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Der gesuchte Begriff oder Autor findet sich in folgenden 46 Einträgen:
| Begriff/ Autor/Ismus |
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| Ableitbarkeit | Hilbert | Thiel I 97 Ableitbarkeit/Hilbert/Thiel: Die verwendeten Verfahren zum Nachweis der Unableitbarkeit einer Formel aus anderen mittels vorgegebener Ableitungsregeln sind in der Hilbertschule, erstmals von Bernays gegeben worden in Bernays' Habilitationsschrift für den Nachweis der Unabhängigkeit von Axiomensystemen der klassischen Aussagenlogik. Keines dieser Axiome soll sich aus den anderen ableiten lassen. Klassisch: ~~p > p effektiv: p > ~~p I 102 Axiomatische Herleitungen logischer Sätze waren bis in die Zwanziger Jahre in der Form konkurrenzlos, danach wurden als alternative Verfahren Kalküle des "natürlichen Schließens" entwickelt, deren Regel meist genau ein logisches Symbol neu in eine Folgerungskette einbringt oder eliminiert. Dies ist der tatsächlichen Art mathematischen Vorgehens näher als das axiomatische Vorgehen. >Natürliches Schließen, >G. Gentzen, >Ableitung, >Axiome, >Axiomensysteme, >Kalkül, >Logik. |
T I Chr. Thiel Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995 |
| Ableitung | Hilbert | Berka I 113 Ableitung/Einsetzen/"Beweisfäden"/Hilbert: Jede Ableitung lässt sich in Beweisfäden auflösen, d.h. man beginnt mit der Endformel durch Anwendung der Schemata (α),(β), (...). I 114 Pointe: So kann man durch die Auflösung einer Ableitung in Beweisfäden die Einsetzungen in die Ausgangsformeln zurückverlegen. >Beweise, >Beweisbarkeit, >Ableitbarkeit. Einsetzen/Einsetzungsregeln/Variablen/Beweisfäden/Hilbert: Durch die Zurückverlegbarkeit der Einsetzungen (durch Beweisfäden) können wir ohne Einsetzungsregeln auskommen. Denn wir können aus der Ableitung von Formeln die keine Formelvariable enthalten, die Formelvariablen gänzlich ausschalten, so dass die formal deduktive Behandlung axiomatischer Theorien ganz ohne Formelvariablen erfolgen kann. >Einsetzen. Hilbert: Dabei wird die Regel, dass identische Formeln des Aussagenkalküls als Ausgangsformeln zugelassen sind, dahin modifiziert, dass jede aus einer identischen Formel des Aussagenkalküls durch Einsetzung der hervorgehenden Formel als Ausgangsformel zugelassen ist. Beweisfäden/(s): Die Einsetzungsregel wird auch dadurch überflüssig, dass man im Verlauf das praktische Einsetzen studieren kann. D.h. jeder Fall ist dokumentiert, also braucht man keine Regel für nicht aktuelle Fälle. Hilbert: An die Stelle der Grundformel: (x)A(x) > (A(a) tritt (x)A(x) > A(t) und an die Stelle von (Ex)A(x) tritt A(t) > (Ex)A(x). t: Term. Formeln: D.h. an die Stelle von Formeln treten Formelschemata. Axiome: An die Stellen von Axiomen treten Axiomenschemata. In den Axiomenschemata sind die vorherigen freien Individuenvariablen durch Bezeichnungen von willkürlichen Termen und in den Formelschemata sind die vorherigen Formelvariablen durch Bezeichnungen willkürlicher Formeln ersetzt.(1) >Schemata, >Axiome, >Axiomensysteme. 1. Hilbert, D. & Bernays, P: Grundlagen der Mathematik, I, II, Berlin 1934-1939 (2. Aufl. 1968-1970). |
Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |
| Ableitung | Mates | I 158 Ableitbarkeit/Ableitung/Mates: "Fa" kann man nicht aus "(Ex)Fx" ableiten, da "Fa" keine Folgerung daraus ist. - Man kann aber "Fa" als eine Prämisse einführen. >Prämissen, >Einführung, >Einführungsregeln, >Quantifikation, >Existenzquantifikation, >Folgebeziehung, >Ableitbarkeit, >Axiome, >Axiomensysteme. |
Mate I B. Mates Elementare Logik Göttingen 1969 Mate II B. Mates Skeptical Essays Chicago 1981 |
| Aussagenlogik | Wessel | I 35 Aussagenlogik/Wessel: Aussagenlogik kann auf drei verschiedene Weisen aufgebaut werden: 1. semantisch (wahrheitsfunktional), >Wahrheitsfunktionen, >Semantik. 2. als System des natürlichen Schließens >Natürliches Schließen, >G. Gentzen. 3. als axiomatischer Aufbau. >Axiome, >Axiomensysteme. Vgl. >Prädikatenlogik, >Logik. |
Wessel I H. Wessel Logik Berlin 1999 |
| Axiome | Bigelow | I 119 Axiome/Intuition//Bigelow/Pargetter: Intuitionen sollten nicht ganze Axiomensysteme über den Haufen werfen dürfen. Bsp Prinzip der Verteilung der Disjunktion: kann so erklärt werden: Angenommen, in natürlichen Sprachen sei ein Konditional „Wenn A, dann B“ äquivalent zu einer Quantifikation über Situationen: „In allen Situationen, wo A gilt, gilt auch B“. Dann könnte man die Distribution der Disjunktion so lesen: logische Form: (x)((Ax v Bx) wäre>wäre Cx) > (x)(Ax wäre>wäre Cx) u (x)(Bx wäre>wäre Cx)). Das ist unbestreitbar logisch wahr! >Distribution, >Disjunktion, >Kontrafaktisches Konditional. Bigelow/Pargetter: Daher scheint die quantifizierte Form die alltagssprachliche besser einzufangen als die unquantifizierte. Bsp „In jeder Situation, in der Du äßest…“ Das ist dann eine logische Wahrheit. I 120 Das zeigt wieder das Zusammenspiel von Sprache und Ontologie. Axiome/Realismus//Bigelow/Pargetter: Unsere Axiome werden von einer robusten realistischen Korrespondenztheorie gestärkt Und das ist ein Argument für eine konservative, klassische Logik. >Korrespondenztheorie. I 133 Theoreme/Bigelow/Pargetter: Theoreme brauchen eine semantische Rechtfertigung, weil sie abgeleitet sind. Das ist die Gegründetheit (Fundiertheit, soundness). >Fundierung. Frage: Werden die Theoreme dann auch beweisbar sein? Dann geht es um Vollständigkeit. >Beweise, >Beweisbarkeit, >Vollständigkeit. Axiome/Axiom/Axiomensystem/Axiomatik/Bigelow/Pargetter: Axiome kann man verstehen als eine Methode, eine Interpretation der logischen Symbole darzulegen, ohne eine Metasprache (MS) zu gebrauchen. >Metasprache. D.h. wir haben hier implizite Definitionen der logischen Symbole. Das bedeutet, dass man die Wahrheit der Axiome einfach direkt sehen kann. Und jeder der sie versteht, kann das manifestieren, indem er sie einfach wiederholt, ohne sie zu paraphrasieren. >Definition, >Definierbarkeit 134 Sprache/Bigelow/Pargetter: letztlich brauchen wir eine Sprache die wir sprechen und verstehen, ohne vorher semantische Regeln aufzustellen. In dieser Sprache können wir aber später Axiome für eine Theorie formulieren: Das nennen wir Def „extrovertierte Axiomatik“/Terminologie/Bigelow/Pargetter: eine Axiomatik, die in einer schon existierenden Sprache entwickelt wird. Def introvertierte Axiomatik/Terminologie/Bigelow/Pargetter: eine Axiomatik, mit der die Arbeit beginnt. Extrovertierte Axiomatik/Bigelow/Pargetter: Eine extrovertierte Axiomatik hat keine Probleme mit „Metatheoremen“ und keine Probleme mit den mathematischen Eigenschaften der verwendeten Symbole. Wir wissen schon, was sie bedeuten. Verstehen und Akzeptieren der Axiome sind hier eins. D.h. die implizite Definition geht der expliziten Definition voraus. Wir müssen schon verstehen, womit wir arbeiten. |
Big I J. Bigelow, R. Pargetter Science and Necessity Cambridge 1990 |
| Axiome | Dedekind | Thiel I 208 Axiome/Dedekind/Thiel: Von Axiomen wird Evidenz, d.h. unmittelbares Einleuchten ihrer Wahrheit verlangt. Euklids Axiome waren überschaubar, heutige Axiomensysteme können fast unübersehbar wuchern. Aus den Axiomen soll jeder Satz ableitbar sein. Diese Ableitbarkeit besteht aber für jeden Satz einzeln. >Ableitung, >Ableitbarkeit, >Axiomensysteme. Der Plural von "Geometrien" zeigt einen Wandel im Begriff der Geometrie selbst. >Geometrie. I 209 Dedekind machte als erster den Versuch, auch die rechnende Disziplin der Arithmetik zu axiomatisieren (nicht Peano). Def "Grundeigenschaften"/Dedekind: sind solche, die sich nicht auseinander ableiten lassen. Vgl. >Eigenschaft. Dedekind Peano Axiome: (1) 1 ε Z (2) (m)((m ε Z) > (m' ε Z)) (3) (m ε Z)(n ε Z)((m' = n') > (m = n)) (4) (m ε Z) ~(m' = 1) (5) (m ε Z)((E(m) > E(m')) >(E(1) > (n ε Z)((E)(n)) I 210 Dedekind und Peano benutzen beim 5. Axiom statt "ε" "m enthalten in der Menge M". Thiel: das ist aber nicht notwendig. Wir überzeugen uns, dass die natürlichen Zahlen das Axiomensystem erfüllen, indem wir einsetzen. Die fünf Axiome gehen dann in wahre Sätze über, wofür wir auch sagen, dass die natürlichen Zahlen mit den genannten Eigenschaften und Relationen ein Modell des Axiomensystems bilden. >Modelle. I 211 Die konstruktive Arithmetik mit dem Kalkül N und der Konstruktionsgleichheit von Zählzeichen liefert ein operatives Modell der Axiome. Mathematiker verfahren in der Praxis und in Büchern keineswegs so. Die Praxis ist nicht lückenlos. I 213 Insistieren auf "sauberen" Lösungen kommt erst bei metamathematischen Bedürfnissen auf. |
T I Chr. Thiel Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995 |
| Axiome | d’Abro | A. d'Abro Die Kontroversen über das Wesen der Mathematik 1939 in Kursbuch 8 Mathematik 1967 35 Axiomatik/d’Abro: Die neue Wissenschaft der Axiomatik wurde hauptsächlich von den Formalisten Hilbert und Peano entwickelt. >Formalismus. 37 Hilbert/d‘Abro: Beispiele für typische Behauptungen Hilberts: 1. Zwei verschiedene Punkte, A und B , bilden immer eine Gerade. 2. Drei verschiedene Punkte, A,B, und C, die nicht auf einer Geraden liegen, bilden immer eine Ebene. 3. Von drei auf einer Geraden liegenden Punkten liegt einer und immer nur einer zwischen den beiden anderen. 4. Ist das Segment AB gleich den Segmenten A'B' und A''B'', so ist A'B' gleich A''B''. Die Pointe der Hilbertschen Postulate: Punkte, Geraden und Ebenen sind nicht die einzigen Größen, die diesen Relationen genügen: mit einiger Phantasie lassen sich noch andere finden. Bsp Es bezieht sich ursprünglich auf ebene Geometrie und kann mit anderer Bedeutung versehen werden: Kreise als neue Geraden, mit Winkeln als Abständen. Alle Relationen werden erfüllt, daher kann das neue Modell und das alte (euklidische) als verschiedene Modelle oder sogenannte "konkrete Darstellungen" angesehen werden, die beide den Postulaten entsprechen. >Modelle. 38 Es mag absurd erscheinen, aber Hilbert warnt davor, den Punkten und Geraden, die er in seinen Postulaten erwähnt, a priori bestimmte Eigenschaften zuzuschreiben. Wir können die Wörter Punkt, Gerade, Ebene in allen Postulaten durch Buchstaben a,b,c, ersetzen. Wenn wir dann Punkte, Geraden und Ebenen einsetzen, erhalten wir die euklidische Geometrie, wenn wir andere einsetzen, deren Relationen allerdings die gleichen sein müssen wir zwischen Punkt Geraden und Ebenen, erhalten wir ein neues Modell. Sie sind isomorph. >Isomorphien. Bsp Die neuen Elemente werden durch eine Dreiergruppe von Zahlen und durch algebraische Begriffe ausgedrückt, welche diese Zahlen miteinander in Beziehung setzen. Hilbert kam darauf, als er kartesianische Koordinaten anstellen von Punkten, Geraden, Ebenen wählte. Die Tatsache, dass die neuen Elemente, hier numerische, den Hilbertschen Postulaten genügten, beweist nur, dass die einfachen geometrischen Schlussweisen und die cartesianische Methode der analytischen Geometrie äquivalent sind. 39 Es wird damit die logische Äquivalenz des geometrischen und arithmetischen Kontinuums bewiesen. Lange vor Hilbert hatten Mathematiker erkannt, dass die Mathematik es mit Beziehungen zu tun hat, und nicht mit Inhalten. Mit Hilberts Postulaten können wir die Euklidische Geometrie schaffen, auch ohne zu wissen, was mit Punkt, Gerade und Ebene gemeint ist. 49 Die Errungenschaften der Axiomatik: 1. sind von unschätzbarem Wert, sowohl vom analytischen wie vom konstruktiven Standpunkt aus. 2. Die Axiomatik hat gezeigt, dass es in der Mathematik um Beziehungen und nicht um Inhalte geht. 3. Die Axiomatik hat gezeigt, dass die Logik von sich aus nicht die Widerspruchsfreiheit bestätigen kann. 4. Die Axiomatik hat auch gezeigt, dass wir über sie hinausgehen und ihren Ursprung zeigen müssen. >Widerspruchsfreiheit, >Letztbegründung, >Fundierung, >Axiomensysteme. |
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| Axiome | Hilbert | Berka I 294 Definition/Axiom/Hilbert: Die aufgestellten Axiome sind zugleich die Definitionen jener elementaren Begriffe, deren Beziehungen sie regeln. ((s) Hilbert spricht von Beziehungen, nicht vom Gebrauch der Begriffe). >Definitionen, >Definierbarkeit, >Grundbegriffe. Unabhängigkeit/Axiom/Hilbert: Hier geht es um die Frage, ob gewisse Aussagen einzelner Axiome sich untereinander bedingen, und ob nicht somit die Axiome noch gemeinsame Bestandteile enthalten, die man beseitigen muss, damit die Axiome unabhängig voneinander sind(1). >Unabhängigkeit. 1. D. Hilbert: Mathematische Probleme, in: Ders. Gesammelte Abhandlungen (1935), Vol. III, pp. 290-329 (gekürzter Nachdruck v. S 299-301). Thiel I 262 Wir betrachten die ersten drei Axiome von Hilbert: 1. Zu je zwei verschiedenen Punkten P, Q, gibt es genau eine Gerade, die mit P und Q inzidiert(2). 2. Zu jeder Gerade g und jedem nicht mit ihr inzidierenden Punkt P gibt es genau eine Gerade, die mit P, aber mit keinem Punkt von g inzidiert. 3. Es gibt drei Punkte, die nicht mit ein und derselben Gerade inzidieren. In Hilberts Originaltext ist statt von Punkten von "Gegenständen erster Art", statt von Geraden von "Gegenständen zweiter Art" und statt von Inzidenz von "Grundbeziehung" die Rede. Damit lautet das erste Axiom jetzt so: Zu je zwei verschiedenen Gegenständen erster Art gibt es genau einen Gegenstand zweiter Art, der mit den beiden erstgenannten in der Grundbeziehung steht. Thiel I 263 Werden die Axiome quantorenlogisch umgeformt, dann ist nur noch das schematische Zeichen "π" (für die Grundbeziehung) frei für Ersetzungen, die anderen sind durch Quantoren gebunden und können nicht mehr durch einzelne Namen von Punkten oder Geraden ersetzt werden. >Quantifikation, >Quantoren. Sie sind also "Aussagenformen" mit "π" als Leerstelle. >Aussagenfunktionen. Sie sind keine Aussagen wie die vor Hilbertschen Axiome, deren Wahrheit oder Falschheit durch die Bedeutungen ihrer Bestandteile feststeht. >Wahrheitswerte. Bei dem (heute üblichen) hilbertschen Axiombegriff sind Axiome Aussageformen oder Aussagenschemata, deren Bestandteilen eine Bedeutung erst durch Interpretation gegeben werden muss durch Angabe der Variabilitätsbereiche und der Grundbeziehung. Dass das auf verschiedene Weise geschehen kann, zeigt bereits, dass die Axiome auch durch ihr Zusammenwirken in einem Axiomensystem nicht selber die Bedeutung ihrer Bestandteile bestimmen (nicht deren Merkmale sind, wie Hilbert manchmal sagt). Thiel I 264 Mehrere Interpretationen sind möglich: Bsp das Liegen von Punkten auf einer Geraden, Bsp das Vorkommen von Zeichen in Zeichenfolgen, Bsp Zahlenverhältnisse. Thiel I 265 Alle drei Interpretationen sind wahre Aussagen. Die gebildeten Tripel von Bildungsvorschriften sind Modelle unseres Axiomensystems. Das erste ist ein unendliches, die beiden anderen endliche Modelle. >Modelle, >Unendlichkeit. Thiel I 266 Die Axiome können durch Konjunktion zu einem Axiomensystem zusammengefasst werden. >Konjunktion. Durch die Beziehungen werden die in den Gegenstandsbereichen liegenden Gegenstände in der durch die zusammengefassten Axiome bestimmten Weise miteinander verflochten. Die Bereiche V.. werden dadurch "strukturiert" (konkrete und abstrakte Strukturen). >Bereiche, >Strukturen (Mathematik). Ein und dieselbe Struktur lässt sich durch verschiedene Axiomensysteme beschreiben. Es werden nicht nur logisch äquivalente Axiomensysteme verwendet, sondern auch solche, deren Grundbegriffe und Beziehungen sich zwar unterscheiden, aber doch durch zwei Systeme expliziter Definitionen wechselseitig definierbar sind. Thiel I 267 Schon die beiden ursprünglichen Axiomensysteme sind ohne Hinzunahme wechselseitiger Definitionen äquivalent, d.h. sie sind logisch äquivalent. Diese Äquivalenzrelation ermöglicht einen Abstraktionsschritt zu den Feinstrukturen. Im bisherigen Sinne gleiche Strukturen, werden jetzt differenziert: Die sie beschreibenden Axiomensysteme sind dann nicht unmittelbar logisch äquivalent, aber ihre Begriffe erweisen sich als wechselseitig definierbar. Bsp "Vektorraum", "Gruppe" oder "Körper" sind nicht Bezeichnungen für Feinstrukturen sondern, allgemeiner abstrakte Strukturen. Wir können aber jetzt nicht sagen, dass ein Axiomensystem eine Struktur eindeutig darstelle. Ein Gebilde besitzt mehrere Strukturen, nicht mehr "die" Struktur. I 268 Bsp Körper: Das Gebilde Q besitzt bezüglich Addition und Multiplikation eine durch Axiome beschriebene Körperstruktur. Bsp Gruppe: Die vorige Aussage impliziert zugleich dass Q auch z.B. eine Gruppe bezüglich der Addition ist. Weil die Gruppenaxiome für Addition ein Teil der Körperaxiome bilden. Die moderne Mathematik interessiert sich mehr für die Aussagen über Strukturen als für deren Träger. Unter diesem Gesichtspunkt sind Gebilde, die gleich strukturiert sind, völlig gleichwertig. >Ununterscheidbarkeit. Thiel: In der Algebra ist wohl am häufigsten von Strukturen die Rede. Hier gibt es oft eine einzige Trägermenge mit mehreren Verknüpfungen, die als Relation angesehen werden können. Thiel I 269 Bsp Relation: Summenbildung: x+y = z Relation: s(x,y,z). Neben Verknüpfungsstrukturen tragen die Gegenstandsbereiche oft noch Ordnungsstrukturen oder topologische Strukturen. Thiel I 270 Bourbaki spricht von einer Neuordnung des Gesamtgebiets der Mathematik nach "Mutterstrukturen". In der modernen Mathematik werden Abstrakta, insbesondere also Strukturen, als Äquivalenzklassen und somit als Mengen aufgefasst. >N. Bourbaki, >Äquivalenzklassen. 2. Inzidieren = zusammengehören, d.h. schneiden, durch den Punkt verlaufen, auf ihr liegen. |
Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 T I Chr. Thiel Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995 |
| Axiome | Zermelo | Thiel I 341 Axiome/Zermelo/Thiel: Zermelo selbst hat hervorgehoben, dass die Frage nach Ursprung und Gültigkeitsbereich seiner mengentheoretischen Axiome als philosophische ausgeklammert bleibt. Man wird höchstens sagen können, dass der Logizismus in der axiomatischen Mengenlehre insofern überlebt hat, als dort Kardinalzahlen als bestimmte Mengen definiert werden und eine Kardinalzahlenarithmetik mit ihnen geschaffen wird. >Axiome, >Axiomensysteme, >Mengenlehre. |
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| Beweistheorie | Hilbert | Berka I 384 Beweistheorie/Hilbert: Zunächst werden die Begriffe und Sätze der zu untersuchenden Theorie durch ein formales System dargestellt, und ohne Bezugnahme auf ihre Bedeutung nur formal behandelt. I 385 Beweistheorie: Diese (daran anschließende) Untersuchung ist auf die logische Bedeutung ihrer Begriffe und Schlussweisen angewiesen. Der formalen Theorie wird also eine sinnvolle Metatheorie (Beweistheorie) gegenübergestellt(1). Berka I 395 Beweistheorie/Hilbert: Grundgedanke, These: Alles was bisherige Mathematik ausmacht, wird streng formalisiert, so wird die eigentliche Mathematik ein Bestand an Formeln. Neu dabei sind die logischen Zeichen "folgt" (›) und "nicht". Schlussschema: S S › T T wo jedes Mal die Prämissen, d.h. (S und S › T) jede entweder ein Axiom ist, bzw. durch Einsetzung aus einem Axiom entsteht oder mit der Endformel übereinstimmt. Def beweisbar/Hilbert: Eine Formel ist beweisbar, wenn sie entweder ein Axiom ist oder durch Einsetzen aus diesem entsteht, oder Endformel eines Beweises ist. >Beweise, >Beweisbarkeit. Metamathematik/Beweistheorie/Hilbert: Die Beweistheorie kommt nun zur eigentlichen Mathematik hinzu: Im Gegensatz zu den rein formalen Schlussweisen der eigentlichen Mathematik kommt hier das inhaltliche Schließen zur Anwendung. Allerdings lediglich zum Nachweis der Widerspruchsfreiheit der Axiome. >Axiome, >Axiomensysteme, >Axiome/Hilbert. In dieser Metamathematik wird mit den Beweisen der eigentlichen Mathematik operiert und diese bilden selbst den Gegenstand der inhaltlichen Untersuchung. >Metamathematik. So vollzieht sich die Entwicklung des mathematischen Gesamtwissens auf zweierlei Art: a) durch Gewinnung neuer beweisbarer Formeln aus den Axiomen durch formales Schließen und b) durch Hinzufügung neuer Axiome nebst Nachweis der Widerspruchsfreiheit durch inhaltliches Schließen. >Widerspruchsfreiheit, >Materiale Implikation. Berka I 395 Wahrheit/absolute Wahrheit/Hilbert: Axiome und beweisbare Sätze sind Abbilder der Gedanken, die das Verfahren der bisherigen Mathematik ausmachen, aber sie sind nicht selbst die absoluten Wahrheiten. >Wahrheit/Hilbert. Def absolute Wahrheit/Hilbert: Absolute Wahrheiten sind die Einsichten, die durch meine >Beweistheorie hinsichtlich der Beweisbarkeit und Widerspruchsfreiheit der Formelsysteme geliefert werden. Durch dieses Programm ist die Wahrheit der Axiome für unsere Beweistheorie schon vorgezeichnet.(2) 1. K. Schütte: Beweistheorie, Berlin/Göttingen/Heidelberg 1960, S. 2f. 2. D. Hilbert: Die logischen Grundlagen der Mathematik, in: Mathematische Annalen 88 (1923), S. 151-165. |
Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |
| Dialogische Logik | Lorenzen | Wessel I 260 Dialogische Logik/Paul Lorenzen/Wessel: PO: Proponent, O: Opponent. 1. Der Dialog beginnt mit dem Setzen einer Formel durch den Proponenten 2. Der Proponent darf nur eine der vom Opponenten behaupteten zusammengesetzten Formeln angreifen oder sich gegen den letzten Angriffszug des Opponenten verteidigen. 3. Der Opponent darf nur die im vorhergehenden Zug des Proponenten gesetzte Formel angreifen oder sich gegen den Angriff im vorhergehenden Zug verteidigen. Operatorenregeln: Behauptung Angriff Verteidigung ~A A? nicht möglich! A u B ?L A A u B ?R B A v B ? A A v B ? B A > B A? B AiA ?(j) A{i/j} EiA ? A{i/j} I 261 Gewinnregel: der Proponent hat gewonnen, wenn er eine Aussagenvariable oder Prädikatformel c zu verteidigen hat, die bereits vom Opponenten behauptet wurde. Def Dialogische Tautologie: liegt vor genau dann, wenn sie gegen jede Strategie des Opponenten gewinnt. Ein Dialog führt immer von komplizierten zu einfacheren Formeln und schließlich zu Aussagenvariablen oder Prädikatformeln. Berka I 206 Dialogische Logik/Lorenzen/Berka: Verdrängt in der jüngsten Diskussion die Auffassung von einer Symmetrie von Regel und allgemeingültiger Formel zugunsten der regellogischen Darstellung. Realisiert sich das Logische in sinnvollen Redehandlungen, so ist ein als Regelwerk aufgebautes Prozessschema die angemessene Beschreibung des Logischen als Regelung der Erzeugung von Handlungen aus gegebenen Handlungen. >Operationalismus, >Pragmatismus. Das ist ein Handlungszusammenhang, der selbst eine Art von Handlung ist. Thiel I 103 Logik/Dialogische Logik/Lorenzen: Erst in den sechziger Jahren ist ein Aufbau der Logik entwickelt worden, der als Begründung auch im wissenschaftstheoretischen und philosophischen Sinn bezeichnet werden kann. Er liefert nämlich eine bis dahin nicht gesehene Möglichkeit zur Begründung sowohl des klassischen wie des konstruktiven Begriffs der "Gültigkeit" logischer Sätze. (Lorenzens "dialogische Logik" mit Proponent und Kontrahent, auch "argumentationstheoretischer Aufbau der Logik"). >Gültigkeit, >Begründung, >Letztbegründung. Die Dialogische Logik soll zeigen, dass das axiomatische Herleiten nicht den ganzen Sinn des Beweisens ausmacht, sondern dass ein Beweis Gründe für die Wahrheit oder Gültigkeit des bewiesenen Satzes liefern soll. ..+.. I 105. >Beweise, >Beweisbarkeit, >Axiome, >Axiomensysteme. |
Lorn I P. Lorenzen Constructive Philosophy Cambridge 1987 Wessel I H. Wessel Logik Berlin 1999 Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 T I Chr. Thiel Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995 |
| Einsetzen | Hilbert | Berka I 113 Ableitung/Einsetzen/"Beweisfäden"/Hilbert: Jede Ableitung lässt sich in Beweisfäden auflösen, d.h. man beginnt mit der Endformel durch Anwendung der Schemata (α),(β), (...). >Ableitung, >Ableitbarkeit. I 114 Pointe: So kann man durch die Auflösung einer Ableitung in Beweisfäden die Einsetzungen in die Ausgangsformeln zurückverlegen. Einsetzen/Einsetzungsregeln/Variablen/Beweisfäden/Hilbert: Durch die Zurückverlegbarkeit der Einsetzungen (durch Beweisfäden) können wir ohne Einsetzungsregeln auskommen. Denn wir können aus der Ableitung von Formeln die keine Formelvariable enthalten, die Formelvariablen gänzlich ausschalten, sodass die formal deduktive Behandlung axiomatischer Theorien ganz ohne Formelvariablen erfolgen kann. >Beweise, >Beweisbarkeit. Hilbert: Dabei wird die Regel, dass identische Formeln des Aussagenkalküls als Ausgangsformeln zugelassen sind, dahin modifiziert, dass jede aus einer identischen Formel des Aussagenkalküls durch Einsetzung hervorgehende Formel als Ausgangsformel zugelassen ist. Beweisfäden/(s): Die Einsetzungsregel wird auch dadurch überflüssig, dass man im Verlauf das praktische Einsetzen studieren kann. D.h. jeder Fall ist dokumentiert, also braucht man keine Regel für nicht aktuelle Fälle. Hilbert: An die Stelle der Grundformel: (x)A(x) > (A(a) tritt (x)A(x) > A(t) und an die Stelle von: (Ex)A(x) tritt A(t) > (Ex)A(x) t: Term. Formeln: D.h. an die Stelle von Formeln treten Formelschemata. Axiome: An die Stelle von Axiomen treten Axiomenschemata. In den Axiomenschemata sind die vorherigen freien Individuenvariablen durch Bezeichnungen von willkürlichen Termen und in den Formelschemata sind die vorherigen Formelvariablen durch Bezeichnungen willkürlicher Formeln ersetzt.(1) >Beweise, >Beweisbarkeit, >Axiome, >Axiomensysteme. 1. D. Hilbert und P. Bernays: Grundlagen der Mathematik, I, II Berlin 1934-1939 (2. Aufl. 1968-1970). |
Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |
| Endlichkeit | Hilbert | Thiel I 245 Endlichkeit/Finitheit/Finit/Hilbert: Es geht im Sinne Hilberts nur darum, wie sich Aussagen über unendliche Objekte zirkelfrei mit Hilfe "finiter" Methoden rechtfertigen lassen. >Unendlichkeit, >Zirkularität, vgl. >Rekursion, >Rekursivität. Hilbert fand die Finitheit in den "operativen" Verfahren vor allem der Kombinatorik, der Arithmetik, und der elementaren Algebra schon exemplarisch verwirklicht. Sie waren bis in das zweite Drittel des 19. Jahrhunderts "genetisch" (=konstruktiv) aufgebaut, während der Aufbau der Geometrie als Paradebeispiel für den Axiomatischen Aufbau einer Disziplin galt. >Konstruktivismus, >Geometrie, >Zahlentheorie, >Arithmetik, >Axiome, >Axiomensysteme. I 246 Jede finite Operation ist ein für die handelnde Person überschaubarer Bereich. Dieser Schauplatz kann im Fortgang des Verfahrens wechseln. I 247 Dass die für Gödels Beweis benötigten arithmetischen Funktionen sogar primitiv rekursiv sind (I 232) ist insofern bemerkenswert, als durchaus nicht alle effektiv berechenbaren Funktionen primitiv rekursiv sind, die primitiv rekursiven Funktionen also eine echte Teilklasse der berechenbaren Funktionen bilden. >K. Gödel, >Vollständigkeit/Gödel, >Unvollständigkeit/Gödel. I 248 Eine effektiv berechenbare, aber nicht primitiv rekursive Funktion wird z.B. durch folgende Schemata zur Berechnung ihrer Werte erklärt (nicht bewiesen) (x' ist der Nachfolger von x): ψ(0,n) = n' ψ(m',0) = ψ(m,1) ψ(m',n')= ψ(m,ψ(m',n)). I 248 Will man dem allgemeinen Berechenbarkeitsbegriff näherkommen, muss man als neues Ausdruckmittel, den sogenannten µ Operator hinzunehmen. I 249 Berechenbarkeit/Church/Thiel: Wie nahe ist man damit einem Begriff der "allgemeinen Berechenbarkeit" gekommen? Es gibt den Begriff der "Turing Berechenbarkeit", der "l-Definierbarkeit bei Church und der "kanonischen Systeme" bei Post. . >Berechenbarkeit, >A. Turing. Jede Funktion, die in einer dieser Klassen liegt, liegt nachweislich auch in den anderen. Church: Church hat daraufhin die Vermutung ausgesprochen, dass damit eine adäquate Präzisierung des allgemeinen Berechenbarkeitsbegriffs erreicht sei. >"Church These". Er meint aber, dass das eine "außermathematische" Vermutung sei, und keines mathematischen Beweises fähig. Es handelt sich um einen intuitiven Begriff. Ob eine derartige Präzisierung "adäquat" sei, sei mit mathematischen Mitteln nicht zu beantworten. >Beweise, >Beweisbarkeit, >Adäquatheit. I 250 Es bleiben außer Finitheit und Konstruktivität noch andere Fragen: Keine der Definitionen für die angebotenen Funktionenklassen ist nämlich finit (z.B. µ-rekursive Funktionen). Der Versuch, mit klassischen Mitteln effektive Ausführbarkeit zu beschreiben bleibt fragwürdig, deuten wir den Existenzquantor aber konstruktiv, so haben wir den Begriff der Konstruktivität bereits vorausgesetzt. >Quantifikation, >Existenzquantifikation, >Quantoren. |
T I Chr. Thiel Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995 |
| Gödel | Dennett | I 602 Geist/Gödel/Dennett: Gödel selbst schien "Himmelshaken" als Erklärung für den menschlichen Geist für nötig zu halten. Gödel: gewisse Wahrheiten kann man "sehen" aber niemals beweisen. (> Beweis). I 605 Gödelzahl: ist eine Möglichkeit, alle möglichen Axiomensysteme in alphabetischer Reihenfolge anzuordnen. DennettVsGödel: Problem: wie kann man überhaupt feststellen, ob ein Mathematiker einen Satz beweisen hat, oder nur ein Geräusch gemacht hat, wie ein Papagei? (Verhalten). J.R.Lucas, 1961(1): die entscheidende Eigenschaft sollte sein, "einen Satz als wahr darzustellen". DennettVsLucas: das stößt aber auf unüberwindliche Interpretationsprobleme. Gödel/Toshiba-Bibliothek/Dennett: "es gibt keinen einzelnen Algorithmus, der alle Wahrheiten der Arithmetik beweisen kann". Dennett: über alle anderen Algorithmen in der Bibliothek sagt Gödel aber nichts. 1. J.R.Lucas, Minds, Machines, and Gödel. Etica E Politica 5 (1):1 (1961) |
Dennett I D. Dennett Darwins gefährliches Erbe Hamburg 1997 Dennett II D. Dennett Spielarten des Geistes Gütersloh 1999 Dennett III Daniel Dennett "COG: Steps towards consciousness in robots" In Bewusstein, Thomas Metzinger Paderborn/München/Wien/Zürich 1996 Dennett IV Daniel Dennett "Animal Consciousness. What Matters and Why?", in: D. C. Dennett, Brainchildren. Essays on Designing Minds, Cambridge/MA 1998, pp. 337-350 In Der Geist der Tiere, D Perler/M. Wild Frankfurt/M. 2005 |
| Gödel | Mates | I 289 Gödel/Mates: Hauptresultat: Gödel zeigte mit dem Unvollständigkeitssatz, dass man mathematische Wahrheit nicht mit Ableitbarkeit aus einem speziellen Axiomensystem identifizieren kann. >K. Gödel, >Unvollständigkeit/Gödel, >Mathematische Wahrheit, >Gültigkeit, >Ableitung, >Ableitbarkeit, >Axiome, >Axiomensysteme. |
Mate I B. Mates Elementare Logik Göttingen 1969 Mate II B. Mates Skeptical Essays Chicago 1981 |
| Gödel | Quine | XIII 82 Gödel/Gödels Theorem/Quine: Beweis/Selbstevidenz/Quine: es ist zu viel verlangt, dass ein Beweis selbstevident sein müsste. Bsp Euklids Parallelenaxiom ist nicht selbstevident. Bsp Mengenlehre ist auch nicht selbstevident, weil sie von Paradoxa geschüttelt ist. Selbstevidenz/Quine: finden wir in einer kleinen Anzahl von Axiomen der Zahlentheorie. Es sind die Axiome von Dedekind, die die Axiome von Peano genannt werden. Elementare Zahlentheorie/Quine: es war immer die Frage, ob es nicht noch gültige Gesetze gäbe, die aus den Axiomen nicht abgeleitet werden könnten. Es gab sie! Das war eine Frage der Adäquatheit. Gesetze/DF/Quine: die Frage weiterer, noch unentdeckter Gesetze schien ein Problem aller Zweige der Mathematik zu sein. Durch Ergänzungen der Axiome könnte man das vielleicht beheben? Aber Gödel bewies 1931, dass das nicht so sein kann! Gödel/Quine: bewies, dass es kein vollständiges deduktives System für ein noch so kleines Fragment der Mathematik geben kann, wie es z.B. die Elementare Zahlentheorie ist. XIII 82 Gödel/Quine: bewies, dass es kein vollständiges deduktives System für ein noch so kleines Fragment der Mathematik geben kann, wie es z.B. die elZT ist Def Elementare Zahlentheorie /Quine: umfasst Ziffern, Notation für plus, mal, Potenz und Gleichheit XIII 83 Satzoperatoren: für „nicht“, „und“ und „oder“ und die Quantoren „Jede Zahl x ist so, dass…“und „es gibt eine Zahl x so dass…“. Die Zahlen sind die positiven ganzen Zahlen und die Null. Damit kann man Bsp Fermats letztes Theorem ausdrücken. Gödel/Quine: These: Kein Axiomensystem oder anderer deduktiver Apparat kann alle Wahrheiten abdecken, die selbst in dieser moderatesten Notation ausdrückbar sind. Jedes gültige Beweisverfahren wird einige wahre Sätze außer acht lassen, ja sogar unendlich viele davon. Selbstevidenz/Mathematik/Gödel/Quine: daher müssen wir die Forderung der Selbstevidenz fallen lassen. falsche Lösung/Quine: könnte man nicht einfach alle entdeckten Wahrheiten als Axiome nehmen? Vs: das ist nicht deswegen unmöglich, weil es keine Axiomensysteme mit unendlich vielen Axiomen geben könnte, solche gibt es. Es ist vielmehr so, dass ein Beweis in endlicher Zeit geprüft werden können muss. Gödel/Gödels Theorem/Quine: ist verwandt mit den reflexiven Paradoxa. Es geht darum, dass die Notation der elZT über sich selbst sprechen können muss. ((s) >Selbstreferenz). Gödelnummerierung/Gödelzahl/Quine: …+… XIII 84 Erwähnung/Gebrauch/Gödel/Quine: Gödels Beweis verlangt auch diese Unterscheidung. Bsp die Ziffer „6“ benennt die Zahl 6 und hat die Gödelzahl 47. Wir können sagen, die Gödelzahl 47 benennt die Zahl 6. (>Stellvertreter). Syntax/Arithmetik/Gödel/Quine: nachdem alle Ausdrücke ihre Benennung durch Gödelzahlen haben, können die syntaktischen Operationen über Ausdrücke, durch arithmetische Operationen über Zahlen gespiegelt werden. Zitat/Gödel/Quine: Problem: die entsprechende Notation ist nicht Teil der symbolischen Logik und Arithmetik. Anführungszeichen (AZ) können dann auch nicht einfach durch Gödelzahlen benannt werden. Zitat/Quine: eines Ausdrucks: benennt diesen Ausdruck. Gödelzahlen/Gödelnummer/Quine: 47 benennt 6, weiterhin benennt 5361 die Zahl 47, wenn zufällig 53 und 61 die Gödelzahlen der Ziffern „4“ und „7“ sind. ((s) Anführungszeichen sic). Zitat/Gödel/Quine: die Zitatrelation ist als repräsentiert durch die arithmetische Relation, die 5361 zu 47 und 47 zu 6 hat. Die allgemeine Relation kann in der Notation der elZT ausgedrückt werden, wenn auch nicht leicht. Die arithmetische Rekonstruktion syntaktischer Begriffe wie dieses war ein substantieller Teil von Gödels Arbeit. Lügner/Lügnerparadoxie/Gödel/Quine: ist dienlich in einem der beiden Teile, in den Gödels Beweis aufgeteilt werden kann. Die Bombe explodiert, wenn die beiden Teile zusammengesetzt werden. Der Lügner kann vollständig XIII 85 durch Gödelnumerierung ausgedrückt werden mit Ausnahme eines einzigen Ausdrucks: „Wahrheit“. Wenn das ginge, hätten wir das Paradox gelöst, aber die elZT in Misskredit gebracht. Wahrheit/Gödelzahl/Gödelnummer/Quine: Wahrheit ist nicht definierbar mittels Gödelzahlen, innerhalb der elZT. Gödels Theorem/Quine: formal: keine Formel in der Notation der elZT ist wahr von allen und nur den Gödelnummern von Wahrheiten der elZT. (Das ist der eine Teil. anderer Teil/Quine: behandelt jedes echte Beweisverfahren, hier geht es darum, dass jeder Beweis prüfbar sein muss. formal: eine gegebene Formel in der Notation der elZT ist wahr von allen und nur den Gödelzahlen beweisbarer Formeln. Church/Quine: ich übergehe hier seine These (Church-These), (siehe Rekursion; s.u.). Gödel/Quine: die beiden Teile zusammen besagen, daß die beweisbaren Formeln nicht mit den Wahrheiten der elZT zusammenfallen. Entweder sie enthalten einige Falschheiten, oder sie decken einige Wahrheiten nicht ab. Gott verbietet das. Gödel/Quine: sein eigener Beweis war direkter. Er zeigte, dass ein gegebener Satz, ausgedrückt in Gödelzahlen, nicht bewiesen werden kann. Entweder ist er falsch oder beweisbar, oder wahr und nicht beweisbar. Vermutlich das Letztere. Falsche Lösung/Quine: man könnte diese verirrte Wahrheit als Axiom hinzufügen, aber dann bleiben wieder andere unbeweisbare. Gödel/Pointe/Quine: ironischerweise war es zwar unplausibel, dass es eine Beweisprozedur für alle Wahrheiten der elZT geben könnte. Dieses würde Fermats Satz klären, und vieles andere mehr. XIII 86 Andererseits schlug Gödels Ergebnis wie eine Bombe ein. Pointe: diese beiden Mängel stellten sich nun aber als äquivalent heraus! Denn: Kleene/Quine: zeigte, dass wenn es ein vollständiges Beweisverfahren gibt, könnte jede Aussage als wahr oder falsch getestet werden wie folgt: ein Computer müsste so programmiert werden, jede Aussage herunter zu spulen, in alphabetischer Reihenfolge, die kürzesten zuerst, dann immer längere. Am Ende, wegen der Vollständigkeit des Verfahrens, wird er jeden einzelnen Satz bewiesen oder widerlegt haben. |
Quine I W.V.O. Quine Wort und Gegenstand Stuttgart 1980 Quine II W.V.O. Quine Theorien und Dinge Frankfurt 1985 Quine III W.V.O. Quine Grundzüge der Logik Frankfurt 1978 Quine V W.V.O. Quine Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989 Quine VI W.V.O. Quine Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995 Quine VII W.V.O. Quine From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953 Quine VII (a) W. V. A. Quine On what there is In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (b) W. V. A. Quine Two dogmas of empiricism In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (c) W. V. A. Quine The problem of meaning in linguistics In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (d) W. V. A. Quine Identity, ostension and hypostasis In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (e) W. V. A. Quine New foundations for mathematical logic In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (f) W. V. A. Quine Logic and the reification of universals In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (g) W. V. A. Quine Notes on the theory of reference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (h) W. V. A. Quine Reference and modality In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (i) W. V. A. Quine Meaning and existential inference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VIII W.V.O. Quine Bezeichnung und Referenz In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 Quine IX W.V.O. Quine Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967 Quine X W.V.O. Quine Philosophie der Logik Bamberg 2005 Quine XII W.V.O. Quine Ontologische Relativität Frankfurt 2003 Quine XIII Willard Van Orman Quine Quiddities Cambridge/London 1987 |
| Grundbegriffe | Lorenzen | Thiel I 80 Formelsprache der Logik/Protologik/Lorenzen: Paul Lorenzen: "protologischer Ansatz": Regelsystem zur Herstellung von aus 0 und + linear zusammengesetzten Figuren "A" vertrete als schematischer Buchstabe derartige Figuren): Regeln: (1) > + (2) A > A 0 (3) A > + A +. nach diesem "Kalkül" ist z.B. die Figur ++00+ herstellbar: (1), 2 mal (2), dann (3). I 80/81 Jede herstellbare Figur muss entweder rechts ein 0 oder links ein + haben. Testfigur 0++ geht daher nicht. Führten wir die Zusatzregel: (4) A > 0 A + hinzu, würde sie herstellbar. Dagegen würde folgende Regel keine neuen Figuren ermöglichen: (5) A > + + A. Das nennt man "Überflüssigkeit" (in der Metamathematik "Zulässigkeit"). Solche Regelsysteme können auch als "operative Logik" bezeichnet werden. I 83 Sie können der Einführung von Junktoren dienen (I 82 Bsp v) Protologik liegt demnach noch vor der Logik. >Logik, >Dialogische Logik, >Regeln, >Regelsysteme, vgl. >Axiome, >Axiomensysteme, >Junktoren. |
Lorn I P. Lorenzen Constructive Philosophy Cambridge 1987 T I Chr. Thiel Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995 |
| Hilbert | d’Abro | A. d'Abro Die Kontroversen über das Wesen der Mathematik 1939 in Kursbuch 8 Mathematik 1967 36 Hilbertsches Postulatensystem: 21 Postulate die zwischen Punkten, Geraden und Ebenen bestimmte Beziehungen definieren sollten. Bsp Stetigkeit war von Euklid stillschweigend angenommen worden, und wurde von Hilbert explizit gefordert. ("Archimedisches Postulat") Euklid ließ sich unbewusst von der Vorstellung fester Körper leiten. Def "Archimedisches Postulat"/Hilbert: Annahme von Stetigkeit (Bei Euklid stillschweigend vorausgesetzt). >Axiome/Hilbert, >D. Hilbert als Autor, >Axiome, >Axiomensysteme. |
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| Kanonisches | Bigelow | I 137 Kanonische Modelle/Bigelow/Pargetter: Kanonische Modelle gehen mit maximalkonsistenten Mengen von Sätzen um, um Vollständigkeitsbeweise zu liefern. >Modelle, >Vollständigkeit, >Beweise, >Beweisbarkeit. Kanonische Modelle wurden erst nach Hughes/Cresswell 1968 entdeckt, sie wurden im späteren Werk (Hughes/Cresswell 1984)(2) beschrieben. Def Vollständigkeitstheorem/Bigelow/Pargetter: Das Vollständigkeitstheorem ist ein Theorem, das beweist, dass, wenn ein Satz in einer bestimmten Semantik garantiert wahr ist, dieser Satz als Theorem bewiesen werden kann. Wie können wir das beweisen? Wie können wir beweisen, dass jeder solche Satz ein Theorem ist? Lösung: Wir beweisen die Kontraposition des Satzes: Statt: Wenn a garantiert wahr ist in der Semantik, ist a ein Theorem beweisen wir Wenn a kein Theorem ist, ist er nicht garantiert wahr in der Semantik. >Semantik. Das beweisen wir, indem wir eine Interpretation finden, nach der er falsch ist. >Interpretation, >Bewertung. Def Kanonisches Modell/Bigelow/Pargetter: Ein kanonisches Modell liefert eine Interpretation die garantierterweise jedes Nichttheorem falsch in wenigstens einer möglichen Welt macht. >Mögliche Welten. I 138 Wir beginnen damit, dass es einen Satz a geben wird, für den entweder a oder ~a ein Theorem ist. Dieser kann hinzugefügt werden zu den Axiomen, um eine weitere konsistente Menge von Sätzen zu geben. Maximal konsistente Menge von Sätzen/Bigelow/Pargetter: Es kann bewiesen werden, dass für die Axiomensysteme mit denen wir es zu tun haben, es immer eine maximal konsistente Menge von Sätze gibt. D.h. eine konsistente Menge von Sätzen, zu denen kein weiterer Satz hinzugefügt werden kann, ohne die Menge inkonsistent zu machen. >Maximal konsistent. D.h. für jeden Satz g ist entweder γ in der Menge oder ~γ. W: sei dann die Menge aller maximal konsistenten Erweiterungen des Axiomensystems, mit dem wir begonnen haben. >Erweiterung. 1. Hughes, G. E. and Cresswell, M.C. (1968) An introduction to modal logic. London: Methuen. 2. Hughes, G. E. and Cresswell, M.C. (1984) A companion to modal logic. London: Methuen. |
Big I J. Bigelow, R. Pargetter Science and Necessity Cambridge 1990 |
| Kripke-Semantik | Bigelow | Bigelow I 109 Kripke-Semantik/Bigelow/Pargetter: Die Kripke-Semantik hat erst gezeigt, dass die logischen Systeme K, D, T B die richtigen Vorstufen für S4 und S5 sind. Vorher dachte man, es seien S1, S2 und S3. >Systeme S4/S5, >S.A. Kripke, >Logik, >Zugänglichkeitsrelation, >Axiome, >Axiomensysteme, >Semantik. |
Big I J. Bigelow, R. Pargetter Science and Necessity Cambridge 1990 |
| Kripke-Semantik | Hintikka | II XIII Kripke-Semantik/HintikkaVsKripke: Die Kripke-Semantik ist kein gangbares Modell für die Theorie logischer Modalitäten (logischer Notwendigkeit und logischer Möglichkeit). Problem: Die richtige Logik kann nicht axiomatisiert werden. Lösung: Wir interpretieren die Kripke-Semantik als Nichtstandard-Semantik... II XIV ...im Sinn von Henkins Nichtstandard-Interpretation der Logik höherer Stufen, während die richtige Semantik für logische Modalitäten analog wäre zu einer Standard-Interpretation. >Logische Möglichkeit, >Logische Notwendigkeit, >Modallogik, >Modalitäten. II 1 Kripke-Semantik/Hintikka: Die Kripke-Semantik ist ein zurzeit moderner modelltheoretischer Ansatz, der irreführend Kripke-Semantik genannt wird. Bsp F: ist ein Rahmen, bestehend aus SF: eine Menge von Modellen oder möglichen Welten und R: einer zwei-stelligen Relation, einer Art Alternativen-Relation. Mögliche Welten: w1 soll hier eine Alternative sein, die legitimerweise statt w0 (der aktualen Welt) realisiert sein könnte. R: Die einzige Beschränkung, die wir ihr auferlegen ist Reflexivität. Wahrheitsbedingungen/Modallogik/Kripke-Semantik/Hintikka: Die Wahrheitsbedingungen für modale Sätze sind dann: II 2 (T.N) Gegeben ein Rahmen F, Np ist wahr in w0 ε SF gdw. p wahr in jeder Alternative wi ε SF zu w0. (T.M) Gegeben ein Rahmen F, Mp ist wahr in w0 ε SF gdw. p wahr in mindestens einer Alternative wi ε SF zu w0. Modelltheorie/Modallogik/Hintikka: Guillaume Kanger und später Kripke haben gesehen, dass wenn wir Reflexivität, Transitivität und Symmetrie hinzufügen, wir eine Modelltheorie für Axiomensysteme vom Lewis-Typ für modale Aussagenlogik erhalten. Kripke-Semantik/Modallogik/logische Möglichkeit/logische Notwendigkeit/HintikkaVsKripke/ HintikkaVsKripke-Semantik: Problem: Wenn wir die Operatoren N, P so interpretieren, dass sie logische Modalitäten ausdrücken, sind sie inadäquat: Wir brauchen für logische Möglichkeit und Notwendigkeit mehr als eine willkürliche Auswahl von möglichen Welten. Wir brauchen Wahrheit in jeder logisch möglichen Welt. Aber in der Kripke-Semantik ist es nicht erforderlich, dass alle solchen logisch möglichen Welten in der Menge der Alternativen enthalten sind. ((s) D.h. es kann logisch mögliche Welten geben, die nicht berücksichtigt sind.) (s.u. logische Möglichkeit bildet die weiteste Klasse von Möglichkeiten). Problem: Kripke-Semantik ist daher inadäquat für logische Modalitäten. II 12 Kripke/Hintikka: Kripke hat epistemische Logik und die Logik von propositionale Einstellungen gemieden und sich auf reine Modalitäten konzentriert. >Epistemische Logik. Daher ist es merkwürdig, dass er Nicht-Standard-Logik gebraucht. Aber irgendwie scheint ihm klar zu sein, dass das für logische Modalitäten nicht geht. Metaphysische Möglichkeit/Kripke/HintikkaVsKripke: Kripke hat nie erklärt, was diese mystischen Möglichkeiten eigentlich sind. II 13 Schlimmer: Kripke hat nicht gezeigt, dass sie so restriktiv sind, dass er seine extrem liberale Nicht-Standard-Semantik gebrauchen kann. |
Hintikka I Jaakko Hintikka Merrill B. Hintikka Untersuchungen zu Wittgenstein Frankfurt 1996 Hintikka II Jaakko Hintikka Merrill B. Hintikka The Logic of Epistemology and the Epistemology of Logic Dordrecht 1989 |
| Logik | Lorenzen | Berka I 187 Operative Logik/Dialogische Logik/Lorenzen/Berka: Variante der konstruktivistischen Deutung des Intuitionismus. >Intuitionismus, >Dialogische Logik. Funktoren und Quantoren werden konstruktiv im Hinblick auf ein Dialogspiel definiert. >Funktoren, >Quantoren. Wahrheitsfunktionen: Wahrheitsfunktionen können dann als Sätze über den dialogischen Gebrauch der Funktionen bewiesen werden. >Wahrheitsfunktionen. I 188 Pointe: Die erfolgreiche Verteidigung einer Formel im Dialog ist nicht hinreichend für den Beweis der effektiv logischen Wahrheit (logischen Gültigkeit) dieser Formel. Für diesen Beweis muss gezeigt werden, dass die Formel gegen jede mögliche Strategie des Opponenten erfolgreich verteidigt werden kann. >Beweise, >Beweisbarkeit, >Gültigkeit, >Allgemeingültigkeit, >Logische Formel. Thiel I 103 Logik/Lorenzen: Erst in den sechziger Jahren ist ein Aufbau der Logik entwickelt worden, der als Begründung auch im wissenschaftstheoretischen und philosophischen Sinn bezeichnet werden kann. Er liefert nämlich eine bis dahin nicht gesehene Möglichkeit zur Begründung sowohl des klassischen wie des konstruktiven Begriffs der "Gültigkeit" logischer Sätze. (Lorenzens "dialogische Logik" mit Proponent und Kontrahent, auch "argumentationstheoretischer Aufbau der Logik"). Die Dialogische Logik soll zeigen, dass das axiomatische Herleiten nicht den ganzen Sinn des Beweisens ausmacht, sondern dass ein Beweis Gründe für die Wahrheit oder Gültigkeit des bewiesenen Satzes liefern soll. ..+.. I 105 >Axiome, >Axiomensysteme, >Herleitung. |
Lorn I P. Lorenzen Constructive Philosophy Cambridge 1987 Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 T I Chr. Thiel Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995 |
| Logische Wahrheit | Bigelow | I 132 Logische Wahrheit/Bigelow/Pargetter: Problem: logische und nichtlogische Wahrheiten sind nicht leicht auseinanderzuhalten. Bsp Man könnte einfach a zu den Axiomen hinzufügen, Dann wäre Na ein Theorem! (Wegen der Regel der Notwendigmachung, Necessitation, s.o.). Problem: Die Wahrheit von „a“ hängt letztlich von unserer Interpretation der Prädikate ab. >Interpretation, >Bewertung, >Prädikate. Theoreme: Theoreme bleiben dagegen bei jeder Interpretation wahr. Bei ihnen kommt es nur auf die Interpretation der anderen Symbole (nicht der Namen und Prädikate) an. >Variablen, >Symbole, >Logische Konstanten. Logische Wahrheit/Bigelow/Pargetter: kann auf zwei Weisen charakterisiert werden a) axiomatisch (wahr aus der Liste der Axiome heraus). b) semantisch. (wahr durch Interpretation der logischen Symbole). >Axiome, >Axiomensysteme, >Semantik. |
Big I J. Bigelow, R. Pargetter Science and Necessity Cambridge 1990 |
| Löwenheim, Satz v. | Thiel | I 321 Bsp Paradoxie von Löwenheim-Skolem: Dabei wird aus der für alle in der klassischen Quantorenlogik (mit Identität) formulierten Axiomensystemen beweisbaren Tatsache, dass sie, wenn überhaupt erfüllbar, dann auch bereits in einem abzählbaren Individuenbereich erfüllbar sind, ganz zurecht gefolgert, I 322 dass also auch ein solches Axiomensystem für die reellen Zahlen schon abzählbar erfüllbar sein müsse, entgegen der ihm zugrunde liegenden Absicht, gerade die nicht abzählbare Gesamtheit der reellen Zahlen zu charakterisieren. >Reelle Zahlen, >Erfüllung, >Erfüllbarkeit, >Modelle, >Modelltheorie. |
T I Chr. Thiel Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995 |
| Natürliches Schließen | Natürliches Schließen, Logik: Kalkül von Gerhard Gentzen (Gentzen, Untersuchungen über das logische Schließen. In: Mathematische Zeitschrift Band 39, 1935, S. 176–210, 405–431), der weitgehend ohne Axiome auskommt und stattdessen mit Einführungs- und Eliminationsregeln für die verwendeten Operatoren arbeitet. Annahmen, die im Verlauf gebraucht werden, können zum Teil später eliminiert werden. Siehe auch Axiomatisierung, Axiomensysteme, Axiome, Inferenz. |
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| Notwendigkeit | Peacocke | II 313 Notwendigkeit/notwendig/Prädikatmodifikation/Wiggins/Peacocke: Problem: 'groß' kann nicht wie 'nec' Prädikate von beliebig feinem Grad modifizieren. ((s) "nec" : Operator für necessary"). >Operatoren. Das heißt, wir bekommen eine endlich axiomatisierte Theorie für 'groß' aber nicht für 'nec'. Hier kann es nur unendlich viele Modifikationen geben. >Axiome, >Axiomensysteme, >Axiomatisierbarkeit. Problem: 'nec' kann in der Objektsprache iteriert werden, aber Grandys Rl kann die Iterationen nicht behandeln, weil die Erfüllung nicht definiert ist. Lösung: 1. syntaktische Variable 't >' soll über Serien von Termini der Form (t1...tn) 2. getrennte Rekursion für die Abstrakta der Objektsprache in der Theorie, die induktiv die Bedingungen spezifiziert, unter denen eine Sequenz die mit dem Abstraktum korrelierte Eigenschaft ('Corr') hat. II 316 Dann machen die Wahrheitsbedingungen aus den Prädikationen Sequenzen - deswegen ist die Theorie nicht völlig homophon. ((s) Bsp X ist F oder G oder...) >Homophonie, >Wahrheitsbedingungen, >Prädikation. II 324 Notwendigkeit/Erfüllung/Sprache/Peacocke: Die Erfüllungs- und Bewertungsaxiome drücken nicht bloß kontingente Wahrheiten über die Sprache aus - notwendigerweise erfüllt im Deutschen jede Sequenz x1 'ist größer als Hesperus' in L, gdw. ihr erstes Element größer ist als Hesperus. >Erfüllung. |
Peacocke I Chr. R. Peacocke Sense and Content Oxford 1983 Peacocke II Christopher Peacocke "Truth Definitions and Actual Languges" In Truth and Meaning, G. Evans/J. McDowell Oxford 1976 |
| Ordinalzahlen | Neumann | Thiel I 205 Ordinalzahlen/Neumann/Thiel: Heute werden Ordinalzahlen nicht nur anders eingeführt als bei Cantor und Dedekind, sondern auch anders definiert. >Zahlen. John v. Neumann: Axiomatischer Aufbau der Mengenlehre. Bei der Grundlegung der Logik werden gewisse Formeln als "ausgezeichnete Formeln" erkannt. >Axiome, >Axiomensysteme, >Mengenlehre, >Mengen. I 206 Die Regeln erlauben uns, unbeschränkt neue junktorenlogische Aussagenschemata zu bilden, bei denen wir ausgezeichnete und nicht-ausgezeichnete erkennen können. Das verschafft uns aber weder eine wirkliche Übersicht über die Sätze der Junktorenlogik, noch einen systematischen Einblick in ihre Zusammenhänge. Wir müssen bei einem axiomatischen Aufbau unterscheiden zwischen dem logischen Gerüst und den Sätzen selbst. >Logik, >Aussagen, >Aussagenlogik. I 207 Axiomatisierung erlaubt eine potentiell unendliche Menge von Sätzen dadurch, dass sie sie als Folgerungsmenge aus endlich vielen Sätzen darstellt. >Axiomatisierung, vgl. >Gibt es unendlich viele mögliche Sätze?/Researchgate. |
NeumJ I J. v. Neumann The Computer and the Brain New Haven 2012 T I Chr. Thiel Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995 |
| Rationale Entscheidung | Politische Ökonomie | Mause I 62 Rationale Entscheidung/rational choice/VsWirtschaftstheorie/ VsPolitikwissenschaft/Politische Ökonomie: Die ökonomisch orientierte Politikwissenschaft wurde mit Problemen konfrontiert, weil sie zunächst davon ausging, dass die Akteure über vollständige Informationen verfügen. Problem: Die empirische Aussagekraft dieses Ansatzes ist eingeschränkt, da aufgrund der Axiomatik (Individuen handeln zweckrational) jede Handlung notwendigerweise einem Akteur den größten Nutzen verschaffen muss.(1)(2) >Nutzen, >Axiomatische Nutzentheorie, >Axiome, >Axiomensysteme 1. D. P. Green, I. Shapiro, Pathologies of rational-choice theory. A critique of applications in political science. New Haven 1994 2. J. S. Coleman,Th.J. Fararo (Eds) Rational-choice theory. Advocacy and critique. Newbury Park 1992. |
Mause I Karsten Mause Christian Müller Klaus Schubert, Politik und Wirtschaft: Ein integratives Kompendium Wiesbaden 2018 |
| Rationalität | Politische Ökonomie | Mause I 62 Rationalität/Ökonomie/Wirtschaftstheorie/Politische Ökonomie: Die ökonomisch orientierte Politikwissenschaft wurde mit Problemen konfrontiert, weil sie zunächst davon ausging, dass die Akteure über vollständige Informationen verfügen. >Information, >Handlungen, >Wissen. Problem: Die empirische Aussagekraft dieses Ansatzes ist eingeschränkt, da aufgrund der Axiomatik (Individuen handeln zweckrational) jede Handlung notwendigerweise einem Akteur den größten Nutzen verschaffen muss.(1)(2) >Nutzen, >Axiomatische Nutzentheorie, >Axiome, >Axiomensysteme Lösung: In den 1970er- und 1980er-Jahren erfolgte daher – sowohl in der Politik- als auch in der Wirtschaftswissenschaft – die Aufweichung der starren Rationalitätsaxiomatik zugunsten der Vorstellung einer „eingeschränkten, der bounded rationality.(3) Damit wurde die begrenzte Rationalität und Verarbeitungskraft des Menschenberücksichtigt. >Begrenzte Rationalität. 1. D. P. Green, I. Shapiro, Pathologies of rational-choice theory. A critique of applications in political science. New Haven 1994 2.J. S. Coleman,Th.J. Fararo (Eds) Rational-choice theory. Advocacy and critique. Newbury Park 1992. 3.Vgl. Herbert A. Simon, Homo Rationalis. Die Vernunft im menschlichen Leben. Frankfurt a. M. 1993 |
Mause I Karsten Mause Christian Müller Klaus Schubert, Politik und Wirtschaft: Ein integratives Kompendium Wiesbaden 2018 |
| Riemann | d’Abro | A. d'Abro Die Kontroversen über das Wesen der Mathematik 1939 in Kursbuch 8 Mathematik 1967 41 Riemann/d’Abro: Riemanns großartiger Beitrag zur Entwicklung der nicht-euklidischen Geometrie bestand genau darin, die beschränkte axiomatische Methode des Zergliederns von Postulaten (wie es Bolyai und Lobatschewski praktiziert haben) durch die wirksameren Methoden der Analysis zu ersetzen. So hat Riemann die verschiedenen Typen der nicht-euklidischen Geometrie verallgemeinert. >Geometrie, >Verallgemeinerung. Durch das Verwerfen erkannte man auch, dass die Axiome Euklids zumindest nicht apriorisch sein konnten. Die Mathematiker sahen sich gezwungen, die Kantische Annahme für sämtliche Axiome einschließlich der stillschweigenden Annahmen, abzulehnen. >Axiome, >Axiomensysteme, >Euklid, >a priori. |
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| S 4 / S 5 | S 4 / S 5, Logik, Philosophie: S 4 und S 5 sind modallogische Systeme, die sich in Bezug darauf unterscheiden, was in ihnen ausdrückbar ist. Durch die Hinzunahme von Axiomen wird die Ausdrucksstärke erhöht. S 5 entsteht aus S 4 durch das hinzugefügte Axiom Mp > NMp. „Was möglich ist, ist notwendigerweise möglich“. Siehe auch Axiome, Axiomensysteme, Modallogik, Modalitäten, Stärker/schwächer. |
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| S 4 / S 5 | Bigelow | I 107 System S4/Bigelow/Pargetter: enthält T und zusätzlich: A10. Axiom S4 (Na > Nna) Alltagssprachliche Übersetzung: wenn etwas wahr sein muss, muss es wahr sein, dass es wahr sein muss. System B/Brouwer/Bigelow/Pargetter: enthält T plus A11. Axiom B: (a > NMa) alltagssprachliche Übersetzung: wenn etwas wahr ist, muss es wahr sein, dass es möglich ist System S4/Bigelow/Pargetter. einige seiner Theoreme sind nicht Theoreme von B, und einige von B sind nicht Theoreme von S4. Mit einem zusätzlichen Axiom S5 können wir sowohl S4 als auch B als Theoreme beweisen: A12. Axiom S5: (Ma > NMa) System S5/Bigelow/Pargetter: enthält alle Theoreme von S4 und von B und nichts sonst. I 108 Systeme/Beweisbarkeit/Bigelow/Pargetter: T plus S5 können S4 und B beweisen, aber auch T plus S4 und B können zusammen S5 beweisen. Dennoch: T plus S4 ohne B kann nicht S5 beweisen T plus B ohne S4 kann nicht S5 beweisen. Logische Notwendigkeit/S5/Bigelow/Pargetter: das System S5 ist eine plausible Charakterisierung der logischen Notwendigkeit. System S4/Bigelow/Pargetter: wenn wir interpretieren: Raute/Diamant/Möglichkeit/M: „kann nicht allein durch Logik bewiesen werden“ Box/Notwendigkeit/N: „kann allein durch Logik bewiesen werden“ Dann wird S4 zu: Alltagssprachliche Übersetzung: „Wenn etwas durch Logik allein bewiesen werden kann, dann kann man durch Logik allein beweisen, dass man es durch Logik allein beweisen kann“. Bigelow/Pargetter: das ist plausibel. System B/Bigelow/Pargetter: Alltagssprachliche Übersetzung: „Wenn etwas wahr ist, kann man mit Logik allein zeigen, dass es nicht durch Logik allein widerlegt werden kann. System S5/Bigelow/Pargetter: Alltagssprachliche Übersetzung: Wenn etwas nicht durch Logik allein widerlegt werden kann, kann es durch Logik allein bewiesen werden, dass es nicht durch Logik allein widerlegt werden kann. >Axiome, >Axiomensysteme. |
Big I J. Bigelow, R. Pargetter Science and Necessity Cambridge 1990 |
| S 4 / S 5 | Cresswell | Hughes I 39 S4/Hughes/Cresswell: T + Np >NNp - (schwächer) S5: T + M > NMp (stärker). Beide sind stärker als T. >Stärker/schwächer, >Stärke von Theorien, >Axiomensysteme. Hughes I 110 S4/Hughes/Cresswell: = T + (Lp > LLp) - (s) was notwendig ist, ist aus logischen Gründen notwendig -stärker als T, schwächer als S5. S5: T + (Mp > LMp). - ((s) Was möglich ist, ist notwendigerweise möglich.) Hughes I 69 Semantik/semantische Modelle/Hughes/Cresswell: (Bsp T, S4, S5) charakterisieren allein noch nicht die verschiedenen Bedeutungen von Notwendigkeit und Möglichkeit. Semantische Diagramme/Hughes/Cresswell: verschiedene mögliche Welten betrachten. Erklärung: M = Möglich - N = Notwendig; L = Notwendig T, S4, S5: logische Systeme, die sich durch ihre Axiome unterscheiden T + M: System T mit Hinzunahme eines Axioms für Möglichkeit. M > NMp: wenn es möglich ist, dann ist es notwendigerweise möglich. >Zugänglichkeit. |
Cr I M. J. Cresswell Semantical Essays (Possible worlds and their rivals) Dordrecht Boston 1988 Cr II M. J. Cresswell Structured Meanings Cambridge Mass. 1984 Hughes I G.E. Hughes Maxwell J. Cresswell Einführung in die Modallogik Berlin New York 1978 |
| Semantischer Aufstieg | Field | I 96 Semantischer Aufstieg/Field: Der semantische Aufstieg ist nicht die Menge der Axiome (nicht logisch wahr), sondern er ist schwächer. Wenn man mit dem Modaloperator (Raute) "Es ist möglich, dass" voranstellt, dann ist es logisch wahr, dass es logisch möglich ist. >Logische Wahrheit, >Logische Möglichkeit. I 245 Semantischer Aufstieg: "Nicht jedes Axiom dieser Theorie ist wahr", ist die Lösung bei unendlich axiomatisierten Theorien. >Axiome, >Axiomensysteme. |
Field I H. Field Realism, Mathematics and Modality Oxford New York 1989 Field II H. Field Truth and the Absence of Fact Oxford New York 2001 Field III H. Field Science without numbers Princeton New Jersey 1980 Field IV Hartry Field "Realism and Relativism", The Journal of Philosophy, 76 (1982), pp. 553-67 In Theories of Truth, Paul Horwich Aldershot 1994 |
| Stärke von Theorien | Stärke von Theorien, Philosophie: Theorien und Systeme können in Bezug auf ihre Stärke verglichen werden. Mit zunehmender Ausdrucksstärke eines Systems, z.B. der Möglichkeit, dass Aussagen auf sich selbst Bezug nehmen, wächst allerdings die Gefahr von Paradoxien. Stärke und Ausdrucksfähigkeit gehen nicht Hand in Hand. So ist z.B. das modallogische System S5, das stärker als das System S4 ist, nicht in der Lage, eine eindeutige temporale Ordnung herzustellen. Aspekte von Stärke und Schwäche sind u.a. die Menge der ableitbaren Sätze oder die Größe des Gegenstandsbereichs einer Theorie oder eines Systems. Siehe auch Theorien, Systeme, Modallogik, Axiome, Axiomensysteme, Erweiterung, Abschwächung, Bereiche. |
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| Systeme | Systeme, Wissenschaftstheorie, Philosophie: Systeme sind Zusammenstellungen von Regeln für die Bildung von Aussagen über einen zuvor festgelegten Gegenstandsbereich. Außer den - meist rekursiven - Regeln für die Kombination von Ausdrücken oder Zeichen wird auch die Angabe des Vokabulars oder Zeichenvorrats des Systems benötigt. Siehe auch Axiome, Axiomensysteme, Theorien, Stärke von Theorien, Ausdrucksfähigkeit, Regeln, Ordnung, Rekursion, Modelle, Struktur, Systemtheorie. |
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| Unabhängigkeit | Cresswell | II 176 Unabhängigkeit/Logik/ Cresswell: Missverständnis: Unabhängigkeit eines Axioms heißt nicht, dass man es nach Belieben verwerfen kann. >Axiome, >Axiomensysteme. Bsp ein Unabhängigkeitsbeweis innerhalb des axiomatischen Aussagenkalküls, z.B. der Unabhängigkeit von (p v q) > (q v p). Ein solcher Beweis zeigt, dass man eine semantische Definition eines Operators geben kann, der alle anderen Axiome für Disjunktion erfüllt, der aber nicht kommutativ ist. Das zeigt aber überhaupt nicht, dass Disjunktion selbst nicht kommutativ ist, und zeigt auch nicht, dass (p v q) > (q v p) keine logische Wahrheit über klassische Disjunktion ist. >Disjunktion, >Logische Wahrheit, >Operatoren. |
Cr I M. J. Cresswell Semantical Essays (Possible worlds and their rivals) Dordrecht Boston 1988 Cr II M. J. Cresswell Structured Meanings Cambridge Mass. 1984 |
| Unendlichkeitsaxiom | Hilbert | Berka I 122 Def Zahl/Logische Form/Erweiterter Funktionenkalkül/Hilbert: Auch der allgemeine Zahlbegriff lässt sich logisch formulieren: Soll ein Prädikatenprädikat φ(F) eine Zahl darstellen, so muss φ folgenden Bedingungen genügen: 1. Bei zwei gleichzahligen Prädikaten F und G muss φ für beide zutreffen oder für beide nicht zutreffen. 2. Sind zwei Prädikate F und G nicht gleichzahlig, darf φ höchstens für eins der beiden Prädikate F und G zutreffen. Logische Form: (F)(G){(φ(F) & φ(G) > Glz (F,G) & [φ(F) & Glz (F,G) > φ(G)]}. Der ganze Ausdruck stellt eine Eigenschaft von φ dar. Bezeichnen wir diese mit Z(φ), können wir also sagen: Eine Zahl ist ein Prädikatenprädikat φ, das die Eigenschaft Z(φ) besitzt. >Zahlen, >Definitionen, >Definierbarkeit, >Unendlichkeit, >Axiome, >Axiomensysteme, >Prädikate, >Eigenschaften. Problem/Unendlichkeitsaxiom/Hilbert: Ein Problem tritt auf, wenn wir nach den Bedingungen fragen, unter der zwei Prädikatenprädikate φ und ψ mit den Eigenschaften Z(φ) und Z(ψ) dieselbe Zahl definieren. Unendlichkeitsaxiom/Gleichzahligkeit/Hilbert: Die Bedingung für die Gleichzahligkeit bzw. dafür, dass zwei Prädikatenprädikate φ und ψ dieselbe Zahl definieren, besteht darin, dass φ(P) und ψ(P) für dieselben Prädikate P wahr und für dieselben Prädikate falsch sind, dass also die Beziehung besteht: (P)(φ(P) ↔ ψ(P)) I 122 Problem: Wenn der Gegenstandsbereich endlich ist, werden alle Zahlen gleichgesetzt, die größer sind als die Anzahl der Gegenstände im Individuenbereich. >Endlichkeit/Hilbert, >Endlichkeit, >Finitismus. Denn ist die Anzahl z.B. kleiner als 1060 und nehmen wir für φ und ψ die Prädikate, die die Zahlen 1060 und 1060 + 1 definieren, so trifft sowohl φ als auch ψ auf kein Prädikat P zu. Die Relation (P)(φ(P) ↔ ψ(P)) ist also für φ und ψ erfüllt, d.h. φ und ψ würden dieselbe Zahl darstellen. Lösung/Hilbert: Unendlichkeitsaxiom: Man muss den Individuenbereich als unendlich voraussetzen. Auf einen logischen Nachweis für die Existenz einer unendlichen Gesamtheit wird dabei freilich verzichtet.(1) 1. D. Hilbert & W. Ackermann: Grundzüge der Theoretischen Logik, Berlin, 6. Aufl. Berlin/Göttingen/Heidelberg 1972, §§ 1,2. |
Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |
| Unintendierte Modelle | Unintendierte Modelle, Philosophie: Ein Modell ergibt sich in der Logik aus einer Formel, wenn ihre Interpretation - das Einsetzen von Werten anstelle der freien Variablen – eine wahre Aussage ergibt. Bei Axiomensystemen spricht man von der Menge der Modelle, die das System zu konstruieren erlaubt. Das Problem der nichtintendierten Modelle entsteht, wenn eine in dem System gewonnene Aussage in einer Hinsicht unbestimmt ist, so dass sie wiederum verschiedene Interpretationen zulässt. Siehe auch Unbestimmtheit. |
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| Unvollständigkeit | Thiel | Thiel I 222 Unvollständigkeit/Thiel: Unvollständigkeit taucht immer wieder auf. In den logischen Regeln erscheinen weder alle beim Schließen tatsächlich vorgenommenen Operationen noch sind die Voraussetzungen dieser Operationen formalisiert. Bsp Die Reihenfolge der Prämissen einer Regel wird als unwesentlich angesehen, z. B. wird die Abtrennungsregel auch mit vertauschten Prämissen formuliert. >Prämissen, >Abtrennungsregel. I 223 Die seit Frege üblichen Axiomensysteme der klassischen Junktorenlogik sind vollständig. >Vollständigkeit, >Axiomensystem, >G. Frege, >Junktoren. |
T I Chr. Thiel Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995 |
| Verstand | Minsky | Münch III 125 Alltagsverstand/Alltagsprobleme/MinskyVsAristoteles: Eher logische Ansätze funktionieren nicht. Syllogismen bewältigen nicht die Alltagskomplexität beim Problemlösen. >Problemlösen, vgl. >Syllogismen, >Künstliche Intelligenz, Axiome: "Man geht nicht unbekleidet aus dem Haus" usw. >Human Level KI. Da Logiker nicht mit Systemen zu tun haben, die später erweitert werden können, müssen sie Axiome entwerfen, die nur erlaubte Schlüsse zulassen. >Axiome, >Axiomensysteme, >Logik. Bei Intelligenz ist das anders. >Intelligenz, vgl. >Vernunft. Marvin Minsky, “A framework for representing knowledge” in: John Haugeland (Ed) Mind, design, Montgomery 1981, pp. 95-128 - dt.: Eine Rahmenstruktur für die Wissensrepräsentation, in: Dieter Münch (Hrsg.) Kognitionswissenschaft Frankfurt 1992 |
Minsky I Marvin Minsky The Society of Mind New York 1985 Minsky II Marvin Minsky Semantic Information Processing Cambridge, MA 2003 |
| Vollständigkeit | Bigelow | I 134 Vollständigkeit/Bigelow/Pargetter: liegt vor, wenn unsere explizite Semantik alle und nur die "extrovertiert" behaupteten Theoreme garantiert. D.h. unsere Semantik liest nichts in unsere Sprache hinein, was nicht schon da ist. >Semantik/Bigelow. Def „extrovertierte Axiomatik“/Terminologie/Bigelow/Pargetter: Eine Axiomatik, die in einer schon existierenden Sprache entwickelt wird. >Axiome, >Axiomensysteme. I 135 Vollständigkeit/Korrespondenztheorie/Bigelow/Pargetter: Die Existenz von Vollständigkeitsbeweisen liefert eine Art Korrespondenztheorie. >Korrespondenztheorie, >Beweise, >Beweisbarkeit. Vollständigkeit: besteht für uns darin, dass wir zeigen können, dass alle Sätze, die nach unserer Semantik wahr sind in allen möglichen Welten, abgeleitet werden können. >Ableitung, >Ableitbarkeit, >Mögliche Welten. I 137 Def Vollständigkeitstheorem/Bigelow/Pargetter: Das Vollständigkeitstheorem ist ein Theorem, das beweist, dass, wenn ein Satz in einer bestimmten Semantik garantiert wahr ist, dieser Satz als Theorem bewiesen werden kann. Wie können wir das beweisen? Wie können wir beweisen, dass jeder solche Satz ein Theorem ist? Lösung: Wir beweisen die Kontraposition des Satzes: Statt: Wenn a garantiert wahr ist in der Semantik, ist a ein Theorem beweisen wir Wenn a kein Theorem ist, ist er nicht garantiert wahr in der Semantik. Das beweisen wir, indem wir eine Interpretation finden, nach der er falsch ist. >Falsifikation, >Verifikation, >Verifizierbarkeit. |
Big I J. Bigelow, R. Pargetter Science and Necessity Cambridge 1990 |
| Wahrheit | Hilbert | Berka I 395 Wahrheit/absolute Wahrheit/Hilbert: Axiome und beweisbare Sätze sind Abbilder der Gedanken, die das Verfahren der bisherigen Mathematik ausmachen, aber sie sind nicht selbst die absoluten Wahrheiten. >Axiome, >Axiomensysteme, >Axiome/Hilbert. Def Absolute Wahrheit/Hilbert: Absolute Wahrheiten sind die Einsichten, die durch meine >Beweistheorie hinsichtlich der Beweisbarkeit und Widerspruchsfreiheit der Formelsysteme geliefert werden. Durch dieses Programm ist die Wahrheit der Axiome für unsere Beweistheorie schon vorgezeichnet.(1) 1. D. Hilbert: Die logischen Grundlagen der Mathematik, in: Mathematische Annalen 88 (1923), S. 151-165. Berka I 486 Relative Wahrheit/Richtigkeit im Bereich/Tarski: Relative Wahrheit spielt eine viel größere Rolle als der (Hilbertsche) Begriff der absoluten Wahrheit, von dem bisher die Rede war: Def richtige Aussage im Bereich a/Tarski: Jede Aussage im Bereich a ist richtig, die dann (im üblichen Sinn ((s) Putnam würde Schreibweise mit Sternchen wählen)) wahr wäre, wenn wir den Umfang der Individuen auf die gegebene Klasse a beschränken. D.h. Wenn wir die Termini "Individuum" als "Element der Klasse a" "Klasse von Individuen" als "Unterklasse der Klasse a" usw. interpretieren. Klassenkalkül: hier müsste man Ausdrücke Bsp vom Typ "∏xp" als "für jede Unterklasse x der Klasse a: p" interpretieren, und Bsp "Ixy" als "die Unterklasse x der Klasse a ist in der Unterklasse y der Klasse a enthalten". Dann modifizieren wir Def 22 und 23. Als abgeleitete Begriffe werden wir den Begriff der Aussage, die in einem Individuenbereich mit k Elementen richtig ist und der Aussage, die in jedem Individuenbereich richtig ist, einführen(2). >Wahrheit/Tarski, >Wahrheitsdefinition/Tarski. 2. A. Tarski: Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, Commentarii Societatis philosophicae Polonorum. Vol 1, Lemberg 1935. |
Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |
| Widerspruchsfreiheit | Gödel | F. Waismann Einführung in das mathematische Denken Darmstadt 1996 Waismann I 72 ff Widerspruchsfreiheit/Gödel/Waismann: Der Nachweis der Widerspruchsfreiheit eines Systems kann mit den Mitteln dieses Systems nicht erbracht werden. Gödel: Fügt man den Peanoschen Axiomen noch die des Logikkalküls hinzu und nennt das entstandene System P, so lässt sich kein Beweis für die Widerspruchsfreiheit von P führen, der in P formuliert werden könnte, vorausgesetzt, dass P widerspruchsfrei ist. >Beweise, >Beweisbarkeit, >Axiome, >Axiomensysteme, >Widersprüche. (Wäre P widerspruchsvoll, könnte jede Aussage bewiesen werden, z.B. auch, dass P widerspruchsfrei sei). I 73 Gödel: Jede Arithmetik ist lückenhaft, in jedem der vorhin genannten formalen Systeme gibt es unentscheidbare arithmetische Sätze und für jedes dieser Systeme lassen sich arithmetische Begriffe angeben, die in diesem System nicht definierbar sind. >Arithmetik, >Vollständigkeit, >Unvollständigkeit. Bsp Es lässt sich für jedes formale System S eine reelle Zahl konstruieren, die in S nicht definiert werden kann. Man darf das nicht so verstehen, dass damit bewiesen wäre, dass es unlösbare mathematische Probleme gäbe. Vielmehr bezieht sich der Begriff "lösbar" oder "entscheidbar" immer nur auf ein bestimmtes formales System. Wenn ein Satz in diesem System unentscheidbar ist, gibt es immer noch die Möglichkeit, eine reicheres System zu konstruieren, in dem der Satz entscheidbar ist. Aber es gibt kein System, in dem alle arithmetischen Sätze entscheidbar, oder alle Begriffe definierbar wären. Das ist der tiefere Sinn von Brouwer: Alle Mathematik sei wesentlich geistiges Handeln: eine Reihe von Konstruktionsschritten, und keine starres System von Formeln, das fertig vorliegt oder auch nur vorliegen könnte. Mathematik ist unabgeschlossen. Die Aussage, dass das System S widerspruchsfrei ist, ist in S unentscheidbar. I 74 Waismann: Kann durch derlei Untersuchungen die Arithmetik überhaupt begründet werden? Und Geometrie: Wenn es mehrere Geometrien gibt, wie sind sie auf unsere Erfahrungswert anwendbar? Begründung der Geometrie/Waismann: a) Eine Gruppe von Sätzen auswählen, die Unabhängigkeit, Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit dartun. b) Die Anwendbarkeit sicherstellen. >Unabhängigkeit, >Vollständigkeit, >Geometrie. |
Göd II Kurt Gödel Collected Works: Volume II: Publications 1938-1974 Oxford 1990 |
| Widerspruchsfreiheit | Hilbert | Berka I 413 Hilbert/Vortrag: "Mathematische Probleme" (1900)(1): Das zweite Problem ist, die Widerspruchsfreiheit der arithmetischen Axiome zu beweisen. Widerspruchsfreiheit/Arithmetik/Problem/Schröter: Zunächst ist gar kein Weg zu sehen, denn ein Beweis durch Angabe eines Modells verbietet sich von selbst, da ja gerade die Arithmetik das einfachste Gebiet sein soll auf dessen Widerspruchsfreiheit alle Widerspruchsfreiheits-Beweise in anderen Gebieten zurückgeführt werden sollen. Es muss also ein neuer Weg eingeschlagen werden. >Beweise, >Beweisbarkeit, >Letztbegründung, >Modelle, >Modelltheorie. Widerspruchsfreiheits-Beweis/Schröter: für die arithmetischen Axiome: Der Widerspruchsfreiheits-Beweis verlangt den Nachweis, dass mit einer arithmetischen Aussage nicht auch die kontradiktorische Verneinung dieser Aussage aus den Axiomen abgeleitet werden kann. >Axiome, >Axiomensysteme, >Ableitung, >Ableitbarkeit. Dazu genügt es, die Unableitbarkeit irgendeiner Aussage Bsp 0 ungleich 0 zu beweisen. Wenn das gelingen soll, muss gezeigt werden, dass alle Folgerungen aus den arithmetischen Axiomen eine gewisse Eigenschaft besitzen, die der Aussage, die besagt, dass 0 ungleich 0 ist, abgeht. I 414 Problem: Die Menge der Folgerungen ist völlig unabsehbar. Lösung/Hilbert: Der Prozess des Folgens (logische Folgerung) muss selbst formalisiert werden. Damit wird das Schließen allerdings jeglichen Inhalts entkleidet. >Folgebeziehung, >Implikation. Problem: Jetzt kann man nicht mehr sagen, dass eine Theorie z.B. von den natürlichen Zahlen handelt. Formalismus/Schröter: Nach dem Formalismus handelt die Mathematik überhaupt nicht mehr von Gegenständen, die sich auf eine reale oder eine ideale Welt beziehen, sondern nur noch von gewissen Zeichen, bzw. deren Umformungen, die nach gewissen Regeln vorgenommen werden. >Formalismus. WeylVsHilbert: Das mache eine Umdeutung der gesamten bisherigen Mathematik nötig. 1. D. Hilbert: Mathematische Probleme, in: Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, mathematisch-physikalische Klasse, Heft 3, 1900, S. 253–297. |
Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |
| Widerspruchsfreiheit | Mates | I 234 Widerspruchsfreiheit/WSF/Mates: Widerspruchsfreiheit kann zweifach verifiziert werden: a) semantisch: indem man eine Interpretation angibt, bei der alle Axiome wahr sind b) syntaktisch: indem man, ohne sich auf eine Interpretation zu beziehen, zeigt, dass es keine Aussage φ gibt, derart, dass sowohl φ als auch ~φ aus den Axiomen ableitbar ist. >Ableitung, >Ableitbarkeit, >Folgebeziehung, >Axiome, >Axiomensysteme, >Semantik, >Syntax. |
Mate I B. Mates Elementare Logik Göttingen 1969 Mate II B. Mates Skeptical Essays Chicago 1981 |
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