bleiben unverändert") in ihr formuliert, aber nicht abgeleitet werden kann.
1. Metasprache: hier kann er abgeleitet werden. Sie enthält vollständige Induktion.
2. Metasprache: hier kann er nicht abgeleitet werden, jedoch seine Verneinung! (s.u.)
Beide Metasprachen enthalten die OS. Daher können in ihnen die Folgen abgeleitet werden.
II 213
Objektsprache: in ihr können also nicht alle wahren Sätze abgeleitet werden. Lösung: wir nehmen den Satz selbst zur Sprache hinzu, dann ist er sowohl war, wie (trivial) ableitbar.
Pointe: in der 2. Metasprache, die mit der ersten unverträglich ist, kann statt des Satzes seine Negation hinzugenommen werden, ohne einen Widerspruch zu erzeugen.
2. Metasprache: erzwingt das Auftreten von "unnatürlichen" Zahlen, die nicht als Nachfolger von 0 dargestellt werden können (siehe Hofstadter, Gödel, Escher, Bach S 240).


Gz I
H. Genz
Gedankenexperimente Weinheim 1999

Gz II
Henning Genz
Wie die Naturgesetze Wirklichkeit schaffen. Über Physik und Realität München 2002
Methode Tarski Berka I 401
Widerspruchsfreiheit/WSF/Beweis/WSF-Beweis/Gödel: lässt sich nicht durchführen, wenn die Metasprache keine Variablen höheren Typs enthält. - Unentscheidbarkeit: wird beseitigt, wenn man die untersuchte Theorie (Objektsprache) mit Variablen höheren Typs bereichert. (1)
1. A.Tarski, „Grundlegung der wissenschaftlichen Semantik“, in: Actes du Congrès International de Philosophie Scientifique, Paris 1935, Bd. III, ASI 390, Paris 1936, S. 1-8

I 462
Metasprache/Tarski: ist unser eigentliches Untersuchungsobjekt. - ((s) Wegen der Anwendungsbedingung des Wahrheitsbegriffs.)
I 464
Metasprache/Tarski: 2. Kategorie von Ausdrücken: spezifische Termini von strukturell-deskriptivem Charakter - Namen von konkreten Zeichen und Ausdrücken des Klassenkalküls - Namen von Klassen - von Folgen solcher Ausdrücke und von zwischen ihnen bestehenden strukturellen Relationen. - Jedem Ausdruck der betrachteten Sprache (Objektsprache) kann man - einerseits einen individuellen Namen dieses Ausdrucks, und - andererseits einen Ausdruck, der die Übersetzung dieses Ausdrucks in die Metasprache ist, zuordnen - das ist entscheidend für die Konstruktion der Wahrheitsdefinition.
I 464
Name/Übersetzung/Metasprache/Objektsprache/Tarski: Unterschied: ein Ausdruck der Objektsprache kann in der Metasprache a) einen Namen erhalten, oder
b) eine Übersetzung.
Berka I 525
Morphologie/Tarski: unsere Metasprache enthält hier die gesamte Objektsprache - d.h. für uns aber nur logische Ausdrücke der allgemeinen Klassentheorie - d.h. nur strukturell-deskriptive Termini. - Damit haben wir die Morphologie der Sprache, d.h. sogar den Begriff der Folgerung zurückgeführt.
I 526
Damit haben wie die Logik dieser untersuchten Wissenschaft als einen Teil der Morphologie begründet.(2)

2. A.Tarski, Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, Commentarii Societatis philosophicae Polonorum. Vol 1, Lemberg 1935

Tarski I
A. Tarski
Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923-38 Indianapolis 1983

Berka I
Karel Berka
Lothar Kreiser
Logik Texte Berlin 1983
Mystizismus McGinn I 35
Mystizismus/M/McGinn: Nimmt die zum Begriff gehörigen Fakten für bare Münze, ist aber nicht imstande, sie wie der Anhänger der Unzurückführbarkeit als etwas schlicht Unerklärbares hinzunehmen. (Sondern erhebt weitergehenden Anspruch).
I 63
McGinnVsMystizimus: das Problem ist nicht, dass zweifellos vieles am Mystizismus falsch ist, sondern, dass es inkohärent ist. Es hat keinen Standpunkt im logischen Raum. Welchen Inhalt hat denn eigentlich der Begriff des Übernatürlichen? - "Das Übernatürliche ist die verdinglichte Unwissenheit des Menschen."
I 138
Willensfreiheit (Laut McGinn): Mystizismus: die Willensfreiheit ist vielleicht das natürliche Zuhause des Nichtnaturalisten. Dieser wird sagen, es gebe doch sicher nichts in der Erfahrungswelt, was derart krass von den Routineabläufen der Kausalität und der Vorhersagbarkeit abweicht, wie ein Akt der freien Entscheidung. Durch freie Entscheidung stellten wir den jenseitigen Aspekt unseres Daseins unter Beweis. Natürlicher Ausdruck der Seele, abseits von menschlichen Abläufen.
McGinnVsMystizismus: das ist keine Antwort auf das Anfangsargument (Determinismus = Indeterminismus).
Ist unsere übernatürliche Seele determiniert, oder ist sie es nicht? Die Frage ist also nur verschoben worden. Gott selbst würde dem Dilemma gegenüberstehen.
I 160
Mystifizierung: wir haben Erkenntnis a priori durch göttliche Offenbarung. Platon, Gödel: These: es gibt ein besonderes Vermögen der mathematischen Anschauung, das uns auf unerklärliche Weise mit der abstrakten Realität in Verbindung bringt.
II 104
Menschliche Unwissenheit ist kein Beweis dafür, dass die Antwort übernatürlich sein muss.

McGinn I
Colin McGinn
Die Grenzen vernünftigen Fragens Stuttgart 1996

McGinn II
C. McGinn
Wie kommt der Geist in die Materie? München 2001
Sinnvolles Russell I XXV
Sinn/sinnvoll/Gödel: das Konzept "sinnvoll anwendbar" muss selbst nicht immer sinnvoll anwendbar sein. - Das beweist, dass nicht jedes Konzept ausgedehnt werden kann auf alle Argumente, indem ein anderes definiert wird, das eine falsche Proposition ergibt, wann immer die ursprüngliche sinnlos war. - Zusammenhang/(s): Bivalenz, wahr/falsch, sinnlos - > Paradoxien der intensionalen Form.

Russell I
B. Russell/A.N. Whitehead
Principia Mathematica Frankfurt 1986

Russell II
B. Russell
Das ABC der Relativitätstheorie Frankfurt 1989

Russell IV
B. Russell
Probleme der Philosophie Frankfurt 1967

Russell VI
B. Russell
Die Philosophie des logischen Atomismus
In
Eigennamen, U. Wolf (Hg) Frankfurt 1993

Russell VII
B. Russell
On the Nature of Truth and Falsehood, in: B. Russell, The Problems of Philosophy, Oxford 1912 - Dt. "Wahrheit und Falschheit"
In
Wahrheitstheorien, G. Skirbekk (Hg) Frankfurt 1996
Starke Künstliche Intelligenz Chalmers I 314
Def Starke Künstliche Intelligenz/Searle/Chalmers: These: Es gibt eine nichtleere Klasse von Rechenoperationen (computations) sodass die Implementierung jeder Operation aus dieser Klasse hinreichend ist für einen Geist und insbesondere für bewusste Erlebnisse. Das gilt nur mit natürlicher Notwendigkeit, denn es ist logisch möglich, dass jedwede Rechenoperation ohne Bewusstsein auskommt, aber das gilt auch für Gehirne.
I 320
Durch eine computationale Beschreibung eines Systems wird eine formale Beschreibung der kausalen Organisation dieses Systems geliefert.
I 321
Invarianzprinzip: jedes System mit bewussten Erlebnissen, das dieselbe funktionale Organisation aufweist wie ein anderes System mit bewussten Erlebnissen, wird qualitativ identische bewusste Erlebnisse haben. Zwischen elektronischen Komponenten können entsprechende kausale Relationen bestehen wie zwischen Neuronen im Gehirn. Verschwindende Qualia/fading qualia/tanzende Qualia: können wir als Argumente für die starke KI benutzen.
I 322
Wenn es zwei organisatorisch identische Systeme gäbe, von denen eins bewusste Erlebnisse hätte, das andere aber nicht, könnte man ein System mit verschwindenden oder tanzenden Qualia konstruieren, das zwischen diesen zwei Systemen läge. Das wäre unplausibel. Wenn verschwindende und tanzende Qualia ausgeschlossen sind, gilt die These der Starken Künstlichen Intelligenz. (>Qualia/Chalmers).
I 329
VsKünstliche Intelligenz/Gödel/Chalmers: in einem widerspruchsfreien formalen System das ausdrucksstark genug für eine bestimmte Art der Arithmetik ist, kann man einen Satz konstruieren, der in diesem System nicht beweisbar ist. Im Gegensatz zur Maschine, sieht der Mensch aber, dass der Satz wahr ist.
I 330
Daher hat der Mensch eine Fähigkeit, die das formale System nicht hat. ChalmersVsVs: es gibt keinen Grund anzunehmen, dass der Mensch die Wahrheit des Satzes einsieht. Bestenfalls können wir sagen, dass, wenn das System widerspruchsfrei ist, der Satz wahr ist. Wir können nicht immer die Widerspruchsfreiheit komplexer Systeme bestimmen.
PenroseVsKI/Chalmers: (Penrose 1994)(1) bringt ein Argument auf einer niedrigeren Stufe: es kann sein, dass nicht alle physikalischen Prozesse computabel (berechenbar) sind. ChalmersVsVs: Das stützt sich aber auf das obige Gödel-Argument. Nichts in der physikalischen Theorie selbst stützt es.
VsKI/VsSimulation/Chalmers: was, wenn Bewusstseinsprozesse wesentlich kontinuierlich, unsere Simulationen jedoch diskret sind?
I 331
ChalmersVsVs: es gibt Gründe anzunehmen, dass absolute Kontinuität für unsere kognitive Kompetenz nicht wesentlich ist. Allerdings könnte es sein, dass ein System mit unbegrenzter Präzision (erreicht durch Kontinuität) kognitive Fähigkeiten hat, die ein diskretes System nicht erreicht.


1. R. Penrose, Shadows of the Mind, Oxford 1994

Cha I
D. Chalmers
The Conscious Mind Oxford New York 1996

Cha II
D. Chalmers
Constructing the World Oxford 2014
Stärke von Theorien Quine IX 237ff
Stärker/schwächer/Theorie/System/Quine: Problem: Vergleichbarkeit: versagt sie, wenn jedes der beiden Systeme Theoreme hat, die nicht in dem anderen zu finden sind - hängt auch an Zufälligkeiten der Interpretation und nicht an Struktur - wenn wir die primitiven logischen Zeichen (also bei der Mengenlehre nur "e") so neu interpretieren können, dass wir damit alle Theoreme dieses Systems zu Übersetzungen der Theoreme des anderen Systems werden lassen, dann ist das letztgenannte System mindestens so stark wie das erste - wenn das nicht in der anderen Richtung geht, ist das eine System stärker als das andere. Def "ordinale Stärke"/Mengenlehre: zahlenmäßiges Maß: die kleinste transfinite Ordinalzahlen, deren Existenz man im System nicht mehr Beweisen kann - die kleinste transfinite Zahl nach dem Blockieren des Apparats gibt an, wie stark der Apparat war - relative Stärke/Beweistheorie: Gödel, Unvollständigkeitssatz: da die Zahlentheorie in der Mengenlehre entwickelt werden kann, bedeutet das, dass die Klasse aller Theoreme (in Wirklichkeit aller Gödelnummern von Theoremen) einer vorliegenden Mengenlehre in dieser selben Mengenlehre definiert werden kann, und verschiedene Dinge können darin über sie bewiesen werden - man kann ausgehend von einer beliebigen Mengenlehre eine endlose Serie weiterer erzeugen kann, von denen jede im Beweistheoretischen Sinne stärker ist als ihre Vorgängerinnen, und die wf ist, wenn ihre Vorgängerinnen es waren. - Man muss nur via Gödelnummerierung ein neues arithmetisches Axiom des Inhalts hinzufügen, dass die vorangegangenen Axiome widerspruchsfrei sind - Ordinale Stärke: ist die Reichhaltigkeit des Universums.
X 71
Metasprache/Mengenlehre/Quine: in der Metasprache (MS) ist eine stärkere Mengenlehre möglich als in der Objektsprache. In der Metasprache ist eine Menge z möglich, sodass gilt ERz - ((s) Eine Menge, die die Erfüllungsrelation ist (in Form einer Menge von geordneten Paaren) - in der Objektsprache nicht, sonst folgt Grellings Paradoxie.

Quine I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Quine II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Quine III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Quine V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Quine VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Quine VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Quine VII (a)
W. V. A. Quine
On what there is
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (b)
W. V. A. Quine
Two dogmas of empiricism
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (c)
W. V. A. Quine
The problem of meaning in linguistics
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (d)
W. V. A. Quine
Identity, ostension and hypostasis
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (e)
W. V. A. Quine
New foundations for mathematical logic
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (f)
W. V. A. Quine
Logic and the reification of universals
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (g)
W. V. A. Quine
Notes on the theory of reference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (h)
W. V. A. Quine
Reference and modality
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (i)
W. V. A. Quine
Meaning and existential inference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982

Quine IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Quine X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Quine XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003

Quine XIII
Willard Van Orman Quine
Quiddities Cambridge/London 1987
Syntax Quine VII (a) 15
Syntax/Quine: ihre Regeln sind bedeutungsvoll im Gegensatz zu ihrer Notation.
VI 69
Syntax/Übersetzung/Unbestimmtheit/Quine: viele meiner Leser sind fälschlich davon ausgegangen, daß sich die Unbestimmtheit auch auf die Syntax erstrecke. Dafür gab es einen subtilen Anlaß: in Wort und Gegenstand (107, 129 136) heißt es:
VI 70
dass auch der spezifische Apparat der Reifizierung und des Objektbezugs, dessen wir uns bedienen, der Unbestimmtheit unterliegt. Zu diesem Apparat gehören die Pronomina, das "=", (Gleichheitszeichen) die Pluralendungen und was immer die Aufgaben der logischen Quantoren erfüllt. Aber es ist falsch anzunehmen, daß diese Mechanismen zur Syntax gehörten!
VI 97
Buchstabieren/Quine: löst die Syntax und das Lexikon eines jeden Inhaltssatzes auf und fusioniert ihn mit der Sprache des Interpreten. Sie besitzt dann keine kompliziertere Syntax als etwa das Additionszeichen.
VII (a) 15
Syntax/Quine/Goodman: ihre Regeln sind bedeutungsvoll im Gegensatz zur Notation selbst.
XI 114
Sprache/Syntax/Lauener: Sprache kann nicht rein syntaktisch als die Menge aller korrekt gebildeten Ausdrücke betrachtet werden, denn ein uninterpretiertes System ist ein bloßer Formalismus. ((s) Dieser ist nicht wahrheitsfähig).
XI 116
Lauener: es ist ein Irrtum, dass die Sprache die Syntax, die Theorie aber den empirischen Gehalt beisteuere. Daher kann man nicht sagen, dass eine absolute Theorie in verschiedenen Sprachen formulierbar sei, oder auch umgekehrt, dass verschiedene (sogar einander widersprechende) Theorien in einer Sprache ausgedrückt werden können.
XI 136
Mathematik/QuineVsHilbert/Lauener: Mathematik ist mehr als reine Syntax. Quine bekennt sich widerwillig zum Platonismus.
XII 58
Das Problem der Unerforschlichkeit des Bezugs reicht viel tiefer: als das der Unbestimmtheit der Übersetzung: Bsp Protosyntax. Protosyntax/Unbestimmtheit/Quine: die Sprache ist hier ein formalisiertes System der Beweistheorie erster Stufe, deren Gegenstandsbereich nur aus Ausdrücken, d.h. aus Zeichenketten eines bestimmten Alphabets besteht.
Ausdrücke: sind hier Typen, keine Tokens! (keine Vorkommnisse).
Jeder Ausdruck ist die Menge aller seiner Vorkommnisse. (Zusammengefasst aufgrund von Ähnlichkeit der Inschriften).
Bsp die Verkettung x^y ist die Menge aller Inschriften, die aus zwei Teilen bestehen. Diese teile sind Tokens von x und y.
Problem: es kann passieren, daß x^y die leere Menge ist ((s) die Kombination kommt nicht vor) obwohl x und y beide nicht leer sind.
XII 59
Wie Wahrscheinlichkeit dieses Problems nimmt mit zunehmender Länge von x und y zu! Pointe: damit wird ein Gesetz der Protosyntax verletzt, das besagt:
x = z, wenn x^y = z^y.
Lösung: dann wird man die Gegenstände nicht als Mengen von Inschriften auffassen.
Dann kann man aber seine Atome, die einzelnen Zeichen immer noch als Menge von Inschriften auffassen. Dann besteht keine Gefahr, daß die Menge leer ist. ((s) weil die Atome ja da sein müssen, wenn auch nicht jede Kombination).
Pointe. statt die Zeichenketten als Mengen von Inschriften zu deuten, kann man sie als (mathematische) Folge (von Zeichen) betrachten.
Zeichenreihe/Ausdruck: ist dann eine endliche Menge von Paaren aus einem Zeichen und einer Zahl.
Vs: das ist sehr künstlich und kompliziert.
Einfacher: Gödelnummern selbst (die Zeichen verschwinden).
Problem: Frage: wie klar ist es hier, dass wir gerade hier dazu übergegangen sind, nicht mehr von Ausdrücken sondern von Zahlen zu reden?
Einigermaßen klar ist nur, dass wir mit künstlichen Modellen Gesetze erfüllen wollen, die Ausdrücke in einem nicht expliziten Sinn erfüllen sollen.

XIII 199
Syntax/Quine: „glamour“ und „grammar“ (Grammatik) waren ursprünglich ein und dasselbe Wort.
XIII 200
Später umfasste die Bedeutung auch Magie. Grammatik: (im engeren Sinn) sagte, welche Wortketten oder Ketten von Phonemen kohärent waren, und welche nicht. Immer bezogen auf eine bestimmte Sprache.
Grammatik: (weiterer Sinn): „Die Kunst des Sprechens“.(in Bezug auf den etablierten gebrauch).
Syntax/Quine: für den engeren Sinn brauchen wir aber eigentlich nicht das Wort „Grammatik“, sondern „Syntax“. Dabei geht es darum, welche Zeichenketten zur Sprache gehören und welche nicht.
Problem: das ist zweifach unbestimmt:
1. wie die Individuen spezifiziert werden (formal, durch Komponenten oder Phoneme)) und
2. was sie für die Spezifikation qualifiziert
XIII 201
Erkennbarkeit ist zu unbestimmt (liberal). Problem: ungrammatische Formen werden von vielen Leuten gebraucht und sind nicht unverständlich. Eine Sprache , die diese Formen ausschießt wäre der Dialekt einer sehr kleinen Elite.
Problem: bloß mögliche Äußerungen in vorstellbaren aber nicht aktualen Situationen, die selber nicht sprachlicher Natur sind.
Lösung:
Def ungrammatisch/William Haas/Quine: eine Form, die in keiner vorstellbaren fiktiven Situation sinnvoll wäre.
Regeln/Syntax/syntaktische Regeln/Quine: sind Abstraktionen des Syntaktikers aus der langen Praxis. Sie sind die Erfüllung der ersten Aufgabe (s.o.) zu erkennen, welche Ketten grammatisch sind.
XIII 202
Lösung: das geschieht hauptsächlich durch Rekursion, so ähnlich wie bei Stammbäumen. Er beginnt mit Wörtern, die die einfachsten Ketten sind, und geht dann zu komplexeren Konstruktionen über. Er teilt das wachsende Repertoire in Kategorien. Redeteile/parts of speach/Quine: es gibt acht: Nomen, Pronomen, Verb, Adjektiv, Adverb, Präposition, Konjunktion, Satz.
Weitere Unterteilungen: transitiv/intransitiv, Geschlecht, usw. Das ist aber noch kaum ein Anfang.
Nomina: sogar solche abstrakten wie cognizance (of) und exception (to) sind syntaktisch ganz verschieden, sie stehen mit verschiedenen Präpositionen.
Rekursion/Syntax/Quine: wenn wir die ganze Syntax durch Rekursion gewinnen wollten, hätte sie so eng zu sein, daß zwei Ketten niemals als zum selben Redeteil gehörig gezählt würden, außer wenn sie in allen Kontexten salva congruitate ersetzbar wären.
Def Ersetzbarkeit salva congruitate/Geach/Quine: erhält Grammatizität, liefert niemals ungrammatische Formen.
VsRekurson/Problem: wenn Redeteile so eng definiert wären, müßten Bsp Nomina, die mit verschiedenen Präpositionen stehen, zu verschiedenen Arten von Redeteilen gezählt werden. Und diese Präpositionen Bsp of und to, dürften auch nicht in dieselbe Kategorie fallen! Dann gäbe es zu viele Arten von Redeteilen, vielleicht Hunderte. Von denen auch nach manche Singletons ((s) Kategorien mit nur einem Element) wären.
Lösung: die Rekursion aufzugeben, nachdem man die gröbsten Einteilungen hat.

Quine I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Quine II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Quine III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Quine V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Quine VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Quine VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Quine VII (a)
W. V. A. Quine
On what there is
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (b)
W. V. A. Quine
Two dogmas of empiricism
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (c)
W. V. A. Quine
The problem of meaning in linguistics
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (d)
W. V. A. Quine
Identity, ostension and hypostasis
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (e)
W. V. A. Quine
New foundations for mathematical logic
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (f)
W. V. A. Quine
Logic and the reification of universals
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (g)
W. V. A. Quine
Notes on the theory of reference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (h)
W. V. A. Quine
Reference and modality
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (i)
W. V. A. Quine
Meaning and existential inference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982

Quine IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Quine X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Quine XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003

Quine XIII
Willard Van Orman Quine
Quiddities Cambridge/London 1987
Unvollständigkeit Gödel Thiel I 227 ff
Unvollständigkeitssatz/Gödel/Thiel: ... dieser metamathematischen Aussage entspricht in F eine einstellige Aussageform G(x) die dann in der abzählenden Folge irgendwo vorkommen muss. Nimmt G(x) die h te Stelle ein, so ist sie also identisch mit der dort als Ah(x) bezeichneten Aussageform. Gödels Resultat wird sein, dass in F weder die aus G(x) durch die Einsetzung von h entstehende Aussage G(h) noch deren Negat ~G(h) ableitbar ist.
"In F unentscheidbar".
Angenommen, G(h) sei in F ableitbar, dann wäre nur die Ableitung wahrer Aussagen zu gestatten, also G(h) wäre auch wahr.
Es würde also, da G(x) als Bild von $Ax(x) in F eingeführt wurde, $Ah(h) gelten. Das hieße aber, da ja Ah(x) mit G(x) identisch ist, $G(h). G(h) wäre also in F unableitbar, Widerspruch.
Diese Ableitung Beweist zunächst nur die Geltung der Wenn Dann Aussage S G(h)>$ G(h) Das muss jetzt noch eingesetzt werden:
(S G(h)>$ G(h))> $ G(h).
Das geht aus dem allgemeinen Schema (A>~A)>~A hervor.
Nehmen wir dann andererseits an, dass das Negat ~G(h) ableitbar sei, dann wäre auch ~G(h) wahr. das wäre gleichbedeutend mit der Geltung von ~$ Ah(h) also mit S Ah(h). I 228
Das wiederum stimmt mit S G(h) überein, so dass beide, Behauptung und Negat ableitbar wären, und wir einen formalen Widerspruch hätten. Wenn F überhaupt widerspruchsfrei ist, kann auch unsere zweite Annahme S ~G(h) nicht gelten. Unentscheidbare Aussage.
I 228
Diese Beweisskizze stellt ein Programm auf. Wichtige Rolle bei der Ausführung dieses Programms spielen die "Gödelisierung" und die sog. "negative Vertretbarkeit" bestimmter Relationen in F. Def Gödelisierung: zunächst einmal nur eine umkehrbar eindeutige Zuordnung von Grundzahlen zu Zeichenreihen. Wir wollen die Ausdrücke von F in klammerfreie Form bringen.
Dazu schreiben wir die logischen Verknüpfungszeichen nicht mehr zwischen, sondern vor die Ausdrücke. Wir schreiben die Verknüpfungszeichen als "Indizes" an den Ordnungsfunktor G.
Terminologie Ordnungsfunktor G.
Quantoren: behandeln wir wie zweistellige Funktoren, deren erstes Argument der Index, das zweite die quantifizierte Aussageform ist.
I 229
Dann erhält die Aussage (x)(y)(z) ((x=y)>(zx = zy) die Gestalt (x)(y)(z)G > G = xyG = G mal zxG mal zy.
Wir können die Glieder der unendlichen Variablenfolgen jeweils durch einen die Sorte signalisierenden Standardbuchstaben und z.B. vorangestellte Punkte wiedergeben: also etwa x,y,z,...durch x,°x,°°x,...Als Zählzeichen nehmen wir statt |,||,|||,... Nullen mit entsprechend vielen vorangestellten Strichen 0,'0,''0,...
Mit dieser Konvention ist jedes Zeichen in F entweder eine 0 oder einer der einstelligen Funktoren G1 (der erste Anordnungsfunktor!) , ', ~,
zweistellige: G2, dreistellige G4 usw. I 229 Bsp Gödelisierung, Gödelzahl, Gödelnummer:
Es werden jeweils Primzahlen zugeordnet:…+ I 229
I 230
Auf diese Weise kann jeder Zeichenreihe von F eindeutig eine Gödelnummer zugeordnet werden und gesagt, wie sie berechnet werden kann. Da jede Grundzahl eine eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlen besitzt, lässt sich von jeder gegebenen Zahl feststellen, ob sie überhaupt Gödelnummer einer Zeichenreihe von F ist. Metamathematische und arithmetische Relationen entsprechen einander: Bsp
I 230
Wir ersetzen in ~G=x'x das x durch 0 und erhalten ~G = 0'0. Die Gödelnummer der ersten Reihe ist
223 x 313 x 537 x 729 x 1137, die der zweiten Zeichenreihe:
223 x 313 x 531 x 729 x 1131.
Der Übergang von der Gödelnummer der ersten zu der der zweiten Reihe erfolgt mittels Division durch 56 x 116 und diese Beziehung (von Produkt und Faktor) ist die der metamathematischen Beziehung der Zeichenreihen entsprechende arithmetische Beziehung zwischen ihren Gödelnummern.
I 231
Diese Beziehungen sind sogar effektiv, da man die Gödelnummer jedes Gliedes der Beziehung aus denen ihrer übrigen Glieder effektiv (Gödel sagt "rekursiv") berechnen kann. Den wichtigsten Fall bildet natürlich die Beziehung Bxy zwischen der Gödelnummer x, einer Beweisfigur Gz1...zk und der Gödelnummer y ihrer Endfolge...+..I 231.
Rekursivität I 231 rekursive Prädikate ..+.. primitiv rekursiv.
I 233
"Negationstreue Vertretbarkeit": Gödel zeigt, dass zu jeder rekursiven k-stelligen Relation R eine k-stellige Aussageform A in F von der Art gibt, dass A ableitbar ist, falls R gilt, und ~A falls R nicht gilt (..+..) Wir sagen, dass die Aussageform A die Relation R in F negationstreu vertritt.
I 234..+..
Nach alldem folgt, dass, wenn F ω-widerspruchsfrei ist, weder G noch ~G in F ableitbar ist. G ist eine "in F unentscheidbare Aussage". Das Auftreten von unentscheidbaren Aussagen in diesem Sinne ist nicht dasselbe wie die Unentscheidbarkeit von F in dem Sinne, dass es kein gewissermaßen mechanisches Verfahren gibt.
I 236
Zwar gibt es für F kein solches Entscheidungsverfahren, aber das ist nicht dasselbe wie die gezeigte "Unvollständigkeit", was man daraus sehen kann, dass Gödel 1930 zwar die klass. Quantorenlogik als vollständig erwiesen hat, es aber auch hier kein Entscheidungsverfahren gibt. Def Unvollständig/Thiel: wäre eine Theorie nur, wenn sich ein wahrer Satz über Gegenstände der Theorie angeben ließe, der nachweislich nicht aus dem der Theorie zugrunde liegenden Axiomensystem ableitbar wäre. ((s) Dann wäre das System nicht maximalkonsistent.)
Ob dies im Fall der Arithmetik durch die Konstruktion der Gödelschen Aussage G geschehen sei, war lange Zeit mit Nein beantwortet worden, mit der Begründung, G sei keine "richtige" arithmetische Aussage.
Das hat sich vor etwa 20 Jahren dadurch erledigt, dass kombinatorische Sätze gefunden wurden, die im Vollformalismus ebenfalls nicht ableitbar sind.
Gödel/Thiel: so kann an der Unvollständigkeit nicht mehr gezweifelt werden. Dies ist kein Aufweis der Grenzen menschlicher Erkenntnis, nur Aufweis einer sachimmanenten Grenze der axiomatischen Methode.
Thiel I 238 ff
Eine der Pointen des Beweises für den Gödelschen Unableitbarkeitssatz war, dass die der selbstverständlichen Effektivität aller Beweise im Vollformalismus F entsprechende Effektivität der metamathematischen Ableitbarkeitsbeziehung ihr genaues Gegenstück in der Rekursivität der arithmetischen Beziehungen zwischn den Gödelnummern der Beweisfiguren und Endformeln hat, und dass diese Parallelität für überhaupt alle effektiv entscheidbaren metamathematischen Beziehungen und ihrer arithmetischen Gegenstücke gesichert werden kann.

Göd II
Kurt Gödel
Collected Works: Volume II: Publications 1938-1974 Oxford 1990

T I
Chr. Thiel
Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995
Unvollständigkeit Logik-Texte Read III 61
Unvollständigkeitstheorem/Gödel/Read: die kompakte Folgerung erzeugt zu wenig: es gibt intuitiv gültige Folgerungen, die sie als ungültig kennzeichnet. Bsp das berühmteste Beispiel ist die Omega Theorie: angenommen, eine Formel ist wahr, für jede natürliche Zahl. Dann gilt: »für jedes n ist A(n) wahr«. Das ist keine klassische logische Folgerung aus ihnen, denn sie folgt nicht aus einer beliebigen endlichen Teilmenge jeder Menge. Die Omega Regel würde es erlauben, aus den Prämissen A(0),A(1)... usw. zu folgern »für jedes n A(n).« Das ist aber eine Regel, die man niemals anwenden könnte, sie würde erfordern, dass ein Beweis ein unendlicher Gegenstand ist.
Def Omega Modell: die natürlichen Zahlen, sowie die Null, mit den Operationen des Nachfolgers, der Addition, der Multiplikation und der Potenzierung.
Die Omega Regel wird nicht als Regel der orthodoxen, klassischen Beweistheorie akzeptiert. Wie ich das möglich? Nach klassische Darstellung ist eine Regel zur gültig, die in durch keine Interpretation über einen beliebigen Definitionsbereich die Prämissen wahr und die Schlussfolgerung falsch gemacht werden können. Wie können die Prämissen A(0),A(1) usw. war, aber für jedes n,A(n) falsch sein?
III 61/62
Die Erklärung liegt in der Einschränkung der Ausdrucksfähigkeit. >Kompaktheit/Logik-Texte, >Logik 2. Stufe.
III 64
Die Omega Regel benötigt eine Extraprämisse: »und dies sind alle Zahlen«. Dieser Zusatz ist arithmetisch wahr, aber die Nicht Standard Modelle zeigen, dass er, so weit es die Logik betrifft, explizit (in Termini 1. Stufe, d. h. logischen Termini) formuliert werden muss.
III 65
Zwei Wege, um zu sehen, dass diese Antwort als Verteidigung der klassischen Logik und ihrer Kompaktheit nicht angemessen ist. >Kompaktheit/Logik-Texte. 1. kann die Extrabestimmung »und dies sind alle Zahlen « nicht in Termini 1. Stufe ausgedrückt werden.
2. ein Vorschlag von Wittgenstein: eine lange Konjunktion für »jedes F ist G«: »dieses ist G und jenes ist G und jenes weitere ist G...
RussellVs: diese beiden Aussagen seien nicht äquivalent, den die lange Konjunktion benötige eine abschließende Klausel »und dies sind alle F«.
ReadVsRussell: Irrtum: wenn eine Konjunktion erschöpfend ist, dann sind die beiden Aussagen äquivalent. Wenn nicht, ist die Extraklausel wirkungslos, da sie falsch ist. Sie leistet keine Extraarbeit. >Logik 2. Stufe.
Texte zur Logik
Me I Albert Menne Folgerichtig Denken Darmstadt 1988
HH II Hoyningen-Huene Formale Logik, Stuttgart 1998
Re III Stephen Read Philosophie der Logik Hamburg 1997
Sal IV Wesley C. Salmon Logik Stuttgart 1983
Sai V R.M.Sainsbury Paradoxien Stuttgart 2001

Re III
St. Read
Philosophie der Logik Hamburg 1997
Vollständigkeit Quine X 80
Vollständigkeitssatz/deduktiver/Quantorenlogik/Quine:
(B) Ein Schema, das von jedem Modell erfüllt wird, ist Beweisbar.

Satz (B) lässt sich für viele Beweismethoden Beweisen. Stellen wir uns eine solche vor, so folgt (II) aus (B).

(II) Wenn ein Schema von jedem Modell erfüllt wird, dann ist e bei allen Einsetzungen von Sätzen wahr.
X 83
Beweisverfahren/Beweismethode/Quine: einige vollständige beziehen sich nicht notwendig auf Schemata, sondern lassen sich auch direkt auf die Sätze anwenden,
X 84
Die aus dem Schema durch Einsetzen hervorgehen. Solche Methoden erzeugen wahr e Sätze direkt aus anderen wahren Sätzen. Dann können wir Schemata und Gültigkeit beiseitelassen und logische Wahrheit als Satz definieren, der durch diese Beweisverfahren erzeugt wird.
1. VsQuine: das pflegt Protest auszulösen: die Eigenschaft, „durch eine bestimmte Beweismethode Beweisbar zu sein“ sei an sich uninteressant. Interessant sei sie erst aufgrund des Vollständigkeitssatzes, der die Beweisbarkeit mit der logischen Wahrheit gleichzusetzen erlaubt.
2. VsQuine: wenn man logische Wahrheit indirekt durch Bezug auf eine geeignete Beweismethode definiert, entzieht man damit dem Vollständigkeitssatz den Boden. Er wird inhaltsleer.
QuineVsVs: die Gefahr besteht gar nicht: Der Vollständigkeitssatz in der Formulierung (B) hängt nicht davon ab, wie wir logische Wahrheit definieren, denn sie wird gar nicht erwähnt! Ein Teil seiner Bedeutung liegt aber darin, dass er zeigt, dass wir logische Wahrheit durch die bloße Beschreibung der Beweismethode definieren können, ohne etwas von dem zu verlieren, was die logische Wahrheit erst interessant macht.

X 100
Scheintheorie/Mengen/Klassen/Relation/Quine: verkappte reine Logik. Mathematik: beginnt, wenn wir die Elementbeziehung "ε" als echtes Prädikat mit hinzunehmen und Klassen als Werte der quantifizierten Variablen. - Dann haben wir den Bereich der vollständigen Beweisverfahren verlassen. - Logik: Quantorenlogik vollständig. - Mathematik: unvollständig.
X 119
Intuitionismus/Quine: gewann Auftrieb durch Gödels Unvollständigkeitsbeweis.
XIII 157
Prädikatenlogik/Vollständigkeit/Gödel/Quine: Gödel bewies ihre Vollständigkeit 1930.

Quine I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Quine II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Quine III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Quine V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Quine VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Quine VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Quine VII (a)
W. V. A. Quine
On what there is
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (b)
W. V. A. Quine
Two dogmas of empiricism
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (c)
W. V. A. Quine
The problem of meaning in linguistics
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (d)
W. V. A. Quine
Identity, ostension and hypostasis
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (e)
W. V. A. Quine
New foundations for mathematical logic
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (f)
W. V. A. Quine
Logic and the reification of universals
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (g)
W. V. A. Quine
Notes on the theory of reference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (h)
W. V. A. Quine
Reference and modality
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (i)
W. V. A. Quine
Meaning and existential inference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982

Quine IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Quine X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Quine XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003

Quine XIII
Willard Van Orman Quine
Quiddities Cambridge/London 1987
Wahrheit Tarski K.Glüer Davidson zur Einführung Junius Hamburg, 1993 S. 22
Das in der Metasprache (MS) definierte W-Prädikat kann in die Objektsprache zurückübersetzt werden und der Zustand vor Eliminierung des "wahr" wiederhergestellt werden. - Objekt- und Metasprache sollen das Prädikat wahr enthalten! - Davidson kann jedoch dem Dilemma ausweichen, indem er erst gar keine Definition aufstellt. Er nennt das eine "Wahrheitsdefinition im Stile Tarskis" im folgenden "W-Theorie" genannt.

Rorty IV (a) 22
Wahr/Tarski: die Äquivalenzen zwischen den beiden Seiten der W-Sätze entsprechen keiner Kausalbeziehung! Davidson: es gibt keine Möglichkeit die wahren Sätze der Art zu unterteilen, dass die auf der einen Seite "Faktisches" ausdrücken, während die auf der anderen Seite es nicht tun.
Berka I 396
Wahrheit/Tarski: wir gehen von der klassischen Korrespondenztheorie aus. - I 399 Wahrheit deuten wir so: wir wollen alle Sätze als gültig ansehen, die dem Tarski-Schema entsprechen - diese sind Teildefinitionen des Wahrheitsbegriffs. - Sachlich zutreffend: ist die W-Def, wenn wir imstande sind, alle erwähnten Teildefinitionen aufgrund der Metasprache zu beweisen. (1)
1. A.Tarski, „Grundlegung der wissenschaftlichen Semantik“, in: Actes du Congrès International de Philosophie Scientifique, Paris 1935, Bd. III, ASI 390, Paris 1936, S. 1-8

Berka I 475
W-Def/Wahrheit/Tarski: falsch: anzunehmen, es sei eine wahre Aussage nichts anderes als ein beweisbarer Satz. - Das ist rein strukturell - Problem: keine W-Def darf dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten (SaD) widersprechen - Pointe: dieser hat aber im Gebiet der beweisbaren Sätze keine Geltung! - Bsp es kann zwei sich widersprechende Aussagen geben, die nicht beweisbar sind - alle beweisbaren Aussagen sind zwar inhaltlich wahr-. Die W-Def muss aber auch die nicht-beweisbaren Sätze enthalten!
Berka I 482
Def wahre Aussage/Tarski: x ist eine wahre Aussage (Schreibweise x ε Wr gdw. x ε AS (= sinnvolle Aussage)) und wenn jede unendliche Folge von Klassen x erfüllt. - Das liefert kein Wahrheitskriterium - kein Problem: dennoch wird der Sinn von "x ε Wr" ( x gehört zur Klasse der wahren Aussagen ) verständlich und eindeutig.
I 486
Relative Wahrheit/Richtigkeit im Bereich/Tarski: spielt eine viel größere Rolle als der (Hilbertsche) Begriff der absoluten Wahrheit, von dem bisher die Rede war - dann modifizieren wir Def 22 (rekursive Erfüllung) und 23 (Wahrheit). - Als abgeleitete Begriffe werden wir den Begriff der Aussage, die a) in einem Individuenbereich mit k Elementen richtig ist und - b) der Aussage, die in jedem Individuenbereich richtig ist, einführen. (2)

2. A.Tarski, Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, Commentarii Societatis philosophicae Polonorum. Vol 1, Lemberg 1935

Horwich I 111
Wahrheit/Tarski: ist eine Eigenschaft von Sätzen - bei der Erklärung referieren wir aber auf "Tatsachen". - (Anführungszeichen von Tarski).
Horwich I 124
Wahrheit/wahr/Eliminierbarkeit//Tarski: ist nicht eliminierbar bei Allaussagen. - Wenn ausgedrückt werden soll, dass alle wahren Sätze eine bestimmte Eigenschaft haben. - Bsp Alle Konsequenzen aus wahren Sätzen sind wahr. - Auch nicht eliminierbar: in Partikularaussagen der Form "X ist wahr": Bsp der erste Satz den Platon schrieb, ist wahr. - Weil wir nicht genug historisches Wissen haben.(3) - ((s) Die Kennzeichnung "der erste Satz..." ist hier der Name des Satzes. - Dieser kann nicht in den Satz selbst umgewandelt werden. Eliminierbarkeit: aus Definition ist eine ganz andere als aus Redundanz.)

3. A. Tarski, The semantic Conceptions of Truth, Philosophy and Phenomenological Research 4, pp. 341-75

Skirbekk I 156
Def Wahrheit/Tarski: eine Aussage ist wahr, wenn sie von allen Gegenständen erfüllt wird, sonst falsch.
I 158
Wahrheit/Tarski: mit unserer Definition können wir den (semantischen, nicht logischen) Satz vom Widerspruch und den Satz vom ausgeschlossenen Dritten beweisen. - Die Aussagenlogik beinhaltet den Term wahr überhaupt nicht. - Wahrheit fällt fast nie mit Beweisbarkeit zusammen - Alle beweisbaren Aussagen sind wahr, aber es gibt. wahre A, die nicht beweisbar sind. - Solche Disziplinen sind konsistent aber unvollständig (Gödel). - Es gibt sogar ein Paar kontradiktorischer Aussagen, von denen keine beweisbar ist.(4)

4. A.Tarski, „Die semantische Konzeption der Wahrheit und die Grundlagen der Semantik“ (1944) in. G: Skirbekk (Hg.) Wahrheitstheorien, Frankfurt 1996

Tarski I
A. Tarski
Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923-38 Indianapolis 1983

Berka I
Karel Berka
Lothar Kreiser
Logik Texte Berlin 1983

Horwich I
P. Horwich (Ed.)
Theories of Truth Aldershot 1994

Skirbekk I
G. Skirbekk (Hg)
Wahrheitstheorien
In
Wahrheitstheorien, Gunnar Skirbekk Frankfurt 1977
Widerspruchsfreiheit Gödel Waismann I 72 ff
Widerspruchsfreiheit/Gödel/Waismann: Der Nachweis der Widerspruchsfreiheit eines Systems kann mit den Mitteln dieses Systems nicht erbracht werden. Gödel: fügt man den Peanoschen Axiomen noch die des Logikkalküls hinzu und nennt das entstandene System P, so lässt sich kein Beweis für die Widerspruchsfreiheit von P führen, der in P formuliert werden könnte, vorausgesetzt, dass P widerspruchsfrei ist.
(Wäre P widerspruchsvoll, könnte jede Aussage bewiesen werden, z.B. auch, dass P widerspruchsfrei sei).
I 73
Gödel: Jede Arithmetik ist lückenhaft, in jedem der vorhin genannten formalen Systeme gibt es unentscheidbare arithmetische Sätze und für jedes dieser Systeme lassen sich arithmetische Begriffe angeben, die in diesem System nicht definierbar sind. Bsp Es lässt sich für jedes formale System S eine reelle Zahl konstruieren, die in S nicht definiert werden kann.
Man darf das nicht so verstehen, dass damit bewiesen wäre, dass es unlösbare mathematische Probleme gäbe.
Vielmehr bezieht sich der Begriff "lösbar" oder "entscheidbar" immer nur auf ein bestimmtes formales System. Wenn ein Satz in diesem System unentscheidbar ist, gibt es immer noch die Möglichkeit, eine reicheres System zu konstruieren, in dem der Satz entscheidbar ist.
Aber es gibt kein System, in dem alle arithmetischen Sätze entscheidbar, oder alle Begriffe definierbar wären.
Das ist der tiefere Sinn von Brouwer: Alle Mathematik sei wesentlich geistiges Handeln: eine Reihe von Konstruktionsschritten, und keine starres System von Formeln, das fertig vorliegt oder auch nur vorliegen könnte.
Mathematik ist unabgeschlossen. Die Aussage, dass das System S widerspruchsfrei ist, ist in S unentscheidbar.
I 74
Waismann: Kann durch derlei Untersuchungen die Arithmetik überhaupt begründet werden? Und Geometrie: Wenn es mehrere Geometrien gibt, wie sind sie auf unsere Erfahrungswert anwendbar? Begründung der Geometrie/Waismann: a) Eine Gruppe von Sätzen auswählen, die Unabhängigkeit, Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit dartun.
b) Die Anwendbarkeit sicherstellen.

Göd II
Kurt Gödel
Collected Works: Volume II: Publications 1938-1974 Oxford 1990
Widerspruchsfreiheit Henkin Quine IX 224
Henkin: zeigt die Widerspruchfreiheit eines ω-widerspruchsvollen (omega-widersrpuchsvollen) Systems. (Auch Gödel und Tarski). Man interpretiere einfach "F" als wahr für alle außer solchen Objekten x die (7) erfüllen.
(7) x ε N, x ≠ 0, x ≠ 1, x ≠ 2... ad infinitum
(Siehe Mengen/Henkin).
Eine Theorie, die ω-widerspruchsvoll ist, scheint selbst dann unannehmbar, wenn sie widerspruchsfrei ist. Aber man sieht nach Henkin leicht, dass der Begriff und seine Definition irreführend sind.
Wenn ein System widerspruchsfrei ist und dennoch "Ex(x e N u ~Fx)" und "F0", "F1"...alle als Theoreme zulässt und wenn wir die Interpretation von "0" , "1" usw. als Namen von Zahlen garantieren, dann liegt das Problem offenbar darin, "N" als "Zahl" zu interpretieren und nicht umfassender.
Henkin: zeigt, dass "N" selbst unter günstigsten Umständen so interpretiert werden kann, dass N Extras enthält. (Siehe Mengen/Henkin) Wenn das System ω-widerspruchsvoll ist, muss N sogar so interpretiert werden. ((s) "Extras": z.B. "...und ihre Nachfolger").
Manchmal ist es dann möglich, "N" noch zu begrenzen, dass es die Extras vermeidet, und manchmal ist dies nicht möglich.
Bsp zu jeder formulierbaren Bedingung, die nachweisbar von 0,1,2... ad infinitum erfüllt ist, gibt es eine andere Bedingung, von der wir beweisen können, dass sie auch noch von 0,1,2... erfüllt ist und trotzdem nicht von allen Dingen, die die erste Bedingung erfüllen. Das ist die chronische Form der ω-Widersprüchlichkeit, die nicht durch eine verbesserte Version von "N" geheilt werden kann. (Quine: "zahlenmäßig insegregativ"). (>Löwenheim).

Def omega-widerspruchsvoll/(w)/Gödel: (Gödel 1931) ist ein System, wenn es eine Formel "Fx" gibt derart, dass jede einzelne der Aussagen "F0", "F1", "F2",... ad infinitum in dem System bewiesen werden kann, aber gleichermaßen auch "Ex(x ε N und ~Fx)".

Henkin I
Leon Henkin
Retracing elementary mathematics New York 1962

Quine I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Quine II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Quine III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Quine V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Quine VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Quine VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Quine VII (a)
W. V. A. Quine
On what there is
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (b)
W. V. A. Quine
Two dogmas of empiricism
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (c)
W. V. A. Quine
The problem of meaning in linguistics
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (d)
W. V. A. Quine
Identity, ostension and hypostasis
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (e)
W. V. A. Quine
New foundations for mathematical logic
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (f)
W. V. A. Quine
Logic and the reification of universals
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (g)
W. V. A. Quine
Notes on the theory of reference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (h)
W. V. A. Quine
Reference and modality
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (i)
W. V. A. Quine
Meaning and existential inference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982

Quine IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Quine X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Quine XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003

Quine XIII
Willard Van Orman Quine
Quiddities Cambridge/London 1987
Widerspruchsfreiheit Quine IX 209/10
Widerspruchsfreiheit/ML/Quine: konnten wir bisher zweimal beweisen, indem wir ein einfaches Modell in endlichen Mengen angaben - das entfällt, wenn wir erst einmal ein Unendlichkeitsaxiom (UA) aufgenommen haben - Widerspruchsfreiheit wird fraglicher und schwieriger und dringlicher zu beweisen. Und die Beweise werden auch weniger überzeugend - Problem: ob die Methoden selbst widerspruchsfrei sind.
II 178
Der Kern des Korollars von Gödels Unvollständigkeitssatz besagt, dass die innere Widerspruchsfreiheit einer mathematischen Theorie gewöhnlich nur bewiesen werden kann, indem man Zuflucht nimmt zu einer anderen Theorie, die auf weiteren Voraussetzungen beruht und daher weniger zuverlässig ist, als die ursprüngliche. Das hat einen melancholischen Beiklang. Das hilft uns aber, zu Beweisen, dass eine Theorie stärker ist als eine andere: Dies gelingt, in dem wir in der einen Theorie Beweisen, dass die andere widerspruchsfrei ist.
II 180
Gödels Dritte große Entdeckung: die Widerspruchsfreiheit der Kontinuumshypothese und des Auswahlaxioms.
II 210
Mögliche Welten/QuineVsKripke: Mögliche Welten ermöglichen Widerspruchsfreiheitsbeweise, aber keine eindeutige Interpretation: wann sind Gegenstände gleich? - Bsp Bischof Buttler sprach davon dass ein jegliches Ding dieses Ding sei und "kein ander Ding": Problem/QuineVsButler: Identität folgt nicht notwendig.
IX 192
Mengenlehre/moderne Typetheorie/Widerspruchsfreiheit/Quine: die Widerspruchsfreiheit dieser Fassung der Mengenlehre können wir mit kumulativen Typen beweisen: Def kumulative Typen/Mengenlehre/Quine:
Typ 0: allein L sei vom Typ 0.
Typ 1: L und {L} und sonst nichts .
Typ n: soll allgemein die und nur die 2n Mengen umfassen, die zum Typ n -1 gehören.
So interpretiert jede Quantifizierung nur endlich viele Fälle. Jede geschlossene Aussage kann mechanisch auf Wahrsein geprüft werden.
Ein so einfacher Beweis funktioniert nicht mehr, wenn das Unendlichkeitsaxiom hinzugefügt wird.
IX 210
Unendliche Klassen/Widerspruchsfreiheit: die Beweise werden auch weniger überzeugend, wenn wir unendliche Mengen annehmen müssen. Problem: ob die Methoden selbst widerspruchsfrei sind (erst bei unendlichen Klassen).
Das höchste, was wir oft anstreben können ist, dass wir Beweisen, dass ein solches System widerspruchsfrei ist, wenn ein anderes, entsprechendes es ist, dem man weniger misstraut.
IX 239
Wenn die Widerspruchsfreiheit einer Mengenlehre in einer anderen bewiesen werden kann, ist letztere die stärkere (es sei denn, dass beide widerspruchsvoll sind). Zermelos System ist stärker als die Typentheorie.

Quine I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Quine II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Quine III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Quine V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Quine VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Quine VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Quine VII (a)
W. V. A. Quine
On what there is
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (b)
W. V. A. Quine
Two dogmas of empiricism
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (c)
W. V. A. Quine
The problem of meaning in linguistics
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (d)
W. V. A. Quine
Identity, ostension and hypostasis
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (e)
W. V. A. Quine
New foundations for mathematical logic
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (f)
W. V. A. Quine
Logic and the reification of universals
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (g)
W. V. A. Quine
Notes on the theory of reference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (h)
W. V. A. Quine
Reference and modality
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (i)
W. V. A. Quine
Meaning and existential inference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982

Quine IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Quine X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Quine XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003

Quine XIII
Willard Van Orman Quine
Quiddities Cambridge/London 1987
Widerspruchsfreiheit Tarski Berka I 401
Widersprchsfreiheit/WSF-Beweis/Gödel: lässt sich nicht durchführen, wenn die Metasprache keine Variablen höheren Typs enthält. - Unentscheidbarkeit: wird beseitigt, wenn man die untersuchte Theorie (Objektsprache) mit Variablen höheren Typs bereichert .(1)
Berka I 474f
Widerspruchsfreiheit/WSF/logische Form/Tarski: liegt vor, wenn für jede beliebige Aussage x entweder x ε FL(X) oder ~x ε FL(X). (sic) - ((s) entweder x keine Folgerung aus dem System ist oder seine Negation keine Folgerung) - aber: Vollständigkeit/vollständig: entsprechend: wenn für jede beliebige Aussage x entweder x ε FL(X) oder ~x ε FL(X). - ((s) Wenn entweder eine beliebige Aussage oder ihre Negation ist Folgerung aus dem System).
I 529 f
Satz vom Widerspruch/Tarski: "x ~ε Wr oder ~x ~ε Wr". - Pointe: aus der Klasse dieser Aussagenfunktionen (AF) können wir keine Generalisation ziehen! Die Generalisation dieser Aussagenfunktion wäre selbst eine (allgemeine) Aussage, nämlich der Satz vom Widerspruch. - Problem: unendliches logisches Produkt, das nicht mit normalen Schlussweisen ableitbar ist.
I 531
Lösung: "Regel der unendlichen Induktion" - (unterscheidet sich von allen anderen Schlussregeln durch infinitistischen Charakter).(2)

1. A.Tarski, „Grundlegung der wissenschaftlichen Semantik“, in: Actes du Congrès International de Philosophie Scientifique, Paris 1935, Bd. III, ASI 390, Paris 1936, S. 1-8
2. A.Tarski, Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, Commentarii Societatis philosophicae Polonorum. Vol 1, Lemberg 1935

Tarski I
A. Tarski
Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923-38 Indianapolis 1983

Berka I
Karel Berka
Lothar Kreiser
Logik Texte Berlin 1983
Zahlentheorie Quine IX 81
Elementare Zahlentheorie/Quine: darunter versteht man die Theorie, die nur mit den Begriffen "Null, Nachfolger, Summe, Potenz, Produkt, Identität" und mit Hilfe der a.l. Verknüpfungen und der Quantifikation über natürliche Zahlen ausgedrückt werden kann. Man kann die ersten vier dieser Punkte weglassen oder die beiden ersten und den fünften.
Die ausführlichere Liste ist aber bequem, weil das klassische Axiomensystem unmittelbar dazu passt.
Quine: unsere quantifizierbaren Variablen lassen noch andere Objekte als Zahlen zu.
Wir werden jetzt aber stillschweigend eine Begrenzung auf "x ε N" einführen.
Elementare Zahlentheorie/Quine: kleiner/gleich: ist hier überflüssig. "Ez(x + z = y)" - x ε N > Λ + x = x. - x,y ε N >{x} + y = {x+y}.

IX 239
Relative Stärke/Beweistheorie/Theorie/Beweisbarkeit/Quine: Gödel, Unvollständigkeitssatz (1931). Da die Zahlentheorie in der Mengenlehre entwickelt werden kann, bedeutet das, dass die Klasse aller Theoreme
IX 239
(in Wirklichkeit aller Gödelnummern von Theoremen) einer vorliegenden Mengenlehre in dieser selben Mengenlehre definiert werden kann, und verschiedene Dinge können darin über sie bewiesen werden. Unvollständigkeitssatz: als seine Folge zeigte Gödel aber, dass die Mengenlehre (falls sie widerspruchsfrei ist) eines nicht über die Klasse ihrer eigenen Theoreme Beweisen kann, nämlich, dass sie widerspruchsfrei ist, d.h. z.B. dass "0 = 1" nicht in ihr liegt.
Wenn die Widerspruchsfreiheit einer Mengenlehre in einer anderen bewiesen werden kann, ist letztere die stärkere (es sei denn, dass beide widerspruchsvoll sind). Zermelos System ist stärker als die Typentheorie.


II 178
Die elementare Zahlentheorie ist der bescheidene Teil der Mathematik, der sich mit der Addition und Multiplikation ganzer Zahlen beschäftigt. Egal, einige wahre Aussagen werden unbeweisbar bleiben. Dies ist der Kern des Gödelschen Satzes. Er hat gezeigt, wie man bei beliebigem gegebenen Beweisverfahren rein in der dürftigen Notation der elementaren Zahlentheorie einen Satz bilden kann, der sich dann und nur dann beweisen lässt, wenn er falsch ist. Doch halt! Der Satz kann nicht bewiesen werden und dennoch falsch sein. Also ist er wahr, aber nicht Beweisbar.
Quine: wir pflegten zu glauben, dass mathematische Wahrheit in Beweisbarkeit besteht. Nun sehen wir, dass diese Ansicht für die Mathematik als ganze unhaltbar ist.
II 179
Gödels Unvollständigkeitssatz hat sich, (die dort angewandten Techniken) in anderen Gebieten als nützlich erwiesen: Rekursive Zahlentheorie oder kurz Rekursionstheorie. Oder Hierarchientheorie.
III 311
Elementare Zahlentheorie/eZT/Quine: hat nicht einmal ein vollständiges Beweisverfahren. Beweis: reductio ad absurdum: Angenommen, wir hätten es, mit dem man jeden wahren Satz in der Schreibweise der eZT Beweisen könnte,
III 312
Dann gäbe es auch ein vollständiges Widerlegungsverfahren: um einen Satz zu widerlegen beweise man seine Negation. Aber dann könnten wir das Beweis und Widerlegungsverfahren von Seite III 247 Mitte zu einem Entscheidungsverfahren kombinieren.
V 165
Substitutionale Quantifikation/referentielle Quantifikation/Zahlen/Quine: Dilemma: die substitutionale Quantifikation verhilft der elementaren Zahlentheorie zu keiner ontologischen Sparsamkeit, den entweder gehen die Zahlen aus oder es gibt unendlich viele Zahlzeichen. Wenn die erklärende Rede von unendlich vielen Zahlzeichen selbst wieder im Einsetzungs Sinn zu verstehen ist, stehen wir vor einem mindestens so schweren Problem wie dem der Zahlen – wenn sie im Sinne der referentiellen Quantifikation zu verstehen ist, dann könnte man sich auch von vornherein unkritisch mit Gegenstands Quantifikation über Zahlen zufrieden geben.
V 166
Wahrheitsbedingungen: wenn man nun substitutionale Quantifikation annimmt, kann man die Wahrheitsbedingungen für sie über Zahlen tatsächlich erklären, indem man nur von Zahlzeichen und ihrer Einsetzung spricht. Problem: wenn die Zahlzeichen ihren Zweck erfüllen sollen, müssen sie so abstrakt wie die Zahlen sein.
Ausdrücke, von denen es unendlich viele geben soll, könnte man mit ihren Gödelnummern identifizieren. Keine andere Betrachtungsweise führt zu einer spürbaren Verringerung der Abstraktheit.
Substitutionale Quantifikation: zwingt zum Verzicht auf das Gesetz, dass jede Zahl einen Nachfolger hat. Eine Zahl wäre die letzte, aber der sQ Theoretiker wüsste nicht, welche. Es würde von tatsächlichen Inskriptionen in der Gegenwart und Zukunft abhängen. (Quine/Goodman 1947).
Das wäre ähnlich wie die Theorie der herstellbaren Zahlen von Esenin Volpin: man hätte eine unbekannte endliche Schranke.
V 191
QuineVsSubstitutionale Quantifikation: die einzusetzenden Ausdrücke sind ebenso abstrakte Entitäten wie die Zahlen selbst.
V 192
NominalismusVsVs: man könnte die Ontologie der reellen Zahlen oder Mengenlehre auf die der elementaren Zahlentheorie reduzieren, indem man Wahrheitsbedingungen für die sQ anhand von Gödelzahlen aufstellt. QuineVs: das ist nicht nominalistisch, sondern pythagoräisch. Es geht da nicht um die Hochschätzung des Konkreten und Abscheu vor dem Abstrakten, sondern um die Hinnahme der natürlichen Zahlen und die Verwerfung der meisten transzendenten Zahlen. Wie Kronecker sagt: „Die natürlichen Zahlen schuf Gott, die anderen sind Menschenwerk“.
QuineVs: aber auch das geht nicht, wir sahen oben, dass die sQ über Klassen grundsätzlich nicht vereinbar mit der Gegenstands Quantifikation über Gegenstände ist.
V 193
VsVs: man könnte doch auch die Quantifikation über Gegenstände so auffassen. QuineVs: das ging nicht, weil es nicht genug Namen gibt. Zwar könnte man Raumzeit Koordination beibringen, aber das erklärt nicht das Sprachlernen.

X 79
Gültigkeit/Satz/Menge/Schema/Quine: wenn Mengen und Sätze derart auseinander fallen, sollte es einen Unterschied zwischen diesen beiden Definitionen der Gültigkeit (Über Schema (mit Sätzen) bzw. Modelle (mit Mengen) geben. Aber aus dem Satz von Löwenheim folgt, dass die beiden Definitionen der Gültigkeit (über Sätze, bzw. Mengen) nicht auseinanderfallen, solange die Objektsprache nicht allzu ausdrucksschwach (ausdrucksarm) ist. Bedingung: die Objektsprache muss die elementare Zahlentheorie ausdrücken können. (enthalten).
Objektsprache: In einer solchen Sprache wird ein Schema, das bei allen Einsetzungen von Sätzen wahr bleibt, auch von allen Modellen erfüllt und umgekehrt.
Die Forderung der elementaren Zahlentheorie ist ziemlich schwach.
Def elementare Zahlentheorie/eZT/Quine: spricht über die positiven ganzen Zahlen mit Hilfe der Addition, Multiplikation, Identität, Wahrheitsfunktionen und Quantifikation.
Standardgrammatik/Quine: die Standardgrammatik würde die Funktoren der Addition, Multiplikation, wie die Identität, durch geeignete Prädikate ausdrücken.
X 83
Elementare Zahlentheorie/eZT/Quine: ist zwar ähnlich wie die Theorie der endlichen n tupel effektiv einem gewissem Teil der Mengenlehre äquivalent, aber nur der Theorie der endlichen Mengen.
XI 94
Übersetzungsunbestimmtheit/Quine/Harman/Lauener: („Words and Objections): Bsp Übersetzung der Zahlentheorie in die Sprache der Mengenlehre von Zermelo bzw. v. Neumann: beide Versionen übertragen wahre bzw. falsche Sätze der Zahlentheorie in wahre bzw. falsch Sätze der Mengenlehre. Nur die Wahrheitswerte von Sätzen wie Bsp „Die Zahl zwei hat genau ein Element“,
die vor der Übersetzung keinen Sinn hatten, weichen in beiden Systemen voneinander ab. ( XI 179 :Er ist wahr in von Neumanns und falsch in Zermelos System, in der Zahlentheorie ist er sinnlos).
XI 94
Da sie beide in gleicher Weise sämtliche Zwecke der Zahlentheorie erfüllen, ist es nicht möglich, eine von beiden als richtige Übersetzung auszuzeichnen.

Quine I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Quine II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Quine III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Quine V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Quine VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Quine VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Quine VII (a)
W. V. A. Quine
On what there is
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (b)
W. V. A. Quine
Two dogmas of empiricism
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (c)
W. V. A. Quine
The problem of meaning in linguistics
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (d)
W. V. A. Quine
Identity, ostension and hypostasis
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (e)
W. V. A. Quine
New foundations for mathematical logic
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (f)
W. V. A. Quine
Logic and the reification of universals
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (g)
W. V. A. Quine
Notes on the theory of reference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (h)
W. V. A. Quine
Reference and modality
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (i)
W. V. A. Quine
Meaning and existential inference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982

Quine IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Quine X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Quine XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003

Quine XIII
Willard Van Orman Quine
Quiddities Cambridge/London 1987
Zirkularität Russell I XII
Def Zirkelfehlerprinzip/Principia Mathematica/PM/Russell/Gödel: keine Totalität kann Glieder enthalten, die nur in Termini dieser Totalität definierbar sind, oder Glieder, die diese Totalität umfassen oder voraussetzen - "Prinzip Teufelskreis", PT.
I XII
Zirkelfehlerprinzip/GödelVsRussell: die Principia selbst genügen in ihrer ersten Auflage dem Prinzip nicht, wenn "definierbar" heißt, "definierbar innerhalb des Systems", und keine Definitionsmethoden außerhalb bekannt sind, außer solchen, die noch umfangreichere Totalitäten umfassen als die, die im System vorkommen - Gödel: ich würde das eher als Beweis ansehen, dass das Zirkelfehlerprinzip falsch ist, als dass die klassische Mathematik falsch ist - denn man kann bestreiten, dass der Bezug auf eine Totalität notwendig einen Bezug auf alle ihre einzelnen Elemente impliziert, oder mit anderen Worten, dass "alle" dasselbe meint wie eine unendliche logische Konjunktion.
I XIV
"Alle" /Lösung/Carnap: "alle" meint Analytizität oder Notwendigkeit, oder Beweisbarkeit. Zirkelfehlerprinzip/Gödel: scheint überhaupt nur für von uns selbst konstruierte Entitäten zu gelten - sonst ist Totalität nichts absurdes.
I 55f
Zirkelfehlerprinzip/Russell: Propositionen: bilden nur Vielheiten, keine Gesamtheiten - (s) Gesamtheiten werden durch Begriffe gebildet, d.h. dass man keinen Satz über "alle ihre Elemente" aufstellen kann. (> "Alles, was er sagte ist wahr"/(s): "sagen" bildet keine Kategorie, wie "neben", "ähnlich" "Sohn von", "nichts" auch nicht und eben auch keine Gesamtheit, nur eine Vielheit. Wohl aber "Vater von" (dies ist eindeutig) (Russell: Funktion, nicht nur Relation).
I 57
Zirkel/Principia Mathematica/Russell: entsteht, wenn man als mögliche Argumente einer Propositionalfunktion Werte zulässt, die die Funktion voraussetzen.
I 61
Zirkelfehlerprinzip/Zirkel/Gesamtheit/Totalität/Principia Mathematica/Russell: es darf keine Propositionen über alle Propositionen geben - Bsp "Alle Propositionen sind falsch" - daher gibt es zwei Arten von Wahrheit/Falschheit: 1. Art: "φ a ist wahr "(spezieller Wert) - 2. Art "Jeder Wert von φ x^ hat Wahrheit 1. Art".

Russell I
B. Russell/A.N. Whitehead
Principia Mathematica Frankfurt 1986

Russell II
B. Russell
Das ABC der Relativitätstheorie Frankfurt 1989

Russell IV
B. Russell
Probleme der Philosophie Frankfurt 1967

Russell VI
B. Russell
Die Philosophie des logischen Atomismus
In
Eigennamen, U. Wolf (Hg) Frankfurt 1993

Russell VII
B. Russell
On the Nature of Truth and Falsehood, in: B. Russell, The Problems of Philosophy, Oxford 1912 - Dt. "Wahrheit und Falschheit"
In
Wahrheitstheorien, G. Skirbekk (Hg) Frankfurt 1996

Der gesuchte Begriff oder Autor findet sich in folgenden 21 Kontroversen:
Begriff/
Autor/Ismus
Autor Vs Autor
Eintrag
Literatur
Beweis Gödel Brendel Vs Allwissenheit I 159
Allwissenheit/semantisch/Brendel: ist der Begriff überhaupt sinnvoll in einer semantisch offenen Sprache? ((s) Hierarchie, Sprachstufen). VsAllwissenheit/Grim/Plantinga/Brendel: (Patrick Grim 1983, 1984, 1988, 1991, Gödel. Unvollständigkeitssatz, Cantor: Unmöglichkeit der Menge aller Mengen/Plantinga/Grim 1993): (analog zur Lügner-Paradoxie) These: es gibt kein allwissendes Subjekt. (PlantingaVsGrim).
BrendelVsGrim: Problem: das beruht auf einem Wissensbegriff, der von einer universellen semantisch geschlossenen Sprache ausgeht.
Lösung/Brendel: durch Annahme einer semantisch offenen Sprache (Hierarchie).
Paradoxien/BrendelVsGrim: die Paradoxien können daher nicht als Argumente gegen die Möglichkeit der Allwissenheit angeführt werden. Def Allwissenheit*/Variante/Grim/Brendel: s ist allwissend gdw. für jede Aussage A gilt: A ist genau dann wahr, wenn s glaubt, dass A und glaubt, dass A gdw. s weiß, dass A. (Grim 1983, 266ff).
I 160
Allwissenheit/GrimVsAllwissenheit/Grim/Brendel: (analog zum Lügner): eine selbstbezügliche Aussage: soll zeigen, dass es kein allwissendes Subjekt geben kann: (1) G glaubt, dass (1) falsch ist. („G“: sei ein allwissendes Subjekt)
Problem. dann kann G weder unter der Annahme, dass (1) wahr ist, noch, dass (1) falsch ist, im Sinne der Variante Allwissenheit* allwissend sein.
oWW/Grim: selbst wenn (1) als weder wahr noch falsch angenommen wird, ist es ein Argument VsAllwissenheit: denn dann muss G wissen, dass (1) weder wahr noch falsch ist, also kann G nicht glauben, dass (1) falsch ist. (1) muss daher falsch sein. Wenn (1) jedoch falsch ist, dann glaubt G nicht, dass (1) falsch ist. Dann gibt es eine Wahrheit, die G nicht glaubt.
Wissen/metasprachlich/BrendelVsGrim: wenn wir „Wissen“ metasprachlich auffassen, spielt es zunächst eine Rolle, ob „Wissen“ als Operator oder als Prädikat aufgefaßt wird.
a) Operator: dann kann (1) nicht als echte selbstbezügliche Aussage formalisiert werden,
I 161
da der Operator die Aussage nicht mit einem Anführungsnamen erwähnen kann. Logische Form: (+) GlaubtG („A“ ist falsch) A
Erwähnung/Gebrauch/Pointe/Brendel: A wird zwar durch „ist falsch“ erwähnt und steht daher in AZ, die Aussage „A ist falsch“ wird jedoch als Argument des Glaubensoperators nicht erwähnt, sondern gebraucht.
I 162
Glaubensinstabilität/Glauben/Instabilität/Burge/Kroon/Brendel:: (Burge 1984, Sorensen 1987, Kroon 1993): epistemische Paradoxie der Glaubensinstabilität als Problem rationaler Entscheidung: VsAllwissenheit: diese Paradoxie soll die Existenz eines allwissenden Subjekts ad absurdum führen: es wird eine Aussage konstruiert, zu der kein epistemisches Subjekt eine rational vertretbare Position beziehen kann.
I 164
VsAllwissenheit/Brendel: die Unmöglichkeit eines allwissenden Subjekts lässt sich aber auch durch die Unabgeschlossenheit einer unendlichen Sprachstufenhierarchie beweisen.
I 165
Wissen/Brendel: alles was ein Subjekt wissen kann, ist Wissen auf einer bestimmten Sprachstufe.

Bre I
E. Brendel
Wahrheit und Wissen Paderborn 1999
Beweis Gödel Field Vs Anti-Objektivismus II 318
Unentscheidbarkeit/VsAnti-Objektivismus/AO/Field: andere Beispiele sind weniger günstig für den AO: Bsp Gödel. Sogar ganz einfache Sätze können unentscheidbar sein. Bsp (*) Für alle natürlichen Zahlen x, B(x)
wobei B(x) ein entscheidbares Prädikat ist, also ein Prädikat, so daß für jede Zahl (numeral) n wir entweder B(n) oder ~B(n) Beweisen können. (Durch einen unkontroversen Beweis).
Problem: man kann nun behaupten, daß jeder unentscheidbare Satz objektiv korrekt sein muß (s.o. aus den Axiomen folgen). Dann wäre ein Beweis von ~B(n) der Beweis der Negation von (*) im Gegensatz zu seiner Unentscheidbarkeit.
Also, wegen der Annahme über B(x) muß B(n) für jede Zahl n Beweisbar sein, daher vermutlich objektiv korrekt. Das scheint nun aber zu zeigen, daß die Verallgemeinerung (*) auch objektiv korrekt ist. (Das ist nicht unumstritten, denn es verlangt als letzten Schritt, daß es objektiv der Fall ist, daß es keine anderen natürlichen Zahlen gibt, als die, für die es Namen gibt. ((s) >“nicht genug Namen“).
FieldVsextremer Anti-Objektivismus: wenn das aber so angenommen werden kann, muß er eine moderatere Position annehmen.
Elementare Zahlentheorie/EZT/Unentscheidbarkeit/Field: tatsächlich glaubt fast jeder, daß die Wahl zwischen einem unentscheidbaren Satz und seiner Negation objektiv ist, auch für die verallgemeinerte EZT. Das wäre auch kaum aufzugeben, da viele Behauptungen über Beweisbarkeit und WSF eigentlich unentscheidbare zahlentheoretische Behauptungen sind, so daß der Anti-Objektivist sagen müßte, daß sie der Objektivität entbehren. Das wollen nur die wenigsten. Dennoch ist es nicht offensichtlich, daß wenn man der EZT Objektivität zugesteht, sie auch den höheren Regionen zugestehen müßte. …+…
I 347
Anti-Objektivismus/Gödel/Field/Fazit/(s): Gödel liefert keinen Grund anzunehmen, daß einige unentscheidbare Sätze bestimmte Wahrheitswerte (WW) haben. (pro extremer Anti-Objektivismus, pro Field). VsAnti-Objektivismus/Gödel/Field: man kann einwenden daß die Gödel-Sätze der Kandidaten für unsere vollste mathematische Theorie nicht bloß bestimmte WW haben sollten, sondern daß sie wahr sind! Das Argument geht per
Induktion: alle logischen und nichtlogischen Prämissen von M sind wahr. Die Schlußregeln erhalten Wahrheit, daher müssen alle Theoreme wahr sein. Also muß die Theorie konsistent sein, daher muß der Gödelsatz unBeweisbar sind und daher wahr.
Gödelsatz: ist nur wahr, wenn unBeweisbar, wenn Beweisbar, ist er nicht wahr.
Problem: diese Induktion kann in M natürlich nicht formalisiert werden. Aber man fühlt oft, daß er irgendwie „informell gültig“ ist.
Wenn das stimmt, wird aber nur die Wahrheit des Gödel-Satzes bewiesen, nicht seine bestimmte Wahrheit.
Lösung: wir könnten vielleicht die Lücke füllen indem wir ein Prinzip aufstellen, daß wenn wir informell etwas Beweisen können, es bestimmt wahr sein muß. (Vs: Das ist plausibel, aber nicht unumstritten!). Jedenfalls sind die Argumente für die bestimmte Wahrheit des Gödel-Satzes schwächer als die für seine einfache Wahrheit.

Field I
H. Field
Realism, Mathematics and Modality Oxford New York 1989

Field II
H. Field
Truth and the Absence of Fact Oxford New York 2001

Field III
H. Field
Science without numbers Princeton New Jersey 1980

Field IV
Hartry Field
"Realism and Relativism", The Journal of Philosophy, 76 (1982), pp. 553-67
In
Theories of Truth, Paul Horwich Aldershot 1994
Beweis Gödel Field Vs Antirealismus Field I 64
Unverzichtbarkeit: wenn es wahr ist, dass Mathematik nicht nur Inferenzen erleichtert, wäre sie theoretisch unverzichtbar. Wie kann die Unverzichtbarkeit in Begriffen der Konservativität dargestellt werden? Quine Putnam Argument/VsAnti Realismus: (s.o.): nur über Wahrheit! Wir müssen die Wahrheit der Mathematik für ihre Nützlichkeit im außermathematischen Reich annehmen. - FieldVs: das ist sicher eine Übertreibung. Teile des Nutzens können auch durch Konservativität erklärt werden (aber eben doch nicht nur).- I 65 - Letztlich versuche ich zu zeigen, dass Mathematik eben nicht unverzichtbar ist.
Field I 66
Realismus/Mathematik/Gödel: ("Was ist Cantors Kontinuum Problem?", 1947) (Pro Quine Putnam Argument, VsField, GödelVsAnti Realismus):selbst bei sehr enger Definition des Begriffs "mathematischer Daten" (nur Gleichungen der Zahlentheorie) können wir ganz abstrakte Teile durch Erklärungserfolg rechtfertigen: Gödel: auch ohne die Notwendigkeit eines neuen Axioms annehmen zu müssen, und sogar, wenn es gar keine intrinsische Notwendigkeit hat, ist eine Entscheidung über seine Wahrheit möglich, indem wir mit Induktion seinen "Erklärungserfolg" untersuchen. Die Fruchtbarkeit seiner Konsequenzen, insbesondere der "verifizierbaren", d.h. jener, die ohne das neue Axiom demonstrierbar sind, deren Beweise aber durch das neue Axiom leichter sind. Oder wenn man damit mehrere Beweise zu einem zusammenziehen kann.
Bsp die Axiome über die reellen Zahlen, die von den Intuitionisten abgelehnt werden.

Field I
H. Field
Realism, Mathematics and Modality Oxford New York 1989

Field II
H. Field
Truth and the Absence of Fact Oxford New York 2001

Field III
H. Field
Science without numbers Princeton New Jersey 1980

Field IV
Hartry Field
"Realism and Relativism", The Journal of Philosophy, 76 (1982), pp. 553-67
In
Theories of Truth, Paul Horwich Aldershot 1994
Beweis Gödel Kripke Vs Beschreibungstheorie Evans I 310/311
Referenz/Beschreibung/Bekanntschaft/Kripke: zwar ist die Referenz durch den Urmeter in Paris festgelegt, aber nicht jeder Sprecher muß ihn kennen oder überhaupt davon wissen. (Laut Evans). Strawson: "Mittelwert verschiedener Meinungen".
KripkeVsBeschreibungstheorie/Evans: seine Angriffe richten sich nur gegen die erste Variante (Sprecher Bezeichnung). Sie ignorieren den sozialen Charakter der Namensgebung.

Field II 117
Referenz/Deflationismus/Field: der Deflationismus scheint die viele Arbeit, die in den letzten Jahren in die Erforschung der Referenz gesteckt wurde, unwichtig zu machen. Denn wenn WB keine zentrale Rolle spielen, kann die Referenz es auch nicht. Bsp: KripkeVsBeschreibungstheorie/Namen/Field: (Kripke 1972): diese ist unkorrekt.
Field: jedenfalls, wenn diese keine MS gebraucht!.
Referenz/Deflationismus/Field: Problem: wenn die Wahrheitsbedingungen keine Rolle spielen, dann gilt das auch für Referenz, denn das relevante Schema ist:
(R) Wenn b existiert, dann referiert "b" auf b und nichts sonst; wenn b nicht existiert, dann referiert "b" auf gar nichts.
Problem: wenn das alles ist, was es über Referenz zu sagen gibt, was soll uns Kripkes Kritik der Beschreibungstheorie dann sagen?
Beschreibungstheorie/Gödel-Schmidt-Fall/Kripke: Bsp Gödel = "der Beweiser des Unvollständigkeitssatzes".
Dann Bsp Schmidt war der eigentliche Beweiser, wurde aber ermordet. Jeder würde sagen, daß "Gödel" dennoch auf Gödel referiert und nicht auf Schmidt.
Deflationismus/Field: Problem: wenn der Deflationismus das nicht erklären kann, dann ist etwas falsch mit ihm! Aber er kann es:
Referenz/Deflationismus/Field: die Referenz ist nicht die eigentliche Grundlage, sondern Beobachtungen über unsere Praxis des Schließens. Das ist es was Kripke eigentlich zeigt.

Stalnaker I 15
KripkeVsBeschreibungstheorie/Stalnaker: erwächst aus einer Verwechslung von Semantik und Metasemantik. Anti-Essentialismus/Kripke/Stalnaker: erwächst aus einer Verwechslung von Semantik und Metaphysik.

Kripke I
S.A. Kripke
Name und Notwendigkeit Frankfurt 1981

Kripke II
Saul A. Kripke
"Speaker’s Reference and Semantic Reference", in: Midwest Studies in Philosophy 2 (1977) 255-276
In
Eigennamen, Ursula Wolf Frankfurt/M. 1993

Kripke III
Saul A. Kripke
Is there a problem with substitutional quantification?
In
Truth and Meaning, G. Evans/J McDowell Oxford 1976

Kripke IV
S. A. Kripke
Outline of a Theory of Truth (1975)
In
Recent Essays on Truth and the Liar Paradox, R. L. Martin (Hg) Oxford/NY 1984

EMD II
G. Evans/J. McDowell
Truth and Meaning Oxford 1977

Evans I
Gareth Evans
"The Causal Theory of Names", in: Proceedings of the Aristotelian Society, Suppl. Vol. 47 (1973) 187-208
In
Eigennamen, Ursula Wolf Frankfurt/M. 1993

Evans II
Gareth Evans
"Semantic Structure and Logical Form"
In
Truth and Meaning, G. Evans/J. McDowell Oxford 1976

Evans III
G. Evans
The Varieties of Reference (Clarendon Paperbacks) Oxford 1989

Field I
H. Field
Realism, Mathematics and Modality Oxford New York 1989

Field II
H. Field
Truth and the Absence of Fact Oxford New York 2001

Field III
H. Field
Science without numbers Princeton New Jersey 1980

Field IV
Hartry Field
"Realism and Relativism", The Journal of Philosophy, 76 (1982), pp. 553-67
In
Theories of Truth, Paul Horwich Aldershot 1994

Stalnaker I
R. Stalnaker
Ways a World may be Oxford New York 2003
Beweis Gödel Gödel Vs Field, H. Field I 66
Realismus/Mathematik/Gödel: ("Was ist Cantors Kontinuum Problem?", 1947) (Pro Quine Putnam Argument, VsField, VsAnti Realismus):selbst bei sehr enger Definition des Begriffs "mathematischer Daten" (nur Gleichungen der Zahlentheorie) können wir ganz abstrakte Teile durch Erklärungserfolg rechtfertigen: Gödel: auch ohne die Notwendigkeit eines neuen Axioms annehmen zu müssen, und sogar, wenn es gar keine intrinsische Notwendigkeit hat, ist eine Entscheidung über seine Wahrheit möglich, indem wir mit Induktion seinen "Erklärungserfolg" untersuchen. Die Fruchtbarkeit seiner Konsequenzen, insbesondere der "verifizierbaren", d.h. jener, die ohne das neue Axiom demonstrierbar sind, deren Beweise aber durch das neue Axiom leichter sind. Oder wenn man damit mehrere Beweise zu einem zusammenziehen kann.
Bsp die Axiome über die reellen Zahlen, die von den Intuitionisten abgelehnt werden.
I 67
FieldVsGödel: wenn keinerlei mE unverzichtbar sind, dann muß man auch nicht die sogenannten "mathematischen Daten" nicht als wahr bezeichnen. Aber anfangs hatte ich gesagt, daß es kein anderes Ziel der Mathematik als Wahrheit geben kann.

Göd II
Kurt Gödel
Collected Works: Volume II: Publications 1938-1974 Oxford 1990

Field I
H. Field
Realism, Mathematics and Modality Oxford New York 1989

Field II
H. Field
Truth and the Absence of Fact Oxford New York 2001

Field III
H. Field
Science without numbers Princeton New Jersey 1980

Field IV
Hartry Field
"Realism and Relativism", The Journal of Philosophy, 76 (1982), pp. 553-67
In
Theories of Truth, Paul Horwich Aldershot 1994
Beweis Gödel Shapiro Vs Field, H. Fie I 125
Stewart ShapiroVsField: (Conservativeness and incompleteness").
I 126
Konservativität/ShapiroVsField: sollte man entweder a) semantisch oder
b) Beweistheoretisch (syntaktisch) nehmen. je nachdem, ob man die Folgebeziehung (Konsequenz) semantisch oder als Ableitbarkeit versteht.
Die Unterscheidung ist wichtig, weil wir bald Logiken höherer Stufe betrachten, die keine vollständigen Beweisverfahren haben.
Logik 2. Stufe/SwN/Field: hier gibt es kein Vollständigkeits Theorem: wir müssen uns die ganze Zeit an semantische Begriffe halten.
Wir können platonistische Argumente für semantische Konservativität der Mengenlehre im Kontext der Logik 2. Stufe geben, aber keine Beweistheoretische.
ShapiroVsField: die Wahl der semantischen statt der Beweistheoretischen Konservativität war philosophisch falsch:
1. Field sagt, daß die Nützlichkeit der Mathematik in der Erleichterung und Verkürzung von Deduktionen liegt. Nichtsdestotrotz können längere Deduktionen gegeben werden.
I 127
ShapiroVsField: 1. das verträgt sich nicht mit dem Anspruch, daß es um semantische Folgebeziehung geht. (Field pro Shapiro). Field: ich hätte sagen sollen, daß Mathematik nützlich ist, weil es oft leichter zu sehen ist, daß eine nominalistische Aussage aus einer nominalistischen Theorie plus Mathematik folgt, als zu sehen, daß sie aus der nominalistischen Theorie alleine folgt.
ShapiroVsField: 2. (tiefer): zweiter Grund, warum Beweistheorie wichtiger als semantische Folgebeziehung ist: der Nominalismus hat Schwierigkeiten, logische Folgerungen (Konsequenzen) zu verstehen, die über das hinausgehen, was Beweistheoretisch erklärbar ist.
FieldVsShapiro: 1. die Folgebeziehung kann modal erklärt werden, und die Modalität kann ohne Erklärung in Begriffen platonistischer Entitäten verstanden werden.
2. die gleichen Schwierigkeiten bestehen für die Beweistheorie, d.h. Ableitbarkeit: die Erklärung müßte über die Existenz abstrakter Sequenzen abstrakter Ausdruckstypen erfolgen, von denen kein Token jemals gesprochen oder geschrieben wurde.
I 133
ShapiroVsField: (nach Gödels 2. Unvollständigkeits Theorem): Field: Anwendung von Mathematik auf physikalische Theorien ist unterminiert, wenn die physikalischen Theorien als 1. Stufe aufgefaßt werden.
FieldVsShapiro: Abschnitt 5 und 6.

Shapiro I
St. Shapiro
Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology Oxford 2000

Varian I
Carl Shapiro
Hal Varian
Information Rules: A Strategic Guide to the Network Economy Brighton, MA 1998
Beweis Gödel Burgess Vs Field, H. Field I 133
BurgessVsField: eine Gödelsche Konstruktion kann in N0 nicht ausgeführt werden. Das führt dazu, daß es einen nominalistischen Satz gibt, der in N0 unentscheidbar ist, aber gleichzeitig beweisbar in P0. Daher kann N0 keine konservative Teil Theorie von P0 sein. Und das zeigt auch, daß P0 überhaupt keine nominalistische Teil Theorien als konservative Erweiterungen haben kann.

Burgs I
J. P. Burgess
Logic, Logic, and Logic Boston 1999

Field I
H. Field
Realism, Mathematics and Modality Oxford New York 1989

Field II
H. Field
Truth and the Absence of Fact Oxford New York 2001

Field III
H. Field
Science without numbers Princeton New Jersey 1980

Field IV
Hartry Field
"Realism and Relativism", The Journal of Philosophy, 76 (1982), pp. 553-67
In
Theories of Truth, Paul Horwich Aldershot 1994
Beweis Gödel Dennett Vs Gödel, K. I 603
Gödelzahl/Dennett: Möglichkeit: mit Gödelzahlen kann man alle möglichen Axiomensysteme in alphabetischer Reihenfolge anordnen. Gödel/Turing: zeigte, dass diese Menge zu einer anderen Menge in der Bibliothek von Babel gehört: der Menge aller möglichen Computer.
Jede Turingmaschine, in der zufällig ein konsistenter Algorithmus zum Beweis mathematischer Wahrheiten läuft, ist mit einem Gödelschen Satz verknüpft, einer arithmetischen Wahrheit, die sie nicht Beweisen kann. - Dennett: Na und?
Geist/Gödel: daraus geht hervor, dass der Geist nicht einfach wie Maschinen sein kann. Menschen sind zu Dingen in der Lage, die keine Maschine vollbringen kann. DennettVs!
DennettVsGödel: Problem. wie kann man überhaupt feststellen, ob ein Mathematiker einen Satz bewiesen hat, oder nur ein Geräusch gemacht hat, wie ein Papagei? >Beweise.

Dennett I
D. Dennett
Darwins gefährliches Erbe Hamburg 1997

Dennett II
D. Dennett
Spielarten des Geistes Gütersloh 1999

Dennett III
Daniel Dennett
"COG: Steps towards consciousness in robots"
In
Bewusstein, Thomas Metzinger Paderborn/München/Wien/Zürich 1996

Dennett IV
Daniel Dennett
"Animal Consciousness. What Matters and Why?", in: D. C. Dennett, Brainchildren. Essays on Designing Minds, Cambridge/MA 1998, pp. 337-350
In
Der Geist der Tiere, D Perler/M. Wild Frankfurt/M. 2005
Beweis Gödel Deutsch Vs Gödel, K. I 233
Beweis: Beweistheorie ist kein Zweig der Mathematik, sondern eine Naturwissenschaft. Beweise sind nicht abstrakt!
I 234
In der Beweistheorie ist nichts eine Frage allein der Logik. DeutschVsGödel: zu seinen Annahmen gehörte beispielsweise, dass ein Beweis immer eine endliche Anzahl von Schritten haben muss. Seit dem Beweis des vier Farben Satzes durch Computer wissen wir jedoch, dass Beweise zumindest so viel Sätze haben können, dass sie von keinem Menschen in seiner Lebenszeit eingesehen werden können.
Skeptiker fragen sich, ob sie dem Computer das Glauben sollten, obwohl es ihnen niemals eingefallen wären, alle Entladungen der Neuronen zu katalogisieren!
Aber was ist ein "Schritt" und was ist "endlich" ?
I 236
Hilbert: "Über das Unendliche": spottete über den Gedanken, dass die Forderung nach der"endlichen Anzahl von Schritten" wesentlich ist. DeutschVsHilbert: aber er irrte sich. DeutschVsGödel: Zumindest eine von Gödels Einsichten in Beweise stellte sich als fehlerhaft heraus.
I 237
Diesem Gedanken zufolge ist ein Beweis etwas besonderes, eine Reihe von Aussagen, die Beweisregeln gehorchen. Wir haben schon gesehen, dass ein Beweis besser nicht als ein Ding, sondern als ein Vorgang (Programm) gesehen werden sollte. Eine Art von Berechnung. Im klassischen Fall ist also die Umwandlung von Beweisvorgängen in Beweisdinge immer durchführbar. Wenn wir aber eine klassisch nicht auszuführende mathematische Berechnung, die ein Quantencomputer leicht machen kann betrachten: hier gibt es keine Möglichkeit all das aufzuzeichnen, was im Beweisprozess abläuft, weil das Meiste in anderen Universen passiert. Auf diese Weise kann man keinen Beweis alter Art führen.

Deutsch I
D. Deutsch
Die Physik der Welterkenntnis München 2000
Beweis Gödel Deutsch Vs Hilbert I 236
Hilbert: "Über das Unendliche": spottete über den Gedanken, dass die Forderung nach der"endlichen Anzahl von Schritten" wesentlich ist. DeutschVsHilbert: aber er irrte sich. DeutschVsGödel: Zumindest eine von Gödels Einsichten in Beweise stellte sich als fehlerhaft heraus.
I 237
Diesem Gedanken zufolge ist ein Beweis etwas besonderes, eine Reihe von Aussagen, die Beweisregeln gehorchen. Wir haben schon gesehen, dass ein Beweis besser nicht als ein Ding, sondern als ein Vorgang (Programm) gesehen werden sollte. Eine Art von Berechnung. Im klassischen Fall ist also die Umwandlung von Beweisvorgängen in Beweisdinge immer durchführbar. Wenn wir aber eine klassisch nicht auszuführende mathematische Berechnung, die ein Quantencomputer leicht machen kann betrachten: hier gibt es keine Möglichkeit all das aufzuzeichnen, was im Beweisprozess abläuft, weil das Meiste in anderen Universen passiert. Auf diese Weise kann man keinen Beweis alter Art führen.

Deutsch I
D. Deutsch
Die Physik der Welterkenntnis München 2000
Beweis Gödel Quine Vs Intuitionismus VII (a) 14
Mengenlehre/Fraenkel: Klassen werden entdeckt. (VsIntuitionismus). Quine: das ist mehr als ein Wortspiel, es ist eine wesentliche Frage.

X 118
QuineVsintuitionistische Logik: ihr fehlt die Handlichkeit und Vertrautheit. Ihre Satzverknüpfungen haben keine wahrheitsfunktionale sondern einer intuitive Bedeutung, die wir mit Hilfe von „widerlegen“ und „ aus...folgen“ erklären. Diese Erklärungen werden aber unklar, wenn man den Unterschied zwischen dem Aussprechen eines Satzes und dem Sprechen über den Satz (>Erwähnung/>Gebrauch) aufrechterhalten will! Quine. dann kann man auch gleich zu Heytings Axiomen übergehen und keine Übersetzung zwischenschalten, sondern
X 119
Die direkte Methode des Sprachlehrers anwenden. Intuitionismus: gewann noch Auftrieb durch Gödels UnvollständigkeitsBeweis.
Konstruktivismus/Quine: für ihn gibt es nicht die eine richtige Definition.

QuineVsintuitionistische Logik: ändert die Bedeutungen der Quantifikation und der Konstanten.
Lösung: man kann konstruktivistisch vorgehen, und dennoch die orthodoxe Logik verwenden: das macht Weyls konstruktive Mengenlehre.
Quantor/abweichende Logik/Quine: es gibt auch Abweichungen bei Quantoren: die intuitionistische Logik verlangt die Kenntnis des Beweisweges.
X 120
Problem: die Variablen müssen alle einen Namen haben (können) damit die Existenzquantifikation der (endlichen) Adjunktion der sie wahrmachenden singulären Sätze entsprechen kann. (s.o.). Problem: bei unendlicher Existenzquantifikation kann man nicht unendlich viele Namen vergeben.
Abweichungen bei der Quantifikation sind natürlich wichtig in Bezug auf die Ontologie.
X 121
Ontologie/QuineVsIntuitionismus/Vsintuitionistische Logik: was der Intuitionist für existieren erklärt, finden wir vielleicht nicht einmal so. Lösung: wir müssen seine Sprache zuerst in unsere übersetzen. Und zwar nicht unbedingt in unsere Logik, aber in unsere Gesamtsprache!
Dann können wir sagen, was er als existierend ansieht (und zwar in unserem Sinn von „existieren“).

Quine I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Quine II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Quine III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Quine V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Quine VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Quine VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Quine VII (a)
W. V. A. Quine
On what there is
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (b)
W. V. A. Quine
Two dogmas of empiricism
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (c)
W. V. A. Quine
The problem of meaning in linguistics
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (d)
W. V. A. Quine
Identity, ostension and hypostasis
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (e)
W. V. A. Quine
New foundations for mathematical logic
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (f)
W. V. A. Quine
Logic and the reification of universals
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (g)
W. V. A. Quine
Notes on the theory of reference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (h)
W. V. A. Quine
Reference and modality
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (i)
W. V. A. Quine
Meaning and existential inference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982

Quine IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Quine X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Quine XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003

Quine XIII
Willard Van Orman Quine
Quiddities Cambridge/London 1987
Beweis Gödel Gödel Vs Künstliche Intelligenz Dennett I 603
Gödel/Turing: zeigte, daß diese Menge zu einer anderen Menge in der Bibliothek von Babel gehört: der Menge aller möglichen Computer. Jede Turingmaschine, in der zufällig ein konsistenter Algorithmus zum Beweis mathematischer Wahrheiten läuft, ist mit einem Gödelschen Satz verknüpft, einer arithmetischen Wahrheit, die sie nicht Beweisen kann. Dennett: Na und? (DF).
Geist/Gödel: daraus geht hervor, daß der Geist nicht einfach wie Maschinen sein kann. Menschen sind zu Dingen in der Lage, die keine Maschine vollbringen kann. DennettVs!
DennettVsGödel: Problem. wie kann man überhaupt feststellen, ob ein Mathematiker einen Satz Beweisen hat, oder nur ein Geräusch gemacht hat, wie ein Papagei? (Verhalten).

Göd II
Kurt Gödel
Collected Works: Volume II: Publications 1938-1974 Oxford 1990

Dennett I
D. Dennett
Darwins gefährliches Erbe Hamburg 1997

Dennett II
D. Dennett
Spielarten des Geistes Gütersloh 1999

Dennett III
Daniel Dennett
"COG: Steps towards consciousness in robots"
In
Bewusstein, Thomas Metzinger Paderborn/München/Wien/Zürich 1996

Dennett IV
Daniel Dennett
"Animal Consciousness. What Matters and Why?", in: D. C. Dennett, Brainchildren. Essays on Designing Minds, Cambridge/MA 1998, pp. 337-350
In
Der Geist der Tiere, D Perler/M. Wild Frankfurt/M. 2005
Beweis Gödel Field Vs McGee, V. II 351
Zahlentheorie 2. Stufe/Logik 2 Stufe/Theorie 2. Stufe/ZT/Field: These (i). volle ZT 2. Stufe ist – anders als ZT 1. Stufe – kategorisch. d.h. hat nur eine Interpretation bis zum Isomorphismus (one interpretation up to isomorphism),
II 352
In der die ZT als wahr herauskommt. Def kategorische Theorie/Field: hat nur eine Interpretation bis zum Isomorphismus, in der sie als wahr herauskommt. Bsp Zahlentheorie 2. Stufe.
(ii). These dass dies zeigt, dass es keine Unbestimmtheit für sie geben kann.
Mengenlehre/ML: hier ist es etwas komplizierter: volle ML 2. Stufe ist nicht ganz kategorisch (wenn es unerreichbare Kardinalzahlen gibt) sondern nur quasi-kategorisch. D.h. für alle Interpretationen, in der sie wahr ist, sind diese entweder isomorph oder isomorph zu einem Fragment der anderen, die durch Beschränkung auf eine weniger unerreichbare Kardinalzahl erhalten wurde.
Pointe: selbst die quasi-kategorische Theorie 2. Stufe ist noch hinreichend, den meisten Fragen über die Mächtigkeit des Kontinuums (MdK) denselben Wahrheitswert (WW) in allen Interpretationen zu geben, so dass die Annahmen einer Unbestimmtheit in ML fast beseitigt ist.
McGee: (1997) zeigt, dass wir volle ML 2. Stufe durch Hinzufügung eines Axioms erhalten können. Dieses Axiom beschränkt sie auf Interpretationen, in denen Quantoren 1. Stufe über absolut alles gehen. Dann erhalten wir volle Kategorizität.
Problem: das geht nicht, wenn die Quantoren 2. Stufe über alle Teilmengen des Bereichs der Quantoren 1. Stufe gehen. (Paradoxien) Aber bei McGee (wie bei Boolos 1984) gehen die Quantoren 2. Stufe nicht buchstäblich über Klassen als spezielle Entitäten, sondern als „plurale Quantoren“. (>plurale Quantifikation).
Unbestimmtheit/Logik 2. Stufe/FieldVsMcGee: (s.io- Kapitel I): Vs den Versuch, der Unbestimmtheit durch Logik 2. Stufe zu entrinnen: es ist fraglich, ob das Unbestimmtheits-Argument auf die Bestimmtheit der Logik 2. Stufe überhaupt anwendbar ist, wie er auf den Begriff der Menge anwendbar ist. Wenn man sagt, dass Sätze über die MdK keinen bestimmten WW haben, führt das zu einem Argument, dass der Begriff „alle Teilmengen“ unbestimmt ist, und daher, dass es unbestimmt ist, was als „volle“ Interpretation zählt.
plurale Quantifikation: auch sie kann unbestimmt sein: Frage: über welche Vielheiten sollen plurale Quantoren gehen?
„Volle“ Interpretation: ist dennoch (obwohl sie relativ auf einen Begriff der „Fülle“ ist) quasi-eindeutig. Aber das mindert nicht die Unbestimmtheit.
McGeeVsField: (1997): dieser behauptet, dass diese Kritik darauf beruht, dass Logik 2. Stufe nicht als richtiger Teil der Logik, sondern als Mengenlehre in Verkleidung angesehen werde.
FieldVsMcGee: das ist falsch: ob Logik 2. Stufe Teil der Logik ist, ist eine terminologische Frage. Selbst wenn sie ein Teil der Logik ist, könnten die Quantoren 2. Stufe unbestimmt sein, und das unterminiert, dass Kategorizität 2. Stufe Bestimmtheit impliziert.
„absolut alles“/Quantifikation/FieldVsMcGee: dass man sich nur für solche Modelle interessiere, in denen die Quantoren 1. Stufe über absolut alles gehen, schafft es nur dann, die Unbestimmtheit der Quantifikation 1. Stufe zu beseitigen, wenn der Gebrauch von „absolut alles“ determiniert (bestimmt) ist!
Pointe: diese Forderung funktioniert nur, wenn sie überflüssig ist: d.h. nur, wenn Quantifikation über absolut alles ohne diese Forderung möglich ist!
Allquantifikation/(s): „über alles“: unbestimmt, weil kein Prädikat angegeben, (wie sonst Bsp (x)Fx). „Alles“ ist kein Prädikat.
Inflationismus/Field: der Vertreter inflationistischer Semantik muß erklären wie es kommt, dass Merkmale unserer Praxis (Gebrauch) bestimmen, dass unsere Quantoren über absolut alles gehen.
II 353
McGee: (2000) versucht eben dies: (*) wir müssen die Hypothese ausschließen, dass die anscheinend unbeschränkten Quantoren einer Person nur über Entitäten vom Typ F gehen, wenn die Person einen Begriff von F hat.
(s) d.h. man sollte auch über etwas Unbestimmtes oder Unbekanntes quantifizieren können.
Field: McGee sagt, dass dies die normalen Versuche ausschließt, die Unbestimmtheit der Allquantifikation zu zeigen.
FieldVsMcGee: das gelingt nicht. Bsp angenommen, wir gehen davon aus, dass unsere eigenen Quantoren bestimmt über alles laufen. Dann scheint es natürlich anzunehmen, dass die Quantoren einer anderen Person von denselben Regeln regiert werden und also auch bestimmt über alles laufen. Dann könnten sie nur dann einen beschränkteren Bereich haben, wenn die Person einen eingeschränkteren Begriff hat.
FieldVs: die eigentliche Frage ist, ob die Quantoren überhaupt einen bestimmten Bereich haben, auch unsere eigenen! Und wenn ja, wie kommt es, dass unser Gebrauch (Praktiken) diesen Bereich festlegen?. Es ist nicht einmal klar in diesem Kontext, was es heißt, den Begriff eines eingeschränkten Bereichs zu haben! Denn wenn Allquantifikation unbestimmt ist, dann sicher auch die Begriffe, die für eine Einschränkung des Bereichs gebraucht werden.
Bereich/Quantifikation/Field: für jeden Kandidaten X für den Bereich unbeschränkter Quantoren, haben wir automatisch einen Begriff der wenigstens ein Kandidat für das Herausgreifen der Objekte in X ist: nämlich den Begriff der Selbstidentität! ((s) Also Allquantifikation. Alles ist mit sich selbst identisch).
FieldVMcGee: wenn auch (*) sogar akzeptabel ist in dem Fall wo unsere eigenen Quantoren unbestimmt sein können, hat es hier keine Zähne.

Field VS Bedeutungswandel od. Vs Induktion!!!
II 355 schematische Arithmetik 1. Stufe/McGee: (1997, S. 57): scheint zu behaupten, dass sie viel stärker ist, als normale Arithmetik 1. Stufe.
G. sei ein Gödel-Satz
PA: „primitive Arithmetik“. Basierend auf den normalen Grundbegriffen.
McGee: scheint zu behaupten, dass G in schematischer PA Beweisbar ist ((s) also nicht wahr ist). Wir müßten nur das W-Prädikat hinzufügen und Induktionen darüber anwenden.
FieldVsMcGee: das ist falsch. Wir erhalten stärkere Ergebnisse, wenn wir außerdem eine bestimmte kompositionale W-Theorie hinzufügen (Das sagt McGee auch am Schluß).
Problem: das geht über schematische Arithmetik hinaus.
McGee: sein Ansatz ist aber mehr modelltheoretisch: d.h. schematische ZT 1. Stufe fixiert die Extensionen der zahlentheoretischen Begriffe eindeutig.
Def Unbestimmtheit: „Nicht-Standard-Modelle habend“.
McGee: Angenommen, unsere arithmetische Sprache ist unbestimmt, d.h. sie läßt unintendierte Modelle zu. Aber es gibt eine mögliche Erweiterung (Ausdehnung) der Sprache mit einem neuen Prädikat „Standard-natürliche Zahl“.
Lösung: Induktion über diesem neuen Prädikat wird die Nicht-Standard-Modelle ausschließen.
FieldVsMcGee: ich glaube, dass das eine Mogelei ist (obwohl einige anerkannte Logiker es vertreten). Angenommen, wir haben hier nur Peano-Arithmetik, mit
Schema/Field: hier: verstanden als nur in der aktualen (current) Sprache Instanzen habend.
Angenommen, wir haben es nicht geschafft, eine einheitliche Struktur („up to“) bis zu einem Isomorphismus herauszugreifen. (Field: diese Annahme ist falsch).
FieldVsMcGee: wenn das der Fall ist, dann wird das bloße Hinzufügen von neuem Vokabular nicht helfen, und zusätzlich neue Axiome für das neue Vokabular würden nicht besser helfen, als wenn man die neuen Axiome einfach ohne das neue Vokabular einführt! Insbesondere für Bsp „Standard-natürliche Zahl“.
Schema/FieldVsMcGee: wie kann seine reiche Sichtweise von Schemata helfen, Bestimmtheit zu sichern? Sie erlaubt nur, eine neue Instanz der Induktion hinzuzufügen, wenn ich neues Vokabular einführe. Für McGee scheint der benötigte relevante Begriff gar nicht „Standard-natürliche-Zahl“ zu sein, und wir haben schon gesehen, dass dieser nicht hilft.
Prädikat/Bestimmtheit/Unbestimmtheit/Field: sicher, wenn ich ein neues Prädikat mit einer gewissen „magischen“ Fähigkeit, seine Extension zu bestimmen, hätte,
II 356
dann hätten wir echte natürliche Zahlen herausgegriffen. Das ist aber ein Tautologie und hat nichts zu tun damit, ob ich das Induktionsschema auf dieses magische Prädikat ausdehne. FieldVsMystik/VsMystizismus/Magie: Problem: wenn man denkt, dass man in der Zukunft vielleicht ein magisches Hilfsmittel zur Verfügung hat, dann könnte man auch denken, dass man es schon jetzt hat und dieses würde wiederum nicht von der schematischer Induktion abhängen. Dann ist die einzige mögliche Relevanz der Induktion nach dem Schema, zu erlauben, die postulierten zukünftigen magischen Fähigkeiten auf die Gegenwart zu übertragen. Und zukünftige Magie ist nicht weniger mysteriös als gegenwärtige.
FieldVsMcGee: es ist Mogelei, die Erweiterung der Sprache in Begriffen ihrer Extensionen zu beschreiben. Die Mogelei besteht darin anzunehmen, dass die neuen Prädikate in der Erweiterung bestimmte Extensionen haben. Und die haben sie nicht, wenn der Indeterminist Recht hat in Bezug auf die ZT (Field: ich glaube zwar nicht, dass der Indeterminismus recht hat in Bezug auf die ZT; aber wir nehmen das hier an).
Erweiterung/Ausdehnung/Sprache/Theorie/FieldVsMcGee: 2.Vs: dieser denkt, dass die benötigten neuen Prädikate solche sein könnten, für die es psychologische unmöglich ist, sie überhaupt hinzuzufügen, wegen ihrer Komplexität. Dennoch würden unsere Sprachregeln ihr Hinzufügen nicht verbieten.
FieldVsMcGee: kann es in dem Fall wirklich bestimmt sein, dass die Sprachregeln uns etwas erlauben, was psychologisch unmöglich ist? Das scheint eher ein besonders gutes Beispiel für Unbestimmtheit zu sein.
FieldVsMcGee: das wichtigste ist aber, dass wir nicht einfach neue Prädikate mit bestimmten Extensionen hinzufügen.

Field I
H. Field
Realism, Mathematics and Modality Oxford New York 1989

Field II
H. Field
Truth and the Absence of Fact Oxford New York 2001

Field III
H. Field
Science without numbers Princeton New Jersey 1980

Field IV
Hartry Field
"Realism and Relativism", The Journal of Philosophy, 76 (1982), pp. 553-67
In
Theories of Truth, Paul Horwich Aldershot 1994
Beweis Gödel Dennett Vs Penrose, R. I 614
Gödel/Toshiba-Bibliothek/Dennett: "es gibt keinen einzelnen Algorithmus, der alle Wahrheiten der Arithmetik beweisen kann". Dennett: über alle anderen Algorithmen in der Bibliothek sagt Gödel aber nichts!
I 615
Insbesondere sagt er nichts darüber, ob in der Bibliothek nicht Algorithmen für besonders eindrucksvolle Leistungen befinden, Sätze "als wahr zu bezeichnen"! "Mathematisches Gespür", riskante, heuristische Algorithmen, usw. DennettVsPenrose: er macht genau den Fehler, diese Gruppe möglicher Algorithmen zu ignorieren und sich allein auf jene zu konzentrieren, deren Unmöglichkeit Gödel nachgewiesen hatte. bzw. von denen Gödel überhaupt etwas aussagt.
Dennett: ein Algorithmus kann "mathematische Einsicht" hervorbringen, obwohl er kein "Algorithmus für mathematische Einsicht" war!
I 617
PenroseVsKünstliche Intelligenz/VsKI: x kann hervorragend ein Schachmatt erreichen -> es gibt keinen Algorithmus für Schach. Deshalb ist die gute Leistung von x nicht damit zu erklären, dass x einen Algorithmus ablaufen lässt.
I 619
DennettVsPenrose: das ist falsch. Die Ebene des Algorithmus ist ganz offensichtlich die richtige Erklärungsebene. X gewinnt, weil er den besseren Algorithmus hat!
I 617/618
Fehlschluss: Wenn der Geist ein Algorithmus ist, dann ist dieser sicher nicht erkennbar oder zugänglich für diejenigen, deren Geist er erzeugt. Bsp es gibt keinen speziellen Algorithmus, kursiv von fett zu unterscheiden, aber das heißt nicht, dass man es nicht unterscheiden kann. Bsp angenommen, in der Bibliothek von Babel gibt es ein einziges Buch, in dem alphabetisch alle New Yorker Teilnehmer stehen, deren Nettovermögen über 1 Mio. Dollar beträgt. ("Megaphonbuch"). Jetzt können wir mehrere Aussagen über dieses Buch beweisen: 1. Der erste Buchstabe auf der ersten Seite ist ein A. 2. Der erste Buchstabe auf der letzten Seite ist kein A. Bsp dass wir keine Überreste der "Eva der Mitochondrien" finden können, bedeutet nicht, dass wir keine Aussagen über sie ableiten können.
Dennett I 619
Penrose: wenn man einen beliebigen einzelnen Algorithmus nimmt, kann dieser nicht die Methode sein, mit der sich menschliche Mathematiker mathematischer Wahrheiten versichern. demnach bedienen sie sich überhaupt keines Algorithmus.
I 621
DennettVsPenrose: damit ist nicht gezeigt, dass ein menschliches Gehirn nicht algorithmisch arbeitet. Im Gegenteil: es macht deutlich, wie die Kräne der Kultur die Gemeinschaft der Mathematiker in dezentralen algorithmischen Prozessen ohne erkennbare Grenzen ausnutzen können.
I 623
DennettVsPenrose: er sagt, das Gehirn sei keine Turingmaschine, er sagt aber nicht, dass das Gehirn von einer Turingmaschine nicht gut wiedergegeben wird.!
I 625/626
Penrose: selbst ein Quantencomputer wäre noch eine Turingmaschine, die nur nachweislich berechenbare Funktionen berechnen kann. Penrose möchte aber darüber hinaus vorstoßen: mit "Quantengravitation".
I 628
DennettVsPenrose: warum glaubt er, eine solche Theorie müsse nicht berechenbar sein? Weil sonst die Künstliche INtellgenz möglich wäre! Das ist alles. (Fehlschluss). DennettVsPenrose: Idee mit Mikrotubuli ist nicht überzeugend: angenommen, er hätte recht, dann hätten auch Küchenschaben einen unberechenbaren Geist! Sie haben nämlich Mikrotubuli wie wir.

Dennett I
D. Dennett
Darwins gefährliches Erbe Hamburg 1997

Dennett II
D. Dennett
Spielarten des Geistes Gütersloh 1999

Dennett III
Daniel Dennett
"COG: Steps towards consciousness in robots"
In
Bewusstein, Thomas Metzinger Paderborn/München/Wien/Zürich 1996

Dennett IV
Daniel Dennett
"Animal Consciousness. What Matters and Why?", in: D. C. Dennett, Brainchildren. Essays on Designing Minds, Cambridge/MA 1998, pp. 337-350
In
Der Geist der Tiere, D Perler/M. Wild Frankfurt/M. 2005
Beweis Gödel Deutsch Vs Penrose, R. I 221
Penrose behauptet, dass schon die Existenz einer Art offener mathematischer Intuition, sich nicht mit der bestehenden Struktur der Physik und insbesondere nicht mit dem Turingprinzip verträgt. Wenn das Turingprinzip wahr ist, können wir das Gehirn (wie jedes andre Objekt) als einen Computer auffassen, der ein bestimmtes Programm ausführt. Ein solches Programm verkörpert eine Menge von Hilbertschen Beweisregeln, die nach Gödels Satz nicht vollständig sein kann.
Deshalb kann der Mathematiker, dessen Geist ein Computer ist, diese Aussage ebenfalls niemals als bewiesen anerkennen.
Penrose schlägt dann vor, die Aussage diesem Mathematiker vorzulegen. Der Mathematiker versteht den Beweis. Er ist ja schließlich selbstverständlich gültig, und deshalb kann der Mathematiker vermutlich sehen, dass er gültig ist. Aber das würde Gödel Satz widersprechen. Hier muss also irgendwo ein Fehler stecken. Und das ist nach Penrose" Meinung das Turingprinzip.
DeutschVsPenrose: Bsp Deutsch kann die Wahrheit diese Aussage nicht widerspruchsfrei Beweisen.
Das kann ich nicht, obwohl ich sehe dass sie wahr ist, oder nicht? Und ich verstehe den Satz auch. So ist es zumindest möglich, dass eine Aussage für einen Menschen unbegreiflich ist, für jeden anderen jedoch selbstverständlich wahr sein kann! (>Gödel/Penrose).

Deutsch I
D. Deutsch
Die Physik der Welterkenntnis München 2000
Beweis Gödel Field Vs Platonismus III 105
1. Stufe/Theorie/Fazit/Field: für jede Theorie 1. Stufe gibt es eine bessere, die intuitiv wahr zu sein scheint, wenn die ursprüngliche es ist und diese ist ausdrucksstärker (stärker).
III 106
Das gilt für nominalistische wie für platonistische Theorien. Daher kann es nicht als Argument für eine Inadäquatheit von N0 gebraucht werden, wenn nicht auch platonistische Theorien 1. Stufe als inadäquat angesehen werden können. Fazit: wenn man auf Theorien 1. Stufe festgelegt ist, gibt es keinen offensichtlichen Weg zu entscheiden, ob eine gut genug ist, die in der Praxis gebrauchten Konsequenzen zu liefern und die „recherché“ Konsequenzen (mit Gödelsatz) auszuschließen.
FieldVsPlatonismus: also ist der obige Einwand kein Argument für den Platonismus.
Theorie 2. Stufe: ist natürlich auf jeden Fall ein Mittel gegen dieses Problem. Aber wir haben gesehen daß N (das ist 2. Stufe) alle Konsequenzen hat, die platonistische ML 2. Stufe hat, und daher ist schwer einzusehen, was die Vorteile des Platonismus im Kontext der Logik 2. Stufe sein sollen.

I 112
Modelltheorie/Erklärung/Field: brauchen wir hier auch eine nominalistische Analogie zur platonistischen MT? Das ist eine verbale Frage. Es hängt davon ab, ob wir Modallogik selbst als ein Analogon platonistischer Modelltheorie verstehen. Wenn ja, dann ist Modelltheorie wie Physik und wir können die vorherigen Überlegungen nutzen. Und wir müssen sie nutzen, denn man kann die Anwendbarkeit der Metalogik nicht allein aus der Konservativität erklären. wenn die Logik nicht modal ist.
Wenn wir andererseits die Modallogik nicht so betrachten, dann ist die Modelltheorie wie die Beweistheorie: wir brauchten kein nominalistisches Analogon der Modelltheorie, weil sie nicht als Erklärung dient.
Sie dient dann nur dazu, etwas über Möglichkeit und Unmöglichkeit herauszufinden. Dann brauchen wir wiederum nicht die Wahrheit der Aussagen anzunehmen., (VsPlatonismus).

Field I
H. Field
Realism, Mathematics and Modality Oxford New York 1989

Field II
H. Field
Truth and the Absence of Fact Oxford New York 2001

Field III
H. Field
Science without numbers Princeton New Jersey 1980

Field IV
Hartry Field
"Realism and Relativism", The Journal of Philosophy, 76 (1982), pp. 553-67
In
Theories of Truth, Paul Horwich Aldershot 1994
Beweis Gödel Gödel Vs Russell, B. Russell I XIV
ZirkelfehlerprinzipPrincipia Mathematica/PM/Russell/Gödel: scheint also nur zu gelten unter konstruktivistischen Annahmen: wenn man unter einem Begriff ein Symbol versteht, zusammen mit einer Regel, um Sätze, die das Symbol enthalten zu übersetzen in Sätze, die es nicht enthalten. Klassen/Begriffe/Gödel: können dagegen auch als reale Objekte aufgefasst werden, nämlich als "Vielheiten von Dingen" und Begriffe als Eigenschaften oder Relationen von Dingen, die unabhängig von unseren Definitionen und Konstruktionen existieren!
Das ist genauso legitim wie die Annahme physikalischer Körper. Sie sind auch für Mathematik notwendig, so wie sie es für die Physik sind. Konzept/Terminologie/Gödel: ich werde „Konzept“ von jetzt an ausschließlich in diesem objektiven Sinne gebrauchen.
Ein formaler Unterschied zwischen diesen zwei Konzeptionen von Begriffen wäre: dass von zwei verschiedenen Definitionen der Form α(x) = φ(x) angenommen werden kann, dass sie zwei verschiedenen Begriffe α im konstruktivistischen Sinn definieren. (Nominalistisch: da zwei solche Definitionen unterschiedliche Übersetzungen geben für Propositionen, die α enthalten.)
Für Konzepte (Begriffe) ist das dagegen keineswegs der Fall, da dasselbe Ding in verschiedener Weise beschrieben werden kann.
Bsp "Zwei ist der Begriff, unter den alle Paare fallen und nichts sonst." Es gibt gewiss mehr als einen Begriff im konstruktivistischen Sinne, der dieser Bedingung genügt, aber es könnte eine gemeinsame "Form" oder "Natur" aller Paare geben.
Alle/Carnap: Vorschlag, "alle" als Notwendigkeit zu verstehen, würde nichts helfen, wenn "Beweisbarkeit" konstruktivistisch eingeführt würde (..+..).
Def Intensionalitätsaxiom/Russell/Gödel: zu verschiedenen Definitionen gehören verschiedene Begriffe.
Dieses Axiom hält für Begriffe im Zirkelfehlerprinzip: konstruktivistischer Sinn.
Konzepte/Russell/Gödel: (ungleich Begriffe!) sollen objektiv existieren. (Also nicht konstruiert). (Realistischer Standpunkt).
Ist nur die Rede von Konzepten, bekommt die Frage einen völlig anderen Sinn: dann scheint es keinen Einwand dagegen zu geben, von ihnen allen zu sprechen, noch dagegen, einige von ihnen unter Bezug auf alle zu beschreiben.
Eigenschaften/GödelVsRussell: man könnte sicher von der Totalität aller Eigenschaften (oder aller eines bestimmten Typs) sprechen, ohne dass das zu einer "Absurdität" führen würde! ((s) > Bsp „Alle Eigenschaften eines großen Feldherrn“.
Gödel: das macht es lediglich unmöglich, ihren Sinn zu konstruieren (d.h. als eine Behauptung über Sinneswahrnehmung oder irgendwelche anderen nichtkonzeptuellen Entitäten zu erklären), was kein Einwand für jemand ist, der den realistischen Standpunkt einnimmt.
Teil/Ganzes/Mereologie/GödelVsRussell:: ebenso wenig ist es widersprüchlich, dass ein Teil identisch (nicht bloß gleich) sein soll mit dem Ganzen, wie im Falle von Strukturen im abstrakten Sinne zu sehen ist. Bsp Die Struktur der Reihe der ganzen Zahlen enthält sich selbst als einen besonderen Teil.
I XVI/XVII
Sogar innerhalb des Bereichs der konstruktivistischen Logik gibt es gewisse Annäherungen an diese Selbstreflektivität (Selbstreflexivität/Heutzutage: Selbstähnlichkeit) imprädikativer Eigenschaften, nämlich Bsp Propositionen, die als Teile ihres Sinns nicht sich selbst enthalten, sondern ihre eigene formale Beweisbarkeit. Es existieren auch Sätze, die sich auf eine Totalität von Sätzen beziehen, zu der sie selbst gehören: Bsp "Jeder Satz einer (gegebenen) Sprache enthält mindestens ein Beziehungswort."
Das macht es nötig, nach anderen Lösungen für die Paradoxien zu suchen, denen zufolge der Trugschluss nicht in der Annahme gewisser Selbstreflektivitäten der Grundterme besteht, sondern in anderen Annahmen über dieselben!
Die Lösung mag vorläufig in der einfachen Typentheorie gefunden worden sein. Natürlich bezieht sich all das nur auf Konzepte.
Klassen: man sollte meinen, dass sie ebenfalls nur durch ihre Definitionen nicht geschaffen, sondern nur beschrieben werden! Dann gilt das Zirkelfehler Prinzip wieder nicht.
Zermelo spaltet Klassen in "Ebenen" auf, so dass nur Mengen niedrigerer Ebenen Elementen von Mengen höherer Ebenen sein können.
Reduzibilitätsaxiom/Russell/Gödel. (später fallengelassen) wird nun vom Klassenaxiom (Zermelos "Aussonderungsaxiom") eingenommen: dass für jede Ebene für eine beliebige Propositionalfunktion(Aussagenfunktion, AF)
φ(x)
die Menge jener x von dieser Ebene existiert, für die φ(x) wahr ist.
Das scheint impliziert zu sein durch das Konzept von Klassen als Vielheiten.
I XVIII
Extensionalität/Klassen: Russell: zwei Gründe gegen die extensionale Sicht von Klassen: 1. Die Existenz der Nullklasse, die nicht gut eine Kollektion sein kann, 2. Die Einerklassen, die identisch sein müssten mit ihren einzigen Elementen. GödelVsRussell: das könnte nur Beweisen, dass die Nullklassen und die Einerklassen (als unterschieden von ihrem einzigen Element) Fiktionen sind zur Vereinfachung des Kalküls, und nicht Beweisen, dass alle Klassen Fiktionen sind!
Russell: versucht, soweit wie möglich ohne die Annahme der objektiven Existenz von Klassen auszukommen. Danach sind Klassen nur eine facon de parler.
Gödel: aber auch "idealistische" Propositionen, die Universalien enthalten, könnten zu denselben Paradoxien führen.
Russell: schafft Regeln der Übersetzungen, nach denen Sätze, die Klassennamen oder den Term "Klasse" enthalten, übersetzt werden in solche, die sie nicht enthalten.
Klassennamen/Russell: eliminieren durch Übersetzungsregeln.
Klassen/PM/Russell/Gödel: Principia kommen so ohne Klassen aus, aber nur wenn man die Existenz eines Konzepts annimmt, wann immer man eine Klasse konstruieren möchte.
Zunächst müssen einige von ihnen, die Grundprädikate und Relationen wie "rot", "kälter" augenscheinlich als reale Objekte angesehen werden. Die höheren Begriffe erscheinen dann als etwas Konstruiertes (d.h. etwas, das nicht zum "Inventar der Welt" gehört).
I XIX
Ramsey: meinte, dass man Propositionen unendlicher Länge bilden könne und hält den Unterschied endlich /unendlich für nicht so entscheidend. Gödel: Logik und Mathematik sind wie Physik auf einem realen Inhalt aufgebaut und können nicht "wegerklärt" werden.
Existenz/Ontologie/Gödel: es verhält sich nicht so, als sei das Universum der Dinge in Ordnungen eingeteilt und wäre es einem verboten, von allen Ordnungen zu sprechen, sondern im Gegenteil: es ist möglich, von allen existierenden Dingen zu sprechen. Klassen und Konzepte sind allerdings nicht darunter.
Wenn sie aber als facon de parler eingeführt werden, stellt sich heraus, dass die Erweiterung des Symbolismus die Möglichkeit eröffnet, sie auf umfassendere Weise einzuführen, und so weiter, bis ins Unendliche.
Um dieses Schema durchzuhalten, muss man allerdings die Arithmetik (oder etwas gleichwertiges) voraussetzen, was nur Beweist, dass nicht einmal diese beschränkte Logik auf nichts aufgebaut werden kann.
I XX
Konstruktivistische Haltung/Konstruktivismus/Russell/Gödel: wurde in der ersten Auflage aufgegeben, da das Reduzibilitätsaxiom für höhere Typen es notwendig macht, dass Grundprädikate von beliebig hohem Typ existieren. Vom Konstruktivismus bleibt lediglich
1. Klassen als facon de parler
2. Die Definition von ~, v,. usw. als geltend für Propositionen, die Quantoren enthalten,
3. Stufenweise Konstruktion von Funktionen von Ordnungen höher als 1(freilich wegen des R-Axioms überflüssig)
4. Interpretation von Definitionen als bloßen typographischen Abkürzungen (alles unvollständige Symbole, nicht solche, die ein durch die Definition beschriebenes Objekt benennt!).
Reduzibilitätsaxiom/GödelVsRussell: dieser letzte Punkt ist eine Illusion, weil wegen des Reduzibilitäts Axioms stets reale Objekte in Form von Grundprädikaten oder Kombinationen von solchen entsprechend jedem definierten Symbol existieren.
Konstruktivistische Haltung/Konstruktivismus/PM/Gödel: wird in der zweiten Auflage wieder eingenommen und das Reduzibilitäts-Axiom fallengelassen. Es wird festgestellt, dass alle Grundprädikate zum niedrigsten Typ gehören.
Variablen/Russell/Gödel: ihr Zweck ist es, die Behauptungen komplizierterer Wahrheitsfunktionen von atomistischen Propositionen zu ermöglichen. (d.h. dass die höheren Typen nur eine facon de parler sind.).
Die Basis der Theorie soll also aus Wahrheitsfunktionen von atomistischen Propositionen bestehen.
Das ist kein Problem, wenn die Zahl der Individuen und Grundprädikate endlich ist.
Ramsey: Problem der Unfähigkeit, unendliche Propositionen zu bilden ist "bloße Nebensache"
I XXI
endlich/unendlich/Gödel: mit dieser Umgehung des Problems durch Missachtung des Unterschieds von endlich und unendlich dann existiert eine einfachere und zugleich weiterreichende Interpretation der Mengenlehre: Dann wird nämlich Russells Apercu, dass Propositionen über Klassen als Propositionen über ihre Elemente interpretiert werden können, buchstäblich wahr, vorausgesetzt, n ist die Zahl der (endlichen) Individuen der Welt und vorausgesetzt, wir vernachlässigen die Nullklasse. (..) + I XXI

Theorie der Ganzen Zahlen: die zweite Auflage behauptet, dass sie zu erreichen sei. Problem: dass in der Definition "jene Kardinalzahlen, die zu jeder Klasse gehören, die 0 enthält und x + 1 enthält, wenn sie x enthält" die Wendung "jede Klasse" sich auf eine gegebene Ordnung beziehen muss.
I XXII
So erhält man ganze Zahlen verschiedener Ordnungen, und vollständige Induktion kann auf ganze Zahlen von Ordnung n nur für Eigenschaften von n angewandt werden! (...) Die Frage der Theorie der ganzen Zahlen auf Basis der verzweigten Typentheorie ist zurzeit noch ungelöst.
I XXIII
Theorie der Ordnung/Gödel: fruchtbarer, wenn sie von einem mathematischen Standpunkt, nicht einem philosophischen betrachtet wird, also unabhängig von der Frage, ob imprädikative Definitionen zulässig sind. (...) imprädikative Totalitäten werden von einer Funktion der Ordnung α und ω vorausgesetzt.
Menge/Klasse/PM/Russell/Typentheorie/Gödel: die Existenz einer wohlgeordneten Menge vom Ordnungstyp ω1 reicht hin für die Theorie der reellen Zahlen.
Def Kontinuumshypothese/Gödel: (verallgemeinert): keine Kardinalzahl existiert zwischen der Potenz irgendeiner beliebigen Menge und der Potenz der Menge ihrer Untermengen.
Typentheorie/GödelVsRussell: gemischte Typen (Individuen zusammen mit Prädikationen über Individuen usw.) widersprechen dem Zirkelfehlerprinzip offensichtlich gar nicht!
I XXIV
Russell stützte seine Theorie auf ganz andere Gründe, die denen ähneln, die Frege bereits für die Theorie einfacherer Typen für Funktionen angenommen hatte. Propositionalfunktionen/Aussagenfunktion/AF/Russell/Gödel: haben immer etwas mehrdeutiges, wegen der Variablen. (Frege: etwas ungesättigtes).
Propositionalfunktion/AF/Russell/Gödel: sozusagen ein Fragment einer Proposition. Sie zu kombinieren, ist nur möglich, wenn sie "zusammenpassen" d.h. von geeignetem Typ sind.
GödelVsRussell: Konzepte (Begriffe) als reale Objekte: dann ist die Theorie der einfachen Typen nicht plausibel, denn wovon man erwarten würde dass es (wie z.B. "Transitivität" oder die Zahl zwei) ein Konzept wäre, schiene dann etwas zu sein, was hinter all seinen unterschiedlichen "Realisationen" auf den verschiedenen Ebenen steht und das demnach zufolge der Typentheorie nicht existiert.
I XXV
Paradoxien in der intensionalen Form/Gödel: hier bringt die Typentheorie eine neue Idee: nämlich die Paradoxien nicht auf dem Axiom zu tadeln, dass jede Propositionalfunktion ein Konzept oder eine Klasse definiert, sondern auf der Annahme, dass jedes Konzept eine sinnvolle Proposition ergibt, wenn es behauptet wird für ein beliebiges Objekt als Argument. Der Einwand, dass jedes Konzept ausgedehnt werden kann auf alle Argumente, indem ein anderes definiert wird, das eine falsche Proposition ergibt, wann immer das ursprüngliche sinnlos war, kann leicht entkräftet werden durch den Hinweis, dass das Konzept "sinnvoll anwendbar" nicht selbst immer sinnvoll anwendbar sein muss.

Göd II
Kurt Gödel
Collected Works: Volume II: Publications 1938-1974 Oxford 1990
Beweis Gödel Quine Vs Russell, B. Chisholm II 75
Prädikate/Benennen/Russell: benennende Ausdrücke: Eigennamen stehen für Einzeldinge und Allgemeinausdrücke für Universalien. (Probleme d. Phil. S. 82f). In jedem Satz bezeichnet wenigstens ein Wort ein Universale. QuineVsRussell: Konfusion!
II 108
Theorie der Kennzeichnungen/VsRussell/Brandl: so gerät die ganze Theorie in Verdacht, die Tatsache zu unterschlagen, daß materielle Gegenstände niemals Teil von Propositionen sein können. QuineVsRussell: Verwechslung von Erwähnung und Gebrauch.
Quine II 97
Pricipia mathematica, 1903: Hier ist Russells Ontologie zügellos: jedes Wort bezieht sich auf etwas. Ist ein Wort ein Eigenname, so ist sein Gegenstand ein Ding, andernfalls ein Begriff. Er beschränkt den Terminus "Existenz" auf Dinge, vertritt aber eine liberale Auffassung der Dinge, die sogar Zeitpunkte und Punkte des leeren Raums miteinschließt! Dann gibt es, jenseits des Existierenden die übrigen Entitäten: "Zahlen, die Götter Homers, Beziehungen, Hirngespinste, und vierdimensionale Räume" Das Wort "Begriff", von Russell in dieser Weise angewendet hat die Nebenbedeutung "bloß ein Begriff". Vorsicht: Götter und Hirgespinste sind für Russell ebenso real wie Zahlen!
QuineVsRussell: dies ist eine unerträglich wahllose Ontologie. Bsp Nehmen wir unmögliche Zahlen, etwa Primzahlen, die durch 6 teilbar sind. Es muss in gewissem Sinne falsch sein, dass es sie gibt, und zwar in einem Sinne, in dem es richtig ist, dass es Primzahlen gibt! Gibt es in diesem Sinne Hirngespinste?

II 101
Russell hat eine Vorliebe für den Ausdruck " Aussagenfunktion" gegenüber "Klassenbegriff". In P.M. kommen beide Ausdrücke vor. Hier: Def "Aussagenfunktion": vor allem auf Notationsformen bezogen z.B. offene Sätze, während Begriffe entschieden notationsunabhängig sind. Doch nach Meinong ist Russells Vertrauen in Begriffe geschwunden, und er bevorzugt den nominalistischerern Ton des Ausdrucks "Aussagenfunktion", der nun die doppelte Last trägt (später als Principia Mathematica.)
Gebrauch/Erwähnung/Quine: wenn wir nun versuchen, den Unterschied zwischen Gebrauch und Erwähnung ebenso nachlässig zu behandeln, wie Russell es vor sechzig Jahren fertiggebracht hat, können wir erkennen, wie er das Gefühl haben mochte, seine Theorie der Aussagenfunktionen sei notationsbezogen, während eine Theorie der Typen realer Klassen ontologisch wäre.
Quine: wir, die auf Gebrauch und Erwähnung achten, können angeben, wann Russells sogenannten Aussagenfunktionen als Begriffe (spezifischer als Eigenschaften und Beziehungen) aufgefasst werden müssen und wann sie als bloße offene Sätze oder Prädikate aufgefasst werden dürfen: a) dann, wenn er über sie quantifiziert, reifiziert er sie (auch unwissentlich) als Begriffe.
Aus diesem Grund kann für seine Elimination der Klassen nicht mehr in Anspruch genommen werden, als ich oben behauptet habe: eine Ableitung der Klassen aus Eigenschaften oder Begriffen mittels einer Kontextdefinition, die so formuliert ist, dass sie die fehlende Extensionalität liefert.
QuineVsRussell: meint fälschlich, seine Theorie habe die Klassen durchgreifender aus der Welt geschafft als im Sinne einer Reduktion auf Eigenschaften.
II 102
RussellVsFrege: "~die ganze Unterscheidung zwischen Bedeuten und Bezeichnen ist falsch. Die Beziehung zwischen "C" und C bleibt völlig mysteriös, und wo sollen wir den bezeichnenden Komplex finden, der angeblich C bezeichnet?" QuineVsRussell: Russells Standpunkt scheint manchmal von einer Verwechslung der Ausdrücke mit ihren Bedeutungen, manchmal Verwechslung des Ausdrucks mit seiner Erwähnung herzurühren.
II 103/104
In anderen Schriften verwendet Russel Bedeutung gewöhnlich im Sinne von "Bezug nehmen" (würde Frege entsprechen): "Napoleon" bestimmtes Individuum, "Mensch" ganze Klasse solcher Einzeldinge, welche Eigennamen haben."
Russell scheint selten unter irgendeiner Rubrik auf eine bestehende Entität zu achten, die dergestalt wäre, dass wir sie die über den existierenden Bezugsgegenstand hinausgehende Bedeutung nennen könnten.
Russell neigt dazu, diese Entität mit dem Ausdruck selbst verschwimmen zu lassen, wozu er im Hinblick auf bestehende Wesenheiten generell tendiert.
QuineVsRussell: für meinen Geschmack geht Russell mit bestehenden Entitäten allzu verschwenderisch um. Gerade, weil er nicht genügend unterscheidet, lässt er Bedeutungslosigkeit und verfehlte Bezugnahme tendenziell ineinander verschwimmen.
Theorie der Kennzeichnungen: Er wird den "König von Frankreich" nicht los, ohne zunächst die Kennzeichnungstheorie zu erfinden: Sinnvoll sein heiße: eine Bedeutung haben und die Bedeutung sei der Bezug. also "König von Frankreich" ohne Bedeutung und "Der König von Frankreich ist kahl" habe eine Bedeutung nur deshalb, weil es die Kurzform eines Satzes sei, der den Ausdruck "König von Frankreich" nicht enthält.
Quine: eigentlich unnötig, aber erhellend.
Russell neigt dazu, bestehende Entitäten und Ausdrücke ineinander verschwimmen zu lassen. Auch anlässlich seiner Bemerkungen über
Propositionen: (P.M.): Propositionen immer Ausdrücke, aber dann spricht er in einer zu dieser Lesart gar nicht passenden Weise von der "Einheit der Propositionen" (S.50) und von der Unmöglichkeit unendlicher Propositionen (S.145) später
II 105
Russell: Die Proposition ist nichts weiter als ein Symbol, noch später, stattdessen: Offensichtlich sind Propositionen gar nichts..." die Annahme, in der wirklichen, natürlichen Welt liefen ganze Mengen falscher Propositionen um, ist ungeheuerlich." Quine: diese Wiederrufung ist verblüffend. Was uns anstelle des Bestehens jetzt angeboten wird, ist das Nichts. Im Grunde hat Russell aufgehört, vom Bestehen zu reden.
Was einst als Bestehendes gegolten hatte, ist jetzt in einer von drei Weisen untergebracht
a) mit dem Ausdruck gleichgesetzt,
b) ganz und gar verworfen,
c) in den Stand der regelrechten Existenz erhoben.

II 107
Russell/später: "Alles was es in der Welt gibt, nenne ich eine Tatsache." QuineVsRussell: Russells Vorliebe für eine Ontologie der Tatsachen ist abhängig von seiner Verwechslung der Bedeutung mit Bezugnahme. andernfalls hätte er vermutlich kurzen Prozess gemacht mit den Tatsachen.
Was dem Leser von "Philosophy of logical atomism" auffällt, hätte ihn selbst abgeschreckt, nämlich wie sehr die Analyse der Tatsachen auf der Analyse der Sprache beruht.
Als fundamental erkennt Russell die Tatsachen ohnehin nicht an. Atomare Tatsachen sind so atomar, wie Tatsachen das sein können.
atomare Tatsachen/Quine: doch sie sind zusammengesetzte Gegenstände! Russels Atome sind keine atomaren Tatsachen, sondern Sinnesdaten!

II 183 ff
Russell: Die reine Mathematik ist die Klasse aller Sätze der Form "p impliziert q" wobei p und q Sätze mit einer oder mehreren Variablen sind, und zwar in beiden Sätzen dieselben. "Wir wissen nie, wovon die Rede ist, noch ob das was wir sagen wahr, ist".
II 184
Diese Disinterpretation der Mathematik war eine Reaktion auf die nichteuklidische Geometrie. Zahlen: Wie steht es mit der elementaren Arithmetik? Die reinen Zahlen usw dürfte man als uninterpretiert auffassen. Dann ist die Anwendung auf Äpfel eine Zusammenhäufung.
Zahlen/QuineVsRussell: Ich finde diese Einstellung grundverkehrt. Die Wörter "fünf " und "zwölf" sind nirgends uninterpretiert sie sind ebenso wesentliche Bestandteile unserer interpretierten Sprache wie Äpfel. >Zahlen. Sie benennen zwei ungreifbare Gegenstände, Zahlen, die Größen von Mengen von Äpfeln und dergl. sind. Das "plus" der Addition ist ebenfalls von Anfang bis Ende interpretiert, doch mit dem Zusammenhäufen von Dingen hat es nichts zu tun. Fünf plus zwölf ist: wie viele Äpfel es in zwei separaten Haufen gibt. Allerdings, ohne dass sie zusammengeschüttet werden. Die Zahlen "fünf" und "zwölf" unterscheiden sich von Äpfeln darin, dass sie keine Körper bezeichnen, dass das hat mit Disinterpretation nichts zu tun. Dasselbe ließe sich von "Nation" oder "Spezies" sagen. Die gewöhnliche interpretierte wissenschaftliche Rede ist auf abstrakte Gegenstände festgelegt, wie sie auf Äpfel und Körper auch festgelegt ist. Alle diese Dinge treten in unserem Weltsystem als Werte von Variablen auf.
II 185
Auch mit Reinheit (etwa der Mengenlehre) hat es nichts zu tun. Reinheit ist etwas anderes als Uninterpretiertheit.
XII 60
Ausdruck/Zahlen/Wissen/Explikation/Erklärung/Quine: unser Wissen über Ausdrücke besteht allein in ihren Gesetzen der Verkettung. Deshalb kommt jede Konstruktion, die diese Gesetze erfüllt, als Explikation in Frage.
XII 61
Wissen über Zahlen: besteht allein in den Gesetzen der Arithmetik. Dann ist jede gesetzmäßige Konstruktion eine Explikation der Zahlen. RussellVs: (früh): These: arithmetische Gesetze reichen für das Verständnis der Zahlen nicht aus. Wir müssen auch Anwendungen (Gebrauch) kennen bzw. die Einbettung in die Rede von anderen Dingen.
Anzahl/Russell: ist hier der Schlüsselbegriff: „es gibt n so und sos“.
Anzahl/Definition/QuineVsRussell: wir können definieren „es gibt n so und sos“ ohne jemals zu entscheiden, was Zahlen über ihre Erfüllung der Arithmetik hinaus sind.
Anwendung/Gebrauch/QuineVsRussell: wo immer Struktur ist, stellen sich die Anwendungen ein. Bsp Ausdrücke und Gödelzahlen: selbst der Hinweis auf eine Inschrift war kein endgültiger Beweis dafür, dass wir über Ausdrücke und nicht über Gödelzahlen reden. Wir können immer sagen, dass unsere Ostension verschoben war.

VII (e) 80
Principia Mathematica/PM/Russell/Whitehead/Quine: zeigt, dass die ganze Mathematik in Logik übersetzt werden kann., Dabei sind nur drei Begriffe zu klären: Mathematik, Übersetzung und Logik.
VII (e) 81
QuineVsRussell: der Begriff der Aussagenfunktion ist unklar und verunklart die ganzen Principia Mathematica.
VII (e) 93
QuineVsRussell: PM müssen durch das Unendlichkeitsaxiom ergänzt werden, wenn gewisse mathematische Prinzipien abgeleitet werden sollen.
VII (e) 93/94
Unendlichkeitsaxiom: sichert die Existenz einer Klasse mit unendlich vielen Elementen. Quine: New Foundations stattdessen kommt mit der Allklasse aus: ϑ oder x^ (x = x).

VII 122
Aussagenfunktionen/QuineVsRussell: zweideutig: a) offene Sätze
b) Eigenschaften.
Russells Keine Klassen Theorie nutzt Aussagenfunktionen als Eigenschaften als Werte gebundener Variablen.

IX 15
QuineVsRussell: unexakte Terminologie. Aussagenfunktion , "propositional function", diesen Ausdruck benutzte er sowohl wenn er sich auf Attribute (reale Eigenschaften) als auch wenn er sich auf Aussagen oder Prädikate bezog. In Wahrheit reduzierter er nur die Theorie der Klassen auf eine nichtreduzierte Theorie der Attribute.
IX 93
rationale Zahlen/QuineVsRussell: in einem Punkt weiche ich ab: für mich sind rationale Zahlen selbst reelle Zahlen, für Russell und Whitehead nicht. Russell: rationale Zahlen sind für sie paarweise elementfremd, wie die von Peano. (vgl. Kap 17), während ihre reellen Zahlen ineinander geschachtelt sind. ((s) paarweise elementfremd, Gegensatz: ineinander geschachtelt.)
natürliche Zahlen/Quine: für mich wie für die meisten Autoren: keine ganzen rationalen Zahlen.
rationale Zahlen/Russell: entsprechend keine rationalen reellen Zahlen. Sie werden von den rationalen reellen Zahlen nur "nachgemacht".
rationale Zahlen/QuineVsRussell: für mich dagegen sind die rationalen Zahlen reelle Zahlen. Und zwar, weil ich die reellen Zahlen nach Russells Version b) konstruiert habe, ohne dabei den Namen und die Bezeichnung für rationale Zahlen zu verwenden.
Daher konnte ich Name und Bezeichnung für die rationalen reellen Zahlen zurückhalten

IX 181
Typentheorie/TT/QuineVsRussell: in der vorliegenden Form ist unsere Theorie dann aber zu schwach, um einige Sätze der klassischen Mathematik zu beweisen. Bsp der Beweis, dass jede beschränkte Klasse reeller Zahlen eine kleinste obere Schranke (koS) hat.
IX 182
Nehmen wir an, die reellen Zahlen seien in der Russellschen Theorie ähnlich wie in Abschnitt VI entwickelt worden, allerdings sollten nun Attribute die Stelle von Klassen einnehmen und die Zuordnung zu Attributen ersetzt die Elementbeziehung zu Klassen. koS: (Kap 18,19) einer beschränkten Klasse zu von reellen Zahlen: die Klasse Uz oder {x:Ey(x ε y ε z)}.
Attribut: parallel dazu könnten wir also erwarten, dass die koS eines beschränkten Attributs φ von reellen Zahlen in Russells System gleich dem
Attribut Eψ(φψ u ψ^x) ist.
Problem: unter der Russellschen Ordnungsdoktrin ist diese koS von höherer Ordnung als die der reellen Zahlen ψ, die unter das Attribut φ, dessen koS gesucht ist, fallen.
Schranke/koS/QuineVsRussell: koS braucht man für die gesamte klassische Technik der Infinitesimalrechnung, der die Stetigkeit zu Grunde liegt. KoS haben aber für diese Zwecke keinen Wert, wenn sie nicht als Werte derselben Variablen erreichbar sind, zu derem Wertebereich bereits diejenige Zahlen gehören, deren obere Grenze gesucht sind.
Eine obere Grenze (d.h. koS) von höherer Ordnung kommt nicht als Wert solcher Variablen in Frage und verfehlt somit ihren Zweck.
Lösung/Russell: Reduzibilitätsaxiom:
Def Reduzibilitätsaxiom/RA/Russell/Quine: jede Aussagenfunktion hat dieselbe Extension wie eine gewisse prädikative. D.h.
Ey∀x(ψ!x φx), Eψ∀x∀y[ψ!(x,y) φ(x,y)], usw.
IX 184
VsKonstruktivismus/Konstruktion/QuineVsRussell: wir haben gesehen, wie Russells konstruktivistischer Zugang zu den reellen Zahlen scheiterte (kleiste obere Schranke, s.o.). Er gab den Konstruktivismus auf und nahm zum RA Zuflucht.
IX 184/185
Die Art wie er es aufgab, hatte aber etwas Perverses an sich: Reduzibilitätsaxiom/QuineVsRussell: das RA impliziert nämlich, dass all die Unterscheidungen, die zu seinem Entstehen Anlass gaben, überflüssig sind! (…+…)

IX 185
Aussagenfunktion/AF/Attribut/Prädikat/TT/QuineVsRussell: übersah folgenden Unterschied und seine Analoga: a) "propositional functions": als Attribute (oder intensionale Relationen) und
b) proposition functions": als Ausdrücke, d.h. Prädikate (und offene Aussagen: Bsp "x ist sterblich"). Entsprechend:
a) Attribute
b) offene Aussagen
Als Ausdrücke unterscheiden sie sich sichtbar in der Ordnung, wenn die Ordnung aufgrund der Indices an gebundenen Variablen innerhalb des Ausdrucks beurteilt werden soll. Bei Russell ist alles "AF".
Da Russell es versäumte, zwischen Formel und Objekt zu unterscheiden (Wort/Gegenstand, Erwähnung/Gebrauch), dachte er nicht an den Kunstgriff, zuzulassen, dass ein Ausdruck von höherer Ordnung sich geradewegs auf ein Attribut oder eine Relation von niedrigerer Ordnung bezieht.

X 95
Kontext Definition/Eigenschaften/Logik 2. Stufe/Quine: wenn man lieber Eigenschaften als Mengen haben möchte, kann man Quantifikation über Eigenschaften einführen und dann die Quantifikation über Mengen durch eine schematische Kontext Definition einführen. Russell: hat diesen Weg eingeschlagen.
Quine: die Definition muss aber dafür sorgen, dass das Extensionalitätsprinzip für Mengen gilt, aber nicht für Eigenschaften. Das. Ist ja gerade der Unterschied. .
Russell/QuineVsRussell: warum wollte er Eigenschaften?
X 96
Er merkte nicht, an welchem Punkt die unproblematische Darstellung von Prädikaten, in das Sprechen über Eigenschaften umschlug. ((s) >Objektsprache, >Metasprache, >Erwähnung, >Gebrauch). Aussagenfunktion/AF: (= propositional function): hat Russell von Frege übernommen.
QuineVsRussell: er gebrauchte AF manchmal, um sich auf Prädikate zu beziehen, manchmal auf Eigenschaften.

Quine I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Quine II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Quine III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Quine V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Quine VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Quine VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Quine VII (a)
W. V. A. Quine
On what there is
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (b)
W. V. A. Quine
Two dogmas of empiricism
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (c)
W. V. A. Quine
The problem of meaning in linguistics
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (d)
W. V. A. Quine
Identity, ostension and hypostasis
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (e)
W. V. A. Quine
New foundations for mathematical logic
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (f)
W. V. A. Quine
Logic and the reification of universals
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (g)
W. V. A. Quine
Notes on the theory of reference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (h)
W. V. A. Quine
Reference and modality
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (i)
W. V. A. Quine
Meaning and existential inference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982

Quine IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Quine X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Quine XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003

Quine XIII
Willard Van Orman Quine
Quiddities Cambridge/London 1987

Chisholm I
R. Chisholm
Die erste Person Frankfurt 1992

Chisholm II
Roderick Chisholm

In
Philosophische Aufsäze zu Ehren von Roderick M. Ch, Marian David/Leopold Stubenberg Amsterdam 1986

Chisholm III
Roderick M. Chisholm
Erkenntnistheorie Graz 2004
Beweis Gödel Quine Vs Smart, J.C. II 118 ff
Der oxfordgeschulte Philosoph wendet heute das eine Ohr dem gesunden Menschenverstand und das andere der Wissenschaft zu. Historiker, die nicht überflügelt werden wollen, behaupten, die eigentliche Triebfeder der Entwicklung sei Mode. Sogar von Quantentheoretikern hört man, dass die nicht den winzigen Gegenständen ihrer Theorie, sondern in erster Linie ihren Versuchsapparaten, also gewöhnlichen Dingen Realität zuschreiben. In erfrischendem Kontrast dazu der australische Philosoph Smart: er vertritt eine schamlos realistische Auffassung der physikalischen Elementarteilchen. Das Weltbild des Physikers ist nicht nur ontologisch respektabel, sondern seine Sprache vermittelt uns ein wahreres Bild der Welt als der gesunde Menschenverstand. (Smart beschäftigt sich hauptsächlich mit Physik).
Es hat auch Materialisten gegeben, nach deren Auffassung Lebewesen zwar materiell sind, aber biologischen und psychologischen Gesetzen unterstehen, die sich prinzipiell nicht auf physikalische Gesetze zurückführen lassen. Dies war der Emergenzmaterialismus.
Smarts Materialismus ist da robuster.
II 119
Smart These: Er bestreitet, dass es in der Psychologie und Biologie überhaupt Gesetze im strengen Sinne gibt. Die Aussagen dort sind ortsspezifische Verallgemeinerungen über einige irdische Gewächse unserer Bekanntschaft.
SmartVsEmergenz.
Sie stehen auf der gleichen Ebene wie Erdkunde oder Berichte über das Verbraucherverhalten. Das gilt sogar für Aussagen über Zellteilung. Sie werden höchstwahrscheinlich mindestens anderswo im Welltall falsifiziert, wenn nicht gar bei uns. (Gesetz: Erklärungskraft) Smart gibt zu, dass Aussagen über die kleinen Prozesse in der Biologie tendenziell erklärungsstärker sind. (Eben, sie kommen der Physikochemie ja auch näher.)
Die Biologie beschreibt einen ortsspezifischen Auswuchs, während die Physik die Natur der Welt beschreibt. Die Psychologie beschreibt dann einen Auswuchs auf diesem Auswuchs.
II 120
Farben: Smart zum Farbbegriff: Farbe dominiert unsere Sinneserfahrung, mit ihrer Hilfe unterscheiden wir Gegenstände. Aber, das ist der Witz von Smarts Ausführungen: Farbunterschiede stehen nur selten in interessantem Zusammenhang mit physikalischen Gesetzen: eine Mischfarbe kann uns vorkommen wie eine reine, abhängig von kontingenten Mechanismen in unserem Inneren. Man kann davon ausgehen, dass außerirdische Lebewesen ähnliche Begriffe von Länge und elektrischer Ladung hätten, aber kaum ähnliche Farbbegriffe. Um die Welt sub specie aeternitatis zu sehen, müssen wir den Farbbegriff und andere sekundäre Qualitäten meiden. Primär: Länge, Gewicht, Härte, Gestalt, usw. sind diejenigen die am leichtesten in physikalische Gesetze eingehen. Bei Smart gewinnt der Physikalismus.
Zum Thema "Mensch als Maschine" haben sich die heutigen Gegner des mechanistischen Gedankens auf den Gödelschen Satz berufen, der besagt, dass kein formales Beweisverfahren die ganze Zahlentheorie erfassen kann.
II 121
Smart, der die mechanistische Auffassung vertritt, polemisiert gegen diese recht trübsinnige Anwendung des großartigen Gödelschen Satzes. Der Ort, an dem sich der Mensch über die Schranken der formalen Beweistheorie hinwegsetzt, ist der der informalen und weitgehend resultatlosen Manöver der wissenschaftlichen Methode. Determinismus: Mit Hobbes geht Smart konform, dass >Determinismus und Freiheit sich nicht antithetisch zueinander verhalten: deterministisches Tun gilt als frei, wenn es in bestimmter Weise durch den Handelnden vermittelt ist.
Ethik: Die Einteilung in Tätigkeiten für die man verantwortlich sein kann, und solche, für die das nicht gilt, folgt der gesellschaftlichen Apparatur des Belohnens und Strafens. Der Verantwortung wird dort eine Stelle zugewiesen, wo Belohnen und Strafen tendenziell funktioniert haben.
Disposition/Smart: Dem entspricht ein wichtiges Element im Gebrauch von "er hätte gekonnt". Smart schließt weiter auf "es hätte gekonnt" (z.B. zerbrechen können). Er bringt das in Zusammenhang mit der Unvollständigkeit von Informationen im Hinblick auf kausale Gegebenheiten.
Quine: für Modalitäten begrüße ich diese These. Diese Modalitäten beruhen nicht auf dem Wesen der Welt, sondern darauf, dass wir selbst z.B. durch Unkenntnis, von Einzelheiten absehen.
Es gibt eine von Smart verspottete Konzeption, wonach sich der gegenwärtige Augenblick mit einer Geschwindigkeit von sechzig Sekunden pro Minute durch die Zeit vorwärtsbewegt.
Ferner gibt es die Vorstellung, Sätze der Zukunft seien bisher weder wahr noch falsch. Sonst bekäme der Fatalismus das Heft in die Hand. Solche Gedanken sind weitverbreitet und konfus und gehen z.T. auf Aristoteles zurück.
Von Donald Williams u.a. sind sie mit großer Klarheit richtiggestellt worden.
Indem Smart sie noch einmal richtigstellt, kommen charakteristische Einzelheiten hinzu.
II 122
Fesselnder Gegensatz zwischen Wahrscheinlichkeit und Wahrheit. Smart: "wahrscheinlich" ist ein Indikator; wie "ich", "du" "jetzt" "damals" "hier", "dort". Ein Wort, das von der Verwendungssituation abhängt. Denn eine spezifische Tatsachenaussage ist wenn überhaupt, ein für allemal wahr, ob wir es wissen oder nicht, aber sogar dann kann sie je nach Situation mehr oder weniger wahrscheinlich sein. So endet der Modalbegriff der Wahrscheinlichkeit schließlich in subjektivem Dahingestelltsein, wie die Modalitäten. Quine: Smart ist ein rechtschaffener Autor. Smart bewältigt alle moralischen Dilemmata; der Materialist packt den Stier bei den Hörnern und erringt mühelos den Sieg gegen die Moralisten!

Quine I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Quine II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Quine III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Quine V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Quine VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Quine VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Quine VII (a)
W. V. A. Quine
On what there is
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (b)
W. V. A. Quine
Two dogmas of empiricism
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (c)
W. V. A. Quine
The problem of meaning in linguistics
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (d)
W. V. A. Quine
Identity, ostension and hypostasis
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (e)
W. V. A. Quine
New foundations for mathematical logic
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (f)
W. V. A. Quine
Logic and the reification of universals
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (g)
W. V. A. Quine
Notes on the theory of reference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (h)
W. V. A. Quine
Reference and modality
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (i)
W. V. A. Quine
Meaning and existential inference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982

Quine IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Quine X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Quine XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003

Quine XIII
Willard Van Orman Quine
Quiddities Cambridge/London 1987
Beweis Gödel Barcan Vs Tarski, A. Quine X 124
substitutionaleQuantifikation/sQ/Wahrheitsbedingungen//WB/Barcan-MarcusVsTarski/Quine: die WB für die Quantifikation, wo Namen für die Variablen eingesetzt werden ((s) WB: also dass Namen vorhanden sind) wurden von Ruth Barcan befürwortet. Sie stehen in interessantem Gegensatz zu Tarskis WB. (5) (s.o. X 67) (5) Für alle x, y und i: x erfüllt die Existenzquantifikation von y, bei der var(i) quantifiziert ist, gdw. y von einem n Tupel x’ erfüllt wird, für das gilt: xj = x’j für alle j ungleich i.
Die neuen WB haben aber auch die in der Mitte von Kapitel 3 aufgezeigte Zirkularität an sich: die E Qu. ist wahr, wenn mindestens einer ihrer Fälle wahr ist ((s) „wahr“ kommt zweimal vor).
alt: der große Unterschied ist, dass (5) nur von den Werten von Variablen spricht und keine Namen gebraucht.
((s) Analogie zum Konstruktivismus: der Beweisweg muss bekannt sein, wie hier die Gegenstände, was durch Vergabe von Namen bewiesen werden soll).
(5): Ist viel komplizierter als die neue Form (sQ).
sQ: bis hierher haben wir noch keine Abweichung, nur verschiedene Beschreibungen derselben Quantifikation, solange alle Gegenstände einen Namen haben.
Problem: in einer nicht allzu beschränkten Welt gibt es nie genug Namen für alle Gegenstände, niemals so viele Namen, wie es Gegenstände gibt. Selbst wenn es unendlich viele Namen gibt.
Bsp Wenn eine Menge nicht durch einen offenen Satz bestimmt wird, hat sie auch keinen Namen: sonst , wenn der Name z.B. „a“ ist, heißt der entsprechende offene Satz „x ε a“.
X 125
Bsp für die irrationalen Zahlen können wir nicht lauter verschiedene Namen haben, weil wir sie nicht den ganzen Zahlen zuordnen können. Z.B. können wir kein Gödelnummern für jede Irrationalzahl bilden.

Quine I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Quine II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Quine III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Quine V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Quine VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Quine VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Quine VII (a)
W. V. A. Quine
On what there is
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (b)
W. V. A. Quine
Two dogmas of empiricism
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (c)
W. V. A. Quine
The problem of meaning in linguistics
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (d)
W. V. A. Quine
Identity, ostension and hypostasis
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (e)
W. V. A. Quine
New foundations for mathematical logic
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (f)
W. V. A. Quine
Logic and the reification of universals
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (g)
W. V. A. Quine
Notes on the theory of reference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (h)
W. V. A. Quine
Reference and modality
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (i)
W. V. A. Quine
Meaning and existential inference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982

Quine IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Quine X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Quine XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003

Quine XIII
Willard Van Orman Quine
Quiddities Cambridge/London 1987
Beweis Gödel Gödel Vs Typentheorie Russell I XXV
Typentheorie/Gödel: in der realistischen (intensionalen) Interpretation: zusätzliche Annahme: "Wann immer ein Objekt x ein anderes Objekt y in einer sinnvollen Proposition ersetzen kann, kann es dies in jeder sinnvollen Proposition". Das hat zur Konsequenz, dass die Objekte in einander ausschließende Bedeutungsbereiche eingeteilt werden.
GödelVsRussell: suspekt, dass seine Annahme selbst seine Formulierung als sinnvolles Prinzip unmöglich macht: weil x und y dann auf definite Bedeutungsbereiche eingegrenzt werden müssen, die entweder dieselben sind, oder verschieden und in beiden Fällen drückt die Feststellung nicht das Prinzip oder auch nur einen Teil von ihm aus.
Andere Konsequenz: die Tatsache, dass ein Objekt x von einem gegebenen Typ ist (oder nicht ) kann ebenfalls nicht durch eine sinnvolle Proposition ausgedrückt werden.
I XXVI
Eine Lösung ist nicht unmöglich. Es könnte sich herausstellen, dass jedes Konzept überall bedeutsam ist, außer für gewisse "singuläre Punkte" oder "Grenzpunkte" so dass die Paradoxien als etwas wie die "Teilung durch Null" erschienen.
I XXVI
Axiome/Russell/Gödel: Frage: sind sie analytisch (wie von Russell hier behauptet?). Analytizität/Gödel: kann zweierlei heißen: 1. rein formal, eliminierbar. In diesem Sinne ist sogar die Theorie der ganzen Zahlen nichtanalytisch, vorausgesetzt, man verlangt, die Eliminierung in einer endlichen Zahl von Schritten auszuführen. ((s) Sonst z.B. für jede Zahl einzeln).
Aber das Ganze der Mathematik als angewandt auf Sätze von unendlicher Länge muss vorausgesetzt werden, um diese Analytizität zu Beweisen, z.B. kann von dem Auswahlaxiom nur bewiesen werden, dass es analytisch ist, wenn angenommen wird, dass es wahr ist!.
I XXXIV
Analytizität im 2. Sinne: "Aufgrund des Sinnes der in ihr vorkommenden Begriffe". Dabei ist dieser "Sinn" vielleicht undefinierbar (d.h. irreduzibel auf etwas Grundlegenderes). Bsp Wenn man "Klasse" und "" definierte als "die Konzepte (Begriffe) welche den Axiomen genügen" wäre man nicht imstande, ihre Existenz zu beweisen. "Konzept " könnte man vielleicht in Termini von "Proposition" definieren, aber dann werden gewisse Axiome über Propositionen nötig, die sich nur unter Bezug auf den undefinierten Sinn dieses Terms rechtfertigen lassen.
Diese Sicht von Analytizität macht es wiederum möglich, dass vielleicht jede mathematische Proposition auf einen Spezialfall von a = a reduziert werden könnte.
I XXVII
Russell: ging den Weg, sowohl Klassen als auch Konzepte (mit Ausnahme der logisch uninteressanten Grundprädikate) als nichtexistent anzusehen und sie durch unsere eigenen Konstruktionen zu ersetzen. Russell/Gödel/(s): konstruktivistisch.
Reduzibilitätsaxiom: ist im Fall von unendlich vielen Individuen Beweisbar falsch, außer man nimmt die Existenz von Klassen oder unendlich vielen "qualitates occultae" an.
Die tatsächliche Entwicklung der mathematischen Logik ist den Weg der Existenz von Klassen und Begriffen gegangen, und Russell war später selbst genötigt, diesen Weg zu gehen.

Göd II
Kurt Gödel
Collected Works: Volume II: Publications 1938-1974 Oxford 1990

Der gesuchte Begriff oder Autor findet sich in folgenden Thesen von Autoren des zentralen Fachgebiets.
Begriff/
Autor/Ismus
Autor
Eintrag
Literatur
Wahrnehmung Gödel, K. Dennett I 600
Gödel: gewisse Wahrheiten kann man "sehen" aber nie beweisen ï·"ï·" Gödel These daher kann der Geist Dinge tun, die keine Maschine kann

Dennett I
D. Dennett
Darwins gefährliches Erbe Hamburg 1997

Dennett II
D. Dennett
Spielarten des Geistes Gütersloh 1999

Dennett III
Daniel Dennett
"COG: Steps towards consciousness in robots"
In
Bewusstein, Thomas Metzinger Paderborn/München/Wien/Zürich 1996

Dennett IV
Daniel Dennett
"Animal Consciousness. What Matters and Why?", in: D. C. Dennett, Brainchildren. Essays on Designing Minds, Cambridge/MA 1998, pp. 337-350
In
Der Geist der Tiere, D Perler/M. Wild Frankfurt/M. 2005