Lexikon der Argumente


Philosophische Themen und wissenschaftliche Debatten
 


[englisch]  

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Der gesuchte Begriff oder Autor findet sich in folgenden 9 Einträgen:
strittiger Begriff/
Autor/Ismus
Autor
Eintrag
Literatur
Definitionen Frege
 
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III 15
Definition/Frege: man kann nicht definieren: "Die Zahl Eins ist ein Ding", weil auf der einen Seite ein bestimmter, auf der anderen Seite der Gleichung ein unbestimmter Artikel steht.
III 78
Definition/Frege: die Angabe einer Weise der Operation ist keine Definition.
III 99
Definition/Gegenstand/Einführung/Frege: die Weise, wie ein Gegenstand eingeführt wurde, ist keine Eigenschaft des Gegenstands. - Die Definition eines Gegenstands legt nur den Gebrauch eines Zeichens fest, sie sagt nichts über den Gegenstand aus. - ((s) Hier: Einführung eines Gegenstands in die Rede = Definition) - Einführung/Frege: nach der Einführung verwandelt sich die Definition in ein Urteil, das von dem Gegenstand handelt.
I 130
FregeVsFormalismus: Der F. gibt nur Anleitungen für Definitionen - nicht diese selbst.
III 131
Bsp Zahl i/Frege: man muß den Sinn von "Summe" neu erklären. - FregeVsFormalismus/FregeVsHilbert: es reicht nicht, nur einen Sinn zu fordern.
IV 100ff
Definition/Gegenstand/Frege: hier muß auf beiden Seiten der bestimmte Artikel stehen. - Einen Gegenstand zu definieren heißt nur, den Gebrauch eines Zeichens festzulegen. - Interessanter sind Definitionen von Eigenschaften.
IV 100ff
Undefinierbar/Frege: sind Wahrheit und Identität, als einfache Grundbegriffe. - andere Autoren Vs. >Wahrheitstheorien, >Bedeutungstheorien.

F I
G. Frege
Die Grundlagen der Arithmetik Stuttgart 1987

F II
G. Frege
Funktion, Begriff, Bedeutung Göttingen 1994

F IV
G. Frege
Logische Untersuchungen Göttingen 1993
Existenz Hilbert
 
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Berka I 294
Existenz/Widerspruchsfreiheit/Begriff/Hilbert: wenn man einem Begriff Merkmale erteilt, die sich widersprechen, so sage ich: der Begriff existiert mathematisch nicht. FregeVsHilbert/(s): würde sagen, der Begriff kann existieren, nur es fällt kein Gegenstand unter ihn.
Existenz/Zahl/Hilbert: die Existenz eines Begriffs ist bewiesen, wenn beweisbar ist, dass bei der Anwendung einer endlichen Anzahl von logischen Schlüssen niemals Widersprüche auftreten.
Damit wäre die Existenz einer Zahl oder einer Funktion bewiesen.
I 294/295
Reelle Zahlen/Existenz/Axiome/Hilbert: hier ist der WSF Beweis für die Axiome zugleich der Nachweis für die Existenz des Kontinuums.

Brk I
K. Berka/L. Kreiser
Logik Texte Berlin 1983
Formalismus Frege
 
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I 127
Zeichen/FregeVsFormalismus: leere Zeichen sind nur Schwärzung des Papiers - ihr Gebrauch wäre ein logischer Fehler - leere Zeichen lösen keine Aufgabe - Bsp x + b = c: wenn b > c, gibt es keine natürliche Zahl x, die eingesetzt werden kann - eben auch nicht, die Differenz (c-b) als künstliches neues Zeichen anzunehmen - Zeichen/Frege: und da, wo eine Lösung möglich ist, ist nicht das Zeichen die Lösung, sondern die Bedeutung des Zeichens.
I 130
FregeVsFormalismus: gibt nur Anleitungen für Definitionen - nicht diese selbst - I 131 Bsp Zahl i: man muß den Sinn von "Summe" neu erklären - FregeVsHilbert: es reicht nicht, nur einen Sinn zu fordern.

F I
G. Frege
Die Grundlagen der Arithmetik Stuttgart 1987

F II
G. Frege
Funktion, Begriff, Bedeutung Göttingen 1994

F IV
G. Frege
Logische Untersuchungen Göttingen 1993
Formalismus Thiel
 
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Thiel I 20
Formalismus/Thiel: Vollzieht sozusagen die "linguistische Wende" in der Mathematik. Es wird jetzt gefragt, was der Gegenstand der Arbeit des Mathematikers sei. Regeln für Handlungen. Symbole werden durch andere ersetzt. Dabei fragt der Formalist nicht nach der "Bedeutung". Mathematik: Lehre von den Formalismen oder formalen Systemen (>Bernays). Neben dieser "kalkültheoretischen Variante" des Formalismus gibt es die "strukturtheoretische" Variante. (>Hilbert). Verschiedene formale System können als von genau demselben mathematischen Objektbereichen gültig gedeutet werden. Wir können dies deren "Beschreibung" durch die formalen Systeme nennen.
- - -
Thiel I 279
Formalismus/Geometrie/Hilbert/Thiel: Hilbert hatte 1899 in seinen Grundlagen der Geometrie Termini wie Punkt, Gerade, Ebene, "zwischen" usw. verwendet, aber deren Sinn auf bis dahin ungewohnte Weise verstanden. Sie sollte nämlich nicht nur die Herleitung der üblichen Sätze ermöglichen, sondern in ihrer Gesamtheit überhaupt erst die Bedeutung der in ihnen verwendeten Termini festlegen.
I 280
Später nannte man dies "Definition durch Postulate", "implizite Definition" >Definition. Die Benennungen Punkt, Gerade usw. sollten allenfalls eine bequeme Hilfe für die mathematische Anschauung sein.
FregeVsHilbert: stellt im Briefwechsel klar, dass dessen Axiome nicht Aussagen sondern Aussageformen seine. >Aussageform.
Er bestritt, dass durch deren Zusammenwirken den in ihnen auftretenden Begriffen eine Bedeutung verliehen werde. Definiert werde vielmehr ein (in Freges Terminologie) "Begriff zweiter Stufe", heute würde man auch sagen eine "Struktur".
HilbertVsFrege: die Pointe des Hilbertschen Vorgehens ist gerade, dass die Bedeutung von "Punkt", "Gerade" usw offengelassen wird.
Frege und Hilbert hätten sich darauf durchaus einigen können, taten es aber nicht.
Axiome/Frege/Thiel: ein Axiom sollte eine im klassischen Sinne einfache, im Sinn völlig klare Aussage am Anfang eines Systems sein.
Axiome/Hilbert: Aussageformen, die zusammengefasst eine Disziplin definieren. Daraus hat sich die "schlampige" Redeweise entwickelt Bsp "Gerade" in der Kugelgeometrie sei eben ein Großkreis.


T I
Chr. Thiel
Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995
Induktion Poincaré
 
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Waismann I 70
Induktion/Brouwer/Poincaré/Waismann: die Leistung der Induktion: sie ist nicht ein Schluss, der ins Unendliche trägt. Der Satz a+b = b+a ist nicht eine Abkürzung für unendlich viele einzelne Gleichungen, sowenig wie 0,333... eine Abkürzung ist und der induktive Beweis nicht die Abkürzung für unendlich viele Syllogismen (VsPoincaré).
Tatsächlich beginnen wir mit der Aufstellung der Formeln

a+b = b+a
a+(b+c) = (a+b)+c

einen ganz neuen Kalkül, der aus den Berechnungen der Arithmetik auf keine Weise abgeleitet werden kann. Aber:

Prinzip/Induktion/Kalkül/Definition/Poincaré/Waismann: …das ist das Richtige an Poincarés Behauptung, das Prinzip der Induktion sei nicht logisch zu beweisen. VsPoincaré: Aber er stellt nicht, wie er meinte, ein synthetisches Urteil a priori dar, es ist überhaupt keine Wahrheit, sondern eine Festsetzung: Wenn die Formel f(x) für x=1 gilt und f(c+1) aus f(c) folgt, so sagen wir, es sei "die Formel f(x) für alle natürlichen Zahlen bewiesen".
- - -
A. d'Abro Die Kontroversen über das Wesen der Mathematik 1939 in Kursbuch 8 Mathematik 1967
46
Induktion/PoincaréVsHilbert: in einigen seiner Demonstrationen wird das Induktionsprinzip gebraucht, und behauptet, diese Prinzip sei der Ausdruck einer außerlogischen Anschauung des menschlichen Geistes. Poincaré schließt daraus, dass die Geometrie nicht auf rein logische Weise von einer Gruppe von Postulaten abgeleitet werden kann.
46
Induktion wird in der Mathematik fortwährend angewendet, u.a. auch bei Euklids Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen.
Induktionsprinzip/Poincaré: es kann kein Gesetz der Logik sein, denn es ist durchaus möglich, eine Mathematik zu konstruieren, in der das Induktionsprinzip geleugnet wird. Auch Hilbert führt es unter seinen Postulaten nicht auf, erscheint also auch der Meinung zu sein, dass es kein reines Postulat ist!


Wa I
F. Waismann
Einführung in das mathematische Denken Darmstadt 1996

Wa II
F. Waismann
Logik, Sprache, Philosophie Stuttgart 1976
Kalkül Wittgenstein
 
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Hintikka I 26
Kalkül/Wittgenstein/Hintikka: wenn die Sprache Kalkül ist - (WittgensteinVs) - kann man den Formalismus gebrauchen, um diejenigen Teile der Sprache zu kennzeichnen, die der Variation unterworfen sind. - - -
II 83
Kalkül/Beschreibung/Grenze/Wittgenstein: einen Kalkül kann man nicht beschreiben, ohne ihn zu verwenden, und die Sprache kann man nicht beschreiben, ohne ihre Bedeutung anzugeben.
II 212
Geistige Akte/Wittgenstein: werden nicht zusätzlich zum Rechnen oder Reden gebraucht - statt dessen: Kalkül, eben das Reden selbst. - Rechnen: ein Schritt nach dem anderen - kein geistiger Akt, der das ganze antizipiert - auch Meinen ist kein geistiger Vorgang, der die Wörter begleiten würde.
II 426
Man hat die Frage aufgeworfen ob 0.333...x3,0 nicht ein Beweis dafür ist, dass 1/3 periodisch ist. Wenn man so etwas als Lösung akzeptiert, dann ist es die Lösung. Dies heißt jedoch nicht, jemand könne 1 durch 3 teilen. Hier haben wir es mit zwei verschiedenen Kalkülen und folglich mit zwei Resultaten zu tun.
II 427
Der Sinn einer solchen Frage wird durch die Lösungsmethode bestimmt. Der Frage entspricht ein allgemeines Gesetz zum Auffinden wir Antwort.
II 428
rationale Zahlen/Wittgenstein: hier geht es um Schnitte mit Rechts- und Linksklassen. Hardy gibt konkrete Beispiele.
II 429
Frage: sind die Beispiele wesentlich? Welchen Sinn hat das Symbol "P", dass eine allen rationalen Zahlen zukommen der Eigenschaft bezeichnet, wenn keine Beispiele angeführt werden? Was ist die Eigenschaft des Rationalseins (von Zahlen) im Gegensatz zu was? Kalkül/Begriff/Wittgenstein: die allgemeinen Ausdrücke L (Linksklasse) und R (Rechtsklasse) erweitern nicht das Gebiet, sondern sie bilden einen neuen Ausdruckstyp. Einen neuen Kalkül. Und der stellt nicht die Entdeckung eines umfangreicheren Gebietes dar. Hier haben wir ein neues Gebiet.
VI 120
Mathematik/WittgensteinVsHilbert/Schulte: die Forderung nach Widerspruchsfreiheit stört den Frieden!
VI 121
Statt dessen: "verifikationistischer" Ansatz (Intuitionismus). Suchen und Finden. Suche: in der Mathematik anders als beim materiellen Gegenstand.
Der Kalkül gibt mir vor, wo ich zu suchen habe.
Erst die Methode lehrt, wonach man eigentlich gefragt hat.
Der Sinn des Satzes ist die Methode seiner Verifikation.



W II
L. Wittgenstein
Vorlesungen 1930-35 Frankfurt 1989

W III
L. Wittgenstein
Das Blaue Buch - Eine Philosophische Betrachtung Frankfurt 1984

W IV
L. Wittgenstein
Tractatus Logico Philosophicus Frankfurt/M 1960

Hin I
Jaakko and Merrill B. Hintikka
The Logic of Epistemology and the Epistemology of Logic Dordrecht 1989

W I
J. Hintikka/M. B. Hintikka
Untersuchungen zu Wittgenstein Frankfurt 1996
Widerspruchs- Freiheit Bigelow
 
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I 182
Konsistenz/Widerspruchsfreiheit/WSF/Bigelow/Pargetter: eine Weise zu garantieren, dass eine Beschreibung konsistent ist, ist zu zeigen, dass etwas diese Beschreibung erfüllt. Def Prinzip der Instanziierung/Bigelow/Pargetter: das können wir das Prinzip der Instantiation (Instanziierungsprinzip) nennen.
Widerspruchsfreiheit/Bigelow/Pargetter: ist vor allem für Mathematik wesentlich, für andere Gebiete gleicht sie eher Hausmeisterarbeit.
Widerspruchsfreiheit/Hilbert: geht der Existenz voraus. Ein mathematischer Beweis existiert nur, wenn er widerspruchsfrei ist.
Widerspruchsfreiheit/FregeVsFormalismus/FregeVsHilbert/Bigelow/Pargetter: Existenz geht der Widerspruchsfreiheit voraus. Denn Widerspruchsfreiheit setzt die Existenz eines konsistent beschriebenen Dings voraus. Wenn es existiert, ist die entsprechende Beschreibung konsistent. Wenn es nicht existiert, wie sollen wir die Widerspruchsfreiheit garantieren?
I 183
Frege/Bigelow/Pargetter: denkt hier epistemisch, in Begriffen von „Garantien“. Aber seine Sicht kann ausgedehnt werden: wenn es keinen Gegenstand gibt, gibt es allgemein keinen Unterschied zwischen einer widerspruchsfreien und einer widersprüchlichen Beschreibung. Frege/Bigelow/Pargetter: pro Frege: das ist die Grundlage für die moderne Mathematik. Das ist auch der Grund, warum die Mengenlehre so wichtig ist: sie liefert die Beispiele für alles, was Mathematiker zu untersuchen wünschen (wenigstens bis vor kurzem).

Big I
J. Bigelow, R. Pargetter
Science and Necessity Cambridge 1990
Widerspruchs- Freiheit Hilbert
 
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Berka I 413
Hilbert/Vortrag: "Mathematische Probleme (1900) zweites Problem: die Widerspruchsfreiheit der arithmetischen Axiome zu beweisen. Widerspruchsfreiheit/Arithmetik/Problem/Schröter: zunächst ist gar kein Weg zu sehen, denn ein Beweis durch Angabe eines Modells verbietet sich von selbst, da ja gerade die Arithmetik das einfachste Gebiet sein soll auf dessen WSF alle WSF Beweise in anderen Gebieten zurückgeführt werden sollen. Es muss also ein neuer Weg eingeschlagen werden.
Widerspruchsfreiheits Beweis/Schröter: für die arithmetischen Axiome: verlangt den Nachweis, dass mit einer arithmetischen Aussage nicht auch die kontradiktorische Verneinung dieser Aussage aus den Axiomen abgeleitet werden kann.
Dazu genügt es, die Unableitbarkeit irgendeiner Aussage Bsp 0 ungleich 0 zu beweisen. Wenn das gelingen soll, muss gezeigt werden, dass alle Folgerungen aus den arithmetischen Axiomen eine gewisse Eigenschaft besitzen, die der Aussage, die besagt, dass 0 ungleich 0 ist, abgeht.
I 414
Problem: die Menge der Folgerungen ist völlig unabsehbar. Lösung/Hilbert: der Prozess des Folgens (logische Folgerung) muss selbst formalisiert werden. Damit wird das Schließen allerdings jeglichen Inhalts entkleidet.
Problem: jetzt kann man nicht mehr sagen, dass eine Theorie z.B. von den natürlichen Zahlen handelt.
Formalismus/Schröter: danach handelt die Mathematik überhaupt nicht mehr von Gegenständen, die sich auf eine reale oder eine ideale Welt beziehen, sondern nur noch von gewissen Zeichen, bzw. deren Umformungen, die nach gewissen Regeln vorgenommen werden.
WeylVsHilbert: das mache eine Umdeutung der gesamten bisherigen Mathematik nötig.


Brk I
K. Berka/L. Kreiser
Logik Texte Berlin 1983
Zeichen Frege
 
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II 31
Zeichen: solange z.B. das Pluszeichen nur zwischen ganzen Zahlen ("a + b") gebraucht wird braucht es nur für diesen Zweck erklärt zu werden. Wenn andere Gegenstände verknüpft werden sollen, z.B. "Sonne" mit etwas anderem, muß das Pluszeichen neu definiert werden.
II 41
Frege: Zeichen: Stellvertreter.
II 88
Zahlzeichen/Frege: Bsp "2" - gesättigt - dagegen: Funktionszeichen - Bsp "sin" (Sinus) ungesättigt.
II 91
Zeichen/Frege: sind die Voraussetzung für begriffliches Denken - sie bezeichnen nicht mehr das einzelne Ding, sondern das mehreren Dingen Gemeinsame.
I 127
Zeichen/FregeVsFormalismus: leere Zeichen sind nur Schwärzung des Papiers - ihr Gebrauch wäre ein logischer Fehler. - Leere Zeichen lösen keine Aufgabe Bsp x + b = c: wenn b > c, gibt es keine natürliche Zahl x, die eingesetzt werden kann - eben auch nicht, die Differenz (c-b) als künstliches neues Zeichen anzunehmen. Zeichen/Frege: und da, wo eine Lösung möglich ist, ist nicht das Zeichen die Lösung, sondern die Bedeutung des Zeichens.
V 130
FregeVsFormalismus: gibt nur Anleitungen für Definitionen -" nicht diese selbst.
III 131
Bsp Zahl i: man muß den Sinn von "Summe" neu erklären. - FregeVsHilbert: es reicht nicht, nur einen Sinn zu fordern.

F I
G. Frege
Die Grundlagen der Arithmetik Stuttgart 1987

F II
G. Frege
Funktion, Begriff, Bedeutung Göttingen 1994

F IV
G. Frege
Logische Untersuchungen Göttingen 1993

Der gesuchte Begriff oder Autor findet sich in folgenden 14 Kontroversen:
strittiger Begriff/
Autor/Ismus
Autor Vs Autor
Eintrag
Literatur
VsHilbert Frege Vs Formalismus
 
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Brandom I 606
FregeVsFormalisten: Wie kann der Nachweis geführt werden, daß etwas unter einen Begriff fällt? Frege gebraucht den Begriff der Notwendigkeit, die Existenz eines Gegenstands zu beweisen.
Brandom I 609
Freie Logik: "Pegasus ist ein geflügeltes Pferd" gilt als wahr, obwohl der Gegenstand physisch nicht existiert. Er kann als Substituend dienen. FregeVs. (>Read).
Brandom I 620
Frege: Pegasus hat "Sinn" aber keine "Bedeutung". FregeVsFormalismus: Pointe: es reicht nicht aus, bloß die Peano-Axiome vorzulegen, Identitäten wie "1 = Nachfolger der Zahl 0"" sind trivial. (> VsHofstadter II).
- - -
Frege III 130
Sie verbinden nicht zwei verschiedene Weisen, einen Gegenstand herauszugreifen. Lösung: Abstraktion: man muß den Gebrauch der Nachfolger-Zahlausdrücke mit dem bereits gebräuchlicher Ausdrücke verbinden.
Gleichung/Frege: man darf nicht auf einer Seite einer Definitionsgleichung den bestimmten und auf der andern den unbestimmten Artikel setzen.
FregeVsFormalismus: eine rein formale Theorie ist zureichend.
Man gibt nur Anleitungen für die Definitionen, nicht diese selbst.
III 131
Zahlensystem/Erweiterung/Frege: bei der Erweiterung kann die Bedeutung nicht beliebig festgesetzt werden. Bsp die Bedeutung der Quadratwurzel steht aber nicht schon vor den Festsetzungen unveränderlich fest, sondern sie wird durch diese bestimmt. ((s) Widerspruch? Jedenfalls will Frege auf Bedeutung als Gebrauch hinaus.).
Zahl i/Frege: es ist gleichgültig, ob dabei eine Sekunde, ein Millimeter oder etwas anderes eine Rolle spielen soll.
III 132
Es ist nur wichtig, daß die Additions- und Multiplikationssätze gelten. Übrigens fällt i aus der Rechnung wieder heraus.
Aber man muß Bsp bei "a ´bi" erklären, was "Summe" in diesem Fall für eine Bedeutung hat. Es reicht nicht, einen Sinn zu fordern. Das wäre nur Druckerschwärze auf Papier. (FregeVsHilbert).
- - -
Bigelow I 182
Widerspruchsfreiheit/WSF/FregeVsFormalismus/FregeVsHilbert/Bigelow/Pargetter: Existenz geht der WSF voraus. Denn WSF setzt die Existenz eines wsf beschriebenen Dings voraus. Wenn es existiert, ist die entsprechende Beschreibung wsf. Wenn es nicht existiert, wie sollen wir die WSF garantieren? - - -
Frege I 125
Begriff/Frege: wie kann man beweisen, dass er keinen Widerspruch enthält? Durch die Bestimmtheit der Definition nicht.
I 126
Bsp Hilfslinien beim Dreieck: es genügt nicht für den Beweis ihrer Existenz, dass man an ihrem Begriff keinen Widerspruch entdeckt. Der Beweis der Widerspruchslosigkeit eines Begriffs kann streng nur dadurch geführt werden, dass etwas unter ihn falle. Das Umgekehrte wäre ein Fehler.
Bsp Hankel: Gleichung x + b = c: wenn b > c ist, gibt es keine natürliche Zahl x, die die Aufgabe löst.
I 127
Hankel: nichts hindert uns aber daran, die Differenz (c b) als ein Zeichen anzusehen, welches die Aufgabe löst! Zeichen/FregeVsHankel/FregeVsFormalismus: uns hindert allerdings etwas: z.B. (2 3) ohne weiteres als Zeichen anzusehen, das die Aufgabe löst: ein leeres Zeichen aber löst die Aufgabe nicht, sondern ist nur Tinte auf Papier. Sein Gebrauch als solches wäre dann ein logischer Fehler.
Auch in Fällen, wo die Lösung möglich ist, ist nicht das Zeichen die Lösung, sondern der Inhalt.
- - -
Wittgenstein I 27
Frege/früher Wittgenstein/Hintikka: (FregeVsFormalismus)) in der Philosophie der Logik und Mathematik). Frege verzichtet auf jeden Versuch, seinen logischen Axiomen und Beweisregeln einen semantischen Inhalt zuzuschreiben. Ebenso Wittgenstein: "In der logischen Syntax darf nie die Bedeutung eines Zeichens eine Rolle spielen, sie darf nur die Beschreibung der Ausdrücke voraussetzen".
Daher ist es unrichtig zu behaupten, der Tractatus vertrete die Auffassung der Unausdrückbarkeit der Sprache schlechthin. Die Unausdrückbarkeit der Semantik ist eben auf die Semantik beschränkt,
I 28
die Syntax lässt sich durchaus sprachlich zum Ausdruck bringen! Wittgenstein erhebt in einem Brief an Schlick (8.8.32) den Vorwurf, Carnap habe seine Ideen übernommen, ohne darauf hinzuweisen!

F I
G. Frege
Die Grundlagen der Arithmetik Stuttgart 1987

F II
G. Frege
Funktion, Begriff, Bedeutung Göttingen 1994

F IV
G. Frege
Logische Untersuchungen Göttingen 1993

Bra I
R. Brandom
Expressive Vernunft Frankfurt 2000

Bra II
R. Brandom
Begründen und Begreifen Frankfurt 2001

Big I
J. Bigelow, R. Pargetter
Science and Necessity Cambridge 1990

W II
L. Wittgenstein
Vorlesungen 1930-35 Frankfurt 1989

W III
L. Wittgenstein
Das Blaue Buch - Eine Philosophische Betrachtung Frankfurt 1984

W IV
L. Wittgenstein
Tractatus Logico Philosophicus Frankfurt/M 1960
VsHilbert Waismann Vs Frege, G.
 
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Waismann I 77
Frege: Definition der Zahl in zwei Schritten a) wann sind zwei Mengen gleichzahlig.
b) Definition des Begriffs der "Anzahl": sie ist gleich, wenn jedem Element der einen ein Element der anderen Menge entspricht. Eineindeutige Relation.
Unter
Def "Zahl einer Menge"/Frege: versteht er die Menge aller mit ihr gleichzahligen Mengen. Bsp Die Zahl 5 ist die Gesamtheit aller Fünferklassen in der Welt.
VsFrege: wie sollen wir feststellen dass zwei Mengen gleichzahlig sind? Offenbar durch Aufweisung einer solchen Relation.
Bsp Wenn man dazu etwa Löffel auf Tassen verteilen muss, dann hat die Relation vorher also nicht bestanden.
Solange die Löffel nicht auf den Tassen lagen, waren die Mengen nicht gleichzahlig. Das entspricht aber nicht dem Sinn, in dem man das Wort gleichzahlig verwendet. Also geht es darum, ob man die Löffel an die Tassen legen kann.
Aber was bedeutet "kann"?
I 78
Dass gleich viele Exemplare vorhanden sind. Nicht die Zuordnung bestimmt die Gleichzahligkeit, sondern umgekehrt. Die vorgeschlagene Definition gibt zwar eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für die Gleichzahligkeit und fasst den Ausdruck "gleichzahlig" zu eng.
Klasse: Liste ("Schulklasse") logisch oder Begriff (Säugetiere) empirisch. Bei zwei Listen ist es weder emopirisch noch logisch zu sagen, sie lassen sich einander zuordnen. Bsp
1.Sind in diesem Zimmer ebenso viele Personen wie im Nebenzimmer? Ein Experiment liefert die Antwort.
2. Sind 3x4 Tassen gleichzahlig mit 12 Löffeln? Man kann das durch Ziehen von Linien beantworten, was kein Experiment ist, sondern ein Vorgang in einem Kalkül.
Nach Frege sind zwei Mengen nicht gleichzahlig, wenn man die Relation nicht herstellt. Man hat zwar etwas definiert, aber nicht den Begriff "gleichzahlig". Man kann die Definition erweitern, indem man davon spricht, dass sie zugeordnet werden können. Aber das ist wieder nicht richtig. Denn sind die beiden Mengen durch ihre Eigenschaften gegeben, so ist es immer sinnvoll, ihr Zugeordnetsein zu behaupten, (das hat aber einen verschiedenen Sinn, je nach dem Kriterium, an dem man die Möglichkeit der Zuordnung erkennt: dass die beiden gleichzahlig sind, oder dass es Sinn haben soll, von einer Zuordnung zu sprechen!
Tatsächlich gebrauchen wir das Wort "gleichzahlig" nach verschiedenen Kriterien: von welchen Frege nur ein einziges hervorhebt und zum Paradigma macht. Bsp
1. Liegen auf dem Tisch 3 Tassen und 3 Löffel, so sieht man auf einen Blick die Zuordenbarkeit.
II 79
2. Ist die Anzahl nicht übersehbar, sie aber in eine übersichtliche Form geordnet, z.B. Quadrat oder Raute, springt wieder die Gleichzahligkeit ins Auge. 3.Anders ist der Fall, wenn wir etwas von zwei Fünfecken feststellen, dass sie dieselbe Anzahl von Diagonalen haben. Hier fassen wir die Gruppierung nicht mehr unmittelbar auf, es ist vielmehr ein Satz der Geometrie.
4. Gleichzahlig bei eineindeutiger Zuordenbarkeit
5.Das normalen Kriterium der Zahlengleichheit ist aber das Zählen, (das nicht als Abbildung zweier Mengen durch eine Beziehung aufgefasst werden darf.)
WaismannVsFrege: Diesen verschiedenen und biegsamen Gebrauch gibt Freges Definition nicht wieder.
I 80
Das führt zu seltsamen Konsequenzen: Nach Frege müssen zwei Mengen notwendig gleichzahlig sein oder nicht und zwar aus logischen Gründen.
Bsp Angenommen, der Sternenhimmel: Jemand sagt: "ich weiß zwar nicht wie viele ich gesehen habe, aber eine bestimmte Anzahl müssen es gewesen sein." Wie unterscheide ich diese Aussage von "Ich habe viele Sterne gesehen". ((Es geht um die Zahl der gesehenen, nicht der vorhandenen Sterne). Wenn ich noch einmal zurück könnte zu der Situation, könnte ich sie nachzählen. Aber das geht nicht.
Es gibt keine Methode, die Anzahl festzustellen, und damit verliert die Zahlangabe ihren Sinn.
Bsp’ Man könnte die Sache aber auch anders sehen: eine kleine Anzahl von Sternen kann man noch zählen, etwa 5. Hier haben wir eine neue Zahlenreihe: 1,2,3,4,5, viele.
Das ist eine Reihe, die manche primitive Völker wirklich gebrauchen. Sie ist durchaus nicht unkomplett. und wir sind nicht im Besitz einer kompletteren, sondern nur eine komplizierteren, neben der die primitive zu recht besteht.
Man kann auch in dieser Reihe addieren und multiplizieren und das in voller Strenge.
Angenommen, die Dinge der Welt würden wie Tropfen an uns verbeischweben, dann wäre diese Zahlenreihe durchaus angemessen.
Bsp Angenommen, wir sollten Dinge zählen, die während des Zählens wieder verschwinden oder andere entstehen. Solche Erfahrungen würde unsere Begriffsbildung in ganz andere Bahnen lenken. Vielleicht würden Worte wie "Viel", "wenig" evtl. verfeinert, an die Stelle unserer Zahlworte treten.
I 80/81
VsFrege: seine Definition geht an alldem vorbei. Nach ihr sind zwei Mengen logisch notwendig gleichzahlig, ohne Wissen, oder sie sind es nicht. Genauso hatte man vor Einstein argumentiert, zwei Ereignisse seine gleichzeitig, unabhängig von Beobachtung. Aber so ist es nicht, sondern der Sinn einer Aussage erschöpft sich in der Art ihrer Verifikation (auch Dummett)
Waismann: man muss also auf das Verfahren zur Feststellung der Gleichzahligkeit achten, und das ist viel komplizierter als Frege meinte.
Frege: zweiter Teil der Zahldefinition:
Def Zahl/Frege: ist eine Klasse von Klassen. ((s) Anderswo: so nicht von Frege! FregeVs!).
Bsp Dem Begriff "Apfel, der auf dem Tisch liegt, kommt die Zahl 3 zu". Oder: die Klasse der auf dem Tisch liegenden Äpfel ist ein Element der Klasse 3.
Das hat den großen Vorzug der Evidenz: dass nämlich die Zahl nicht von den Dingen, sondern von dem Begriff ausgesagt wird.
WaismannVsFrege: Aber wird das dem tatsächlichen Gebrauch der Zahlworte gerecht?
Bsp Im Befehl "3 Äpfel!" hat das Zahlwort gewiss keine andere Bedeutung, aber nach Frege kann dieser Befehl nicht mehr anch dem gleichen Schema gedeutet werden. Es besagt nicht: die Klasse der Äpfel, die zu holen ist, ist Element der Klasse 3.
Denn dies ist eine Aussage, und die kennt unsere Sprache nicht.
WaismannVsFrege: seine Definition knüpft den Zahlbegriff in unnötiger Weise an die Subjekt Prädikat Form unserer Sätze.
Tatsächlich ergibt sie die Bedeutung des Wortes "3" aus der Art seiner Verwendung (Wittgenstein).
RussellVsFrege Bsp Angenommen, es gäbe genau 9 Individuen auf der Welt. Dann könnten wir die Kardinalzahlen von 0 bis 9 definieren, aber die 10, als 9+1 definiert, wäre die Nullklasse.
Folglich werden die 10 und alle folgenden natürlichen Zahlen miteinander identisch sein, sämtlich = 0.
Um das zu vermeiden müsste ein zusätzliches Axiom eingeführt werden, das
Def "Unendlichkeitsaxiom"/Russell: besagt, dass es einen Typus gibt, dem unendlich viele Individuen angehören.
Das stellt eine Aussage über die Welt dar, und von der Wahrheit dieses Axioms hängt nun wesentlich der Aufbau der ganzen Arithmetik ab.
Jedermann wird nun begierig sein zu wissen, ob das Unendlichkeitsaxiom wahr ist. Wir müssen erwidern: wir wissen es nicht.
Es ist so beschaffen, dass es sich jeder Prüfung entzieht. Dann müssen wir aber zugestehen, dass seine Annahme keinen Sinn hat.
I 82
Es hilft auch nichts, dass man das "Unendlichkeitsaxiom" als Bedingung der Mathematik mitführt, denn so gewinnt man nicht die Mathematik, wie sie tatsächlich vorliegt: die Menge der Brüche ist überall dicht, aber nicht:
die Menge der Brüche ist überall dicht, wenn das Unendlichkeitsaxiom zutrifft.
Das wäre eine künstliche Umdeutung, nur dazu ersonnen, die Lehre aufrechtzuerhalten, dass die Zahlen aus wirklichen Klassen in der Welt aufgebaut sind
(VsFrege: aber nur bedingt, denn Frege spricht nicht von Klassen in der Welt).
- - -
Waismann I 85
Der Irrtum der Logik war, dass sie glaubte, die Arithmetik fest untermauert zu haben. Frege: "Die Grundsteine, in einem ewigen Grund befestigt, sind von unserem Denken zwar überflutbar, aber nicht verrückbar." WaismannVsFrege: allein der Ausdruck die Arithmetik "begründen" gibt uns ein falsches Bild,
I 86
als ob ihr Gebäude auf Grundwahrheiten errichtet sei, während sie ein Kalkül ist, der nur von gewissen Festsetzungen ausgeht, frei schwebend, wie das Sonnensystem, das auf nichts ruht. Wir können die Arithmetik nur beschreiben, d.h. ihre Regelln angeben, nicht begründen.
- - -
Waismann I 163
Die einzelnen Zahlbegriffe bilden eine Familie. Es gibt Familienähnlichkeiten. Frage: werden sie erfunden oder entdeckt? Wir lehnen die Auffassung ab, dass die Regeln aus der Bedeutung der Zeichen folgen. Betrachten wir Freges Argumente. (WaismannVsFrege)
II 164
1.Man kann Arithmetik als ein Spiel mit Zeichen ansehen, aber dann geht der eigentliche Sinn des ganzen verloren. Wenn ich Rechenregeln aufstelle, habe ich dann den "Sinn" des "=" mitgeteilt? Oder nur eine mechanische Anweisung zum Gebrauch des Zeichens gegeben? Doch wohl das letztere. Dann geht aber das Wichtigste der Arithmetik verloren, der Sinn, der sich in den Zeichen ausspricht. (VsHilbert)
Waismann: Gesetzt, es sei so, warum beschreiben wir dann nicht lieber gleich den geistigen Vorgang?
Ich werde aber mit einer Zeichenerklärung antworten und nicht mit einer Schilderung meines geistigen Zustands, wenn man mich fragt, was 1+ 1 = 2 bedeutet.
Wenn man sagt, ich weiß doch, was das Gleichheitszeichen bedeutet, z.B. in Addition, Quadratischen Gleichungen, usw. dann hat man mehrere Antworten gegeben.
Der berechtigte Kern von Freges Kritik: wenn man nur die formelhafte Seite der Arithmetik betrachtet und die Anwendung außer acht lässt, erhält man ein bloßes Spiel. Aber was hier fehlt, ist nicht der Vorgang des Verstehens, sondern die Deutung!
I 165
Bsp Wenn ich ein Kind außer den Formeln auch noch die Übersetzungen in die Wortsprache lehre, macht es dann bloß mechanischen Gebrauch? Sicher nicht. 2. Argument: Es ist also die Anwendung, die die Arithmetik von einem bloßen Spiel unterscheidet. Frege: "Ohne einen Gedankeninhalt wird auch eine Anwendung nicht möglich sein. WaismannVsFrege: Angenommen, man erfände ein Spiel, das genauso aussieht wie die Arithmetik, aber nur zum Vergnügen dient. Würde es keinen Gedanken mehr ausdrücken?
Warum kann man von einer Schachstellung keine Anwendung machen? Weil sie keine Gedanken ausdrückt."
WaismannVsFrege: Angenommen, man erfände ein Spiel, das genauso aussieht wie die Arithmetik, aber nur zum Vergnügen dient. Würde es keinen Gedanken mehr ausdrücken?
Schach: es ist voreilig zu sagen, dass eine Schachstellung keine Gedanken ausdrückt. Waismann bringt. Bsp Figuren stehen für Truppen. Das könnte aber gerade bedeuten, Die Figuren müssten erst zu Zeichen von etwas gemacht werden.
I 166
Erst wenn man bewiesen hat, dass es einen und nur einen Gegenstand von der Eigenschaft gibt, ist man berechtigt, ihn mit dem Eigennamen "Null" zu belegen. Die Null zu schaffen, ist unmöglich. >Zeichen. Ein Zeichen muss etwas bezeichnen, sonst ist es nur Druckerschwärze.
WaismannVsFrege: wir wollen das letztere weder bestreiten noch zugeben. Bloß welcher Sinn kommt dieser Behauptung zu? Dass Zahlen nicht dasselbe wie Zeichen sind die wir aufs Papier schreiben, ist klar. Sie werden erst durch den Gebrauch zu dem, was sie sind. Frege meint aber vielmehr: dass die Zahlen vorher schon irgendwie da sind, dass die Entdeckung der imaginären Zahlen ähnlich wie die eines fernen Erdteiles ist.
I 167
Bedeutung/Frege: um nicht Tintenkleckse zu sein, müssen die Zeichen eine Bedeutung haben. Und die existiert dann unabhängig von den Zeichen. WaismannVsFrege: die Bedeutung ist der Gebrauch, und über den gebieten wir.

Wa I
F. Waismann
Einführung in das mathematische Denken Darmstadt 1996

Wa II
F. Waismann
Logik, Sprache, Philosophie Stuttgart 1976
VsHilbert Deutsch Vs Gödel, K.
 
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I 233
Beweis: Beweistheorie ist kein Zweig der Mathematik, sondern eine Naturwissenschaft. Beweise sind nicht abstrakt!
I 234
In der Beweistheorie ist nichts eine Frage allein der Logik. DeutschVsGödel: zu seinen Annahmen gehörte beispielsweise, dass ein Beweis immer eine endliche Anzahl von Schritten haben muss. Seit dem Beweis des vier Farben Satzes durch Computer wissen wir jedoch, dass Beweise zumindest so viel Sätze haben können, dass sie von keinem Menschen in seiner Lebenszeit eingesehen werden können.
Skeptiker fragen sich, ob sie dem Computer das Glauben sollten, obwohl es ihnen niemals eingefallen wären, alle Entladungen der Neuronen zu katalogisieren!
Aber was ist ein "Schritt" und was ist "endlich" ?
I 236
Hilbert: "Über das Unendliche": spottete über den Gedanken, dass die Forderung nach der"endlichen Anzahl von Schritten" wesentlich ist. DeutschVsHilbert: aber er irrte sich. DeutschVsGödel: Zumindest eine von Gödels Einsichten in Beweise stellte sich als fehlerhaft heraus.
I 237
Diesem Gedanken zufolge ist ein Beweis etwas besonderes, eine Reihe von Aussagen, die Beweisregeln gehorchen. Wir haben schon gesehen, dass ein Beweis besser nicht als ein Ding, sondern als ein Vorgang (Programm) gesehen werden sollte. Eine Art von Berechnung. Im klassischen Fall ist also die Umwandlung von Beweisvorgängen in Beweisdinge immer durchführbar. Wenn wir aber eine klassisch nicht auszuführende mathematische Berechnung, die ein Quantencomputer leicht machen kann betrachten: hier gibt es keine Möglichkeit all das aufzuzeichnen, was im Beweisprozess abläuft, weil das Meiste in anderen Universen passiert. Auf diese Weise kann man keinen Beweis alter Art führen.

Deu I
D. Deutsch
Die Physik der Welterkenntnis München 2000
VsHilbert Deutsch Vs Hilbert, D.
 
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I 236
Hilbert: "Über das Unendliche": spottete über den Gedanken, dass die Forderung nach der"endlichen Anzahl von Schritten" wesentlich ist. DeutschVsHilbert: aber er irrte sich. DeutschVsGödel: Zumindest eine von Gödels Einsichten in Beweise stellte sich als fehlerhaft heraus.
I 237
Diesem Gedanken zufolge ist ein Beweis etwas besonderes, eine Reihe von Aussagen, die Beweisregeln gehorchen. Wir haben schon gesehen, dass ein Beweis besser nicht als ein Ding, sondern als ein Vorgang (Programm) gesehen werden sollte. Eine Art von Berechnung. Im klassischen Fall ist also die Umwandlung von Beweisvorgängen in Beweisdinge immer durchführbar. Wenn wir aber eine klassisch nicht auszuführende mathematische Berechnung, die ein Quantencomputer leicht machen kann betrachten: hier gibt es keine Möglichkeit all das aufzuzeichnen, was im Beweisprozess abläuft, weil das Meiste in anderen Universen passiert. Auf diese Weise kann man keinen Beweis alter Art führen.

Deu I
D. Deutsch
Die Physik der Welterkenntnis München 2000
VsHilbert Frege Vs Hilbert, D.
 
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Berka I 294
Widerspruchsfreiheit/WSF/Geometrie/Hilbert: Nachweis durch analoge Beziehungen zwischen Zahlen Begriffe: wenn Merkmale sich widersprechen, existiert der Begriff nicht FregeVsHIlbert: es fällt bloß nichts darunter reelle Zahlen/Hilbert: hier ist der WSF Beweis für die Axiome zugleich der Existenzbeweis des Kontinuums.
Thiel I 279
Hilbert: hatte 1899 in seinen Grundlagen der Geometrie Termini wie Punkt, Gerade, Ebene,"zwischen" usw. verwendet, aber deren Sinn auf bis dahin ungewohnte Weise verstanden. Sie sollte nämlich nicht nur die Herleitung der üblichen Sätze ermöglichen, sondern in ihrer Gesamtheit überhaupt erst die Bedeutung der in ihnen verwendeten Termini festlegen!
I 280
Später nannte man dies :"Definition durch Postulate", "implizite Definition" >Definition. Die Benennungen Punkt, Gerade usw. sollten allenfalls eine bequeme Hilfe für die mathematische Anschauung sein.
FregeVsHilbert: stellt im Briefwechsel klar, dass dessen Axiome nicht Aussagen sondern Aussageformen seine. >Aussageform.
Er bestritt, dass durch deren Zusammenwirken den in ihnen auftretenden Begriffen eine Bedeutung verliehen werde. Definiert werde vielmehr ein (in Freges Terminologie) "Begriff zweiter Stufe", heute würde man auch sagen eine "Struktur".
HilbertVsFrege: die Pointe des Hilbertschen Vorgehens ist gerade, dass die Bedeutung von "Punkt", "Gerade" usw offengelassen wird.
Frege und Hilbert hätten sich darauf durchaus einigen können, taten es aber nicht.
Frege: Axiom sollte im klass. Sinne einfache, im Sinn völlig klare Aussage am Anfang eines Systems sein.
Hilbert: Aussageformen, die zusammengefasst eine Disziplin definieren. Daraus hat sich die "schlampige" Redeweise entwickelt Bsp "Gerade" in der Kugelgeometrie sei eben ein Großkreis.
- - -
I 343
Formalismus: 1. "älterer" Formalismus: zweite Hälfte 19, Jahrh. Schöpfer Hankel, Heine, Thomae, Stolz. "formale Arithmetik,", "formale Algebra". "Gegenstand der Arithmetik seien die Zeichen auf dem Papier selbst, so dass die Existenz dieser Zahlen nicht in Frage steht" (naiv). Def "Permanenzprinzip": es war üblich geworden, für hinzukommende Zahlen neue Zeichen einzuführen und dann zu postulieren, dass die von den Zahlen des Ausgangsbereichs geltenden Regeln auch für den erweiterten Bereich gültig sein sollten.
Vs: das müsste solange als illegitim gelten, als die Widerspruchsfreiheit nicht gezeigt sei. Sonst könnte man eine neue Zahl einführen, und
Bsp § + 1 = 2 und § + 2 = 1 einfach postulieren. Dieser Widerspruch würde zeigen dass es die "neuen Zahlen" in Wahrheit gar nicht gibt. Das erklärt die Formulierung von Heine, dass die "Existenz gar nicht in Frage steht". (>"tonk").
I 343/344
Etwas differenzierter behandelte Thomae das Problem als "Spielregeln". FregeVsThomae: dieser habe nicht einmal die Grundbestimmungen seines Spiels, nämlich die Entsprechungen zu den Regeln, Figuren, und Stellungen präzise angegeben.
Diese Kritik Freges war schon ein Vorläufer der Hilbertschen Beweistheorie, in der ja ebenfalls bloße Zeichenreihen unter Absehung von ihren etwaigen Inhalt auf ihre Erzeugung und Umformung nach gegebenen Regeln betrachtet werden.
I 345
HilbertVsVs: Kritiker Hilberts übersehen oft, dass zumindest für Hilbert selbst, der "finite Kern" durchaus inhaltlich gedeutet bleiben sollte und nur die "idealen" nicht finit deutbaren Teile keinen unmittelbar aufweibaren Inhalt haben. Diese Pointe ist methodischer, nicht philosophischer Art. Für Hilberts Programm ist auch "Formalismus" der am häufigsten gebrauchte Ausdruck. Darüber hinaus geht die Auffassung des Formalismus in einem dritten Sinn: nämlich die Auffassung der Mathematik und Logik als ein System von Handlungsschemata für den Umgang mit von jedem Inhalt freien Figuren.
HilbertVsFrege und Dedekind: die Gegenstände der Zahlentheorie sind die Zeichen selber. Motto: "Am Anfang war das Zeichen."
I 346
Die Bezeichnung Formalismus stammte nicht von Hilbert oder seiner Schule. Brouwer hatte die Gegensätze zwischen seinem Intuitionismus und dem Formalismus der Hilbertschule zu einer Grundsatzentscheidung hochstilisiert.

F I
G. Frege
Die Grundlagen der Arithmetik Stuttgart 1987

F II
G. Frege
Funktion, Begriff, Bedeutung Göttingen 1994

F IV
G. Frege
Logische Untersuchungen Göttingen 1993

Brk I
K. Berka/L. Kreiser
Logik Texte Berlin 1983

T I
Chr. Thiel
Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995
VsHilbert Quine Vs Hilbert, D.
 
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Willard V. O. Quine
IX 187
Schreibweise/Mengenlehre/Terminologie/Hilbert/Ackermann: (1938,1949): lehnen sich noch an die alte Russellsche Theorie der Aussagenfunktionen (AF) an: für Klassen und Relationen: "F", "G", usw. mit unterdrückbaren Indices, an Stelle von "x ε a" und "xRy": (Russell: "φx", und "ψ(x,y)" Hilbert: "F(x)" und "G(x,y)".
Quine: die Ähnlichkeit ist irreführend: Die Werte von "F","G", usw. sind nicht mehr AF sondern klassen und extensionale Relationen und zwar nach dem einzigen Kriterium, dass solche mit gleicher Extension identisch sind. .
QuineVsHilbert: Nachteil, dass die Aufmerksamkeit von wesentlichen Unterschieden zwischen ML und Logik abgelenkt wird.
IX 188
Sie ermutigt uns (fälschlicherweise) die Theorie der Klassen und Relationen einfach als Fortsetzung der QL anzusehen, in der die bisher schematischen Prädikatsbuchstaben neu in Quantoren und in andere Stellen hinein zugelassen werden, die bisher für "x", "y" usw. vorbehalten waren. Also "F", "EG", "H(F,G)".
Die Existenzannahmen werden zu unauffällig, obwohl sie weitreichend sind! Einfach implizit durch Quantifikation.
Dadurch folgt jede Komprehensionsbehauptung, Bsp
EF∀x(FX >> ... x ...)
durch solche Einsetzung einfach aus
"G EF ∀x(Fx Gx),
was seinerseits wieder aus "∀x(Gx Gx)" folgt.
Das war Hilbert und Ackermann entgangen, sie nahmen auch Komprehensionsaxiome auf, sie bemerkten, dass sie statt dessen auch einen primitiven Abstraktionsbegriff hätten nehmen können (Wie Russell).
Prädikatenkalkül/Funktionenkalkül/Church/Quine: (n ter Stufe): nach n Typen abbrechende Typentheorie, Verschmelzung von Mengenlehre und Logik (QuineVs).
Bsp PK 2. Stufe: Theorie der Individuen und Klassen von Individuen.
Man sah darin einfach eine QL, in der Prädikatsbuchstaben zu Quantoren zugelassen sind.
Die eigentliche QL wurde dann PK der ersten Stufe genannt.
Dieser Trend enthielt auch eine fehlerhafte Unterscheidung zwischen TT und ML, so als ob die eine nicht so gut wie die Annahmen über Mengen enthielte.
Andererseits nährte er die Vorstellung die Ql selbst enthielte schon in ihrem "F" und "G" bereits eine Theorie über Klassen oder Attribute und Relationen.
QuineVs: die lebenswichtige Unterscheidung zwischen Schemabuchstaben und quantifizierbaren Variablen wird vernachlässigt.
X 96
Logik 2. Stufe/Hilbert Nachfolger/Quine: „PK höherer Stufe“: die Werte dieser Variablen sind faktisch Mengen. Diese Art der Einführung macht sie der Logik täuschend ähnlich, Aber es ist falsch, dass bloß paar Quantoren auf bereits vorhandene Prädikatbuchstaben angewendet werden. Bsp die Hypothese "(Ey)(x)((x ε y) Fx)" : hier wir die Existenz einer Menge behauptet : {x :Fx}.
Das muss beschränkt werden, um Antinomien zu vermeiden.
QuineVsHilbert: im sogenannten PK höherer Ordnung gerät diese Annahme aus dem Blickfeld. Die Annahme heißt:
„(EG) (x) (Gx Fx)“ und folgt aus der rein logischen Trivialität (x)(Fx Fx)“
Solange man die Wertebereiche von „x“ und „G“ auseinanderhält, gibt es keine Gefahr einer Antinomie.
Dennoch hat sich ein großes Stück Mengenlehre unbemerkt eingeschlichen.
- - -
XI 136
Mathematik/QuineVsHilbert/Lauener: mehr als reine Syntax. Quine bekennt sich widerwillig zum Platonismus.

Q I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Q II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Q III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Q IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Q V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Q VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Q VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Q VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg), München 1982

Q X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Q XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003
VsHilbert Tarski Vs Hilbert, D.
 
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Horwich I 127
Wahrheit/Philosophie/Mathematik/HilbertVsTarski: (einziger „philosophischer“ Einwand überhaupt, von einem Mathematiker!): die W Def hätte nichts mit dem „philosophischen Problem „ zu tun. Das sollte aber keine Kritik sein. Begriff/TarskiVsHilbert: ich habe nie verstanden, was das „Wesentliche“ an einem Begriff sein soll. ((s) >Frege: Begriffe haben Merkmale, die man als notwendig ansehen kann, da es sonst ein anderer Begriff ist, im Gegensatz zu Gegenständen, die sich auch als etwas anderes herausstellen können, aber immer noch der betrachtete Gegenstand sind.)
Wahrheit/Tarski: ich glaube, hier gibt es gar kein „philosophisches Problem“.

Tarsk I
A. Tarski
Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923-38 Indianapolis 1983
VsHilbert Wittgenstein Vs Hilbert, D.
 
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VI 120
Mathematik/WittgensteinVsHilbert/Schulte: die Forderung nach Widerspruchsfreiheit stört den Frieden!
VI 121
Stattdessen: "verifikationistischer" Ansatz (Intuitionismus). Suchen und Finden. Suche: in der Mathematik anders als beim materiellen Gegenstand. (>Waismann).
Der Kalkül gibt mir vor, wo ich zu suchen haben.
Erst die Methode lehrt, wonach man eigentlich gefragt hat.
"Der Sinn des Satzes ist die Methode seiner Verifikation."
VI 122
Widerspruch/WittgensteinVsHilbert/Schulte: wenn man nun nach einem Widerspruch sucht, weiß man eigentlich gar nicht, was man sucht! Denn die Fragestellung ist mit keiner bekannten Technik verknüpft. Wo kein Verifikationsverfahren bekannt ist, haben unsere Äußerungen keinen Sinn. Widerspruch: falsche Vorstellung, als ob der Widerspruch von Anfang an in den Axiomen versteckt sei, wie Tuberkulose.
Kein "Verborgener Widerspruch".

W II
L. Wittgenstein
Vorlesungen 1930-35 Frankfurt 1989

W III
L. Wittgenstein
Das Blaue Buch - Eine Philosophische Betrachtung Frankfurt 1984

W IV
L. Wittgenstein
Tractatus Logico Philosophicus Frankfurt/M 1960
VsHilbert Verschiedene Vs Hilbert, D. Berka I 414
Problem: die Menge der Folgerungen ist völlig unabsehbar. Lösung/Hilbert: der Prozeß des Folgens (logische Folgerung) muß selbst formalisiert werden. Damit wird das Schließen allerdings jeglichen Inhalts entkleidet.
Problem: jetzt kann man nicht mehr sagen, daß eine Theorie z.B. von den natürlichen Zahlen handelt.
Formalismus/Schröter: danach handelt die Mathematik überhaupt nicht mehr von Gegenständen, die sich auf eine reale oder eine ideale Welt beziehen, sondern nur noch von gewissen Zeichen, bzw. deren Umformungen, die nach gewissen Regeln vorgenommen werden.
WeylVsHilbert: das mache eine Umdeutung der gesamten bisherigen Mathematik nötig.

Klaus von Heusinger, Eselssätze und ihre Pferdefüsse
Uni Konstanz Fachgruppe Sprachwissenschaft Arbeitspapier 64; 1994
Heusinger I 29
Eselssätze/Epsilonanalyse/Heusinger: These: daß bestimmte und unbestimmte Nominalphrasen kontextabhängig sind – I 30 Der Epsilonoperator EO repräsentiert NP und Anapher als kontextabhängige Auswahlfunktion – klassisch: von Hilbert.
VsHilbert: zu unflexibel – modifiziert: stellt den Fortschritt von Information dar – modifizierter EO: wählt in einer bestimmten Situation ein bestimmtes Objekt.
I 36
modifizierter Epsilonoperator/Situation//Egli/Heusinger: (Egli 1991, Heusinger 1992,1993), Van der Does 1993) der Epsilonoperator erhält eine Parameter für die Situation. Auswahlfunktion/VsHilbert/Heusinger: Problem: das Auswahlprinzip besagt nicht, welches Element ausgewählt wird. ((s) es heißt nur hinterher: „das ausgewählte Element“).
Problem: bei einem geordneten Bereich wie den Zahlen kann das die kleinste sein. Bei deine sprachlich angegebenen Bereich fehlt eine solche Ordnung.
Ordnung/Sprache/sprachlich/Lewis:: Lösung: Def „Salienzhierarchie“/Lewis: (Lewis 1979) (s): kontextuelle oder situative Gliederung eines sprachlich angegebenen Bereichs. (salient. = hervorstechend).
Auswahlfunktion/Heusinger: wir müssen also von einer ganzen Familie von Auswahlfunktionen ausgehen. D.h. nicht von einer Auswahlfunktion, die durch das Modell M festgelegt wurde.
Salienzhierarchie/Epsilonoperator/Egli/Heusinger: die Salienzhierarchie wird durch modifizierte Epsilonausdrücke repräsentiert.
Index i/Schreibweise/Heusinger: repräsentiert hier die jeweilige Auswahlfunktion: Bsp eix Fx referiert auf das im Kontext i salienteste (hervorstechendste) Objekt, das die Eigenschaft F hat.
Eindeutigkeit/Einzigkeit/Situation/Heusinger: durch den modifizierten Epsilonoperator wird also immer ein bestimmtes Objekt angegeben.
Kontext/Eindeutigkeit/Heusinger: in wechselnden Kontexten können durchaus verschiedene Objekte ausgewählt werden.
Lösung/Heusinger: 1. der Individuenbereich eines Modells M muß um den Bereich der Indizes I erweitert werden.
2. Das Modell M selbst wird um die Funktion F erweitert.





Brk I
K. Berka/L. Kreiser
Logik Texte Berlin 1983
VsHilbert Poincaré Vs Hilbert, D.
 
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A. d’Abro Die Kontroversen über das Wesen der Mathematik in Kursbuch IV S 46 Frankfurt 1967

PoincaréVsHilbert: in einigen seiner Demonstrationen wird das Induktionsprinzip gebraucht, und behauptet, diese Prinzip sei der Ausdruck einer außerlogischen Anschauung des menschlichen Geistes. Poincaré schließt daraus, dass die Geometrie nicht auf rein logische Weise von einer Gruppe von Postulaten abgeleitet werden kann. (>Induktion)
Induktion wird in der Mathematik fortwährend angewendet, u.a. auch bei Euklids Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen.
Induktionsprinzip/Poincaré: es kann kein Gesetz der Logik sein, denn es ist durchaus möglich, eine Mathematik zu konstruieren, in der das Induktionsprinzip geleugnet wird. Auch Hilbert führt es unter seinen Postulaten nicht auf, erscheint also auch der Meinung zu sein, dass es kein reines Postulat ist!
VsHilbert Verschiedene Vs Konstruktivismus Barrow I 65/66
Konstruktivismus: Gründer Leopold Kronecker: "Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk." Die Bedeutung einer mathematischen Formel besteht nur in der Kette der Operationen, mit der sie konstruiert ist. Der Konstruktivismus führt einen dritten Status ein: unentschieden! Eine Aussage, die nicht in endlich vielen Schritten entschieden werden kann, kommt in die Rumpelkammer des Unentschieden.
I 67
VsKonstruktivismus: die Mathematik hatte vor dem Konstruktivismus alle möglichen Beweisverfahren entwickelt, die nicht in einer endlichen Anzahl von Schritten durchführbar sind. Def Reductio ad absurdum/raa: Beweis der annimmt, etwas sei falsch, um seine Unverzichtbarkeit zu beweisen, indem aus gerade der Annahme der Falschheit ein Widerspruch erwächst.
I 68
BrouwerVsHilbert: (Einstein: der "Krieg der Frösche und Mäuse" auch >"Froschmäusekrieg") Hilbert setzte sich durch: Das Gremium der Herausgeber der gemeinsamen Zeitung mathematische Annalen wurde aufgelöst und ohne Brouwer neugegründet.
I 69
Konstruktivismus: merkwürdiger Anthropozentrismus: BarrowVsKonstruktivismus: die Idee einer universellen menschlichen Intuition der natürlichen Zahlen lässt sich schon historisch nicht halten (s.o.) Ein Konstruktivist kann auch nicht sagen, ob die Intuition eines Menschen die gleiche ist wie die eines anderen, noch ob eine solche Intuition sich in Zukunft weiter entwickeln wird.




VsHilbert Turing Vs Russell, B.
 
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II 522/523
Turing: bearbeitete die Frage, ob solche unentscheidbaren Behauptungen zu isolieren seien, oder ob die die gesamte Mathematik "durchwachsen". Er fand heraus, daß man keine Maschine bauen kann, die unfehlbar unentscheidbare Sätze erkennen kann. (Grund: Gödel).
Universale Turingmaschine: könnte ununterscheidbar von anderen Maschinen agieren.
TuringVsHilbert,VsRussell: angenommen, es gäbe eine solche universale Turingmaschine, dann führt sie zu einem Widerspruch mit sich selbst.
Diese universelle Maschine könnte die symbolische Nummer jeder anderen Maschine akzeptieren und sie simulieren. Problem: was macht sie mit ihrer eigenen Nummer? Widerspruch.
Das ist der Grund, warum sich unentscheidbare Probleme durch die ganze Mathematik ziehen, und nicht isolierbar sind.
Kann auch auf Menschen angewendet werden: Bsp "Werden Sie auf diese Frage mit "Nein" antworten?". Das zeigt: ganz gleich, wie bewußt man sich seines eigenen Geistes ist, seine eigene Komplexität kann man nicht völlig einkalkulieren, wenn man sich gegenseitig zu verstehen versucht.
So können auch Maschinen ihr eigenes Verhalten nicht vorhersagen (In solchen Fällen).
VsHilbert Hilbert Vs Tarski, A.
 
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Horwich I 127
Wahrheit/Philosophie/Mathematik/HilbertVsTarski: (einziger „philosophischer“ Einwand überhaupt, von einem Mathematiker!): die W Def hätte nichts mit dem „philosophischen Problem „ zu tun. Das sollte aber keine Kritik sein. Begriff/TarskiVsHilbert: ich habe nie verstanden, was das „Wesentliche“ an einem Begriff sein soll. ((s) >Frege: Begriffe haben Merkmale, die man als notwendig ansehen kann, da es sonst ein anderer Begriff ist, im Gegensatz zu Gegenständen, die sich auch als etwas anderes herausstellen können, aber immer noch der „betrachtete Gegenstand“ sind.)
Wahrheit/Tarski: ich glaube, hier gibt es gar kein „philosophisches Problem“.
VsHilbert Deutsch Vs Verschiedene
 
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I 36
DeutschVsInduktion.
Deutsch: dann brauchte man kein Verständnis, man könnte einfach alle Buchstabenfolgen der Reihe nach untersuchen und zufällig einen richtigen Beweis finden. ((s)aber nicht zufällig als richtig erkennen!Außerdem wäre der Beweis nicht nur zufällig richtig!) Hilberts Regeln hätten uns fast nichts über die Wirklichkeit erzählen können. Sie würden alles vorhersagen, aber nicht erklären. Wie die "Theorie für alles".(DeutschVsTOE) I 220
Hilbert: "Über das Unendliche": spottete über den Gedanken, dass die Forderung nach der"endlichen Anzahl von Schritten" wesentlich ist. DeutschVsHilbert: aber er irrte sich. I 236 Was ist "Schritt" und was ist "endlich"?

Deu I
D. Deutsch
Die Physik der Welterkenntnis München 2000

Der gesuchte Begriff oder Autor findet sich in Auseinandersetzungen folgender wissenschaftlicher Lager:
strittiger Begriff/
Autor/Ismus
Pro/Versus
Eintrag
Literatur
Formalismus VsHilbert Versus Quine Lauener XI 136
Platonismus: Quine widerstrebend, aber QuineVsFormalismus/QuineVsHilbert

Q XI
H. Lauener
Willard Van Orman Quine München 1982