Lexikon der Argumente


Philosophische Themen und wissenschaftliche Debatten
 
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Der gesuchte Begriff oder Autor findet sich in folgenden 8 Einträgen:
Begriff/
Autor/Ismus
Autor
Autor
Eintrag
Eintrag
Literatur
Literatur
Attribute Quine VII (d) 75f
Attribut/Quine: das Attribut kann schließlich vielleicht in einem zweiten Schritt eingeführt werden. Bsp ist "Quadratischkeit" nach geometrischer Definition. Dann verlangt der Name aber auch Ersetzbarkeit, also eine abstrakte Entität. >Universalien/Quine.
X 7ff
Attribut/Quine: Attribute entsprechen Eigenschaften, Prädikate sind nicht gleich Attribute. >Eigenschaften/Quine; >Prädikate/Quine.
IX 178ff
Attribut/(s): Attribut entspricht der Menge der x, für die eine bestimmte Bedingung gilt: {x: x ε a} alle Gegenstände, die sterblich sind. Prädikat: "x ist sterblich", ist keine Menge, sondern eine Aussagenfunktion. Die Bezeichnungsformen "φx", "φ(x,y)" bezeichnen die Attribution.
XII 38
Attributäre Einstellung/Quine: Bsp sind Jagen, Benötigen, Fangen, Befürchten, Vermissen. Pointe: Bsp Löwen-Jagen: braucht keine Löwen als Individuen, sondern als Art. - > Einführung von Eigenschaften.
IX 177
Attribute/Ontologie/Russell: Für Russell bestand das Universum aus Individuen, aus Attributen und Relationen von ihnen, aus Attributen und Relationen solcher Attribute und Relationen usw.
IX 178f
Extensionalität/Quine: Extensionalität ist dasjenige, was Attribute und Klassen unterscheidet. >Extensionalität/Quine. Daher hat Russell hier auch mehr mit Attributen als mit Klassen zu tun.
Zwei Attribute können nämlich von verschiedener Ordnung und somit sicherlich unterschiedlich sein, und trotzdem sind die Dinge, die jeweils das eine oder andere Attribut haben, dieselben.
Bsp das Attribut "φ(φ^x <> φy), wobei "φ" die Ordnung 1 hat, ein Attribut einzig und allein von y ist.
Bsp das Attribut ∀χ(χ^x <> χy), wobei "χ" die Ordnung 2 hat, wieder ein Attribut einzig und allein von y ist. Doch das eine Attribut hat die Ordnung 2, das andere die Ordnung 3.
(> Klassen; >Mengen; >Eigenschaften).

XIII 22
Klasse/Mengen/Eigenschaft/Quine: was immer man über ein Ding sagt, scheint diesem eine Eigenschaft zuzuschreiben. Eigenschaft/Attribut/Tradition/Quine: früher sagte man, ein Attribut wird nur dann eine Eigenschaft genannt, wenn es speziell von diesem Ding gilt. (Eine Besonderheit dieses Gegenstands ist).
Neu: heute sind diese beiden Ausdrücke (Attribut, Eigenschaft) austauschbar geworden.
„Attribut“/Quine: "Attribut" gebrauche ich nicht. Stattdessen wird „Eigenschaft“ verwendet.
Identität/Gleichheit/Differenz/Unterschied/Eigenschaften/Quine: wenn es einen Sinn hat von Eigenschaften zu sprechen, dann hat es auch Sinn, von ihrer Gleichheit bzw. Verschiedenheit zu sprechen.
Problem: solch einen Sinn hat es aber nicht! Problem: wenn alles, das die eine Eigenschaft hat, auch die andere hat. Sollen wir sagen, dass es einfach dieselbe Eigenschaft ist? Gut und schön. Aber die Leute reden nicht so. Bsp ein Herz haben/Nieren haben: ist nicht dasselbe, auch wenn es auf dieselben Lebewesen zutrifft. >Identität/Quine.
Koextensivität/Quine: Koextensivität zweier Eigenschaften ist nicht hinreichend für ihre Identität. >Koextension/Quine.
Identität/Eigenschaften/mögliche Lösung: die notwendige Koextensivität?
Vs: Notwendigkeit ist ein zu unklarer Begriff.
Eigenschaften/Quine: wir kommen nur deshalb so gut mit dem Begriff Eigenschaft klar, weil Identität nicht so wichtig für ihre Identifizierung oder Unterscheidung ist.
XIII 23
Lösung/Quine: wir sprechen von Klassen statt von Eigenschaften, dann haben wir auch das Problem Bsp Lebewesen mit Herz = Lebewesen mit Nieren gelöst. Klassen/Quine: Klassen werden durch ihre Elemente festgelegt. Das sagt man so, aber unklugerweise, weil das Missverständnis aufkommen könnte, dass die Elemente die Klassen verursachen, und zwar auf eine andere Weise, als Gegenstände ihre Eigenschaften verursachen.
Def singleton/Singleton/Einerklasse: ist Klasse mit nur einem Element.
Def Klasse/Quine: (im nützlichen Gebrauch des Worts): ist einfach eine Eigenschaft im alltäglichen Sinn, ohne die Unterscheidung koextensiver Fälle.
XIII 24
Klasse/Russell/Quine: es schlug ein wie eine Bombe, als Russell die Platitüde feststellte, dass jede Enthaltenseinsbedingung (Bedingung des Enthaltenseins, Elementbeziehung) eine Klasse etabliert. (siehe Paradoxien, siehe Imprädikativität). Russellsche Paradoxie/Quine: Russellsche Paradoxie trifft auf Klassen genauso wie auf Eigenschaften zu. Sie erschüttert genauso die Platitüde, dass alles, was über ein Ding gesagt wird, eine Eigenschaft zuschreibt.
Eigenschaften/Klassen/Quine: alle Beschränkungen, die wir Klassen auferlegen, um Paradoxien zu vermeiden, müssen wir auch Eigenschaften auferlegen.
Eigenschaft/Quine: den Begriff der Eigenschaft müssen wir in der Alltagssprache dulden.
Mathematik: hier können wir stattdessen von Klassen reden, weil Koextensivität nicht das Problem ist. (siehe Definition, >Zahlen).
Eigenschaften/Wissenschaft/Quine: in den Wissenschaften sprechen wir nicht von Eigenschaften.

Quine I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Quine II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Quine III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Quine V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Quine VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Quine VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Quine VII (a)
W. V. A. Quine
On what there is
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (b)
W. V. A. Quine
Two dogmas of empiricism
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (c)
W. V. A. Quine
The problem of meaning in linguistics
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (d)
W. V. A. Quine
Identity, ostension and hypostasis
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (e)
W. V. A. Quine
New foundations for mathematical logic
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (f)
W. V. A. Quine
Logic and the reification of universals
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (g)
W. V. A. Quine
Notes on the theory of reference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (h)
W. V. A. Quine
Reference and modality
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (i)
W. V. A. Quine
Meaning and existential inference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982

Quine IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Quine X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Quine XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003

Quine XIII
Willard Van Orman Quine
Quiddities Cambridge/London 1987
Imprädikativität imprädikativität: imprädikativ sind Begriffe, die nur mit den Mitteln der Aussagenmenge, zu denen sie selbst gehören, definiert sind. Probleme treten in Zusammenhang mit möglichen Zirkelschlüssen auf. Zur Vermeidung von Paradoxien wird manchmal die Forderung aufgestellt, imprädikativer Begriffe zu vermeiden. Siehe auch Paradoxien, Russellsche Paradoxie, Poincaré.
Imprädikativität Poincaré Thiel I 324
Imprädikativität/Paradoxien/Poincaré: glaubte damit das entscheidende Kriterium gefunden zu haben: illegitime, "nichtprädikative" Bedingungen sind diejenigen, die einen solchen Zirkel enthalten. (>imprädikativ/Russell). Es schien zunächst ausreichend, von Ausdrücken für die Beziehung zwischen Element und Menge zu fordern, dass in "x ε y" das zweite Relationsglied y einer genau um 1 höheren Stufe angehören müsse als x (einfache >Typentheorie) so führt die Forderung, dass jeder zulässige Ausdruck nicht nur selbst "prädikativ" (d.h. nicht imprädikativ) gebildet sein sollte, sondern auch alle in ihm auftretenden Argumente dieser Bedingung genügen müssen, zu einer ">verzweigten Typentheorie".

T I
Chr. Thiel
Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995
Imprädikativität Quine XIII 93
Imprädikativität/Quine: früher sagte man, dass man eine Klasse spezifiziert hatte, ohne etwas Weiteres von ihr zu wissen, wenn man die Enthaltenseinsbedingung nennen konnte. Russellsche Antinomie: zeigte, dass es hier Ausnahmen geben musste.
Problem: lag darin, eine Klasse durch eine Enthaltenseinsbedingung zu spezifizieren, indem man direkt oder indirekt auf eine Menge von Klassen referierte, die die fragliche Klasse enthielt.
Russellsche Antinomie: hier war die problematische Enthaltenseinsbedingung die Nicht-Selbst-Elementschaft. Bsp x ist kein Element von x.
Paradox: entsteht dadurch, dass man das x der Enthaltenseinsbedingung unter anderem gerade die Klasse sein lässt, die durch diese Enthaltenseinsbedingung definiert wird.
Def imprädikativ/Poincaré/Russell: ist gerade diese Enthaltenseinsbedingung für eine Klasse, die in der Klasse selbst besteht. Dies muss verboten sein, um Paradoxien nicht aufkommen zu lassen.
Zirkelfehlerprinzip/QuineVsRussell: das war allerdings ein zu harscher Begriff:
Spezifikation/Klassen/Mengen/Existenz/Quine: eine Klasse zu spezifizieren heißt nicht, sie zu erschaffen!
XIII 94
Spezifikation/Zirkel/Einführen/QuineVsRussell: indem man etwas spezifiziert ist es nicht falsch auf einen Bereich zu referieren, zu dem dies Ding schon immer gehörte. Bsp Statistische Aussagen über einen typischen Einwohner durch Aussagen über die Gesamte Einwohnerschaft, die ihn enthält. Einführen/Definition/sprachlich/Quine: alles was wir brauchen ist, dass ein ungewohnter Ausdruck mit einem Ausdruck gleichgesetzt wird, der vollständig mit vertrauten Ausdrücke gebildet wird.
Russellsche Antinomie/Quine: ist noch völlig in Ordnung, so lange die Klasse R durch ihre Enthaltenseinsbedingung definiert wird: „Klasse aller Objekte x, so dass x nicht ein Element von x ist“.
Paradox/Lösung/Russell/Quine: eine Lösung: vertraute Ausdrücke so zu entstellen, dass sie nicht mehr vertraut sind, um eine Paradoxie zu vermeiden. Das war Russells Lösung. Letztlich „x ist ein Element von x“ („enthält sich selbst“) aus der Sprache zu verbannen.
Lösung/Zermelo/Quine: besser: die Sprache so lassen, wie sie ist, aber
neu: für Klassen soll gelten, dass nicht jede Enthaltenseinsbedingung eine Klasse festlegt. Bsp die Klasse „R“ bleibt dann wohldefiniert, aber „Pegasus“ hat kein Objekt. D.h. es gibt keine (wohldefinierte) Klasse wie R.
Zirkel/George Homans/Quine: echte Zirkularität: Bsp ein finaler Club ist einer, in den man nur gewählt werden kann, wenn man nicht in andere finale Klubs gewählt wurde.
Quine: wenn das die Definition eines unvertrauten Ausdrucks ist, dann insbesondere die des letzten Vorkommnisses von „finaler Klub“.
Zirkel/Zirkularität/Quine: Pointe: dennoch ist es verständlich!
imprädikativität/imprädikativ/Russell/Quine: das eigentliche Verdienst war es klarzustellen, dass nicht jede Enthaltenseinsbedingung eine Klasse determiniert.
Formal: brauchen wir eine hierarchische Notation. Ähnlich wie die Hierarchie von W-Prädikaten, die wir bei der Lügner-Paradoxie brauchten.
XIII 95
Variablen: erhalten Indizes: x0,y0: über Individuen, x1,y2 usw. über Klassen, aber Klassen dieser Ebene dürfen nicht selbst durch Variablen dieser Stufe definiert werden. Bsp für die Definition höherstufiger Klassen x2, y2 dürfen nur Variablen vom Typ x0 und x1 gebraucht werden. Typentheorie/Russell/Quine. Pointe: Klassen verschiedener Ebenen können vom selben Typ sein!
Klassen/Mengen/Existenz/Quine: das passt zu der Metapher, dass Klassen nicht existieren, bevor sie bestimmt sind. D.h. sie sind nicht unter den Werten der Variablen, die gebraucht werden, um sie zu spezifizieren. ((s) Und daher ist die Sache nicht zirkulär).
Problem/QuineVsRussell: das ist alles viel strenger als man es braucht, um Paradoxien zu vermeiden und es ist so streng, dass es andere nützliche Konstruktionen verhindert.
Bsp die Vereinigung mehrerer Klassen derselben Ebene, z.B. Ebene 1 zu spezifizieren
Problem: wenn wir schreiben „Fx1“ um auszudrücken, dass x1 eine aus der Vielheit der fraglichen Klassen ist, dann ist die
Enthaltenseinsbedingung: für eine Menge in dieser Vereinigung, etwas ist Element davon gdw. es ein Element einer Klasse x1 ist, so dass Fx1.
Problem: das gebraucht eine Variable der Ebene 1. D.h. dass die Vereinigung von Klassen einer Ebene nicht als zu dieser Ebene gehörig betrachtet werden kann (cannot be counted on to belong to that level).
Kontinuitätshypothese: für ihren Beweis bedeutet dies Schwierigkeiten.
imprädikativität/Kontinuum/Russell/Quine: konsequenterweise ließ er bei der Arbeit am ersten Band von Principia Mathematica die imprädikativität fallen. Sie bleibt aber interessant im Zusammenhang mit dem Konstruktivismus. Es ist interessant zu unterscheiden, was wir mit dieser Einschränkung erreichen können und was nicht.
XIII 96
Prädikative Mengenlehre/QuineVsRussell/Quine: jst nicht nur frei von Paradoxa, sondern auch von unspezifizierbaren Klassen und höheren Unbestimmtheiten, die Segen und Fluch der imprädikativen Theorie ist. (siehe „unendliche Zahlen“, "Klassen" Versus "Mengen“). Prädikative Mengenlehre/Quine: ist heute konstruktive Mengenlehre.
imprädikativ: ist strenggenommen genau so, wie oben dargestellt, aber dabei spielt es heute keine Rolle mehr, welche Enthaltenseinsbedingungen man wählt, um eine Klasse zu spezifizieren.

Quine I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Quine II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Quine III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Quine V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Quine VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Quine VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Quine VII (a)
W. V. A. Quine
On what there is
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (b)
W. V. A. Quine
Two dogmas of empiricism
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (c)
W. V. A. Quine
The problem of meaning in linguistics
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (d)
W. V. A. Quine
Identity, ostension and hypostasis
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (e)
W. V. A. Quine
New foundations for mathematical logic
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (f)
W. V. A. Quine
Logic and the reification of universals
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (g)
W. V. A. Quine
Notes on the theory of reference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (h)
W. V. A. Quine
Reference and modality
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (i)
W. V. A. Quine
Meaning and existential inference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982

Quine IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Quine X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Quine XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003

Quine XIII
Willard Van Orman Quine
Quiddities Cambridge/London 1987
Klassen Quine I 289
Klassenabstraktion zurückgeführt auf sing Kennzeichnungen: (iy)(x)(x aus y genau dann, wenn ..x..) - statt: x^(..x..)- geht nicht für intensionale Abstraktion Unterschied Klassen/Eigenschaften: Klassen identisch mit gleichen Elementen - Eigenschaften noch nicht identisch, wenn sie den gleichen Dingen zukommen.

II 29
Klassen: man könnte alle Klassen in ihr Komplement umdeuten: "kein Element von.." - man würde nie etwas merken! - unterste Schicht: jeder Relativsatz, jeder allgemeine Term bestimmt eine Klasse.
II 100
Russell (PM) Klassen sind Dinge: sie dürfen nicht mit dem Klassenbegriff verwechselt werden - Allerdings: Paradoxa gelten auch für Klassen-Begriffe und Aussagenfunktionen nicht nur für Klassen. Unvollständige Symbole (Erklärung durch Gebrauch) - sollen Klassen wegerklären.

VII (a) 18
Klassen/Quine: vereinfachen unseren Zugang zur Physik. - Sie sind dennoch ein Mythos!
VII (f) 114
Klassen/Quine: keine Ansammlungen oder Kollektionen! Bsp die Klasse der Steine in einem Haufen kann nicht mit dem Haufen identifiziert werden: sonst könnte auch eine andere Klasse mit demselben Haufen identifiziert werden: z.B. die Klasse der Steinmoleküle in dem Haufen - Theorie der Gültigkeit appelliert an Klassen, aber nicht die einzelnen Sätze - Prädikate keine Namen von Klassen, Klassen Extension von Prädikaten - Klassen werden als präexistierend angenommen (s.u.).
IX 21
Klassen/Relationen/Quine: sind reale Objekte wenn Werte von gebundenen Variablen
IX 23
Klasse/Individuen/Quine: alles ist Klasse! wenn wir Individuen als identisch mit ihrer Einerklasse auffassen (d.h. nicht elementlos)
IX 223
Klassen/Quine: Quantifikation über Klassen ermöglicht Begriffe, die sonst außerhalb unserer Reichweite lägen.
XIII 24
Klasse/Menge/Quine: wir Menschen sind geizig und so veranlagt, dass wir niemals zwei Wörter für dieselbe Sache gebrauchen, oder wir verlangen eine Unterscheidung, die dem zugrunde liegen müsste.
XIII 25
Bsp ape/monkey: unterscheiden wir nach Größe, während Franzosen und Deutsche nur ein Wort dafür haben. Problem: wie soll das Wörterbuch (Lexikon) den Unterschied zwischen „Bier, was richtigerweise so genannt wird“ und „Ale, was richtigerweise so genannt wird“ erklären.
Bsp Mengen/Klassen/Quine: hier verhielt es sich ähnlich.
Klasse/Mathematik: einige Mathematiker behandeln Klassen als etwas von gleicher Art wie Eigenschaften (Quine pro, s.o.) Mengen als etwas robusteres, wenn auch immer noch abstraktes.
Klassen: können Mengen als Elemente enthalten, aber nicht andere Klassen. (siehe Imprädikativität).
Paradox/Paradoxien/Quine: führen dazu, dass einige Elementbeziehungen keine Mengen festlegen können. Dennoch können sie immer noch Klassen festlegen!.
von Neumann: legte 1925 ein solches System fest. Es vereinfacht Beweise und stärkt das System, wenn auch auf die Gefahr von Paradoxa hin.
Problem: es erfordert fantasievolle Unterscheidungen und Verdopplungen, Bsp für jede Menge muss es eine koextensive Klasse geben.
Lösung/Quine. (Quine 1940): einfach die Mengen mit den koextensiven Klassen identifizieren.
XIII 26
Def Klassen/Def Mengen/QuineVsNeuman: neu: Mengen sind dann Klassen einer bestimmten Art: Eine Klasse ist eine Menge wenn es ein Element einer Klasse ist. Eine Klasse ist eine Def äußerste Klasse/Quine: wenn sie kein Element von einer Klasse ist.
Russellsche Paradoxie/Quine: einige Autoren haben gedacht, durch die Unterscheidung von Klassen und Mengen hätte sie gezeigt, daß die Russellsche Antinomie eine bloße Verwirrung sei.
Lösung/einige Autoren: Klassen seien selbst keine so substantiellen Objekte, dass sie als Kandidaten für Elemente nach einer Enthaltenseinsbedingung in Frage kämen. Mengen wohl. Aber
Mengen: seien nie als definiert durch Enthaltenseinsbedingungen aufgefasst worden. Und sie seien von Anfang an durch Prinzipien regiert worden, die Zermelo später explizit machte.
QuineVs: das sind ganz verderbliche Annahmen! In Wirklichkeit waren Mengen von Anfang an Klassen, egal wie sie genannt wurden. Vagheit eines Worts war auch Vagheit des anderen Worts.
Mengen/Cantor/Quine: sicher, die ersten Mengen bei Cantor waren Punktmengen, aber das ändert nichts.
QuineVsTradition/Quine: es ist ein Mythos zu behaupten, dass Mengen unabhängig von Klassen ersonnen worden wären, und später dann von Russell mit ihnen verwechselt worden wären. Das ist wieder der Fehler, in einem Unterschied zwischen Wörtern auch einen Unterschied in der Sache zu sehen.
Lösung/Quine: wir brauchen nur Mengen und äußerste Klassen, um die Vorteile von von Neumann genießen zu können.

Quine I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Quine II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Quine III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Quine V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Quine VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Quine VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Quine VII (a)
W. V. A. Quine
On what there is
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (b)
W. V. A. Quine
Two dogmas of empiricism
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (c)
W. V. A. Quine
The problem of meaning in linguistics
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (d)
W. V. A. Quine
Identity, ostension and hypostasis
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (e)
W. V. A. Quine
New foundations for mathematical logic
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (f)
W. V. A. Quine
Logic and the reification of universals
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (g)
W. V. A. Quine
Notes on the theory of reference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (h)
W. V. A. Quine
Reference and modality
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (i)
W. V. A. Quine
Meaning and existential inference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982

Quine IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Quine X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Quine XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003

Quine XIII
Willard Van Orman Quine
Quiddities Cambridge/London 1987
Paradoxien Poincaré Thiel I 322
Russellsche Antinomie/Lösung: ein Versuch, die Russellsche Paradoxie zu vermeiden wäre, statt "alle" immer "alle, welche" zu sagen. Damit fällt nun der Verdacht auf das "alle". Poincaré sah diesen Verdacht bestätigt und behauptete:
Bedingungen wie "~(x ε x) sind ungeeignet, eine Menge zu bestimmen, denn sie verlangen einen circulus vitiosus. Er hatte diese Diagnose nicht anhand der Russellschen Antinomie, sondern der von Jules Richard konstruierten Antinomie gefunden.
I 323
Richardsche Antinomie: Gesamtheit E aller mit endlich vielen Wörtern (aus den Buchstaben eines endlichen Alphabets) definierbaren Dezimalbrüche ..dass auch die Gesamtheit E der Dezimalbrüche abzählbar ist. Dann aber können wir einen neuen Dezimalbruch d durch die Vorschrift definieren: Ist die n te Ziffer des n-ten Dezimalburchs aus E
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
so sei die entsprechende Ziffer von d
1,2,3,4,5,6,7,8,1,1.
Da sich d definitionsgemäß von dem n-ten Dezimalbruch aus E an der n ten Stelle unterscheidet, und dies für beliebiges n gilt, ist d von jedem Dezimalbruch aus E verschieden, gehört also nicht zu E. Andererseits muss d aber in E liegen, denn wir haben ihn ja mit endlich vielen Wörtern definiert und E war die Gesamtheit aller solchen Dezimalbrüche.
Lösung/Poincaré verallgemeinerte die von Richard selbst gelieferte Lösung, dass E korrekterweise nur als die Gesamtheit nicht aller , sondern nur derjenigen Dezimalbrüche erklärt sein könne, die man mit endlich vielen Wörtern definieren kann, ohne schon den Begriff der Gesamtheit E selbst einzuführen.

Burali-Forti/Poincaré: übertrug diese Erklärung auch auf andere Antinomien z.B. die Antinomie von Burali-Forti: von der "Menge Ω aller Ordnungszahlen". Man kann sie korrekterweise nur auf die Menge aller Ordnungszahlen beziehen, die sich ohne Einführung der Menge Ω selbst definieren lassen. (Sonst ergibt sich immer Ω + 1).
Thiel I 324
Poincaré: glaubte damit das entscheidende Kriterium gefunden zu haben: illegitime, "nichtprädikative" Bedingungen sind diejenigen, die einen solchen Zirkel enthalten. (>imprädikativ/Russell). Es schien zunächst ausreichend, von Ausdrücken für die Beziehung zw. Element und Menge zu fordern, dass in "x ε y" das zweite Relationsglied y einer genau um 1 höheren Stufe angehören müsse als x (einfache >Typentheorie) so führt die Forderung, dass jeder zulässige Ausdruck nicht nur selbst "prädikativ" (d.h. nicht imprädikativ) gebildet sein sollte, sondern auch alle in ihm auftretenden Argumente dieser Bedingung genügen müssen, zu einer ">verzweigten Typentheorie".
VsTypentheorie: Zu ihren Komplikationen gehörte nicht nur, dass eine solche Theorie neben Typen auch noch Ordnungen zu berücksichtigen sind, sondern auch die mehr als lästige Tatsache, dass jetzt z.B. die obere Grenze einer nichtleeren Menge reeller Zahlen (deren Existenz bei allen Stetigkeitsbetrachtungen in der klassischen Analysis vorausgesetzt wird) von höherer Ordnung ist, als die reellen Zahlen, deren obere Grenze sie ist.
Das hat zur Folge, dass man nun nicht mehr einfach über "alle reellen Zahlen" quantifizieren kann, sondern nur noch über alle reellen Zahlen, einer bestimmten Ordnung. Für die Fachmathematik inakzeptabel, und für das "Arithmetisierungsprogramm" der klassischen Grundlagenforschung ein gewaltiges Hindernis.
Erst recht für den Logizismus, der sich daran anschließt.

I 325
Poincarés Analyse trägt sogar noch weiter, als er selbst wohl vermutet hat. Bsp

(1) (1) ist falsch
mit der Variante "der einzige auf dieser Seite numerierte Satz ist falsch". Oder in der Gestalt

"Ich lüge (jetzt)".
akzeptiert man die nötigen empirischen Rückgriffe auf Buchseiten und "jetzt" so führt das zu formalen Widersprüchen.
Schwächer ist der "Lügner", ursprünglich im Brief des Apostels Paulus an Titus, Vers 12 des 1. Kapitels. Luther: Z "Es hat immer einer von ihnen gesagt, ihr eigener Prophet: Die Kreter sind immer Lügner, böse Tiere und faule Bäuche."

A <> "Alle Kreter lügen (immer)"

Gleichbedeutend mit der Aussage: "für diese Aussage gilt: wenn sie von einem Kreter gemacht wird, gilt ihr Gegenteil".
I 326
K(A) > ~A
(>Abtrennungsregel: A, A > B >> B I 92)

Nach der Abtrennungsregel wird die Aussage ~A zur wahren Aussage. Dies besagt aber, dass A falsch ist, während wir doch dieser Forderung selbst aus der Annahme hergeleitet haben, dass A wahr sei. Da dies nur hypothetisch angenommen wurde, zeigt die Überlegung (ebenso I 315 Zermelo-Russellsche Antinomie) unter Heranziehung der reductio ad absurdum: (A > ~A) > A, dass A tatsächlich falsch ist.
Dies führt zu keinem formalen Widerspruch, wenn es einen Kreter gibt, der wenigstens eine einzige wahre Aussage macht A ist dann eben einfach falsch. Trotzdem würde Poincaré die Zulässigkeit bestreiten: das Definiens der Kurzzeichens A ist ja eine Allaussage, in der der Variabilitätsbereich des Quantors aus allen Aussagen besteht, und daher auch die Aussage A selbst enthält, A ist also imprädikativ definiert und daher unzulässig.
Die Anwendbarkeit des Poincaréschen Kriteriums kommt unerwartet, weil die Lügner Antinomie wegen des Auftretens metalogischer Begriffe wie "wahr" und "falsch" zu einer anderen, eigentlich nichtmathematischen Sorte von Schlüssen gehört, die Peano als "linguistische" klassifizierte.

T I
Chr. Thiel
Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995
Paradoxien Thiel I 321
Fehlschlüsse/Thiel: interessieren nur dann, wenn sie als "Trugschlüsse" absichtsvoll herbeigeführt werden, oder in Form von "Sophismen" vermeintlich legitime Schlüsse in eine Argumentation einschmuggeln, oder wie bei Kant sog. "Paralogismen" die "in der Natur der Menschenvernunft" ihren Grund haben und daher "unvermeidlich obzwar nicht unauflöslich" sind. Bsp arithmetischer Trugschluss: 5 = 7. (I 321 +).
Bsp Syllogismus mit einer quaternia terminorum (verstecktes Auftreten von vier statt drei erlaubter Begriffe in einem Schlussschema
Fliegende Elefanten sind Fantasievorstellungen.
Fantasievorstellungen sind Teil unserer Wirklichkeit.
Also sind fliegende Elefanten Teil unserer
Wirklichkeit.
Paradoxien sind etwas der gewöhnlichen Meinung (doxa) Zuwiderlaufendes. Andere Form: in eine Rätsellösung verpackte Tatsache.
Bsp Dass ein eng um den Äquator gelegtes Band nach Verlängerung um nur einen Meter plötzlich um 1/2π, d.h. um etwa 16cm abstehen würde.
I 322
Im alltägliche Gebrauch sind Paradoxien oft lediglich Kalauer, wie der Hypochonder, der sich lediglich einbildet, Wahnvorstellungen zu haben (Definitionsfrage) oder das "Murphysche Gesetz" dass alles länger dauert, auch wenn man das bereits berücksichtigt hat. Da in der englischsprachigen wissenschaftlichen Literatur "paradox" beides, Paradoxien (nicht wirkliche Antinomien) und Antinomien steht, hat sich eine Unterscheidung bisher nicht durchgesetzt.

I 327
Bsp "Krokodilschluss" (schon in der Antike bekannt): Ein Krokodil hat ein Kind geraubt, die Mutter fleht es an, es zurückzugeben. Das Krokodil stellt die Aufgabe, zu erraten, was es als nächstes tun werde. Die Mutter (logisch vorgebildet) sagt: du wirst es mit nicht zurückgeben. Daher Pattsituation. Denn die Mutter argumentiert jetzt, das Krokodil müsse das Kind zurückgeben, denn falls die Aussage wahr sei, bekomme sie es aufgrund der Vereinbarung zurück, sei sie aber falsch, so sei es eben falsch, dass sie das Kind nicht zurückbekomme, also weil es wahr, dass sie es bekomme.
Das Krokodil dagegen argumentiert, das es das Kind nicht zurückzugeben brauche, denn wenn die Aussage der Mutter falsch sei, bekomme sie es aufgrund der Vereinbarung nicht zurück, sei es aber wahr, so besage dies ja gerade, dass sie das Kind nicht zurückerhalte.
Erst eine sorgfältige Analyse deckt auf, dass die getroffene Vereinbarung ja noch keine Handlungsregel liefert.
Steht "z" für dass Zurückgeben, "a" für die Antwort der Mutter, (die noch unbestimmt, daher nur schematisch durch a repräsentiert sein kann) so liefert die Vereinbarung noch kein befolgbares Regelsystem, sondern das Regelschema

"a" ε wahr >> z
"a" ε falsch >> ~z

Wird dabei der Variabilitätsbereich von a nicht eingeschränkt, so kann man auch Wahlen von a treffen, die mit Tarskis Adäquatheitsbedingung für Wahrheitsdefinitionen unverträglich sind.
I 328
Diese besagt, dass für ein Wahrheitsprädikat "W" und jede Aussage p, von der es sinnvoll ausgesagt werden kann, stets
"p" ε W <> p

gelten muss. In dem Krokodilschluss wählt die Mutter ~z für a und macht dadurch aus dem Regelschema das Regelsystem

(R1) "~z" ε wahr >> z
(R2) "~z" ε falsch >> ~z

Das Krokodil schließt nun einerseits nach R2 und andererseits nach Tarski (mit ~z für p) auf ~z. Die Mutter dagegen schließt einerseits nach R1 und andererseits metalogisch von der Falschheit von "~z" sowie von da (nach Tarski) weiter auf z.
Da die Argumentation von einem Wahrheits- und einem Falschheitsprädikat sowie dem Zusammenhang zwischen beiden Gebrauch macht, zählt man den Krokodilschluss gewöhnlich zu den "semantischen" Antinomien.
Man kann in ihm einen Vorläufer der Russellschen Antinomie sehen.
Thiel I 328
Man sollte nicht vorschnell daraus ableiten, dass die Antinomien und Paradoxien für die Mathematik keine Bedeutung haben. Sowohl Poincarés Kriterium (Imprädikativität) als auch die Typentheorie erzwingen eine Einschränkung des sogenannten Komprehensionsaxioms, das die als definierende Bedingungen für Mengen zulässigen Aussageformen bestimmt.

T I
Chr. Thiel
Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995
Prädikativität Russell I 96
Prädikative Funktionen: f(x) - nichtprädikativ: f(x^): Funktion im Gegensatz zu ihren Werten! - prädikativ(s): eine Funktion, die eine Stufe höher ist als ihr Argument.
I 109
Klasse/prädikativ/Totalität/Principia Mathematica/Russell: jede Klasse kann durch eine prädikative Funktion definiert werden - daher ist die Gesamtheit der Klassen, von denen man mit Sinn sagen kann, ein gegebener Term gehöre ihnen an oder nicht, eine legitime Gesamtheit, obwohl die Gesamtheit der Funktionen, von denen man sagen kann, dass ihnen ein gegebener Term genügt oder nicht genügt, keine legitime Gesamtheit ist.
I 116
Def prädikative Funktion/Principia Mathematica/Russell: Schreibweise: φ ! (x,y) (prädikative Funktion von x und y.) Def nichtprädikative/imprädikative Funktion/Principia Mathematica/Russell: Funktion im Gegensatz zu ihren Werten: Schreibweise: φ ! (x^, y^) .

E. Picardi Alfred North Whitehead/Bertrand Russell: Principia Mathematica aus "Hauptwerke der Philosophie 20. Jahrhundert" , Eva Picardi u.a. Stuttgart 1992, S. 18
Nichtprädikative Eigenschaften: Bsp alle Eigenschaften eines großen Feldherren haben - prädikativ: Bsp in Korsika geboren zu sein.

Russell I
B. Russell/A.N. Whitehead
Principia Mathematica Frankfurt 1986

Russell II
B. Russell
Das ABC der Relativitätstheorie Frankfurt 1989

Russell IV
B. Russell
Probleme der Philosophie Frankfurt 1967

Russell VI
B. Russell
Die Philosophie des logischen Atomismus
In
Eigennamen, U. Wolf (Hg) Frankfurt 1993

Russell VII
B. Russell
On the Nature of Truth and Falsehood, in: B. Russell, The Problems of Philosophy, Oxford 1912 - Dt. "Wahrheit und Falschheit"
In
Wahrheitstheorien, G. Skirbekk (Hg) Frankfurt 1996

Der gesuchte Begriff oder Autor findet sich in folgenden 2 Kontroversen:
Begriff/
Autor/Ismus
Autor Vs Autor
Eintrag
Literatur
imprädikativ Russell Gödel Vs Russell, B. Russell I XIV
ZirkelfehlerprinzipPrincipia Mathematica/PM/Russell/Gödel: scheint also nur zu gelten unter konstruktivistischen Annahmen: wenn man unter einem Begriff ein Symbol versteht, zusammen mit einer Regel, um Sätze, die das Symbol enthalten zu übersetzen in Sätze, die es nicht enthalten. Klassen/Begriffe/Gödel: können dagegen auch als reale Objekte aufgefasst werden, nämlich als "Vielheiten von Dingen" und Begriffe als Eigenschaften oder Relationen von Dingen, die unabhängig von unseren Definitionen und Konstruktionen existieren!
Das ist genauso legitim wie die Annahme physikalischer Körper. Sie sind auch für Mathematik notwendig, so wie sie es für die Physik sind. Konzept/Terminologie/Gödel: ich werde „Konzept“ von jetzt an ausschließlich in diesem objektiven Sinne gebrauchen.
Ein formaler Unterschied zwischen diesen zwei Konzeptionen von Begriffen wäre: dass von zwei verschiedenen Definitionen der Form α(x) = φ(x) angenommen werden kann, dass sie zwei verschiedenen Begriffe α im konstruktivistischen Sinn definieren. (Nominalistisch: da zwei solche Definitionen unterschiedliche Übersetzungen geben für Propositionen, die α enthalten.)
Für Konzepte (Begriffe) ist das dagegen keineswegs der Fall, da dasselbe Ding in verschiedener Weise beschrieben werden kann.
Bsp "Zwei ist der Begriff, unter den alle Paare fallen und nichts sonst." Es gibt gewiss mehr als einen Begriff im konstruktivistischen Sinne, der dieser Bedingung genügt, aber es könnte eine gemeinsame "Form" oder "Natur" aller Paare geben.
Alle/Carnap: Vorschlag, "alle" als Notwendigkeit zu verstehen, würde nichts helfen, wenn "Beweisbarkeit" konstruktivistisch eingeführt würde (..+..).
Def Intensionalitätsaxiom/Russell/Gödel: zu verschiedenen Definitionen gehören verschiedene Begriffe.
Dieses Axiom hält für Begriffe im Zirkelfehlerprinzip: konstruktivistischer Sinn.
Konzepte/Russell/Gödel: (ungleich Begriffe!) sollen objektiv existieren. (Also nicht konstruiert). (Realistischer Standpunkt).
Ist nur die Rede von Konzepten, bekommt die Frage einen völlig anderen Sinn: dann scheint es keinen Einwand dagegen zu geben, von ihnen allen zu sprechen, noch dagegen, einige von ihnen unter Bezug auf alle zu beschreiben.
Eigenschaften/GödelVsRussell: man könnte sicher von der Totalität aller Eigenschaften (oder aller eines bestimmten Typs) sprechen, ohne dass das zu einer "Absurdität" führen würde! ((s) > Bsp „Alle Eigenschaften eines großen Feldherrn“.
Gödel: das macht es lediglich unmöglich, ihren Sinn zu konstruieren (d.h. als eine Behauptung über Sinneswahrnehmung oder irgendwelche anderen nichtkonzeptuellen Entitäten zu erklären), was kein Einwand für jemand ist, der den realistischen Standpunkt einnimmt.
Teil/Ganzes/Mereologie/GödelVsRussell:: ebenso wenig ist es widersprüchlich, dass ein Teil identisch (nicht bloß gleich) sein soll mit dem Ganzen, wie im Falle von Strukturen im abstrakten Sinne zu sehen ist. Bsp Die Struktur der Reihe der ganzen Zahlen enthält sich selbst als einen besonderen Teil.
I XVI/XVII
Sogar innerhalb des Bereichs der konstruktivistischen Logik gibt es gewisse Annäherungen an diese Selbstreflektivität (Selbstreflexivität/Heutzutage: Selbstähnlichkeit) imprädikativer Eigenschaften, nämlich Bsp Propositionen, die als Teile ihres Sinns nicht sich selbst enthalten, sondern ihre eigene formale Beweisbarkeit. Es existieren auch Sätze, die sich auf eine Totalität von Sätzen beziehen, zu der sie selbst gehören: Bsp "Jeder Satz einer (gegebenen) Sprache enthält mindestens ein Beziehungswort."
Das macht es nötig, nach anderen Lösungen für die Paradoxien zu suchen, denen zufolge der Trugschluss nicht in der Annahme gewisser Selbstreflektivitäten der Grundterme besteht, sondern in anderen Annahmen über dieselben!
Die Lösung mag vorläufig in der einfachen Typentheorie gefunden worden sein. Natürlich bezieht sich all das nur auf Konzepte.
Klassen: man sollte meinen, dass sie ebenfalls nur durch ihre Definitionen nicht geschaffen, sondern nur beschrieben werden! Dann gilt das Zirkelfehler Prinzip wieder nicht.
Zermelo spaltet Klassen in "Ebenen" auf, so dass nur Mengen niedrigerer Ebenen Elementen von Mengen höherer Ebenen sein können.
Reduzibilitätsaxiom/Russell/Gödel. (später fallengelassen) wird nun vom Klassenaxiom (Zermelos "Aussonderungsaxiom") eingenommen: dass für jede Ebene für eine beliebige Propositionalfunktion(Aussagenfunktion, AF)
φ(x)
die Menge jener x von dieser Ebene existiert, für die φ(x) wahr ist.
Das scheint impliziert zu sein durch das Konzept von Klassen als Vielheiten.
I XVIII
Extensionalität/Klassen: Russell: zwei Gründe gegen die extensionale Sicht von Klassen: 1. Die Existenz der Nullklasse, die nicht gut eine Kollektion sein kann, 2. Die Einerklassen, die identisch sein müssten mit ihren einzigen Elementen. GödelVsRussell: das könnte nur beweisen, dass die Nullklassen und die Einerklassen (als unterschieden von ihrem einzigen Element) Fiktionen sind zur Vereinfachung des Kalküls, und nicht beweisen, dass alle Klassen Fiktionen sind!
Russell: versucht, soweit wie möglich ohne die Annahme der objektiven Existenz von Klassen auszukommen. Danach sind Klassen nur eine facon de parler.
Gödel: aber auch "idealistische" Propositionen, die Universalien enthalten, könnten zu denselben Paradoxien führen.
Russell: schafft Regeln der Übersetzungen, nach denen Sätze, die Klassennamen oder den Term "Klasse" enthalten, übersetzt werden in solche, die sie nicht enthalten.
Klassennamen/Russell: eliminieren durch Übersetzungsregeln.
Klassen/PM/Russell/Gödel: Principia kommen so ohne Klassen aus, aber nur wenn man die Existenz eines Konzepts annimmt, wann immer man eine Klasse konstruieren möchte.
Zunächst müssen einige von ihnen, die Grundprädikate und Relationen wie "rot", "kälter" augenscheinlich als reale Objekte angesehen werden. Die höheren Begriffe erscheinen dann als etwas Konstruiertes (d.h. etwas, das nicht zum "Inventar der Welt" gehört).
I XIX
Ramsey: meinte, dass man Propositionen unendlicher Länge bilden könne und hält den Unterschied endlich /unendlich für nicht so entscheidend. Gödel: Logik und Mathematik sind wie Physik auf einem realen Inhalt aufgebaut und können nicht "wegerklärt" werden.
Existenz/Ontologie/Gödel: es verhält sich nicht so, als sei das Universum der Dinge in Ordnungen eingeteilt und wäre es einem verboten, von allen Ordnungen zu sprechen, sondern im Gegenteil: es ist möglich, von allen existierenden Dingen zu sprechen. Klassen und Konzepte sind allerdings nicht darunter.
Wenn sie aber als facon de parler eingeführt werden, stellt sich heraus, dass die Erweiterung des Symbolismus die Möglichkeit eröffnet, sie auf umfassendere Weise einzuführen, und so weiter, bis ins Unendliche.
Um dieses Schema durchzuhalten, muss man allerdings die Arithmetik (oder etwas gleichwertiges) voraussetzen, was nur beweist, dass nicht einmal diese beschränkte Logik auf nichts aufgebaut werden kann.
I XX
Konstruktivistische Haltung/Konstruktivismus/Russell/Gödel: wurde in der ersten Auflage aufgegeben, da das Reduzibilitätsaxiom für höhere Typen es notwendig macht, dass Grundprädikate von beliebig hohem Typ existieren. Vom Konstruktivismus bleibt lediglich
1. Klassen als facon de parler
2. Die Definition von ~, v,. usw. als geltend für Propositionen, die Quantoren enthalten,
3. Stufenweise Konstruktion von Funktionen von Ordnungen höher als 1(freilich wegen des R-Axioms überflüssig)
4. Interpretation von Definitionen als bloßen typographischen Abkürzungen (alles unvollständige Symbole, nicht solche, die ein durch die Definition beschriebenes Objekt benennt!).
Reduzibilitätsaxiom/GödelVsRussell: dieser letzte Punkt ist eine Illusion, weil wegen des Reduzibilitäts Axioms stets reale Objekte in Form von Grundprädikaten oder Kombinationen von solchen entsprechend jedem definierten Symbol existieren.
Konstruktivistische Haltung/Konstruktivismus/PM/Gödel: wird in der zweiten Auflage wieder eingenommen und das Reduzibilitäts-Axiom fallengelassen. Es wird festgestellt, dass alle Grundprädikate zum niedrigsten Typ gehören.
Variablen/Russell/Gödel: ihr Zweck ist es, die Behauptungen komplizierterer Wahrheitsfunktionen von atomistischen Propositionen zu ermöglichen. (d.h. dass die höheren Typen nur eine facon de parler sind.).
Die Basis der Theorie soll also aus Wahrheitsfunktionen von atomistischen Propositionen bestehen.
Das ist kein Problem, wenn die Zahl der Individuen und Grundprädikate endlich ist.
Ramsey: Problem der Unfähigkeit, unendliche Propositionen zu bilden ist "bloße Nebensache"
I XXI
endlich/unendlich/Gödel: mit dieser Umgehung des Problems durch Missachtung des Unterschieds von endlich und unendlich dann existiert eine einfachere und zugleich weiterreichende Interpretation der Mengenlehre: Dann wird nämlich Russells Apercu, dass Propositionen über Klassen als Propositionen über ihre Elemente interpretiert werden können, buchstäblich wahr, vorausgesetzt, n ist die Zahl der (endlichen) Individuen der Welt und vorausgesetzt, wir vernachlässigen die Nullklasse. (..) + I XXI

Theorie der Ganzen Zahlen: die zweite Auflage behauptet, dass sie zu erreichen sei. Problem: dass in der Definition "jene Kardinalzahlen, die zu jeder Klasse gehören, die 0 enthält und x + 1 enthält, wenn sie x enthält" die Wendung "jede Klasse" sich auf eine gegebene Ordnung beziehen muss.
I XXII
So erhält man ganze Zahlen verschiedener Ordnungen, und vollständige Induktion kann auf ganze Zahlen von Ordnung n nur für Eigenschaften von n angewandt werden! (...) Die Frage der Theorie der ganzen Zahlen auf Basis der verzweigten Typentheorie ist zurzeit noch ungelöst.
I XXIII
Theorie der Ordnung/Gödel: fruchtbarer, wenn sie von einem mathematischen Standpunkt, nicht einem philosophischen betrachtet wird, also unabhängig von der Frage, ob imprädikative Definitionen zulässig sind. (...) imprädikative Totalitäten werden von einer Funktion der Ordnung α und ω vorausgesetzt.
Menge/Klasse/PM/Russell/Typentheorie/Gödel: die Existenz einer wohlgeordneten Menge vom Ordnungstyp ω1 reicht hin für die Theorie der reellen Zahlen.
Def Kontinuumshypothese/Gödel: (verallgemeinert): keine Kardinalzahl existiert zwischen der Potenz irgendeiner beliebigen Menge und der Potenz der Menge ihrer Untermengen.
Typentheorie/GödelVsRussell: gemischte Typen (Individuen zusammen mit Prädikationen über Individuen usw.) widersprechen dem Zirkelfehlerprinzip offensichtlich gar nicht!
I XXIV
Russell stützte seine Theorie auf ganz andere Gründe, die denen ähneln, die Frege bereits für die Theorie einfacherer Typen für Funktionen angenommen hatte. Propositionalfunktionen/Aussagenfunktion/AF/Russell/Gödel: haben immer etwas mehrdeutiges, wegen der Variablen. (Frege: etwas ungesättigtes).
Propositionalfunktion/AF/Russell/Gödel: sozusagen ein Fragment einer Proposition. Sie zu kombinieren, ist nur möglich, wenn sie "zusammenpassen" d.h. von geeignetem Typ sind.
GödelVsRussell: Konzepte (Begriffe) als reale Objekte: dann ist die Theorie der einfachen Typen nicht plausibel, denn wovon man erwarten würde dass es (wie z.B. "Transitivität" oder die Zahl zwei) ein Konzept wäre, schiene dann etwas zu sein, was hinter all seinen unterschiedlichen "Realisationen" auf den verschiedenen Ebenen steht und das demnach zufolge der Typentheorie nicht existiert.
I XXV
Paradoxien in der intensionalen Form/Gödel: hier bringt die Typentheorie eine neue Idee: nämlich die Paradoxien nicht auf dem Axiom zu tadeln, dass jede Propositionalfunktion ein Konzept oder eine Klasse definiert, sondern auf der Annahme, dass jedes Konzept eine sinnvolle Proposition ergibt, wenn es behauptet wird für ein beliebiges Objekt als Argument. Der Einwand, dass jedes Konzept ausgedehnt werden kann auf alle Argumente, indem ein anderes definiert wird, das eine falsche Proposition ergibt, wann immer das ursprüngliche sinnlos war, kann leicht entkräftet werden durch den Hinweis, dass das Konzept "sinnvoll anwendbar" nicht selbst immer sinnvoll anwendbar sein muss.

Göd II
Kurt Gödel
Collected Works: Volume II: Publications 1938-1974 Oxford 1990
imprädikativ Russell Verschiedene Vs Typentheorie Thiel I 324
Poincaré: glaubte damit das entscheidende Kriterium gefunden zu haben: illegitime, "nichtprädikative" Bedingungen sind diejenigen, die einen solchen Zirkel enthalten. (>imprädikativ, Russell). Es schien zunächst ausreichend, von Ausdrücken für die Beziehung zw. Element und Menge zu fordern, dass in "x ε y" das zweite Relationsglied y einer genau um 1 höheren Stufe angehören müsse als x (einfache >Typentheorie) so führt die Forderung, dass jeder zulässige Ausdruck nicht nur selbst "prädikativ" (d.h. nicht imprädikativ) gebildet sein sollte, sondern auch alle in ihm auftretenden Argumente dieser Bedingung genügen müssen, zu einer ">verzweigten Typentheorie".
VsTypentheorie: Zu ihren Komplikationen gehörte nicht nur, dass eine solche Theorie neben Typen auch noch Ordnungen zu berücksichtigen sind, sondern auch die mehr als lästige Tatsache, dass jetzt z.B. die obere Grenze einer nichtleeren Menge reeller Zahlen (deren Existenz bei allen Stetigkeitsbetrachtungen in der klass. Analysis vorausgesetzt wird) von höherer Ordnung ist, als die reellen Zahlen, deren obere Grenze sie ist.
Das hat zur Folge, dass man nun nicht mehr einfach über "alle reellen Zahlen" quantifizieren kann, sondern nur noch über alle reellen Zahlen, einer bestimmten Ordnung. Für die Fachmathematik inakzeptabel, und für das "Arithmetisierungsprogramm" der klass.Grundlagenforschung ein gewaltiges Hindernis.
Erst recht für den Logizismus, der sich daran anschließt.





T I
Chr. Thiel
Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995