Lexikon der Argumente


Philosophische Themen und wissenschaftliche Debatten
 
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Arithmetik Thiel Thiel I 225
Arithmetik/Lorenzen/Thiel: die Arithmetik ist die Theorie in der das Unendliche in seiner einfachsten Form auftritt, sie ist im Wesentlichen nichts anderes als die Theorie des Unendlichen selbst. Die Arithmetik als Theorie der Zeichenmenge (z.B. Strichliste) ist in dem Sinne universell, als in ihr die Eigenschaften und Relationen jeder anderen unendlichen Zeichenmenge stets auf irgendeine Weise "abgebildet" werden können.
Die Komplexität der Materie hat dazu geführt, dass ein Großteil der Sekundärliteratur zu Gödel auf Metaphern wie "Spiegelung" "Selbstrückbezüglichkeit" usw. eine Menge Unsinn in die Welt gesetzt hat.
I 224
Der logisch arithmetische Vollformalismus wird mit F bezeichnet. Er enthält u.a. induktive Definitionen der Zählzeichen, der Variablen für sie, die Regeln der Quantorenlogik und die als Regeln geschriebenen Dedekind-Peanoschen Axiome.
I 226
Die Ableitbarkeit oder Unableitbarkeit einer Formel bedeutet nichts anderes, als Existenz bzw. Nichtexistenz einer Beweisfigur oder eines Stammbaums mit A als Endformel. Deshalb entsprechen auch die metamathematischen Aussagen "ableitbar", bzw. "unableitbar" jeweils umkehrbar eindeutig einer sie charakterisierenden Grundzahl. > Unvollständigkeitssatz/Gödel.
Terminologie/Schreibweise: S ableitbar, $ nicht ableitbar.
"$ Ax(x)" ist nun zweifellos eine korrekt definierte Aussageform, da die Abzählung bei An(n) eindeutig bestimmt ist. Entweder gilt $An(n) oder nicht.

Thiel I 304
Die jahrhundertealte Dominanz der Geometrie hat Nachwirkungen im Sprachgebrauch. Bsp "quadratische", "kubische" Gleichungen usw. Arithmetik/Thiel: ist heute zur Zahlentheorie geworden, ihr praktischer Teil zu "Rechnen" degradiert, Wahrscheinlichkeitsrechnung ist hinzugekommen.
I 305
In der Vektor- und Tensorrechnung erscheinen Geometrie und Algebra wiedervereinigt. Eine neue Disziplin namens "Invariantentheorie" kommt auf, floriert und verschwindet völlig, um wiederum später abermals wiederaufzuerstehen.
I 306
Funktionenanalysis: taugt wegen des sehr hohen Niveaus der begrifflichen Abstraktion sicher nicht zur Fundamentaldisziplin.
I 307
Bourbaki stellt den klassischen "Disziplinen" die "modernen Strukturen" gegenüber. Die Theorie der Primzahlen ist der Theorie der algebraischen Kurven eng benachbart. Die Euklidische Geometrie grenzt an die Theorie der Integralgleichungen. Das Ordnungsprinzip wird eins der Hierarchie der Strukturen sein, die von einfachen zum Komplizierten und von Allgemeinen zum Besonderen geht.

T I
Chr. Thiel
Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995
Ausgeschlossenes Drittes Lorenzen Berka I 271
Satz vom Ausgeschlossenen Dritten/Dialogische Logik/intuitionistisch/logische Konstanten/Lorenzen: gibt man den Partikeln auch in der Metasprache ihren dialogischen Sinn, so kann man natürlich nicht mehr allgemein das nur klassisch gültige A v i A beweisen. Lösung/Gentzen: man betrachtet die Sequenzen mit zusätzlichen unendlichen Regeln:

(n)A > B(n) v C > A > (x)B(x) v C

(n)A u B(n) > C > A u (Ex)B(x) > C

die zur Ableitung zugelassen werden.
Axiom: als Axiome werden alle Sequenzen

A u p > q v B

für falsche bzw. wahre konstante Primformeln p bzw. q zugelassen.
LorenzenVsRekursivität/LorenzenVsFormalismus: das ist kein Formalismus im Sinn einer Definition einer rekursiven Aufzählung mehr, sondern ein "Halbformalismus" (Begriff von Schütte).
Dieser ist trivialerweise widerspruchsfrei (wsf). Jede in der Peano Arithmetik ableitbare Formel ist es auch hier.
Das ist ein "konstruktiver" Widerspruchsfreiheitsbeweis, wenn man das dialogische Verfahren als konstruktiv anerkennt.
I 272
Unendlich/Prämissen/dialogische Logik/Lorenzen: man kann zu jeder im Peano Formalismus ableitbaren Formel eine Schrittzahl l < e0 mit
e0 = w hoch w hoch w hoch...

angeben.
P kann also aus einer ihm von O gegebenen Ableitung einer Formel zunächst eine Ordinalzahl l < e0 berechnen, ferner die Regel im Halbformalismus angeben, nach der diese Formel dort im letzten Schritt abzuleiten ist und, wenn O jetzt eine der Prämissen wählt, so kann er dafür eine kleinere Ordinalzahl berechnen. Das Berechnungsverfahren ist dabei rekursiv, also sogar im engsten Sinn konstruktiv.
Die Aussageformen, die im Widerspruchsfreiheitsbeweis gebraucht werden, sind dagegen im allgemeinen nicht rekursiv.(1)


1. P. Lorenzen, Ein dialogisches Konstruktivitätskriterium, in: Infinitistic Methods, (1961), 193-200

Lorn I
P. Lorenzen
Constructive Philosophy Cambridge 1987

Berka I
Karel Berka
Lothar Kreiser
Logik Texte Berlin 1983
Axiome Hilbert Berka I 294
Definition/Axiom/Hilbert: die aufgestellten Axiome sind zugleich die Definitionen jener elementaren Begriffe, deren Beziehungen sie regeln. ((s) Hilbert spricht von Beziehungen, nicht vom Gebrauch der Begriffe). Unabhängigkeit/Axiom/Hilbert: hier geht es um die Frage, ob gewisse Aussagen einzelner Axiome sich untereinander bedingen, und ob nicht somit die Axiome noch gemeinsame Bestandteile enthalten, die man beseitigen muss, damit die Axiome unabhängig voneinander sind.(1)

1. D. Hilbert, „Mathematische Probleme“ in: Ders. Gesammelte Abhandlungen (1935) Bd. III S. 290-329 (gekürzter Nachdruck v. S 299-301)

Thiel I 262
Wir betrachten die ersten drei Axiome von Hilbert: 1. Zu je zwei verschiedenen Punkten P,Q, gibt es genau eine Gerade, die mit P und Q inzidiert.
2. Zu jeder Gerade g und jedem nicht mit ihr inzidierenden Punkt P
gibt es genau eine Gerade, die mit P, aber mit keinem Punkt von g inzidiert.
3. Es gibt drei Punkte, die nicht mit ein und derselben Gerade inzidieren.
(Inzidieren = zusammengehören, d.h. schneiden, durch den Punkt verlaufen, auf ihr liegen)
In Hilberts Originaltext ist statt von Punkten von "Gegenständen erster Art" statt von Geraden von "Gegenständen zweiter Art" und statt von Inzidenz von "Grundbeziehung" die Rede. Damit lautet das erste Axiom jetzt so:
Zu je zwei verschiedenen Gegenständen erster Art gibt es genau eine Gegenstand zweiter Art, der mit den beiden erstgenannten in der Grundbeziehung steht.
Thiel I 263
Werden die Axiome quantorenlogisch umgeformt, dann ist nur noch das schematische Zeichen "pi" (für die Grundbeziehung) frei für Ersetzungen, die anderen sind durch Quantoren gebunden und können nicht mehr durch einzelne Namen von Punkten oder Geraden ersetzt werden. Sie sind also "Aussagenformen" mit "pi" als Leerstelle.
Sie sind keine Aussagen wie die vor Hilbertschen Axiome, deren Wahr oder Falschheit durch die Bedeutungen ihrer Bestandteile feststeht.
Bei dem (heute üblichen) hilbertschen Axiombegriff sind Axiome Aussageformen oder Aussagenschemata, deren Bestandteilen eine Bedeutung erst durch Interpretation gegeben werden muss.
Durch Angabe der Variabilitätsbereiche und der Grundbeziehung. Dass das auf verschiedene Weise geschehen kann, zeigt bereits, dass die Axiome auch durch ihr Zusammenwirken in einem Axiomensystem nicht selber die Bedeutung ihrer Bestandteile bestimmen (nicht deren Merkmale sind, wie Hilbert manchmal sagt).
Thiel I 264
Mehrere Interpretationen sind möglich: Bsp Das Liegen von Punkten auf einer Geraden - Bsp Das Vorkommen von Zeichen in Zeichenfolgen - Bsp Zahlenverhältnisse.
Thiel I 265
Alle drei Interpretationen sind wahre Aussagen. Die gebildeten Tripel von Bildungsvorschriften sind Modelle unseres Axiomensystems. Das erste ist ein unendliches, die beiden anderen endliche Modelle. Strukturen: ...+... I 266
Thiel I 266
Die Axiome können durch Konjunktion zu einem Axiomensystem zusammengefasst werden. Durch die Beziehungen werden die in den Gegenstandsbereichen liegenden Gegenstände in der durch die zusammengefassten Axiome bestimmten Weise miteinander verflochten. Die Bereiche V.. werden dadurch "strukturiert". (konkrete und abstrakte Strukturen). Ein und dieselbe Struktur lässt sich durch verschiedene Axiomensysteme beschreiben. Es werden nicht nur logisch äquivalente Axiomensysteme verwendet, sondern auch solche, deren Grundbegriffe und Beziehungen sich zwar unterscheiden, aber doch durch zwei Systeme expliziter Definitionen wechselseitig definierbar sind.
Thiel I 267
Schon die beiden ursprünglichen Axiomensysteme sind ohne Hinzunahme wechselseitiger Definitionen äquivalent, d.h. sie sind logisch äquivalent. Diese Äquivalenzrelation ermöglich einen Abstraktionsschritt zu den Feinstrukturen. im bisherigen Sinne gleiche Strukturen, werden jetzt differenziert: die sie beschreibenden Axiomensysteme sind dann nicht unmittelbar logisch äquivalent, aber ihre Begriffe erweisen sich als wechselseitig definierbar.
Bsp "Vektorraum" "Gruppe", "Körper" sind Bezeichnungen nicht für Feinstrukturen sondern, allgemeiner abstrakte Strukturen. Zum Unterschied zu Kapitel 6 können wir aber jetzt nicht sagen, dass ein Axiomensystem eine Struktur eindeutig darstelle. Ein Gebilde besitzt mehrere Strukturen, nicht mehr "die" Struktur.
I 268
Bsp Körper: Das Gebilde Q besitzt bezüglich Addition und Multiplikation eine durch Axiome beschriebene Körperstruktur. Bsp Gruppe: die vorige Aussage impliziert zugleich dass Q auch z.B. eine Gruppe bezüglich der Addition ist. Weil die Gruppenaxiome für Addition eine Teil der Körperaxiome bilden.
Die moderne Mathematik interessiert sich mehr für die Aussagen über Strukturen als für deren Träger. Unter diesem Gesichtspunkt sind Gebilde, die gleich strukturiert sind, völlig gleichwertig. (s) >Ununterscheidbarkeit).
Thiel: in der Algebra ist wohl am häufigsten von Strukturen die Rede. Hier gibt es oft eine einzige Trägermenge mit mehreren Verknüpfungen, die als Relation angesehen werden können.
Thiel I 269
Bsp Relation: Summenbildung: x+y = z Relation: s(x,y,z). Neben Verknüpfungsstrukturen tragen die Gegenstandsbereiche oft noch Ordnungsstrukturen oder topologische Strukturen.
Thiel I 270
Bourbaki spricht von einer Neuordnung des Gesamtgebiets der Mathematik nach "Mutterstrukturen". In der modernen Mathematik werden Abstrakta, insbesondere also Strukturen, als Äquivalenzklassen und somit als Mengen aufgefasst.

Berka I
Karel Berka
Lothar Kreiser
Logik Texte Berlin 1983

T I
Chr. Thiel
Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995
Bewertung Bewertung (Logik): Zuordnung von Wahrheitswerten ("wahr" oder "falsch") zu Aussageformeln, die sich aus der Belegung der einzelnen Variablen mit Wahrheitswerten ergibt. Dieses Verfahren erlaubt z.B. zu entscheiden, ob eine Formel eine Tautologie ist. Siehe auch Interpretation, Wahrheitswert, Wahrheits-Tabelle.
Church-Turing -These Lorenzen Berka I 266
Church These/Lorenzen: die These ist eine Gleichsetzung von "konstruktiv" mit "rekursiv". LorenzenVsChurch: zu enge Auffassung: so gestattet sie schon nicht mehr die freie Verwendung der Quantifikation über die natürlichen Zahlen.
I 267
Entscheidungsproblem/ChurchVsLorenzen: (laut Lorenzen): Vorteil: größere Klarheit: bei Beschränkung auf rekursive Aussageformen kann niemals Streit entstehen, ob eine der zugelassenen Aussagen wahr oder falsch ist. Die Definition der Rekursivität garantiert ja gerade die Entscheidungsdefinitheit, d.h. die Existenz eines Entscheidungsverfahrens. > Entscheidbarkeit, Entscheidungsproblem.(1)

1. P. Lorenzen, Ein dialogisches Konstruktivitätskriterium, in: Infinitistic Methods, (1961), 193-200

Lorn I
P. Lorenzen
Constructive Philosophy Cambridge 1987

Berka I
Karel Berka
Lothar Kreiser
Logik Texte Berlin 1983
Entscheidbarkeit Lorenzen Berka I 267
Entscheidungsproblem/Rekursion/Rekursivität/dialogische Logik/Lorenzen: ist R(x,y) eine entscheidungsdefinite Aussageform, so braucht aber schon (Ex) R(x,y) nicht mehr entscheidungsdefinit zu sein. Trotzdem braucht aber andererseits die Behauptung solcher Aussagen wie
(1) (Ex) R(x,n)
keine sinnlosen Wortstreit auszulösen! Es liegt ja nahe zu vereinbaren, dass derjenige, der (1) behauptet, auch verpflichtet ist, eine Zahl m anzugeben, so dass
(2) R(m,n)
wahr ist. Kann er das nicht, hat er seine Behauptung "verloren".(1)


1. P. Lorenzen, Ein dialogisches Konstruktivitätskriterium, in: Infinitistic Methods, (1961), 193-200

Lorn I
P. Lorenzen
Constructive Philosophy Cambridge 1987

Berka I
Karel Berka
Lothar Kreiser
Logik Texte Berlin 1983
Formale Sprache Mates I 63
Künstliche Sprache/formale Sprache/Gegenstück/Mates: den Aussageformen der natürlichen Sprache entsprechen Formeln der künstlichen, und zwar als Gegenstücke, nicht als Abkürzungen. - Wenn Symbolen kein Sinn zugeordnet ist, dann haben wir ein "uninterpretierter Kalkül".
I 74
Künstliche Sprache L/Mates: Bsp Aussage φ: immer wahr in Bezug auf eine Interpretation I. - Werte von "φ": Aussagen der Sprache L - Werte von I: Interpretationen von L.

Mate I
B. Mates
Elementare Logik Göttingen 1969

Mate II
B. Mates
Skeptical Essays Chicago 1981
Formalismus Thiel Thiel I 20
Formalismus/Thiel: Vollzieht sozusagen die "linguistische Wende" in der Mathematik. Es wird jetzt gefragt, was der Gegenstand der Arbeit des Mathematikers sei. Regeln für Handlungen. Symbole werden durch andere ersetzt. Dabei fragt der Formalist nicht nach der "Bedeutung". Mathematik: Lehre von den Formalismen oder formalen Systemen (>Formalismus/Bernays). Neben dieser "kalkültheoretischen Variante" des Formalismus gibt es die "strukturtheoretische" Variante. (>Hilbert). Verschiedene formale System können als von genau demselben mathematischen Objektbereichen gültig gedeutet werden. Wir können dies deren "Beschreibung" durch die formalen Systeme nennen.

Thiel I 279
Formalismus/Geometrie/Hilbert/Thiel: Hilbert hatte 1899 in seinen Grundlagen der Geometrie Termini wie Punkt, Gerade, Ebene, "zwischen" usw. verwendet, aber deren Sinn auf bis dahin ungewohnte Weise verstanden. Sie sollte nämlich nicht nur die Herleitung der üblichen Sätze ermöglichen, sondern in ihrer Gesamtheit überhaupt erst die Bedeutung der in ihnen verwendeten Termini festlegen.
I 280
Später nannte man dies "Definition durch Postulate", "implizite Definition" >Definition. Die Benennungen Punkt, Gerade usw. sollten allenfalls eine bequeme Hilfe für die mathematische Anschauung sein.
FregeVsHilbert: stellt im Briefwechsel klar, dass dessen Axiome nicht Aussagen sondern Aussageformen seien. >Aussageform.
Er bestritt, dass durch deren Zusammenwirken den in ihnen auftretenden Begriffen eine Bedeutung verliehen werde. Definiert werde vielmehr ein (in Freges Terminologie) "Begriff zweiter Stufe", heute würde man auch sagen eine "Struktur".
HilbertVsFrege: die Pointe des Hilbertschen Vorgehens ist gerade, dass die Bedeutung von "Punkt", "Gerade" usw offengelassen wird.
Frege und Hilbert hätten sich darauf durchaus einigen können, taten es aber nicht.
Axiome/Frege/Thiel: ein Axiom sollte eine im klassischen Sinne einfache, im Sinn völlig klare Aussage am Anfang eines Systems sein.
Axiome/Hilbert: Aussageformen, die zusammengefasst eine Disziplin definieren. Daraus hat sich die "schlampige" Redeweise entwickelt Bsp "Gerade" in der Kugelgeometrie sei eben ein Großkreis.

T I
Chr. Thiel
Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995
Intensionalität Leibniz Holz I 78
Intension/Extension/Leibniz/Holz: die Notwendigkeit der Totalität der Welt ist nicht der modale Aspekt der Extensionalität (oder Aussageform, der gemäß ein Prädikat einem Subjekt zugeordnet wird), sondern die intensionale Notwendigkeit oder Materialität, nach der das Prädikat im Subjekt inhärent ist.

Lei II
G. W. Leibniz
Philosophical Texts (Oxford Philosophical Texts) Oxford 1998

Holz II
Hans Heinz Holz
Descartes Frankfurt/M. 1994

Lei I
H. H. Holz
Leibniz Frankfurt 1992
Kalkül Mates I 63
Künstliche Sprache/formale/Gegenstück/Mates: den Aussageformen der natürlichen Sprache entsprechen Formeln der künstlichen, und zwar als Gegenstücke, nicht als Abkürzungen. - Wenn Symbolen kein Sinn zugeordnet ist, dann handelt es sich um einen uninterpretierter Kalkül.
I 115
Aussagenkalkül/AK: hat keine Quantoren.

Mate I
B. Mates
Elementare Logik Göttingen 1969

Mate II
B. Mates
Skeptical Essays Chicago 1981
Kalkül Thiel Thiel I 20/21
Kalkül/Ontologie/Mathematik/Thiel: Kalkültheorie: Zur Tätigkeit des Mathematikers gehört ja sowohl, Kakülregeln gemäß zu verfahren, als auch darüber zu reflektieren. Die Grenze zwischen Mathematik und Metamathematik ist fragwürdig. Die Grenzziehung dient nur bestimmten Zwecken, ist ist manchmal hinderlich: Bsp Neunerprobe: eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
Thiel I 211
Kalkül/Thiel: Bsp Die konstruktive Arithmetik mit dem Kalkül N und der Konstruktionsgleichheit von Zählzeichen liefert ein operatives Modell der Axiome. Mathematiker verfahren in der Praxis und in Büchern keineswegs so. Die ist Praxis nicht lückenlos.
I 213
Insistieren auf "sauberen" Lösungen kommt erst bei metamathematischen Bedürfnissen auf.
Terminologie/Schreibweise:
Regelpfeil: >>
Implikation imp
Für alle gilt: V
Regel (VP) A(y) imp B >>Vx A(x) imp B.
I 214
Alltagssprachliche Übersetzung: die Regel (VP) besagt, dass wir von einer gültigen Implikationsformel A(y) imp B, in der "y" als freie Variable vorkommt, übergehen dürfen zu einer, in der die Aussageform "A(y)" durch einen Existenzquantor quantifiziert ist. Präzisierung: "y" darf in der Konklusion der Regel nicht frei vorkommen und "x" muss frei für yx, d.h. nicht in den Wirkungsbereich eines schon vorhandenen Quantors mit dem Index "x" geraten.
Das betrifft aber nur die Beweispraxis. Beweistheoretische Überlegungen erfordern weitere Präzisierung. Der Gegenstand der vorgenommenen Formalisierung kann in so hohem Maße differenziert werden, dass wir von einem neuen Gegenstand sprechen müssen.

Thiel I 216
Ein "vollformalisierter" Kalkül für die Arithmetik bei Lorenzen 1962 besteht aus 75 Regeln, darunter solchen mit 7 Prämissen.
I 217
Wir können solche Regelsysteme "linearisieren": d.h. grundlegende Regeln ohne Prämissen einführen und dann aufsteigend fortsetzen.
I 219
Ideal ist das lückenlose syntaktische Erfassen von Beweisen.

T I
Chr. Thiel
Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995
Kontinuum Cantor Thiel I 197
Reelle Zahlen/Cantor/Thiel: Eugen Dühring 1861: Eine jede Anzahl, die als etwas Fertiges gedacht wird, ist eine bestimmte.
Reelle Zahlen/CantorVsDühring/Thiel: eine nichtabzählbare Gesamtheit ist etwas Fertiges (ja sogar "Aktuales"), also eine bestimmte Anzahl.
Cantor: keine abzählbare Liste von Dualfolgen kann alle Dualfolgen enthalten.
Vielmehr wird von vornherein die Menge der reellen Zahlen oder die Menge der Dualfolgen als gegeben betrachtet, und die Annahme, diese Menge sei abzählbar, dann als durch die Diagonalkonstruktion widerlegt hingestellt.
Der fraglosen Hinnahme der "Menge" aller reellen Zahlen oder Dualfolgen entspricht völlig die Deutung des geführten Nachweises, der nach klassischer Auffassung mehr als das rein negative Ergebnis der Nichtabzählbarkeit liefert:
I 198
Da die schon akzeptierte Menge aller reellen Zahlen eine Mächtigkeit haben muss, ist diese zwar unendlich, aber nicht gleich der der Grundzahlen. Also größere Mächtigkeit. Entsprechend der Vorstellung von der Bestimmtheit aller Anzahlen oder Mächtigkeiten erhält sie dann auch einen Namen, z.B. "c". Damit scheinen wir dann auch eine "transfinite" Kardinalzahl zu haben: die Mächtigkeit des Kontinuums, die größer ist als die Mächtigkeit der Menge der Grundzahlen. Cantor hat positiv ein ganzes weiteres Reich des Überabzählbaren zu erweisen versucht. KonstruktivismusVs: es gibt keine Menge der reellen Zahlen, da eine diese Menge darstellende Aussageform fehlt.
Außerdem mit den Dualfolgen unzulässiger Vorgriff auf Konstruktionsmittel, die noch gar nicht zur Verfügung stehen.
Die spezielle Konstruktionsanweisung für Dualfolgen wäre sogar widersprüchlich, da sie fordert, eine Dualfolge zu konstruieren, die von allen Dualfolgen verschieden ist. (Also auch von sich selbst).
(s) Bsp man kann aber leicht mit den Zahlen 2 und 3 eine Zahl konstruieren, die von diesen verschieden ist: "2 + 3 = 5".
Vs: sicher, aber das entspricht nicht der Forderung, eine Zahl zu konstruieren, die von allen natürlichen Zahlen verschieden ist. Aber das kann man auch: Bsp 2/3 ist von allen natürlichen Zahlen verschieden.

T I
Chr. Thiel
Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995
Notwendigkeit Leibniz Holz I 40
Notwendigkeit/Leibniz: letztlich entsteht aus den eingesehenen Begriffen (d.h. durch Einsetzten der Definition anstelle des Definierten) die Einsicht, dass diese notwendig sind oder dass sie einen Widerspruch implizieren.
Holz I 50
Notwendigkeit/Leibniz: Identische Sätze sind von absoluter Notwendigkeit, weil die Identität in ihnen ausdrücklich zutage liegt.
Holz I 72
Existenz/Notwendigkeit/Identität/Sein/Leibniz: die Sätze "Das Sein ist" und
"Nur ein einziges Sein ist notwendig"
stehen in einem ganz bestimmten Folgerungsverhältnis (Folgeverhältnis):
der Satz "das Sein ist" ist ein identischer Satz, d.h. sein Gegenteil ist widersprüchlich.
So fallen hier existentieller und kopulativer (Kopula) Gebrauch von "ist" zusammen.
Man könnte auch sagen "Das Sein ist seiend" um deutlich zu machen, dass das Prädikat dem Subjekt notwendig zukommt. Aber:
Bsp "der Stein ist ein seiender Stein": dieser Satz ist nicht identisch, dem Stein kommt das Sein nicht notwendig zu! Der Stein könnte auch nur gedacht sein. Daher brauchen wir die Wahrnehmung, um von der Existenz überzeugt zu sein.
Aber das gilt nicht ur von Körpern, sondern auch von Allgemeinem, Bsp die Gattung Mensch, sie existiert nicht notwendig!
I 73
Die Notwendigkeit der Existenz gilt einzig und allein von der Welt als ganzer.
Holz I 78
Intension/Extension/Leibniz/Holz: die Notwendigkeit der Totalität der Welt ist nicht der modale Aspekt der Extensionalität (oder Aussageform, der gemäß ein Prädikat einem Subjekt zugeordnet wird), sondern die intensionale Notwendigkeit oder Materialität, nach der das Prädikat im Subjekt inhärent ist.

Lei II
G. W. Leibniz
Philosophical Texts (Oxford Philosophical Texts) Oxford 1998

Holz II
Hans Heinz Holz
Descartes Frankfurt/M. 1994

Lei I
H. H. Holz
Leibniz Frankfurt 1992
Paradoxien Thiel I 321
Fehlschlüsse/Thiel: interessieren nur dann, wenn sie als "Trugschlüsse" absichtsvoll herbeigeführt werden, oder in Form von "Sophismen" vermeintlich legitime Schlüsse in eine Argumentation einschmuggeln, oder wie bei Kant sog. "Paralogismen" die "in der Natur der Menschenvernunft" ihren Grund haben und daher "unvermeidlich obzwar nicht unauflöslich" sind. Bsp arithmetischer Trugschluss: 5 = 7. (I 321 +).
Bsp Syllogismus mit einer quaternia terminorum (verstecktes Auftreten von vier statt drei erlaubter Begriffe in einem Schlussschema
Fliegende Elefanten sind Fantasievorstellungen.
Fantasievorstellungen sind Teil unserer Wirklichkeit.
Also sind fliegende Elefanten Teil unserer
Wirklichkeit.
Paradoxien sind etwas der gewöhnlichen Meinung (doxa) Zuwiderlaufendes. Andere Form: in eine Rätsellösung verpackte Tatsache.
Bsp Dass ein eng um den Äquator gelegtes Band nach Verlängerung um nur einen Meter plötzlich um 1/2π, d.h. um etwa 16cm abstehen würde.
I 322
Im alltägliche Gebrauch sind Paradoxien oft lediglich Kalauer, wie der Hypochonder, der sich lediglich einbildet, Wahnvorstellungen zu haben (Definitionsfrage) oder das "Murphysche Gesetz" dass alles länger dauert, auch wenn man das bereits berücksichtigt hat. Da in der englischsprachigen wissenschaftlichen Literatur "paradox" beides, Paradoxien (nicht wirkliche Antinomien) und Antinomien steht, hat sich eine Unterscheidung bisher nicht durchgesetzt.

I 327
Bsp "Krokodilschluss" (schon in der Antike bekannt): Ein Krokodil hat ein Kind geraubt, die Mutter fleht es an, es zurückzugeben. Das Krokodil stellt die Aufgabe, zu erraten, was es als nächstes tun werde. Die Mutter (logisch vorgebildet) sagt: du wirst es mit nicht zurückgeben. Daher Pattsituation. Denn die Mutter argumentiert jetzt, das Krokodil müsse das Kind zurückgeben, denn falls die Aussage wahr sei, bekomme sie es aufgrund der Vereinbarung zurück, sei sie aber falsch, so sei es eben falsch, dass sie das Kind nicht zurückbekomme, also weil es wahr, dass sie es bekomme.
Das Krokodil dagegen argumentiert, das es das Kind nicht zurückzugeben brauche, denn wenn die Aussage der Mutter falsch sei, bekomme sie es aufgrund der Vereinbarung nicht zurück, sei es aber wahr, so besage dies ja gerade, dass sie das Kind nicht zurückerhalte.
Erst eine sorgfältige Analyse deckt auf, dass die getroffene Vereinbarung ja noch keine Handlungsregel liefert.
Steht "z" für dass Zurückgeben, "a" für die Antwort der Mutter, (die noch unbestimmt, daher nur schematisch durch a repräsentiert sein kann) so liefert die Vereinbarung noch kein befolgbares Regelsystem, sondern das Regelschema

"a" ε wahr >> z
"a" ε falsch >> ~z

Wird dabei der Variabilitätsbereich von a nicht eingeschränkt, so kann man auch Wahlen von a treffen, die mit Tarskis Adäquatheitsbedingung für Wahrheitsdefinitionen unverträglich sind.
I 328
Diese besagt, dass für ein Wahrheitsprädikat "W" und jede Aussage p, von der es sinnvoll ausgesagt werden kann, stets
"p" ε W <> p

gelten muss. In dem Krokodilschluss wählt die Mutter ~z für a und macht dadurch aus dem Regelschema das Regelsystem

(R1) "~z" ε wahr >> z
(R2) "~z" ε falsch >> ~z

Das Krokodil schließt nun einerseits nach R2 und andererseits nach Tarski (mit ~z für p) auf ~z. Die Mutter dagegen schließt einerseits nach R1 und andererseits metalogisch von der Falschheit von "~z" sowie von da (nach Tarski) weiter auf z.
Da die Argumentation von einem Wahrheits- und einem Falschheitsprädikat sowie dem Zusammenhang zwischen beiden Gebrauch macht, zählt man den Krokodilschluss gewöhnlich zu den "semantischen" Antinomien.
Man kann in ihm einen Vorläufer der Russellschen Antinomie sehen.
Thiel I 328
Man sollte nicht vorschnell daraus ableiten, dass die Antinomien und Paradoxien für die Mathematik keine Bedeutung haben. Sowohl Poincarés Kriterium (Imprädikativität) als auch die Typentheorie erzwingen eine Einschränkung des sogenannten Komprehensionsaxioms, das die als definierende Bedingungen für Mengen zulässigen Aussageformen bestimmt.

T I
Chr. Thiel
Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995
Unendlichkeit Lorenzen Berka I 266
Überabzählbar/unendlich/LorenzenVsMengenlehre: Fabelreich des "Überabzählbaren". ((s) gar nicht konstruierbar, >Konstruktivismus).
Berka I 272
Unendlich/Prämissen/dialogische Logik/Lorenzen: man kann zu jeder im Peano Formalismus ableitbaren Formel eine Schrittzahl l < e0 mit
e0 = ω hoch ω hoch ω hoch...

angeben.
P kann also aus einer ihm von O gegebenen Ableitung einer Formel zunächst eine Ordinalzahl l < e0 berechnen, ferner die Regel im Halbformalismus angeben, nach der diese Formel dort im letzten Schritt abzuleiten ist und, wenn O jetzt eine der Prämissen wählt, so kann er dafür eine kleinere Ordinalzahl berechnen. Das Berechnungsverfahren ist dabei rekursiv, also sogar im engsten Sinn konstruktiv.
Die Aussageformen, die im Widerspruchsfreiheitsbeweis gebraucht werden, sind dagegen im allgemeinen nicht rekursiv.(1)


1. P. Lorenzen, Ein dialogisches Konstruktivitätskriterium, in: Infinitistic Methods, (1961), 193-200

Lorn I
P. Lorenzen
Constructive Philosophy Cambridge 1987

Berka I
Karel Berka
Lothar Kreiser
Logik Texte Berlin 1983
Unendlichkeit Thiel Thiel I 59
Unendlich/Thiel: zur "Potentialität" der Wahl muss man nicht alle Grundzahlen in ihrer "Aktualität" aufmarschieren lassen. Wenn die Endlichkeit auch in gewissem Sinn in der Unendlichkeit vorkommt, ist doch nicht jeder Satz über Endliches normalerweise ein Spezialfall von Sätzen über Unendliches.
I 60
Bsp Untersuchung, ob es vielleicht eine Reihe der Eigenschaften der Grundzahlen gibt, ähnlich wie die Reihe der Grundzahlen selbst. Dafür müssen wir zwischen Eigenschaften und Aussageformen unterscheiden, durch die wir sie darstellen. Hier einstellige Aussageform: Bsp die Eigenschaft, eine gerade Zahl zu sein. Mittels Strichliste I 60 ...+ Frage: ob sich in einer beliebigen arithmetisch geeigneten Sprache die eine Eigenschaft von Grundzahlen darstellenden Aussageformen in eine Reihe ordnen lassen:
Cantor Diagonalverfahren/Thiel: Es wird unendlich viele solche Aussagenformen geben. Wir hätten die unendliche Reihe
Aq(m), A2(m), A3(m), ...
I 62
... die Aussageform "~An(n)" stellt eine wohldefinierte Eigenschaft von Grundzahlen dar, sofern uns nur eine Reihe wie oben gegeben ist. In dieser Reihe kann aber keine zu der neu konstruierten Aussageform logisch äquivalente Aussageform und insbesondere nicht sie selbst vorkommen! I 62
Thiel I 157
Unendlich/Thiel: Bsp "Es gibt unendlich viele Primzahlen". Zur Erfassung dieses Satzes genügt natürlich nicht eine Formulierung im Sinne von "Zu jeder Primzahl gibt es eine weitere". Denn dies würde ja auch gelten, wenn 2 und 3 die einzigen Primzahlen wären! Gemeint ist aber, dass es zu beliebig vielen Primzahlen stets mindestens eine von ihnen allen verschiedene weitere gibt.
I 158
Das kann man anders viel einfacher angeben, nämlich mittels einer Ordnungsbeziehung. (m)(En) (m I 159
Dadurch wird ausgedrückt, dass es unendlich viele Grundzahlen gibt. Obwohl es unendlich viele Primzahlen gibt, können wir zu einer Einkleidung des Euklidischen Satzes nicht einfach auf einem zum gerade gewählten parallelen Weg gelangen, indem wir p und q für m und n einsetzen. Denn ein vergleichbarer Kalkül ist für Primzahlen bisher nicht bekannt. Das "im weiteren Sinne kalkulatorische" Verfahren aber, zu je endlich vielen Primzahlen eine weitere zu berechnen, bildet bereits selbst den Beweis des Euklidischen Satzes. ..+..I 160 Begründung des Euklidischen Satzes.
I 161
Unendlich: Bsp die geraden Zahlen bilden nur "die Hälfte" des Bereichs der Grundzahlen, dennoch gibt es unendlich viele gerade Zahlen, und zwar genauso vielen, wie man durch paarweise Zuordnung erfährt:
1 2 3 4 5 ...
2 4 6 8 10...
Galilei wandte das auch auf Quadratzahlen an, und erklärte, dass wir dem Unendlichen irrigerweise "Eigenschaften zusprechen, die wir an dem Endlichen kennen". Aber die Attribute "groß" und "klein" kommen dem Unendlichen nicht zu. Lange nach Galileis "Discorsi" hat die Mathematik Wege gefunden, von "größer" und "kleiner" zu sprechen, wenn auch nicht in dem Sinn der Wegnahme eines Teilbereichs, so dass die Gegenstände des Teilbereichs oder die verbliebenen wechselseitig eindeutig zugeordnet werden könnten.
I 162
Neu war, dass die Bereiche z.B. der Primzahlen, Geraden, Ungeraden Ganzen usw. alle "gleich viele" Gegenstände zu enthalten schienen.
I 163
Das wird durch umgekehrbar eindeutige Zuordnung von Zahlenpaaren gezeigt. ((s) Dazu ausführlicher Waismann).
I 164
An diesen Erörterungen zeigt sich der Widerstreit zweier Auffassungen vom Unendlichen: Eigenschaft oder Prozess. >Unendlich/Cantor.

T I
Chr. Thiel
Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995
Unvollständigkeit Gödel Thiel I 227 ff
Unvollständigkeitssatz/Gödel/Thiel: ... dieser metamathematischen Aussage entspricht in F eine einstellige Aussageform G(x) die dann in der abzählenden Folge irgendwo vorkommen muss. Nimmt G(x) die h te Stelle ein, so ist sie also identisch mit der dort als Ah(x) bezeichneten Aussageform. Gödels Resultat wird sein, dass in F weder die aus G(x) durch die Einsetzung von h entstehende Aussage G(h) noch deren Negat ~G(h) ableitbar ist.
"In F unentscheidbar".
Angenommen, G(h) sei in F ableitbar, dann wäre nur die Ableitung wahrer Aussagen zu gestatten, also G(h) wäre auch wahr.
Es würde also, da G(x) als Bild von $Ax(x) in F eingeführt wurde, $Ah(h) gelten. Das hieße aber, da ja Ah(x) mit G(x) identisch ist, $G(h). G(h) wäre also in F unableitbar, Widerspruch.
Diese Ableitung beweist zunächst nur die Geltung der Wenn Dann Aussage S G(h)>$ G(h) Das muss jetzt noch eingesetzt werden:
(S G(h)>$ G(h))> $ G(h).
Das geht aus dem allgemeinen Schema (A>~A)>~A hervor.
Nehmen wir dann andererseits an, dass das Negat ~G(h) ableitbar sei, dann wäre auch ~G(h) wahr. das wäre gleichbedeutend mit der Geltung von ~$ Ah(h) also mit S Ah(h). I 228
Das wiederum stimmt mit S G(h) überein, so dass beide, Behauptung und Negat ableitbar wären, und wir einen formalen Widerspruch hätten. Wenn F überhaupt widerspruchsfrei ist, kann auch unsere zweite Annahme S ~G(h) nicht gelten. Unentscheidbare Aussage.
I 228
Diese Beweisskizze stellt ein Programm auf. Wichtige Rolle bei der Ausführung dieses Programms spielen die "Gödelisierung" und die sog. "negative Vertretbarkeit" bestimmter Relationen in F. Def Gödelisierung: zunächst einmal nur eine umkehrbar eindeutige Zuordnung von Grundzahlen zu Zeichenreihen. Wir wollen die Ausdrücke von F in klammerfreie Form bringen.
Dazu schreiben wir die logischen Verknüpfungszeichen nicht mehr zwischen, sondern vor die Ausdrücke. Wir schreiben die Verknüpfungszeichen als "Indizes" an den Ordnungsfunktor G.
Terminologie Ordnungsfunktor G.
Quantoren: behandeln wir wie zweistellige Funktoren, deren erstes Argument der Index, das zweite die quantifizierte Aussageform ist.
I 229
Dann erhält die Aussage (x)(y)(z) ((x=y)>(zx = zy) die Gestalt (x)(y)(z)G > G = xyG = G mal zxG mal zy.
Wir können die Glieder der unendlichen Variablenfolgen jeweils durch einen die Sorte signalisierenden Standardbuchstaben und z.B. vorangestellte Punkte wiedergeben: also etwa x,y,z,...durch x,°x,°°x,...Als Zählzeichen nehmen wir statt |,||,|||,... Nullen mit entsprechend vielen vorangestellten Strichen 0,'0,''0,...
Mit dieser Konvention ist jedes Zeichen in F entweder eine 0 oder einer der einstelligen Funktoren G1 (der erste Anordnungsfunktor!) , ', ~,
zweistellige: G2, dreistellige G4 usw. I 229 Bsp Gödelisierung, Gödelzahl, Gödelnummer:
Es werden jeweils Primzahlen zugeordnet:…+ I 229
I 230
Auf diese Weise kann jeder Zeichenreihe von F eindeutig eine Gödelnummer zugeordnet werden und gesagt, wie sie berechnet werden kann. Da jede Grundzahl eine eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlen besitzt, lässt sich von jeder gegebenen Zahl feststellen, ob sie überhaupt Gödelnummer einer Zeichenreihe von F ist. Metamathematische und arithmetische Relationen entsprechen einander: Bsp
I 230
Wir ersetzen in ~G=x'x das x durch 0 und erhalten ~G = 0'0. Die Gödelnummer der ersten Reihe ist
223 x 313 x 537 x 729 x 1137, die der zweiten Zeichenreihe:
223 x 313 x 531 x 729 x 1131.
Der Übergang von der Gödelnummer der ersten zu der der zweiten Reihe erfolgt mittels Division durch 56 x 116 und diese Beziehung (von Produkt und Faktor) ist die der metamathematischen Beziehung der Zeichenreihen entsprechende arithmetische Beziehung zwischen ihren Gödelnummern.
I 231
Diese Beziehungen sind sogar effektiv, da man die Gödelnummer jedes Gliedes der Beziehung aus denen ihrer übrigen Glieder effektiv (Gödel sagt "rekursiv") berechnen kann. Den wichtigsten Fall bildet natürlich die Beziehung Bxy zwischen der Gödelnummer x, einer Beweisfigur Gz1...zk und der Gödelnummer y ihrer Endfolge...+..I 231.
Rekursivität I 231 rekursive Prädikate ..+.. primitiv rekursiv.
I 233
"Negationstreue Vertretbarkeit": Gödel zeigt, dass zu jeder rekursiven k-stelligen Relation R eine k-stellige Aussageform A in F von der Art gibt, dass A ableitbar ist, falls R gilt, und ~A falls R nicht gilt (..+..) Wir sagen, dass die Aussageform A die Relation R in F negationstreu vertritt.
I 234..+..
Nach alldem folgt, dass, wenn F ω-widerspruchsfrei ist, weder G noch ~G in F ableitbar ist. G ist eine "in F unentscheidbare Aussage". Das Auftreten von unentscheidbaren Aussagen in diesem Sinne ist nicht dasselbe wie die Unentscheidbarkeit von F in dem Sinne, dass es kein gewissermaßen mechanisches Verfahren gibt.
I 236
Zwar gibt es für F kein solches Entscheidungsverfahren, aber das ist nicht dasselbe wie die gezeigte "Unvollständigkeit", was man daraus sehen kann, dass Gödel 1930 zwar die klass. Quantorenlogik als vollständig erwiesen hat, es aber auch hier kein Entscheidungsverfahren gibt. Def Unvollständig/Thiel: wäre eine Theorie nur, wenn sich ein wahrer Satz über Gegenstände der Theorie angeben ließe, der nachweislich nicht aus dem der Theorie zugrunde liegenden Axiomensystem ableitbar wäre. ((s) Dann wäre das System nicht maximalkonsistent.)
Ob dies im Fall der Arithmetik durch die Konstruktion der Gödelschen Aussage G geschehen sei, war lange Zeit mit Nein beantwortet worden, mit der Begründung, G sei keine "richtige" arithmetische Aussage.
Das hat sich vor etwa 20 Jahren dadurch erledigt, dass kombinatorische Sätze gefunden wurden, die im Vollformalismus ebenfalls nicht ableitbar sind.
Gödel/Thiel: so kann an der Unvollständigkeit nicht mehr gezweifelt werden. Dies ist kein Aufweis der Grenzen menschlicher Erkenntnis, nur Aufweis einer sachimmanenten Grenze der axiomatischen Methode.
Thiel I 238 ff
Eine der Pointen des Beweises für den Gödelschen Unableitbarkeitssatz war, dass die der selbstverständlichen Effektivität aller Beweise im Vollformalismus F entsprechende Effektivität der metamathematischen Ableitbarkeitsbeziehung ihr genaues Gegenstück in der Rekursivität der arithmetischen Beziehungen zwischn den Gödelnummern der Beweisfiguren und Endformeln hat, und dass diese Parallelität für überhaupt alle effektiv entscheidbaren metamathematischen Beziehungen und ihrer arithmetischen Gegenstücke gesichert werden kann.

Göd II
Kurt Gödel
Collected Works: Volume II: Publications 1938-1974 Oxford 1990

T I
Chr. Thiel
Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995

Der gesuchte Begriff oder Autor findet sich in folgenden 3 Kontroversen:
Begriff/
Autor/Ismus
Autor Vs Autor
Eintrag
Literatur
AussageformAussageform Lorenzen Vs Church, A. Berka I 266
Church These/Lorenzen: die These ist eine Gleichsetzung von "konstruktiv" mit "rekursiv". (s) Also alle Konstruktionen sind rekursiv möglich?. Oder: es gibt nur rekursive Konstruktionen. (Etwas anderer Sinn).
LorenzenVsChurch: zu enge Auffassung: so gestattet sie schon nicht mehr die freie Verwendung der Quantifikation über die natürlichen Zahlen.
I 267
Entscheidungsproblem/ChurchVsLorenzen: (laut Lorenzen): Vorteil: größere Klarheit: bei Beschränkung auf rekursive Aussageformen kann niemals Streit entstehen, ob eine der zugelassenen Aussagen wahr oder falsch ist. Die Definition der Rekursivität garantiert ja gerade die Entscheidungsdefinitheit, d.h. die Existenz eines Entscheidungsverfahrens.(1)

1. P. Lorenzen, Ein dialogisches Konstruktivitätskriterium, in: Infinitistic Methods, (1961), 193-200

Lorn I
P. Lorenzen
Constructive Philosophy Cambridge 1987

Berka I
Karel Berka
Lothar Kreiser
Logik Texte Berlin 1983
AussageformAussageform Frege Vs Hilbert Berka I 294
Widerspruchsfreiheit/WSF/Geometrie/Hilbert: Nachweis durch analoge Beziehungen zwischen Zahlen Begriffe: wenn Merkmale sich widersprechen, existiert der Begriff nicht.(1) - FregeVsHilbert: es fällt bloß nichts darunter. Reelle Zahlen/Hilbert: hier ist der Widerspruchsfreiheitsbeweis für die Axiome zugleich der Existenzbeweis des Kontinuums.

1. D. Hilbert, „Mathematische Probleme“ in: Ders. Gesammelte Abhandlungen (1935) Bd. III S. 290-329 (gekürzter Nachdruck v. S 299-301)

Thiel I 279
Hilbert: hatte 1899 in seinen Grundlagen der Geometrie Termini wie Punkt, Gerade, Ebene,"zwischen" usw. verwendet, aber deren Sinn auf bis dahin ungewohnte Weise verstanden. Sie sollte nämlich nicht nur die Herleitung der üblichen Sätze ermöglichen, sondern in ihrer Gesamtheit überhaupt erst die Bedeutung der in ihnen verwendeten Termini festlegen!
Thiel I 280
Später nannte man dies :"Definition durch Postulate", "implizite Definition" >Definition. Die Benennungen Punkt, Gerade usw. sollten allenfalls eine bequeme Hilfe für die mathematische Anschauung sein.
FregeVsHilbert: stellt im Briefwechsel klar, dass dessen Axiome nicht Aussagen sondern Aussageformen seine. >Aussageform.
Er bestritt, dass durch deren Zusammenwirken den in ihnen auftretenden Begriffen eine Bedeutung verliehen werde. Definiert werde vielmehr ein (in Freges Terminologie) "Begriff zweiter Stufe", heute würde man auch sagen eine "Struktur".
HilbertVsFrege: die Pointe des Hilbertschen Vorgehens ist gerade, dass die Bedeutung von "Punkt", "Gerade" usw offen gelassen wird.
Frege und Hilbert hätten sich darauf durchaus einigen können, taten es aber nicht.
Frege: Axiom sollte im klass. Sinne einfache, im Sinn völlig klare Aussage am Anfang eines Systems sein.
Hilbert: Aussageformen, die zusammengefasst eine Disziplin definieren. Daraus hat sich die "schlampige" Redeweise entwickelt Bsp "Gerade" in der Kugelgeometrie sei eben ein Großkreis.
Thiel I 343
Formalismus: 1. "älterer" Formalismus: zweite Hälfte 19, Jahrh. Schöpfer Hankel, Heine, Thomae, Stolz. "formale Arithmetik,", "formale Algebra". "Gegenstand der Arithmetik seien die Zeichen auf dem Papier selbst, so dass die Existenz dieser Zahlen nicht in Frage steht" (naiv). Def "Permanenzprinzip": es war üblich geworden, für hinzukommende Zahlen neue Zeichen einzuführen und dann zu postulieren, dass die von den Zahlen des Ausgangsbereichs geltenden Regeln auch für den erweiterten Bereich gültig sein sollten.
Vs: das müsste solange als illegitim gelten, als die Widerspruchsfreiheit nicht gezeigt sei. Sonst könnte man eine neue Zahl einführen, und
Bsp § + 1 = 2 und § + 2 = 1 einfach postulieren. Dieser Widerspruch würde zeigen dass es die "neuen Zahlen" in Wahrheit gar nicht gibt. Das erklärt die Formulierung von Heine, dass die "Existenz gar nicht in Frage steht". (>"tonk").
Thiel I 343/344
Etwas differenzierter behandelte Thomae das Problem als "Spielregeln". FregeVsThomae: dieser habe nicht einmal die Grundbestimmungen seines Spiels, nämlich die Entsprechungen zu den Regeln, Figuren, und Stellungen präzise angegeben.
Diese Kritik Freges war schon ein Vorläufer der Hilbertschen Beweistheorie, in der ja ebenfalls bloße Zeichenreihen unter Absehung von ihren etwaigen Inhalt auf ihre Erzeugung und Umformung nach gegebenen Regeln betrachtet werden.
Thiel I 345
HilbertVsVs: Kritiker Hilberts übersehen oft, dass zumindest für Hilbert selbst, der "finite Kern" durchaus inhaltlich gedeutet bleiben sollte und nur die "idealen" nicht finit deutbaren Teile keinen unmittelbar aufweibaren Inhalt haben. Diese Pointe ist methodischer, nicht philosophischer Art. Für Hilberts Programm ist auch "Formalismus" der am häufigsten gebrauchte Ausdruck. Darüber hinaus geht die Auffassung des Formalismus in einem dritten Sinn: nämlich die Auffassung der Mathematik und Logik als ein System von Handlungsschemata für den Umgang mit von jedem Inhalt freien Figuren.
HilbertVsFrege und Dedekind: die Gegenstände der Zahlentheorie sind die Zeichen selber. Motto: "Am Anfang war das Zeichen."
Thiel I 346
Die Bezeichnung Formalismus stammte nicht von Hilbert oder seiner Schule. Brouwer hatte die Gegensätze zwischen seinem Intuitionismus und dem Formalismus der Hilbertschule zu einer Grundsatzentscheidung hochstilisiert.

F I
G. Frege
Die Grundlagen der Arithmetik Stuttgart 1987

F II
G. Frege
Funktion, Begriff, Bedeutung Göttingen 1994

F IV
G. Frege
Logische Untersuchungen Göttingen 1993

Berka I
Karel Berka
Lothar Kreiser
Logik Texte Berlin 1983

T I
Chr. Thiel
Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995
AussageformAussageform Cantor Vs Verschiedene Thiel I 197
Eugen Dühring 1861: Eine jede Anzahl, die als etwas Fertiges gedacht wird, ist eine bestimmte. reelle Zahlen/CantorVsDühring: eine nichtabzählbare Gesamtheit ist etwas Fertiges (ja sogar "aktuales"), also eine bestimmte Anzahl.
Cantor: keine abzählbare Liste von Dualfolgen kann alle Dualfolgen enthalten.
Vielmehr wird von vornherein die Menge der reellen Záhlen oder die Menge der Dualfolgen als gegeben betrachtet, und die Annahme, diese Menge sei abzählbar, dann als durch die Diagonalkonstruktion widerlegt hingestellt.
Der fraglosen Hinnahme der "Menge" aller reellen Zahlen oder Dualfolgen entspricht völlig die Deutung des geführten Nachweises, der nach klassischer Auffassung mehr als das rein negative Ergebnis der Nichtabzählbarkeit liefert:
Thiel I 198
da die schon akzeptierte Menge aller reellen Zahlen eine Mächtigkeit haben muss, ist diese zwar unendlich, aber nicht gleich der der Grundzahlen. Also größere Mächtigkeit. Entsprechend der Vorstellung von der Bestimmtheit aller Anzahlen oder Mächtigkeiten erhält sie dann auch einen Namen, z.B. "c". Damit scheinen wir dann auch eine "transfinite" Kardinalzahl zu haben: die Mächtigkeit des Kontinuums, die größer ist als die Mächtigkeit der Menge der Grundzahlen. Cantor hat positiv ein ganzes weiteres Reich des Überabzählbaren zu erweisen versucht. KonstruktivismusVs: es gibt keine Menge der reellen Zahlen, da eine diese Menge darstellende Aussageform fehlt.
Außerdem mit den Dualfolgen unzulässiger Vorgriff auf Konstruktionsmittel, die noch gar nicht zur Verfügung stehen.
Die spezielle Konstruktionsanweisung für Dualfolgen wäre sogar widersprüchlich, da sie fordert, eine Dualfolge zu konstruieren, die von allen Dualfolgen verschieden ist. (Also auch von sich selbst).
Vs: sicher, aber das entspricht nicht der Forderung, eine Zahl zu konstruieren, die von allen natürlichen Zahlen verschieden ist . Aber das kann man auch: Bsp 2/3 ist von allen natürlichen Zahlen verschieden.

T I
Chr. Thiel
Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995