Lexikon der Argumente


Philosophische Themen und wissenschaftliche Debatten
 
[englisch]


 

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Der gesuchte Begriff oder Autor findet sich in folgenden 7 Einträgen:
strittiger Begriff/
Autor/Ismus
Autor
Eintrag
Literatur
Induktion Brouwer
 
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Waismann I 70
Beweis/Induktion/Intuitionismus/Brouwer/Waismann: Wenn es heißt, der Beweis gilt für alle Zahlen, muss man sich darüber klar sein, dass man erst durch den Beweis den Sinn des Wortes "alle" bestimmt. Und dieser Sinn ist ein anderer als Bsp "Alle Sessel in diesem Zimmer sind aus Holz". Denn wenn ich die letzte Aussage verneine, bedeutet das: Es gibt mindestens einen, der nicht aus Holz ist.
Wenn ich aber "A gilt für alle natürlichen Zahlen" verneine, so heißt das nur: Eine der Gleichungen im Beweis von A ist falsch, aber nicht, es gibt eine Zahl, für die A nicht gilt.
Die allgemeine Formel in der Mathematik und die Existenzaussage gehören gar nicht demselben logischen System an. (Brouwer: die Unrichtigkeit einer Aussage bedeutet nicht die Existenz eines Gegenbeispiels).
Nun wird die Leistung der Induktion klar: sie ist nicht ein Schluss, der ins Unendliche trägt. Der Satz a+b = b+a ist nicht eine Abkürzung für unendlich viele einzelne Gleichungen, sowenig wie 0,333... eine Abkürzung ist und der induktive Beweis nicht die Abkürzung für unendlich viele Syllogismen (VsPoincaré).

Tatsächlich beginnen wir mit der Aufstellung der Formeln

a+b = b+a
a+(b+c) = (a+b)+c

einen ganz neuen Kalkül, der aus den Berechnungen der Arithmetik auf keine Weise abgeleitet werden kann.


Wa I
F. Waismann
Einführung in das mathematische Denken Darmstadt 1996

Wa II
F. Waismann
Logik, Sprache, Philosophie Stuttgart 1976
Induktion Poincaré
 
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Waismann I 70
Induktion/Brouwer/Poincaré/Waismann: die Leistung der Induktion: sie ist nicht ein Schluss, der ins Unendliche trägt. Der Satz a+b = b+a ist nicht eine Abkürzung für unendlich viele einzelne Gleichungen, sowenig wie 0,333... eine Abkürzung ist und der induktive Beweis nicht die Abkürzung für unendlich viele Syllogismen (VsPoincaré).
Tatsächlich beginnen wir mit der Aufstellung der Formeln

a+b = b+a
a+(b+c) = (a+b)+c

einen ganz neuen Kalkül, der aus den Berechnungen der Arithmetik auf keine Weise abgeleitet werden kann. Aber:

Prinzip/Induktion/Kalkül/Definition/Poincaré/Waismann: …das ist das Richtige an Poincarés Behauptung, das Prinzip der Induktion sei nicht logisch zu beweisen. VsPoincaré: Aber er stellt nicht, wie er meinte, ein synthetisches Urteil a priori dar, es ist überhaupt keine Wahrheit, sondern eine Festsetzung: Wenn die Formel f(x) für x=1 gilt und f(c+1) aus f(c) folgt, so sagen wir, es sei "die Formel f(x) für alle natürlichen Zahlen bewiesen".
- - -
A. d'Abro Die Kontroversen über das Wesen der Mathematik 1939 in Kursbuch 8 Mathematik 1967
46
Induktion/PoincaréVsHilbert: in einigen seiner Demonstrationen wird das Induktionsprinzip gebraucht, und behauptet, diese Prinzip sei der Ausdruck einer außerlogischen Anschauung des menschlichen Geistes. Poincaré schließt daraus, dass die Geometrie nicht auf rein logische Weise von einer Gruppe von Postulaten abgeleitet werden kann.
46
Induktion wird in der Mathematik fortwährend angewendet, u.a. auch bei Euklids Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen.
Induktionsprinzip/Poincaré: es kann kein Gesetz der Logik sein, denn es ist durchaus möglich, eine Mathematik zu konstruieren, in der das Induktionsprinzip geleugnet wird. Auch Hilbert führt es unter seinen Postulaten nicht auf, erscheint also auch der Meinung zu sein, dass es kein reines Postulat ist!


Wa I
F. Waismann
Einführung in das mathematische Denken Darmstadt 1996

Wa II
F. Waismann
Logik, Sprache, Philosophie Stuttgart 1976
Induktion Waismann
 
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Waismann I 66
Induktion/Poincaré: Man kann leicht von einer Aussage zur andern übergehen, und sich der Einbildung hingeben, man hätte die Legitimität des rekursiven Verfahrens bewiesen. Man wird aber immer zu einem unbeweisbaren Axiom gelangen. RussellVsPoincaré: Induktion ist eine Definition und kein Prinzip. Es gibt gewisse Zahlen für die es gilt, andere nicht (Cantors unendliche Kardinalzahlen).
Waismann (Bsp von Wittgenstein) Bsp Division 1:3 mit wiederkehrendem Rest.
I 67
Wir schließen, dass es immer so weitergeht. Ergibt es aber die Rechnung wirklich? Jede Rechnung bricht nach endlich vielen Stellen ab. Andererseits zeigt schon der erste Schritt das Wiederkehren. Bsp Fiktion: Volksstamm, der unser Dezimalsystem besitzt, aber ohne unendliche Dezimalbrüche. Jene Menschen brechen nach der 5. Stelle ab. Nehmen wir an, eines Tages entdeckte einer, dass die Division 1:3 weitergeht.
Worin bestünde seine Entdeckung? Man könnte zunächst denken, die Wiederkehr es Restes sei ihm als erstem aufgefallen. Denn hätte man einen der die periodische Division noch nicht kennt gefragt, "Ist in dieser Division der Rest gleich dem Dividenden?" hätte er ja gesagt. Aber damit hätte ihm nicht die Periodizität auffallen müssen.
Man wird vielleicht sagen wollen: Wer die Periodizität entdeckt, sieht die Division anders, als der, der sie nicht kennt, er sieht ein unendliche Möglichkeit darin. Das klingt aber, als ob es auf etwas Psychologisches ankäme.
In Wirklichkeit ist die Entdeckung der Periodizität die Konstruktion eines neuen Kalküls. Man kann sie mit einem Strich markieren.
I 68
Das ist keine reine Äußerlichkeit, es weist auf das Gesetz der Division hin. Die Art, wie er auf die Periodizität aufmerksam macht, ergibt das neue Zeichen. Sobald wir die Periodizität entdeckt haben, haben wir ein neues Gesetz entdeckt. Die Pünktchen vertreten nicht in schattenhafter Weise die mangels Tinte nicht hingeschriebenen Ziffern, sondern sie sind selbst ein vollwertiges Zeichen im Kalkül.
Ein Beweis durch Induktion ist etwas ganz anderes als das, was sonst in der Buchstabenrechnung "Beweis" heißt
.Der Induktionsbeweis führt gar nicht zu der zu beweisenden Formel.
I 69
Ist die Induktion nur das Anzeichen dafür, dass der Satz für alle Zeichen gilt? Dass der Satz für y + 1 gilt wenn er für a gilt, erklärt uns nicht den Sinn des Satzes. Es gibt uns keine Antwort auf die Frage, wie gebraucht man diesen Satz? Was ist das Kriterium seiner Wahrheit?
Wir können ja nicht alle Zahlen durchlaufen und zwar nicht deshalb, weil wir zu wenig Zeit und Papier haben, sondern weil es nichts heißt, weil es logisch unmöglich ist. Tatsächlich ist der Beweis durch Induktion das einzige Kriterium, das wir haben.


Wa I
F. Waismann
Einführung in das mathematische Denken Darmstadt 1996

Wa II
F. Waismann
Logik, Sprache, Philosophie Stuttgart 1976
Messen Poundstone
 
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I 98 - 104
Verdoppelung/Wahrnehmung/Erkennen/Erkenntnis/Poincaré: Angenommen, über Nacht haben sich alle Längen verdoppelt - würden wir etwas merken? - Poincaré: nein!
I 102f
SchlesingerVsPoincaré: es gibt sehr wohl unterschiedliche Änderungen: Gravitation: 1/4 so stark wie vorher, Dichte: 1/8, Luftdruck: 1/8, Quecksilberthermometer platzen - Pendeluhr: die Tageslänge wird um √2 länger. - Lichtgeschwindigkeit nimmt um den gleichen Faktor zu (mit einer Pendeluhr gemessen) - andere Uhren: gehen nicht langsamer: Federkraft. Offene Frage: ob die anderen Erhaltungssätze konstant bleiben.
I 104
Wenn alle Atome vergrößert sind, dann hat das Elektron beim Quantensprung bergauf den doppelten Abstand zu bewältigen und benötigte einen doppelten Energieaufwand - gewaltiger Temperaturabfall.
I 120
Die Rangfolge von Lust- und Unlustgefühlen sowie Präferenzen ändert sich nicht.
W. Poundstone
I W. Poundstone Im Labyrinth des Denkens, Reinbek 1995
Synthetisches Poincaré
 
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Waismann I 70
Induktion/Brouwer/Poincaré/Waismann: die Leistung der Induktion: sie ist nicht ein Schluss, der ins Unendliche trägt. Der Satz a+b = b+a ist nicht eine Abkürzung für unendlich viele einzelne Gleichungen, sowenig wie 0,333... eine Abkürzung ist und der induktive Beweis nicht die Abkürzung für unendlich viele Syllogismen (VsPoincaré).
Tatsächlich beginnen wir mit der Aufstellung der Formeln

a+b = b+a
a+(b+c) = (a+b)+c

einen ganz neuen Kalkül, der aus den Berechnungen der Arithmetik auf keine Weise abgeleitet werden kann. Aber:

Prinzip/Induktion/Kalkül/Definition/Poincaré/Waismann: …das ist das Richtige an Poincarés Behauptung, das Prinzip der Induktion sei nicht logisch zu beweisen. VsPoincaré: Aber er stellt nicht, wie er meinte, ein synthetisches Urteil a priori dar, es ist überhaupt keine Wahrheit, sondern eine Festsetzung: Wenn die Formel f(x) für x=1 gilt und f(c+1) aus f(c) folgt, so sagen wir, es sei "die Formel f(x) für alle natürlichen Zahlen bewiesen".

Wa I
F. Waismann
Einführung in das mathematische Denken Darmstadt 1996

Wa II
F. Waismann
Logik, Sprache, Philosophie Stuttgart 1976
Theorien Duhem
 
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I XIII
Theorie/Duhem: These: Als Ziel der physikalischen Theoriebildung kann nicht die Erkenntnis der Wirklichkeit festgehalten werden, weil man sich damit in einem metaphysischen Begriffsfeld bewegen würde, sondern der Entwurf eines formalen Systems, das optimale Ordnungseigenschaften für die Erscheinungswelt hat. Die Struktur der Wissenschaft ist ein ganzheitlicher Zusammenhang, keine Zusammenstellung einzelner Sätze, deren Wahrheitswerte isoliert bestimmt würden. Nur das Ganze der Wissenschaft kann der Gesamtheit von Sachverhalten gegenübergestellt werden und geprüft werden.
Beobachtungen sind "theoriegeladen".
Theorien sind nicht induktiv gewonnene Erfahrungserkenntnisse, sondern Entwürfe des menschlichen Geistes, Übereinkünfte formaler Art, deren empirische Brauchbarkeit sich erst in der Praxis herausstellt. Konventionalistische Wissenschafts-Auffassung, dennoch VsPoincaré: es ist nicht der definitorische Status der Grundgesetze, der sie der Revision entzieht, solche Revisionen, auch der Grundgesetze, können nötig und sinnvoll werden, sie können nur nicht experimentell erzwungen werden!
I XVII
Abgrenzung von der Metaphysik, die eine Widerlegung durch Beobachtung nicht zulässt. (auch Popper, 1934) Autonomie der Physik. Heute würde man sagen: Theorie soll Phänomene erklären. Die Leistung von Theorien bzw. Gesetzen kann durch die logische Verknüpfung mit überprüfbaren Aussagen gekennzeichnet werden. Dafür bei Duhem(im Gegensatz zum heutigen Sprachgebrauch): "Beschreibung".
"Erklärung"/Duhem : reserviert für den Erkenntnisanspruch der Metaphysiker.
Metaphysik: (DuhemVs): Prämissen müssen ontologisch ausgezeichnet werden, sie müssen "Dinge an sich" betreffen. Beobachtbare Eigenschaften werden so "erklärt" , dass sie auf eine andere (nicht beobachtbare) Realitätsschicht zurück geführt werden. Bsp "Äther", Wärme: Atombewegung. Das ist der cartesianische Erklärungsbegriff, den Duhem der Physik aber nicht zubilligt!
Sein Physikkonzeption ist antimetaphysisch, im Gegensatz zu Mach hält er aber die Metaphysik nicht für sinnlos.
I 22
Def Physikalische Theorie/Duhem: Eine physikalische Theorie ist keine Erklärung. Sie ist ein System mathematischer Lehrsätze, die aus einer kleinen Zahl von Prinzipien abgeleitet werden und den Zweck haben, eine zusammengehörige Gruppe experimenteller Gesetze ebenso einfach, wie vollständig und genau darzustellen.
I 22
Eine richtige Theorie erklärt nicht die Wirklichkeit, sondern stellt eine Gruppe experimenteller Gesetze befriedigend dar. Eine falsche Theorie ist eine Gruppe von Gleichungen, die nicht mit den experimentellen Gesetzen übereinstimmen. (Vergleich mit der Wirklichkeit wäre Metaphysik).
I 29
Revision einer Theorie: die Beziehungen bleiben, ihre Natur wird aber anders verstanden.
I 37
Theorien/Duhem: bestehen aus 2 Teilen a) beschreibend
b) erklärend.
Der erklärende Teil bildet bei weitem nicht die zureichende Grundlage des beschreibenden. Er ist nicht der Same oder die Wurzel.


Duh I
P. Duhem
Ziel und Struktur der physikalischen Theorien Hamburg 1998
Ziffern Waismann
 
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Waismann I 70
Prinzip/Induktion/Kalkül/Definition/Poincaré/Waismann: …das ist das Richtige an Poincarés Behauptung, das Prinzip der Induktion sei nicht logisch zu beweisen. VsPoincaré: Aber er stellt nicht, wie er meinte, ein synthetisches Urteil a priori dar, es ist überhaupt keine Wahrheit, sondern eine Festsetzung: Wenn die Formel f(x) für x=1 gilt und f(c+1) aus f(c) folgt, so sagen wir, es sei "die Formel f(x) für alle natürlichen Zahlen bewiesen".
I 71
Aber ist das wirklich nur eine Festsetzung? Es könnte paradox erscheinen, dass das assoziative Gesetz der Addition aus einer bloßen Definition (der Formel D) (II 62) hervorgehen soll. Aber die Formel D ist nicht eine Definition im Sinne der Schullogik, nämlich eine Ersetzungsregel, sondern eine Anweisung zur Bildung von Definitionen. In der Formel kommen ja nur Buchstaben vor, in dem Beweis aber Ziffern! Daher kommt es, dass wir Ergebnisse vorhersagen können, ohne die Rechnung auszuführen.
Das kommutative Gesetz könnte man mit einem Pfeil vergleichen, der die Reihe der Zahlen entlang ins Unendliche weist.
Das ist nicht dasselbe, wie wenn man sagt, das Gesetz fasse unendlich viele einzelne Sätze zusammen. Bsp das ist ungefähr wie bei den Sätzen.
Der Scheinwerfer scheint ins Unendliche (wahr) und der Scheinwerfer beleuchtet die Unendlichkeit (unmöglich).
Dadurch, dass wir jene Konvention treffen, nämlich solche Formeln aufstellen, passen wir den Kalkül mit Buchstaben dem Kalkül mit Zahlen an.

Wa I
F. Waismann
Einführung in das mathematische Denken Darmstadt 1996

Wa II
F. Waismann
Logik, Sprache, Philosophie Stuttgart 1976

Der gesuchte Begriff oder Autor findet sich in folgenden 5 Kontroversen:
strittiger Begriff/
Autor/Ismus
Autor Vs Autor
Eintrag
Literatur
VsPoincaré Duhem Vs Poincaré, H.
 
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I XIII
VsPoincaré: es ist nicht der definitorische Status der Grundgesetze, der sie der Revision entzieht, solche Revisionen, auch der Grundgesetze, können nötig und sinnvoll werden, sie können nur nicht experimentell erzwungen werden!
I 290
Poincaré: "Das Experiment kann die Prinzipien der Mechanik aufbauen, aber nicht zerstören". HadamardVs: "Duhem hat gezeigt, daß es nicht um isolierte Hypothesen, sondern die Gesamtheit der Hypothesen der Mechanik geht, deren experimentelle Bestätigung man versuchen kann. ((s) PoincaréVsHolismus?)

Duh I
P. Duhem
Ziel und Struktur der physikalischen Theorien Hamburg 1998
VsPoincaré Quine Vs Poincaré, H.
 
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Willard V. O. Quine
IX 176
Klassen/Existenz/Quine: die Grundvorstellung besagt eher, dass sie von Anfang an da sind, und nicht etwa durch Beschreibung geschaffen werden. imprädikativ/QuineVsPoincaré: wenn das so ist, dann ist in imprädikativer Beschreibung kein offenkundiger Trugschluss zu sehen.
Es ist vernünftig, eine gewünschte Klasse auszusondern, in dem man eine Eigenschaft von ihr angibt, auch wenn man dabei Gefahr läuft, zusammen mit allem anderen in der Allklasse auch über sie zu quantifizieren.
((s) Klassen/(s): stellen jeweils nur eine einzige Eigenschaft ihrer Elemente fest.)
Quine: Bsp genauso kann man eine bestimmte Person als Normalverbraucher bezeichnen, aufgrund von Durchschnittswerten, in die ihre eigenen Werte eingehen.

Q I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Q II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Q III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Q IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Q V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Q VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Q VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Q VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg), München 1982

Q X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Q XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003
VsPoincaré Russell Vs Poincaré, H.
 
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Bertrand Russell
Waismann II 66
RussellVsPoincaré: Induktion ist eine Definition und kein Prinzip. Es gibt gewisse Zahlen für die es gilt, andere nicht (Cantors unendliche Kardinalzahlen).

R I
B. Russell/A.N. Whitehead
Principia Mathematica Frankfurt 1986

R II
B. Russell
Das ABC der Relativitätstheorie Frankfurt 1989

R IV
B. Russell
Probleme der Philosophie Frankfurt 1967

R VI
B. Russell
Die Philosophie des logischen Atomismus
In
Eigennamen, U. Wolf (Hg), Frankfurt 1993

R VII
B. Russell
Wahrheit und Falschheit
In
Wahrheitstheorien, G. Skirbekk (Hg), Frankfurt 1996

Wa I
F. Waismann
Einführung in das mathematische Denken Darmstadt 1996

Wa II
F. Waismann
Logik, Sprache, Philosophie Stuttgart 1976
VsPoincaré Verschiedene Vs Poincaré, H. Waismann II 70
Wenn es heißt, der Beweis gilt für alle Zahlen, muss man sich darüber klar sein, dass man erst durch den Beweis den Sinn des Wortes "alle" bestimmt. Und dieser Sinn ist ein anderer als Bsp "Alle Sessel in diesem Zimmer sind aus Holz". Denn wenn ich die letzte Aussage verneine bedeutet das: Es gibt mindestens einen, der nicht aus Holz ist.
Wenn ich aber "A gilt für alle natürlichen Zahlen" verneine, so heißt das nur: Eine der Gleichungen im Beweis von A ist falsch, aber nicht, es gibt eine Zahl, für die A nicht gilt!
Die allgemeine Formel in der Mathematik und die Existenzaussage gehören gar nicht demselben logischen System an. (Brouwer: die Unrichtigkeit einer Aussage bedeutet nicht die Existenz eines Gegenbeispiels).
Nun wird die Leistung der Induktion klar: sie ist nicht ein Schluss , der ins Unendliche trägt. Der Satz a+b = b+a ist nicht eine Abkürzung für unendlich viele einzelne Gleichungen, sowenig wie 0,333... eine Abkürzung ist und der induktive Beweis nicht die Abkürzung für unendlich viele Syllogismen (VsPoincaré).
Tatsächlich beginnen wir mit der Aufstellung der Formeln
a+b = b+a
a+(b+c) = (a+b)+c
einen ganz neuen Kalkül, der aus den Berechnungen der Arithmetik auf keine Weise abgeleitet werden kann.
Das ist das richtige an Poincarés Behauptung, das Prinzip der Induktion sei nicht logisch zu beweisen. VsPoincaré: Aber er stellt nicht, wie er meinte, ein synth. Urteil a priori dar, es ist überhaupt keine Wahrheit, sondern eine Festsetzung: Wenn die Formel f(x) für x=1 gilt und f(c+1) aus f(c) folgt, so sagen wir, es sei "die Formel f(x) für alle natürlichen Zahlen bewiesen".





Wa I
F. Waismann
Einführung in das mathematische Denken Darmstadt 1996

Wa II
F. Waismann
Logik, Sprache, Philosophie Stuttgart 1976
VsPoincaré Vollmer Vs Poincaré, H.
 
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I 78
Anschaulichkeit/Vorstellung/Vollmer: weder ein zweihundert Jahre alter Mann noch eine drei Meter große Frau wären vorstellbar, nicht einmal ein Einhorn. Grund. wir könnten uns die Erfahrungen nicht vorstellen, die wir mit solchen Strukturen hätten. Alle diese Objekte sind aber anschaulich!
I 80
Anschaulichkeit/Poincaré/Reichenbach: für diese Autoren sind Dinge anschaulich, die es für die meisten anderen Autoren nicht sind. Poincaré: vierdimensionale Räume (aber nicht Hilbert Räume), HelmholtzVs, ReichenbachVs. These: wenn eine Theorie empirische Folgen hat, dann können wir uns immer Sinneseindrücke ausmalen. Danach ist jede empirische Theorie anschaulich. (VollmerVs).
Anschaulichkeit/VollmerVsPoincaré: wenn etwas erst projiziert werden muss, um erfahren zu werden, dann gibt es offenbar einen Unterschied zwischen dem Ding und seiner Projektion. Warum sollen wir dann eine Struktur anschaulich nennen, die erst durch Projektion anschaulich gemacht werden muss?
Def Anschaulichkeit/Vollmer: etwas ist anschaulich, wenn es transformiert werden kann. Bsp Planetarium, Molekülmodelle.

Vo I
G. Vollmer
Die Natur der Erkenntnis Bd I Stuttgart 1988

Vo II
G. Vollmer
Die Natur der Erkenntnis Bd II Stuttgart 1988