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| Begriff/ Autor/Ismus |
Autor Vs Autor |
Eintrag |
Literatur |
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| unendlich Cantor | Brendel Vs Allwissenheit | I 159 Allwissenheit/semantisch/Brendel: ist der Begriff überhaupt sinnvoll in einer semantisch offenen Sprache? ((s) Hierarchie, Sprachstufen). VsAllwissenheit/Grim/Plantinga/Brendel: (Patrick Grim 1983, 1984, 1988, 1991, Gödel. Unvollständigkeitssatz, Cantor: Unmöglichkeit der Menge aller Mengen/Plantinga/Grim 1993): (analog zur Lügner-Paradoxie) These: es gibt kein allwissendes Subjekt. (PlantingaVsGrim). BrendelVsGrim: Problem: das beruht auf einem Wissensbegriff, der von einer universellen semantisch geschlossenen Sprache ausgeht. Lösung/Brendel: durch Annahme einer semantisch offenen Sprache (Hierarchie). Paradoxien/BrendelVsGrim: die Paradoxien können daher nicht als Argumente gegen die Möglichkeit der Allwissenheit angeführt werden. Def Allwissenheit*/Variante/Grim/Brendel: s ist allwissend gdw. für jede Aussage A gilt: A ist genau dann wahr, wenn s glaubt, dass A und glaubt, dass A gdw. s weiß, dass A. (Grim 1983, 266ff). I 160 Allwissenheit/GrimVsAllwissenheit/Grim/Brendel: (analog zum Lügner): eine selbstbezügliche Aussage: soll zeigen, dass es kein allwissendes Subjekt geben kann: (1) G glaubt, dass (1) falsch ist. („G“: sei ein allwissendes Subjekt) Problem. dann kann G weder unter der Annahme, dass (1) wahr ist, noch, dass (1) falsch ist, im Sinne der Variante Allwissenheit* allwissend sein. oWW/Grim: selbst wenn (1) als weder wahr noch falsch angenommen wird, ist es ein Argument VsAllwissenheit: denn dann muss G wissen, dass (1) weder wahr noch falsch ist, also kann G nicht glauben, dass (1) falsch ist. (1) muss daher falsch sein. Wenn (1) jedoch falsch ist, dann glaubt G nicht, dass (1) falsch ist. Dann gibt es eine Wahrheit, die G nicht glaubt. Wissen/metasprachlich/BrendelVsGrim: wenn wir „Wissen“ metasprachlich auffassen, spielt es zunächst eine Rolle, ob „Wissen“ als Operator oder als Prädikat aufgefaßt wird. a) Operator: dann kann (1) nicht als echte selbstbezügliche Aussage formalisiert werden, I 161 da der Operator die Aussage nicht mit einem Anführungsnamen erwähnen kann. Logische Form: (+) GlaubtG („A“ ist falsch) A Erwähnung/Gebrauch/Pointe/Brendel: A wird zwar durch „ist falsch“ erwähnt und steht daher in AZ, die Aussage „A ist falsch“ wird jedoch als Argument des Glaubensoperators nicht erwähnt, sondern gebraucht. I 162 Glaubensinstabilität/Glauben/Instabilität/Burge/Kroon/Brendel:: (Burge 1984, Sorensen 1987, Kroon 1993): epistemische Paradoxie der Glaubensinstabilität als Problem rationaler Entscheidung: VsAllwissenheit: diese Paradoxie soll die Existenz eines allwissenden Subjekts ad absurdum führen: es wird eine Aussage konstruiert, zu der kein epistemisches Subjekt eine rational vertretbare Position beziehen kann. I 164 VsAllwissenheit/Brendel: die Unmöglichkeit eines allwissenden Subjekts lässt sich aber auch durch die Unabgeschlossenheit einer unendlichen Sprachstufenhierarchie beweisen. I 165 Wissen/Brendel: alles was ein Subjekt wissen kann, ist Wissen auf einer bestimmten Sprachstufe. |
Bre I E. Brendel Wahrheit und Wissen Paderborn 1999 |
| unendlich Cantor | Frege Vs Cantor, G. | I 117 unendlich/Cantor: es sollten nur die endlichen Anzahlen als wirklich gelten. Sie sind ebensowenig sinnlich wahrnehmbar wie negative, Brüche, irrationale und komplexe Zahlen. FregeVsCantor: wir brauchen gar keine sinnlichen Wahrnehmungen als Beweisgründe für unsere Lehrsätze. Es genügt, wenn sie logisch widerspruchsfrei sind. I 118 Das Unendliche ist auch gar keine Erweiterung der natürliche Zahlen, sie waren von Anfang an unendlich! Bei Cantor ist im Gegensatz zu Frege die Reihenfolge erst noch festzulegen, bei ihm kann z.B. 0 auf 13 folgen. |
F I G. Frege Die Grundlagen der Arithmetik Stuttgart 1987 F II G. Frege Funktion, Begriff, Bedeutung Göttingen 1994 F IV G. Frege Logische Untersuchungen Göttingen 1993 |
| unendlich Cantor | Russell Vs Cantor, G. | B. Russell Die Mathematik und die Metaphysiker in Kursbuch IV S. 19 Frankfurt 1967 unendlich/Zahlen/Russell: es gibt eine größte unendliche Zahl: die Zahl der Gegenstände insgesamt, unabhängig von Art und Gattung. (VsCantor). Zenon: berief sich vermutlich auf die Annahme, das Ganze hätte mehr Elemente als ein Teil "kleinste unendliche Zahl": Grenzwert aller ganzen Zahlen. |
Russell I B. Russell/A.N. Whitehead Principia Mathematica Frankfurt 1986 Russell II B. Russell Das ABC der Relativitätstheorie Frankfurt 1989 Russell IV B. Russell Probleme der Philosophie Frankfurt 1967 Russell VI B. Russell Die Philosophie des logischen Atomismus In Eigennamen, U. Wolf (Hg) Frankfurt 1993 Russell VII B. Russell On the Nature of Truth and Falsehood, in: B. Russell, The Problems of Philosophy, Oxford 1912 - Dt. "Wahrheit und Falschheit" In Wahrheitstheorien, G. Skirbekk (Hg) Frankfurt 1996 |
| unendlich Cantor | Konstruktivismus Vs Cantor, G. | Thiel I 203 KonstruktivismusVsCantor: 2. Einwand gegen die Einführung absoluter transfiniter Zahlen: ergibt sich aus der Definition von Gleichmächtigkeit und Ähnlichkeit. Sie erfolgen unter Rekurs auf Abbildung. Jede Abbildung muss nach konstruktivistischer Auffassung als Funktion durch einen Funktionsterm dargestellt werden. Thiel I 346 Brouwer: An Stelle der Funktion als Zuordnung von Funktionswerten zu Argumenten der Funktion treten Folgen von Wahlhandlungen eines fiktiven "idealen Mathematikers" der an jeder Stelle des unbegrenzt gedachten Prozesses eine natürliche Zahl wählt, wobei diese Zahl durch die verschiedensten Bestimmungen für die Wahlakte eingeschränkt sein darf, obwohl im einzelnen Fall der Wahlakt nicht voraussagbar ist. Thiel I 347 BrouwerVsCantor: Unendliches kein fertiges Ganzes. |
T I Chr. Thiel Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995 |
| unendlich Cantor | Poincaré Vs Intuitionismus | Wessel I 236 PoincaréVsIntuitionismus/VsKonstruktivismus)/Wessel: (P. nennt die Intuitionisten Pragmatiker): "Der Pragmatiker stelle sich auf den Standpunkt der Extension, die Cantorianer auf den der Erfassung (compréhension). Die Gegenstände aber sind früher da als die Aufschriften und die Menge selbst würde bestehen wenn es niemanden gäbe, der es unternähme, sie zu ordnen". I 237 Intuitionismus/Logik/Wessel: die Intuitionisten lehnen nicht nur den Begriff des Aktual Unendlichen ab, sondern sie glauben, auch die Logik einschränken zu müssen: Brouwer: der Satz vom ausgeschlossenen Dritten gilt nur innerhalb eines bestimmten endlichen Hauptsystems, da man hier zu einer empirischen Bestätigung kommen kann. BrouwerVsLogik: als Fundament der Mathematik. Stattdessen: umgekehrt! I 238 (s) Es geht um Praxis des Mathematikers, daher sind die Grenzen der konstruktiven Möglichkeiten nicht etwa zufällig oder leicht durch logische Überlegungen zu überwinden.) Konstruktivismus/Brouwer/Heyting: untersucht die Konstruktion als solche, ohne nach der Natur der Gegenstände zu fragen, etwa. ob sie existieren!. Satz vom ausgeschlossenen Dritten/Intuitionismus/Heyting/Wessel: (a) k ist die größte Primzahl derart, dass k-1 auch eine ist; wenn es keine solche Zahl gibt, ist k = 1 (s) "Die einzige Primzahl, die einer anderen benachbart ist"). (b) l ist die größte Primzahl derart, dass l-2 auch eine ist; wenn es keine solche Zahl gibt, ist l = 1. Wessel: k kann wirklich ermittelt werden (k = 3) während wir keine Methoden besitzen, um l zu ermitteln. Das führt zur Ablehnung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten: denn wenn die Folge der Primzahlzwillinge entweder endlich oder unendlich wäre, so würde (b) auch eine ganze Zahl definieren. Intuitionismus/Logik/logischen Operatoren/Wessel: da bestimmte Gesetze der Logik hier nicht gelten, daher handelt es sich bei den verschiedenen Logiken um verschiedene Komplexe von Operatoren. Doch die Intuitionisten haben den gleichen Anspruch, die Bedeutung von "und", "nicht", "oder" der Alltagssprache zu erfassen. Def Konjunktion/Intuitionismus/Wessel: p u q kann man genau dann behaupten, wenn man sowohl p als auch q behaupten kann. |
Wessel I H. Wessel Logik Berlin 1999 |
| unendlich Cantor | Cantor Vs Kant | Thiel I 165 CantorVsKant: "vager, instinktloser Gebrauch des Unendlichkeitsbegriffs". |
T I Chr. Thiel Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995 |
| unendlich Cantor | Quine Vs Konzeptualismus | VII (f) 126 Klassen/Konzeptualismus/Quine: erfordert nicht, dass Klassen jenseits ausdrückbarer Bedingungen der Zugehörigkeit von Elementen existieren. ((s) VsPlatonismus: fordert quasi, dass es auch Klassen ohne solche Bedingungen geben müsste, da Klassen von Sprechern unabhängig sein sollten.) Cantors Beweis: würde etwas anderes nach sich ziehen: Er appelliert nämlich an eine Klasse h derjenigen Elemente der Klasse k, die nicht Elemente der Teilklassen von k sind, auf die sie bezogen sind. VII (f) 127 Aber so ist die Klasse h imprädikativ spezifiziert!. h ist nämlich selbst eine der Teilkassen von k. So geht ein Theorem der klassischen Mathematik beim Konzeptualismus über Bord. dasselbe Schicksal trifft auch Cantors Beweis der Existenz überabzählbarer unendlichkeiten. QuineVsKonzeptualismus: das ist zwar eine begrüßenswerte Befreiung, aber es gibt Probleme mit viel grundlegenderen und wünschenswerten Theoremen der Mathematik: Bsp der Beweis dass jede beschränkte Zahlenfolge eine obere Schranke hat. KonzeptualismusVsReduzibilitätsaxiom: weil es die ganze platonistische Klassenlogik wiedereinführt. |
Quine I W.V.O. Quine Wort und Gegenstand Stuttgart 1980 Quine II W.V.O. Quine Theorien und Dinge Frankfurt 1985 Quine III W.V.O. Quine Grundzüge der Logik Frankfurt 1978 Quine V W.V.O. Quine Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989 Quine VI W.V.O. Quine Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995 Quine VII W.V.O. Quine From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953 Quine VII (a) W. V. A. Quine On what there is In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (b) W. V. A. Quine Two dogmas of empiricism In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (c) W. V. A. Quine The problem of meaning in linguistics In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (d) W. V. A. Quine Identity, ostension and hypostasis In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (e) W. V. A. Quine New foundations for mathematical logic In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (f) W. V. A. Quine Logic and the reification of universals In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (g) W. V. A. Quine Notes on the theory of reference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (h) W. V. A. Quine Reference and modality In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (i) W. V. A. Quine Meaning and existential inference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VIII W.V.O. Quine Bezeichnung und Referenz In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 Quine IX W.V.O. Quine Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967 Quine X W.V.O. Quine Philosophie der Logik Bamberg 2005 Quine XII W.V.O. Quine Ontologische Relativität Frankfurt 2003 Quine XIII Willard Van Orman Quine Quiddities Cambridge/London 1987 |
| unendlich Cantor | Russell Vs Poincaré, H. | Waismann II 66 RussellVsPoincaré: Induktion ist eine Definition und kein Prinzip. Es gibt gewisse Zahlen für die es gilt, andere nicht (Cantors unendliche Kardinalzahlen). |
Russell I B. Russell/A.N. Whitehead Principia Mathematica Frankfurt 1986 Russell II B. Russell Das ABC der Relativitätstheorie Frankfurt 1989 Russell IV B. Russell Probleme der Philosophie Frankfurt 1967 Russell VI B. Russell Die Philosophie des logischen Atomismus In Eigennamen, U. Wolf (Hg) Frankfurt 1993 Russell VII B. Russell On the Nature of Truth and Falsehood, in: B. Russell, The Problems of Philosophy, Oxford 1912 - Dt. "Wahrheit und Falschheit" In Wahrheitstheorien, G. Skirbekk (Hg) Frankfurt 1996 Waismann I F. Waismann Einführung in das mathematische Denken Darmstadt 1996 Waismann II F. Waismann Logik, Sprache, Philosophie Stuttgart 1976 |
| unendlich Cantor | Frege Vs Verschiedene | Brandom II 83 FregeVsBoole: keine materialen Gehalte, daher unfähig, der wissenschaftlichen Begriffsbildung zu folgen. Boole: "Umfangsgleichheit". Frege I 32 Addition/Hankel: will definieren: "wenn a und b beliebige Glieder der Grundreihe sind, so versteht man unter der Summe a + b dasjenige Glied der Grundreihe, für das die Formel a + (b + e) = a + b + e gilt". (Hierbei soll e die positive Einheit bedeuten). Addition/Summe/FregeVsHankel: 1. so wird die Summe durch sich selbst erklärt. Wenn man noch nicht weiß, was a + b ist, versteht man a + (b + e) auch nicht. 2. wenn man vielleicht einwendet, nicht die Summe, sondern die Addition sollte erklärt werden, dann könnte man immer noch einwenden, daß a + b ein leeres Zeichen wäre, wenn es kein Glied der Grundreihe oder deren mehrere von der verlangten Art gäbe. Frege I 48 Zahlen/FregeVsNewton: dieser will Zahlen als das Verhältnis einer jeden Größe zu einer anderen derselben Art verstehen. Frege: man kann zugeben, dass hiermit die Zahl in einem weiteren Sinne, wozu auch die Brüche und die Irrationalzahlen gehören, zutreffend beschrieben sei. Doch dabei werden die Begriffe der Größe und des Größenverhältnisses vorausgesetzt! I 49 Es würde auch nicht gehen, wenn man Zahlen als Mengen verstehen wollte, denn dann würde der Begriff der Menge und der Mengenverhältnisse vorausgesetzt wird. I 58 Zahl/Schlömilch: "Vorstellung der Stelle eines Objekts in einer Reihe". FregeVsSchlömilch: dann müsste immer dieselbe Vorstellung einer Stelle erscheinen, wenn dieselbe Zahl auftritt, und das ist offenbar falsch. Das könnte man vermeiden, wenn er unter Vorstellung eine objektive Idee verstehen wollte, aber welcher Unterschied wäre dann zwischen der Vorstellung und der Stelle selbst? I 60 Frege: dann wäre die Arithmetik Psychologie. Wäre die Zwei ein Vorstellung, dann wäre sie zunächst nur die meine. Wir hätten dann vielleicht viele Millionen Zweien. I 64 Einheit/Baumann: Abgegrenztheit. FregeVsBaumann: Bsp wenn man sagt, die Erde habe Einen Mond, so will man ihn nicht für einen Abgegrenzten erklären, sondern man sagt das im Gegensatz dazu, das der Venus oder dem Jupiter zukommt. I 65 In Bezug auf Abgegrenztheit und Ungeteiltheit, können sich die Jupitermonde mit unserem messen und sind in diesem Sinne ebenso einheitlich wie unser Mond. Einheit/Zahl/Köpp: Einheit sollte nicht nur ungeteilt, sondern unteilbar sein! FregeVsKöpp: das soll wohl ein von der Willkür unabhängiges Merkmal sein. Dann bliebe aber nichts übrig, was gezählt und als Einheit gedacht werden könnte! VsVs: dann könnte man vielleicht nicht die Unteilbarkeit selbst, sondern das als unteilbar gedacht werden als Merkmal aufstellen. FregeVs: 1. es wird nichts gewonnen, wenn man sich die Sachen anders denkt, als sie sind! I 66 2. Wenn man dann aus der Unteilbarkeit nichts schließen will, was nützt sie dann? 3. Man braucht die Zerlegbarkeit sogar oft: Bsp bei der Aufgabe: ein Tag hat 24 Stunden, wieviel Stunden haben drei Tage? I 69 Einheit/Verschiedenheit/Zahl/FregeVsJevons: die Betonung der Verschiedenheit bringt aber auch nur Schwierigkeiten. Bsp Wenn alle Einheiten verschieden wären, könnte man nicht einfach addieren: 1 + 1 + 1 + 1... sondern müßte immer schreiben: 1" + 1"" + 1 """ + 1 """" usw. oder sogar a + b + c + d.....(obwohl immer Einheiten gemeint sind). Dann haben wir keine eins mehr! I 78ff: ++ Zahl weder Beschreibung noch Darstellung , Abstraktion keine Definition - Gleichheit darf nicht immer für jeden einzelnen Fall definiert werden müssen. unendlich/Cantor: es sollten nur die endlichen Anzahlen als wirklich gelten. Sie sind ebensowenig sinnlich wahrnehmbar wie negative, Brüche, irrationale und komplexe Zahlen. FregeVsCantor: wir brauchen gar keine sinnlichen Wahrnehmungen als Beweisgründe für unsere Lehrsätze. Es genügt, wenn sie logisch widerspruchsfrei sind. I 117 - I 127 ++ VsHankel: Zeichen (2-3) nicht leer, sondern bestimmter Inhalt! Zeichen niemals eine Lösung! - Nullklasse/FregeVsSchröder: (> leere Menge) falsche Definition der Nullklasse: eine Klasse die in allen Klassen als Element enthalten ist, kann es nicht geben, also kann man sie auch nicht durch Definition erschaffen. (Der Begriff ist widersprüchlich). IV 14 VsSchröder: man kann nicht von "Klassen" sprechen, ohne schon einen Begriff vorgegeben zu haben. - die Null darf nicht als Element in einer anderen Klasse enthalten sein (Patzig, Einleitung), sondern nur "als Klasse untergeordnet". (+ IV 100/101). II 93 Euklid/FregeVsEuklid: macht mehrfach von stillschweigenden Voraussetzungen Gebrauch, die er weder unter seinen Grundsätzen noch unter den Voraussetzungen des besonderen Satzes aufführt. Bsp setzt der 19. Satz des ersten Buches der Elemente (in jedem Dreieck liegt dem größeren Winkel die größere Seite gegenüber) stillschweigend die folgenden Sätze voraus: 1. Wenn eine Strecke nicht größer als eine andere ist, so ist die gleich dieser oder kleiner als diese. 2. Wenn ein Winkel gleich einem anderen ist, so ist er nicht größer als dieser 3. Wenn ein Winkel kleiner als ein anderer ist, so ist er nicht größer als dieser. Waismann II 12 FregeVsPostulate: warum fordert man nicht auch, dass durch drei beliebige Punkte eine Gerade gezogen werde? Weil diese Forderung einen Widerspruch enthält. Ei, so beweise man erst, dass jene anderen Forderungen keine Widerspruch enthalten! Russell: Postulate bieten die Vorteile des Diebstahls gegenüber ehrlicher Arbeit. Existieren gleich Lösbarkeit von Gleichungen: dass 2 existiert, heißt, dass x² 2 = 0 lösbar ist. (Sonderzeichen Wurzel). |
F I G. Frege Die Grundlagen der Arithmetik Stuttgart 1987 F II G. Frege Funktion, Begriff, Bedeutung Göttingen 1994 F IV G. Frege Logische Untersuchungen Göttingen 1993 Bra I R. Brandom Expressive Vernunft Frankfurt 2000 Bra II R. Brandom Begründen und Begreifen Frankfurt 2001 Waismann I F. Waismann Einführung in das mathematische Denken Darmstadt 1996 Waismann II F. Waismann Logik, Sprache, Philosophie Stuttgart 1976 |
| unendlich Cantor | Cantor Vs Verschiedene | Thiel I 197 Eugen Dühring 1861: Eine jede Anzahl, die als etwas Fertiges gedacht wird, ist eine bestimmte. reelle Zahlen/CantorVsDühring: eine nichtabzählbare Gesamtheit ist etwas Fertiges (ja sogar "aktuales"), also eine bestimmte Anzahl. Cantor: keine abzählbare Liste von Dualfolgen kann alle Dualfolgen enthalten. Vielmehr wird von vornherein die Menge der reellen Záhlen oder die Menge der Dualfolgen als gegeben betrachtet, und die Annahme, diese Menge sei abzählbar, dann als durch die Diagonalkonstruktion widerlegt hingestellt. Der fraglosen Hinnahme der "Menge" aller reellen Zahlen oder Dualfolgen entspricht völlig die Deutung des geführten Nachweises, der nach klassischer Auffassung mehr als das rein negative Ergebnis der Nichtabzählbarkeit liefert: Thiel I 198 da die schon akzeptierte Menge aller reellen Zahlen eine Mächtigkeit haben muss, ist diese zwar unendlich, aber nicht gleich der der Grundzahlen. Also größere Mächtigkeit. Entsprechend der Vorstellung von der Bestimmtheit aller Anzahlen oder Mächtigkeiten erhält sie dann auch einen Namen, z.B. "c". Damit scheinen wir dann auch eine "transfinite" Kardinalzahl zu haben: die Mächtigkeit des Kontinuums, die größer ist als die Mächtigkeit der Menge der Grundzahlen. Cantor hat positiv ein ganzes weiteres Reich des Überabzählbaren zu erweisen versucht. KonstruktivismusVs: es gibt keine Menge der reellen Zahlen, da eine diese Menge darstellende Aussageform fehlt. Außerdem mit den Dualfolgen unzulässiger Vorgriff auf Konstruktionsmittel, die noch gar nicht zur Verfügung stehen. Die spezielle Konstruktionsanweisung für Dualfolgen wäre sogar widersprüchlich, da sie fordert, eine Dualfolge zu konstruieren, die von allen Dualfolgen verschieden ist. (Also auch von sich selbst). Vs: sicher, aber das entspricht nicht der Forderung, eine Zahl zu konstruieren, die von allen natürlichen Zahlen verschieden ist . Aber das kann man auch: Bsp 2/3 ist von allen natürlichen Zahlen verschieden. |
T I Chr. Thiel Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995 |
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Der gesuchte Begriff oder Autor findet sich in Auseinandersetzungen folgender wissenschaftlicher Lager:
| Begriff/ Autor/Ismus |
Pro/Versus |
Eintrag |
Literatur |
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| Intuitionismus/Mathe | Versus | Waismann I 347 unendlich/Cantor: Unendliches fertiges Ganzes - BrouwerVs |
Waismann I F. Waismann Einführung in das mathematische Denken Darmstadt 1996 Waismann II F. Waismann Logik, Sprache, Philosophie Stuttgart 1976 |
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