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| Begriff/ Autor/Ismus |
Autor Vs Autor |
Eintrag |
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| Schemata Logik | Verschiedene Vs Field, H. | Field I 51 Unendlichkeit/Physik/Essay 4: selbst ohne "Teil von" Relation brauchen wir nicht wirklich den Endlichkeits Operator für Physik. VsField: viele haben mir vorgeworfen, daß ich jede Extension der Logik 1. Stufe brauche. Aber das ist nicht der Fall. I 52 Ich nehme eher an, daß das Nominalisierungsprogramm (nominalization) noch nicht weit genug vorangetrieben worden ist, um sagen zu können, was die beste logische Basis ist. Letztlich werden wir nur wenige natürliche Mittel wählen, die über die Logik 1. Stufe hinausgehen, Möglichst solche, die der Platonist auch brauchen würde. Aber das können wir nur durch Ausprobieren erfahren. I 73 Unverzichtbarkeits Argument/Logik/VsField: wenn mE in der Wissenschaft verzichtbar sein mögen, so sind sie es doch nicht in der Logik! Und Logik brauchen wir in der Wissenschaft. logische Folgebeziehung/Konsequenz/Field: wird normalerweise in Begriffen der Modelltheorie definiert: (Modelle sind mE, semantisch: ein Modell ist wahr oder nicht wahr. Auch wenn man sie beweistheoretisch formuliert ("es gibt eine Ableitung", syntaktisch, bzw. beweisbar in einem System) braucht man mE bzw. abstrakte Objekte: willkürliche Zeichen Sequenzen von Symbol Tokens und deren willkürliche Sequenzen. I 77 VsField: manche haben eingewendet, daß nur wenn wir eine Tarski Theorie der Wahrheit akzeptieren, wir mE in der Mathematik brauchen. FieldVsVs: das führte zum Mißverständnis, daß Mathematik ohne Tarskische Wahrheit keine epistemischen Probleme hätte. Mathematik/Field: impliziert in der Tat selbst mE, (bloß, wir brauchen nicht immer Mathematik) und zwar ohne Hilfe des Wahrheitsbegriffs, z.B. daß es Primzahlen > 1000 gibt. I 138 Logik der Teil-von-Relation/Field: hat kein vollständiges Beweisverfahren. VsField: wie können semantische Folgebeziehungen daraus dann von Nutzen sein? Field: sicher, die Mittel, mit denen wir wissen können, daß etwas aus etwas anderem folgt, sind in einem Beweisverfahren kodifizierbar, und das scheint zu implizieren, daß kein Appell an irgend etwas Stärkeres als einen Beweis von praktischem Nutzen sein kann. FieldVsVs: aber man braucht gar keinen epistemischen Zugang zu mehr als einem abzählbaren Teil davon anzunehmen. I 182 Feldtheorie/FT/Relationalismus/Substantivalismus/einige AutorenVsField: begründen die Relevanz von Feldtheorien für den Streit zwischen S/R gerade umgekehrt: für sie machen FT es leicht, eine relationalistische Sicht zu begründen: (Putnam, 1981, Malament 1982): sie postulieren als Feld ein einziges riesiges (wegen der Unbegrenztheit physikalischer Kräfte) und einen korrespondierenden Teil davon für jede Region. Variante: das Feld existiert nicht an allen Orten! Aber alle Punkte im Feld sind nicht null. FieldVsPutnam: ich glaube nicht, daß man auf Regionen verzichten kann. Field II 351 Unbestimmtheit/Unentscheidbarkeit/Mengenlehre/ML/Zahlentheorie/ZT/Field: These: nicht nur in der ML auch in der ZT haben viele unentscheidbare Sätze keinen bestimmten WW. Viele VsField: 1. Wahrheit und Referenz sind im Grunde disquotational. disquotationale Sicht/Field: wird manchmal so gesehen, als schlösse sie Unbestimmtheit für unsere gegenwärtige Sprache aus. FieldVsVs: das ist nicht so :>Kapitel 10 zeigte das. VsField: selbst wenn es Unbestimmtheit in unserer gegenwärtigen (current) Sprache auch für den Disquotationalismus gibt, sind die Argumente für sie aus dieser Perspektive weniger überzeugend. Bsp die Frage nach der Mächtigkeit des Kontinuums ((s) ist unentscheidbar für uns, die Antwort könnte aber (aus objektivistischer Sicht (FieldVs)) einen bestimmten WW haben. Unbestimmtheit/ML/ZT/Field: in jüngster Zeit haben einige namhafte Philosophen Argumente für eine Unmöglichkeit jeglicher Unbestimmtheit in ML und ZT hervorgebracht, die mit dem Disquotationalismus nichts zu tun haben: Zwei Varianten: 1. Angenommen, ML und ZT sind in voller Logik 2. Stufe (d.h. Logik 2. Stufe, die modelltheoretisch verstanden wird, mit der Forderung, daß jede legitime Interpretation Def „voll“ ist in dem Sinne, daß die Quantoren 2. Stufe über alle Teilmengen des Bereichs der Quantoren 1 Stufe gehen. 2. Angenommen, ZT und ML seien in einer Variante der vollen Logik 2. Stufe formuliert, die wir „volle schematische Logik 1. Stufe“ nennen könnten. II 354 volle schematische Logik 1. Stufe/LavineVsField: bestreitet, daß sie eine Teiltheorie der (nichtschematischen!) Logik 2. Stufe ist. Field: wir vergessen jetzt lieber die Logik 2. Stufe zugunsten der vollen schematischen Theorien. Dabei bleiben wir ei der ZT um Komplikationen zu vermeiden. Wir nehmen an, daß die Bestimmtheit der ZT nicht in Frage steht, außer was den Gebrauch von vollen Schemata anbetrifft. |
Field I H. Field Realism, Mathematics and Modality Oxford New York 1989 Field II H. Field Truth and the Absence of Fact Oxford New York 2001 Field III H. Field Science without numbers Princeton New Jersey 1980 Field IV Hartry Field "Realism and Relativism", The Journal of Philosophy, 76 (1982), pp. 553-67 In Theories of Truth, Paul Horwich Aldershot 1994 |
| Schemata Logik | Frege Vs Hilbert | Berka I 294 Widerspruchsfreiheit/WSF/Geometrie/Hilbert: Nachweis durch analoge Beziehungen zwischen Zahlen Begriffe: wenn Merkmale sich widersprechen, existiert der Begriff nicht.(1) - FregeVsHilbert: es fällt bloß nichts darunter. Reelle Zahlen/Hilbert: hier ist der Widerspruchsfreiheitsbeweis für die Axiome zugleich der Existenzbeweis des Kontinuums. 1. D. Hilbert, „Mathematische Probleme“ in: Ders. Gesammelte Abhandlungen (1935) Bd. III S. 290-329 (gekürzter Nachdruck v. S 299-301) Thiel I 279 Hilbert: hatte 1899 in seinen Grundlagen der Geometrie Termini wie Punkt, Gerade, Ebene,"zwischen" usw. verwendet, aber deren Sinn auf bis dahin ungewohnte Weise verstanden. Sie sollte nämlich nicht nur die Herleitung der üblichen Sätze ermöglichen, sondern in ihrer Gesamtheit überhaupt erst die Bedeutung der in ihnen verwendeten Termini festlegen! Thiel I 280 Später nannte man dies :"Definition durch Postulate", "implizite Definition" >Definition. Die Benennungen Punkt, Gerade usw. sollten allenfalls eine bequeme Hilfe für die mathematische Anschauung sein. FregeVsHilbert: stellt im Briefwechsel klar, dass dessen Axiome nicht Aussagen sondern Aussageformen seine. >Aussageform. Er bestritt, dass durch deren Zusammenwirken den in ihnen auftretenden Begriffen eine Bedeutung verliehen werde. Definiert werde vielmehr ein (in Freges Terminologie) "Begriff zweiter Stufe", heute würde man auch sagen eine "Struktur". HilbertVsFrege: die Pointe des Hilbertschen Vorgehens ist gerade, dass die Bedeutung von "Punkt", "Gerade" usw offen gelassen wird. Frege und Hilbert hätten sich darauf durchaus einigen können, taten es aber nicht. Frege: Axiom sollte im klass. Sinne einfache, im Sinn völlig klare Aussage am Anfang eines Systems sein. Hilbert: Aussageformen, die zusammengefasst eine Disziplin definieren. Daraus hat sich die "schlampige" Redeweise entwickelt Bsp "Gerade" in der Kugelgeometrie sei eben ein Großkreis. Thiel I 343 Formalismus: 1. "älterer" Formalismus: zweite Hälfte 19, Jahrh. Schöpfer Hankel, Heine, Thomae, Stolz. "formale Arithmetik,", "formale Algebra". "Gegenstand der Arithmetik seien die Zeichen auf dem Papier selbst, so dass die Existenz dieser Zahlen nicht in Frage steht" (naiv). Def "Permanenzprinzip": es war üblich geworden, für hinzukommende Zahlen neue Zeichen einzuführen und dann zu postulieren, dass die von den Zahlen des Ausgangsbereichs geltenden Regeln auch für den erweiterten Bereich gültig sein sollten. Vs: das müsste solange als illegitim gelten, als die Widerspruchsfreiheit nicht gezeigt sei. Sonst könnte man eine neue Zahl einführen, und Bsp § + 1 = 2 und § + 2 = 1 einfach postulieren. Dieser Widerspruch würde zeigen dass es die "neuen Zahlen" in Wahrheit gar nicht gibt. Das erklärt die Formulierung von Heine, dass die "Existenz gar nicht in Frage steht". (>"tonk"). Thiel I 343/344 Etwas differenzierter behandelte Thomae das Problem als "Spielregeln". FregeVsThomae: dieser habe nicht einmal die Grundbestimmungen seines Spiels, nämlich die Entsprechungen zu den Regeln, Figuren, und Stellungen präzise angegeben. Diese Kritik Freges war schon ein Vorläufer der Hilbertschen Beweistheorie, in der ja ebenfalls bloße Zeichenreihen unter Absehung von ihren etwaigen Inhalt auf ihre Erzeugung und Umformung nach gegebenen Regeln betrachtet werden. Thiel I 345 HilbertVsVs: Kritiker Hilberts übersehen oft, dass zumindest für Hilbert selbst, der "finite Kern" durchaus inhaltlich gedeutet bleiben sollte und nur die "idealen" nicht finit deutbaren Teile keinen unmittelbar aufweibaren Inhalt haben. Diese Pointe ist methodischer, nicht philosophischer Art. Für Hilberts Programm ist auch "Formalismus" der am häufigsten gebrauchte Ausdruck. Darüber hinaus geht die Auffassung des Formalismus in einem dritten Sinn: nämlich die Auffassung der Mathematik und Logik als ein System von HandlungsSchemata für den Umgang mit von jedem Inhalt freien Figuren. HilbertVsFrege und Dedekind: die Gegenstände der Zahlentheorie sind die Zeichen selber. Motto: "Am Anfang war das Zeichen." Thiel I 346 Die Bezeichnung Formalismus stammte nicht von Hilbert oder seiner Schule. Brouwer hatte die Gegensätze zwischen seinem Intuitionismus und dem Formalismus der Hilbertschule zu einer Grundsatzentscheidung hochstilisiert. |
F I G. Frege Die Grundlagen der Arithmetik Stuttgart 1987 F II G. Frege Funktion, Begriff, Bedeutung Göttingen 1994 F IV G. Frege Logische Untersuchungen Göttingen 1993 Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 T I Chr. Thiel Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995 |
| Schemata Logik | Field Vs McGee, V. | II 351 Zahlentheorie 2. Stufe/Logik 2 Stufe/Theorie 2. Stufe/ZT/Field: These (i). volle ZT 2. Stufe ist – anders als ZT 1. Stufe – kategorisch. d.h. hat nur eine Interpretation bis zum Isomorphismus (one interpretation up to isomorphism), II 352 In der die ZT als wahr herauskommt. Def kategorische Theorie/Field: hat nur eine Interpretation bis zum Isomorphismus, in der sie als wahr herauskommt. Bsp Zahlentheorie 2. Stufe. (ii). These dass dies zeigt, dass es keine Unbestimmtheit für sie geben kann. Mengenlehre/ML: hier ist es etwas komplizierter: volle ML 2. Stufe ist nicht ganz kategorisch (wenn es unerreichbare Kardinalzahlen gibt) sondern nur quasi-kategorisch. D.h. für alle Interpretationen, in der sie wahr ist, sind diese entweder isomorph oder isomorph zu einem Fragment der anderen, die durch Beschränkung auf eine weniger unerreichbare Kardinalzahl erhalten wurde. Pointe: selbst die quasi-kategorische Theorie 2. Stufe ist noch hinreichend, den meisten Fragen über die Mächtigkeit des Kontinuums (MdK) denselben Wahrheitswert (WW) in allen Interpretationen zu geben, so dass die Annahmen einer Unbestimmtheit in ML fast beseitigt ist. McGee: (1997) zeigt, dass wir volle ML 2. Stufe durch Hinzufügung eines Axioms erhalten können. Dieses Axiom beschränkt sie auf Interpretationen, in denen Quantoren 1. Stufe über absolut alles gehen. Dann erhalten wir volle Kategorizität. Problem: das geht nicht, wenn die Quantoren 2. Stufe über alle Teilmengen des Bereichs der Quantoren 1. Stufe gehen. (Paradoxien) Aber bei McGee (wie bei Boolos 1984) gehen die Quantoren 2. Stufe nicht buchstäblich über Klassen als spezielle Entitäten, sondern als „plurale Quantoren“. (>plurale Quantifikation). Unbestimmtheit/Logik 2. Stufe/FieldVsMcGee: (s.io- Kapitel I): Vs den Versuch, der Unbestimmtheit durch Logik 2. Stufe zu entrinnen: es ist fraglich, ob das Unbestimmtheits-Argument auf die Bestimmtheit der Logik 2. Stufe überhaupt anwendbar ist, wie er auf den Begriff der Menge anwendbar ist. Wenn man sagt, dass Sätze über die MdK keinen bestimmten WW haben, führt das zu einem Argument, dass der Begriff „alle Teilmengen“ unbestimmt ist, und daher, dass es unbestimmt ist, was als „volle“ Interpretation zählt. plurale Quantifikation: auch sie kann unbestimmt sein: Frage: über welche Vielheiten sollen plurale Quantoren gehen? „Volle“ Interpretation: ist dennoch (obwohl sie relativ auf einen Begriff der „Fülle“ ist) quasi-eindeutig. Aber das mindert nicht die Unbestimmtheit. McGeeVsField: (1997): dieser behauptet, dass diese Kritik darauf beruht, dass Logik 2. Stufe nicht als richtiger Teil der Logik, sondern als Mengenlehre in Verkleidung angesehen werde. FieldVsMcGee: das ist falsch: ob Logik 2. Stufe Teil der Logik ist, ist eine terminologische Frage. Selbst wenn sie ein Teil der Logik ist, könnten die Quantoren 2. Stufe unbestimmt sein, und das unterminiert, dass Kategorizität 2. Stufe Bestimmtheit impliziert. „absolut alles“/Quantifikation/FieldVsMcGee: dass man sich nur für solche Modelle interessiere, in denen die Quantoren 1. Stufe über absolut alles gehen, schafft es nur dann, die Unbestimmtheit der Quantifikation 1. Stufe zu beseitigen, wenn der Gebrauch von „absolut alles“ determiniert (bestimmt) ist! Pointe: diese Forderung funktioniert nur, wenn sie überflüssig ist: d.h. nur, wenn Quantifikation über absolut alles ohne diese Forderung möglich ist! Allquantifikation/(s): „über alles“: unbestimmt, weil kein Prädikat angegeben, (wie sonst Bsp (x)Fx). „Alles“ ist kein Prädikat. Inflationismus/Field: der Vertreter inflationistischer Semantik muß erklären wie es kommt, dass Merkmale unserer Praxis (Gebrauch) bestimmen, dass unsere Quantoren über absolut alles gehen. II 353 McGee: (2000) versucht eben dies: (*) wir müssen die Hypothese ausschließen, dass die anscheinend unbeschränkten Quantoren einer Person nur über Entitäten vom Typ F gehen, wenn die Person einen Begriff von F hat. (s) d.h. man sollte auch über etwas Unbestimmtes oder Unbekanntes quantifizieren können. Field: McGee sagt, dass dies die normalen Versuche ausschließt, die Unbestimmtheit der Allquantifikation zu zeigen. FieldVsMcGee: das gelingt nicht. Bsp angenommen, wir gehen davon aus, dass unsere eigenen Quantoren bestimmt über alles laufen. Dann scheint es natürlich anzunehmen, dass die Quantoren einer anderen Person von denselben Regeln regiert werden und also auch bestimmt über alles laufen. Dann könnten sie nur dann einen beschränkteren Bereich haben, wenn die Person einen eingeschränkteren Begriff hat. FieldVs: die eigentliche Frage ist, ob die Quantoren überhaupt einen bestimmten Bereich haben, auch unsere eigenen! Und wenn ja, wie kommt es, dass unser Gebrauch (Praktiken) diesen Bereich festlegen?. Es ist nicht einmal klar in diesem Kontext, was es heißt, den Begriff eines eingeschränkten Bereichs zu haben! Denn wenn Allquantifikation unbestimmt ist, dann sicher auch die Begriffe, die für eine Einschränkung des Bereichs gebraucht werden. Bereich/Quantifikation/Field: für jeden Kandidaten X für den Bereich unbeschränkter Quantoren, haben wir automatisch einen Begriff der wenigstens ein Kandidat für das Herausgreifen der Objekte in X ist: nämlich den Begriff der Selbstidentität! ((s) Also Allquantifikation. Alles ist mit sich selbst identisch). FieldVMcGee: wenn auch (*) sogar akzeptabel ist in dem Fall wo unsere eigenen Quantoren unbestimmt sein können, hat es hier keine Zähne. Field VS Bedeutungswandel od. Vs Induktion!!! II 355 schematische Arithmetik 1. Stufe/McGee: (1997, S. 57): scheint zu behaupten, dass sie viel stärker ist, als normale Arithmetik 1. Stufe. G. sei ein Gödel-Satz PA: „primitive Arithmetik“. Basierend auf den normalen Grundbegriffen. McGee: scheint zu behaupten, dass G in schematischer PA beweisbar ist ((s) also nicht wahr ist). Wir müßten nur das W-Prädikat hinzufügen und Induktionen darüber anwenden. FieldVsMcGee: das ist falsch. Wir erhalten stärkere Ergebnisse, wenn wir außerdem eine bestimmte kompositionale W-Theorie hinzufügen (Das sagt McGee auch am Schluß). Problem: das geht über schematische Arithmetik hinaus. McGee: sein Ansatz ist aber mehr modelltheoretisch: d.h. schematische ZT 1. Stufe fixiert die Extensionen der zahlentheoretischen Begriffe eindeutig. Def Unbestimmtheit: „Nicht-Standard-Modelle habend“. McGee: Angenommen, unsere arithmetische Sprache ist unbestimmt, d.h. sie läßt unintendierte Modelle zu. Aber es gibt eine mögliche Erweiterung (Ausdehnung) der Sprache mit einem neuen Prädikat „Standard-natürliche Zahl“. Lösung: Induktion über diesem neuen Prädikat wird die Nicht-Standard-Modelle ausschließen. FieldVsMcGee: ich glaube, dass das eine Mogelei ist (obwohl einige anerkannte Logiker es vertreten). Angenommen, wir haben hier nur Peano-Arithmetik, mit Schema/Field: hier: verstanden als nur in der aktualen (current) Sprache Instanzen habend. Angenommen, wir haben es nicht geschafft, eine einheitliche Struktur („up to“) bis zu einem Isomorphismus herauszugreifen. (Field: diese Annahme ist falsch). FieldVsMcGee: wenn das der Fall ist, dann wird das bloße Hinzufügen von neuem Vokabular nicht helfen, und zusätzlich neue Axiome für das neue Vokabular würden nicht besser helfen, als wenn man die neuen Axiome einfach ohne das neue Vokabular einführt! Insbesondere für Bsp „Standard-natürliche Zahl“. Schema/FieldVsMcGee: wie kann seine reiche Sichtweise von Schemata helfen, Bestimmtheit zu sichern? Sie erlaubt nur, eine neue Instanz der Induktion hinzuzufügen, wenn ich neues Vokabular einführe. Für McGee scheint der benötigte relevante Begriff gar nicht „Standard-natürliche-Zahl“ zu sein, und wir haben schon gesehen, dass dieser nicht hilft. Prädikat/Bestimmtheit/Unbestimmtheit/Field: sicher, wenn ich ein neues Prädikat mit einer gewissen „magischen“ Fähigkeit, seine Extension zu bestimmen, hätte, II 356 dann hätten wir echte natürliche Zahlen herausgegriffen. Das ist aber ein Tautologie und hat nichts zu tun damit, ob ich das Induktionsschema auf dieses magische Prädikat ausdehne. FieldVsMystik/VsMystizismus/Magie: Problem: wenn man denkt, dass man in der Zukunft vielleicht ein magisches Hilfsmittel zur Verfügung hat, dann könnte man auch denken, dass man es schon jetzt hat und dieses würde wiederum nicht von der schematischer Induktion abhängen. Dann ist die einzige mögliche Relevanz der Induktion nach dem Schema, zu erlauben, die postulierten zukünftigen magischen Fähigkeiten auf die Gegenwart zu übertragen. Und zukünftige Magie ist nicht weniger mysteriös als gegenwärtige. FieldVsMcGee: es ist Mogelei, die Erweiterung der Sprache in Begriffen ihrer Extensionen zu beschreiben. Die Mogelei besteht darin anzunehmen, dass die neuen Prädikate in der Erweiterung bestimmte Extensionen haben. Und die haben sie nicht, wenn der Indeterminist Recht hat in Bezug auf die ZT (Field: ich glaube zwar nicht, dass der Indeterminismus recht hat in Bezug auf die ZT; aber wir nehmen das hier an). Erweiterung/Ausdehnung/Sprache/Theorie/FieldVsMcGee: 2.Vs: dieser denkt, dass die benötigten neuen Prädikate solche sein könnten, für die es psychologische unmöglich ist, sie überhaupt hinzuzufügen, wegen ihrer Komplexität. Dennoch würden unsere Sprachregeln ihr Hinzufügen nicht verbieten. FieldVsMcGee: kann es in dem Fall wirklich bestimmt sein, dass die Sprachregeln uns etwas erlauben, was psychologisch unmöglich ist? Das scheint eher ein besonders gutes Beispiel für Unbestimmtheit zu sein. FieldVsMcGee: das wichtigste ist aber, dass wir nicht einfach neue Prädikate mit bestimmten Extensionen hinzufügen. |
Field I H. Field Realism, Mathematics and Modality Oxford New York 1989 Field II H. Field Truth and the Absence of Fact Oxford New York 2001 Field III H. Field Science without numbers Princeton New Jersey 1980 Field IV Hartry Field "Realism and Relativism", The Journal of Philosophy, 76 (1982), pp. 553-67 In Theories of Truth, Paul Horwich Aldershot 1994 |
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