Lexikon der Argumente

Philosophische Themen und wissenschaftliche Debatten

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Der gesuchte Begriff oder Autor findet sich in folgenden 16 Einträgen:

Begriff/ Autor/Ismus	Autor	Eintrag	Literatur
Analogien	Waismann	Friedrich Waismann Suchen und Finden in der Mathematik 1938 in Kursbuch 8 Mathematik 1967 77 Analogien/Wissenschaft/Mathematik/Suchen/Finden/Waismann: Der Mathematiker der sucht, geht mit Analogien vor. 78 1. Er denkt an ihm geläufige Konstruktionen anderer regulärer Figuren. 2. Ihm schwebt eine Figur vor, deren Seiten tatsächlich gleich lang sind. Wichtig: der Zusammenhang mit der empirischen und der mathematischen Figur besteht, ist aber ein außermathematischer! Es sind also außermathematische Gesichtspunkte, die die Leitsterne des mathematischen Forschens abgeben. Die Frage in der Mathematik gibt der Untersuchung kein Ziel, sondern nur eine Richtung. >Entdeckungen. Bsp Brouwers Frage, ob es in der Entwicklung der Zahl π eine Stelle gibt, wo die Ziffern 0123456789 aufeinanderfolgen. Der Begriff "Entwicklung der Zahl π" nützt mir nichts bei der Frage. Angenommen, wir gewinnen die Möglichkeit, die Frage zu beantworten, indem wir eine Formel finden die die Stellen von π angibt. Damit führen wir die Frage, ob es diese Sequenz gibt, auf eine andere Frage zurück. 79 Dann glauben wir, dass es immer noch derselbe Begriff ist. Man glaubt, man habe beide Male in demselben Raum gesucht, nämlich in der Entwicklung von π. Die falsche Vorstellung ist, dass hier ein Streifen an uns vorüberzieht, andererseits hat die Vorstellung vom Streifen auf die Richtung dieser ganzen Untersuchung geführt. Bsp Angenommen, es würde ein Gesetz über die Verteilung der Primzahlen gefunden, und zwar mit Hilfe der Funktionentheorie. Dann glaubt man, man habe im bisherigen Begriff der Primzahl eine neue Eigenschaft entdeckt. Man sieht nicht, dass man den Begriff in einen neuen Zusammenhang eingefügt hat, also einen neuen Primzahlbegriff geschaffen hat! Die beiden Primzahlbegriffe verhalten sich zueinander aber ungefähr so, wie der Begriff der Kardinalzahl zu dem der positiven ganzen reellen Zahl. Sie fallen nicht zusammen, sie entsprechen einander nur. >Bedeutungswandel, >Theoriewechsel. Bsp Nach der Entdeckung des Nordpols haben wir nicht zwei Erden, eine mit und eine ohne Nordpol, aber nach der Entdeckung des Gesetzes der Primzahlverteilung haben wir zwei Arten von Primzahlen. >Zahlen.	Waismann I F. Waismann Einführung in das mathematische Denken Darmstadt 1996 Waismann II F. Waismann Logik, Sprache, Philosophie Stuttgart 1976
Arithmetik	Thiel	I 225 Arithmetik/Lorenzen/Thiel: Die Arithmetik ist die Theorie in der das Unendliche in seiner einfachsten Form auftritt, sie ist im Wesentlichen nichts anderes als die Theorie des Unendlichen selbst. Die Arithmetik als Theorie der Zeichenmenge (z.B. Strichliste) ist in dem Sinne universell, als in ihr die Eigenschaften und Relationen jeder anderen unendlichen Zeichenmenge stets auf irgendeine Weise "abgebildet" werden können. Die Komplexität der Materie hat dazu geführt, dass ein Großteil der Sekundärliteratur zu Gödel auf Metaphern wie "Spiegelung" "Selbstrückbezüglichkeit" usw. eine Menge Unsinn in die Welt gesetzt hat. >Selbstbezüglichkeit, vgl. >Regis Debray. I 224 Der logisch arithmetische Vollformalismus wird mit F bezeichnet. Er enthält u.a. induktive Definitionen der Zählzeichen, der Variablen für sie, die Regeln der Quantorenlogik und die als Regeln geschriebenen Dedekind-Peanoschen Axiome.> >Formalisierung, >Formalismus. I 226 Die Ableitbarkeit oder Unableitbarkeit einer Formel bedeutet nichts anderes, als Existenz bzw. Nichtexistenz einer Beweisfigur oder eines Stammbaums mit A als Endformel. Deshalb entsprechen auch die metamathematischen Aussagen "ableitbar", bzw. "unableitbar" jeweils umkehrbar eindeutig einer sie charakterisierenden Grundzahl. > Unvollständigkeitssatz/Gödel. Terminologie/Schreibweise: S ableitbar, $ nicht ableitbar. "$ Ax(x)" ist nun zweifellos eine korrekt definierte Aussageform, da die Abzählung bei An(n) eindeutig bestimmt ist. Entweder gilt $An(n) oder nicht. >Ableitung, >Ableitbarkeit. Thiel I 304 Die jahrhundertealte Dominanz der Geometrie hat Nachwirkungen im Sprachgebrauch. Bsp "quadratische", "kubische" Gleichungen usw. Arithmetik/Thiel: Die Arithmetik ist heute zur Zahlentheorie geworden, ihr praktischer Teil zum "Rechnen" degradiert, Wahrscheinlichkeitsrechnung ist hinzugekommen. >Wahrscheinlichkeit, >Wahrscheinlichkeitsgesetze. I 305 In der Vektor- und Tensorrechnung erscheinen Geometrie und Algebra wiedervereinigt. Eine neue Disziplin namens "Invariantentheorie" kommt auf, floriert und verschwindet völlig, um wiederum später abermals wiederaufzuerstehen. >Invarianz. I 306 Funktionenanalysis: taugt wegen des sehr hohen Niveaus der begrifflichen Abstraktion sicher nicht zur Fundamentaldisziplin. I 307 Bourbaki stellt den klassischen "Disziplinen" die "modernen Strukturen" gegenüber. Die Theorie der Primzahlen ist der Theorie der algebraischen Kurven eng benachbart. Die Euklidische Geometrie grenzt an die Theorie der Integralgleichungen. Das Ordnungsprinzip wird eins der Hierarchie der Strukturen sein, die von einfachen zum Komplizierten und von Allgemeinen zum Besonderen geht. >Strukturen.	T I Chr. Thiel Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995
Beweise	d’Abro	A. d'Abro Die Kontroversen über das Wesen der Mathematik 1939 in Kursbuch 8 Mathematik 1967 28 Bsp Wenn Euklid beim Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen Faktoren einführt, ist das ein Kunstgriff und folgt nicht aus einer logischen Notwendigkeit. >Logische Notwendigkeit, >Notwendigkeit, >Beweisbarkeit, >Methoden, >Unendlichkeit, >Primzahlen.	Link zu Abkürzungen/Autoren
Disjunktion	Logik-Texte	Re III 79 Disjunktion/Tautologie/Read: In dem einen Sinn folgt »A oder B« aus A allein. - Das ist dann aber nicht äquivalent mit »wenn ~A, dann B«. >Logische Konstanten. Re III 262 Unentscheidbarkeit: Nicht konstruktiv: Bsp der Beweis, dass es zwei irrationale Zahlen a und b gibt, so dass a hoch b rational ist.(die Disjunktion von Alternativen ist hier konstruktiv inakzeptabel. Wir haben keine Konstruktion, durch die wir bestimmen können, ob Wurzel 2 hoch Wurzel 2 rational ist, oder nicht.) Das Ausgeschlossene Dritte ist deshalb intuitionistisch und keine substanzielle Behauptung. >Entscheidbarkeit, >Intuitionismus. Goldbachsche Vermutung: jede gerade Zahl größer zwei soll die Summe zweier Primzahlen sein. Nicht entscheidbar. Wir dürfen aber nicht behaupten dass sie entweder wahr ist oder nicht. Satz vom Ausgeschlossenen Dritten/SaD/Konstruktivismus/Read: Konstruktivisten präsentieren oft sogenannte »schwache Gegenbeispiele« gegen das Ausgeschlossene Dritte. Wenn a eine reelle Zahl ist, ist »a= 0« nicht entscheidbar. Folglich kann der Konstruktivist nicht behaupten, dass alle reellen Zahlen entweder identisch mit Null sind oder nicht. (Das ist aber mehr eine Frage der Darstellung). >Ausgeschlossenes Drittes, >Goldbachs Vermutung.	Texte zur Logik Me I Albert Menne Folgerichtig Denken Darmstadt 1988 HH II Hoyningen-Huene Formale Logik, Stuttgart 1998 Re III Stephen Read Philosophie der Logik Hamburg 1997 Sal IV Wesley C. Salmon Logik Stuttgart 1983 Sai V R.M.Sainsbury Paradoxien Stuttgart 2001
Endlichkeit	Heyting	I 66 Finitismus/Heyting: Was der Finitist beim Intuitionismus bestreitet, ist die Vorstellung, Mathematik habe etwas mit dem Unendlichen zu tun. >Unendliches, >Mathematik. Intuitionismus: Natürlich garantiert ihr extremer Finitismus ((s) der klassischen Mathematik) ein Maximum an Sicherheit. Jeder Schüler und jede Schülerin versteht aber die natürlichen Zahlen und kann einsehen, dass sie unendlich weitergehen. >Induktion, >Zahlen. Letter: Dass er oder sie es versteht, wird ihm suggeriert. Intuitionismus: Das ist kein Einwand, denn Verständigung mit Sprache kann immer als Suggestion angesehen werden. >Verstehen. Auch Euklid wusste, wovon er sprach, als er bewies, dass die Menge der Primzahlen unendlich ist. >Euklid, >Primzahlen.	Heyting I Arend Heyting Streitgespräch In Kursbuch 8/1967, H. M. Enzensberger Frankfurt/M. 1967 Heyting II Arend Heyting Intuitionism: An Introduction (Study in Logic & Mathematics) 1971
Fragen	Belnap	Fraassen I 137 Fragen/Belnap/Fraassen: ((FN 37): Theorie der Fragen: basiert auf einer Theorie von Propositionen, die wir hier annehmen. Eine Frage ist eine abstrakte Entität. I 138 Interrogativ: So wie ein Satz eine Proposition ausdrückt, drückt eine Frage ein Interrogativ aus. Antwort: Fast alles kann eine Antwort auf eine Frage sein, das hängt vom Kontext ab. Aber dennoch ist nicht alles eine Antwort. Das ist graduell. >Antworten. Antwort/Typen/Belnap/Fraassen: Bsp Kann man nach Victoria mit der Fähre und mit dem Flugzeug gelangen? (a) ja (b) Def direkte Antwort: man kann nach Victoria sowohl mit der Fähre als auch mit dem Flugzeug gelangen. ((s) Wiederholt die Proposition (das Interrogativ). „Ja“ ist ein Code für eine direkte Antwort. (c) Def partielle Antwort: man kann mit der Fähre nach Victoria gelangen (d) sagt mehr: man kann beides, aber die Fähre sollten Sie sich nicht entgehen lassen. (e) man kann natürlich mit der Fähre nach Victoria und das sollte man sich nicht entgehen lassen. (Das lassen wir zunächst unklassifiziert). Antwort „tout court“/Fraassen: Man sollte der Versuchung widerstehen, eine Antwort einfach eine Kombination aus einer partiellen Antwort und zusätzlicher Information zu nennen. Def partielle Antwort/Belnap/Fraassen: Eine partielle Antwort ist eine Proposition, die von einer direkten Antwort( die die Frage wiederholt) impliziert wird. Def vollständige Antwort: Eine vollständige Antwort ist eine Proposition, die selbst eine direkte Antwort impliziert. (eine Wiederholung der Proposition). ( Implikation, X wird impliziert von A/Y impliziert selbst A). I 139 Def Beinhalten von Fragen:/Belnap/Fraassen: Eine Frage Q beinhaltet eine andere Q’, wenn Q’ beantwortet ist, sobald Q beantwortet ist. D.h. jede vollständige Antwort auf Q ist auch eine vollständige auf Q’. Def Leere Frage/Belnap/Fraassen: Eine Frage ist leer, wenn alle ihre direkten Antworten notwendig wahr sind. Eine leere Frage ist in allen Fragen enthalten. Def Dumme Frage/Belnap/Fraassen: („foolish“). Eine dumme Frage liegt vor, wenn keine ihrer Antworten wahr sein kann. Bsp Hast du einen Hut getragen, der sowohl schwarz als auch nichtschwarz war, oder einen der weiß und nichtweiß war? Eine dumme Frage beinhaltet alle Fragen. Def Stumme Frage/Belnap/Fraassen: („dumb“ auch „blöd“): Eine Stumme Frage liegt vor, wenn es keine direkte Antwort auf sie gibt: Bsp welche drei verschiedenen Primzahlen gibt es zwischen 3 und 5? I 140 Präsupposition/Fragen/Belnap/Fraassen: Präsupposition ist ein wichtiger semantischer Begriff: was wird von einer Frage vorausgesetzt? >Präsupposition. Bsp Die beiden direkten Antworten „Ich trug den schwarzen Hut“ „..den weißen..“ könnten beide falsch sein. Dann kann man „weder noch“ antworten, was bisher noch gar nicht berücksichtig wurde. Def Präsupposition/Fragen/Belnap/Fraassen: Eine Präsupposition von Frage Q ist jede Proposition, die von allen direkten Antworten auf Q impliziert wird. (FN 40). Def Korrektur/Fragen/Belnap/Fraassen: Eine Korrektur von Q ist die Leugnung jeder Präsupposition von Q. Def Grundlegende Präsupposition/Fragen/Belnap/Fraassen: Eine grundlegende Präsupposition ist die Proposition, die wahr ist, gdw. eine direkte Antwort auf Q wahr ist. Antwort/Belnap/Fraassen: Es gibt noch eine weitere Art: Bsp „Ich habe nicht den weißen Hut getragen“: das ist nicht einmal eine partielle Antwort: weder wird sie von einer direkten Antwort impliziert, denn ich hätte beide Hüte gestern tragen können, einen nach dem anderen. Andererseits: weil der Fragende die Präsupposition macht, dass wenigstens einer der Hüte getragen wurde, ist die Antwort an ihn eine vollständige. Denn die Antwort plus Präsupposition zusammen beinhalten die direkte Antwort, dass sie den schwarzen trug. Daher: Def Relativ vollständige Antwort/Belnap/Fraassen: Eine relativ vollständige Antwort ist eine Proposition, die zusammen mit der Präsupposition von Q eine direkte Antwort auf Q impliziert. I 141 Interrogativ/Belnap/Fraassen: Welche Frage durch es ausgedrückt wird, ist stark kontext-abhängig. Und zwar teilweise, weil meist Index-Wörter in ihnen vorkommen. Bsp „Welches willst Du?“. Hier bestimmt der Kontext, was überhaupt möglich ist. >Kontext. Def Elementare Fragen/Belnap: a) „Ob“-Fragen. b) „Welches“-Fragen. Menge der direkten Antworten: wird durch zwei Faktoren spezifiziert: 1. Menge von Alternativen („Thema“) 2. Wunsch nach Selektion.	Beln I N. Belnap Facing the Future: Agents and Choices in Our Indeterminist World Oxford 2001 Fr I B. van Fraassen The Scientific Image Oxford 1980
Gesetze	Waismann	I 91 Bsp Die Folge der Primzahlen ist eine Folge ohne Formel, aber nicht ohne Gesetz! Das Gesetz ist freilich nur sprachlich auszudrücken, man kennt keine Formel. Dennoch liegt eine klare Vorschrift zur Bildung der Folge vor! >Regeln, >Methode. Weitere Schwierigkeit: wenn wir ein Gesetz zur Bildung von Folgen fordern, wäre das eine strenge Forderung, aber nur, wenn wir einen strengen Begriff des Gesetzes hätten! Bsp für x n + y n = z n kann man eine Folge definieren: tn soll 1 sein, wenn sich drei ganze Zahlen finden lassen, ist sie für ganze Zahlen unlösbar, soll tn = 0 sein. Die Reihe fängt dann so an: 1,1,0,0,0,... und niemand kann heute sagen, ob auf die beiden ersten Einsen lauter Nullen folgen oder nicht. I 92 Ist nun diese Vorschrift ein Gesetz? Oder stellt sie ein Gesetz dann, wenn die Fermatsche Vermutung bewiesen ist? >Beweise, >Beweisbarkeit.	Waismann I F. Waismann Einführung in das mathematische Denken Darmstadt 1996 Waismann II F. Waismann Logik, Sprache, Philosophie Stuttgart 1976
Gödelnummern		Gödelnummer, Gödelzahl: Natürliche Zahl, die durch ein bestimmtes Verfahren mathematische und logische Aussagen darstellt. Dazu werden Symbole wie +, -,=, ) usw. ihrerseits durch Primzahlen kodiert und diese anschließend multipliziert, sodass sie später durch Primfaktorzerlegung eindeutig rekonstruiert werden können. Gödelnummern ermöglichen es, Verzeichnisse von Formeln anzulegen und Vollständigkeits- oder Unvollständigkeitsbeweise durchzuführen.	Link zu Abkürzungen/Autoren
Induktion	d’Abro	A. d'Abro Die Kontroversen über das Wesen der Mathematik 1939 in Kursbuch 8 Mathematik 1967 46 Induktion wird in der Mathematik fortwährend angewendet, u.a. auch bei Euklids Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen. >Induktion/Poincaré, >Beweise, >Beweisbarkeit.	Link zu Abkürzungen/Autoren
Induktion	Poincaré	Waismann I 70 Induktion/Brouwer/Poincaré/Waismann: Die Leistung der Induktion: sie ist nicht ein Schluss, der ins Unendliche trägt. Der Satz a+b = b+a ist nicht eine Abkürzung für unendlich viele einzelne Gleichungen, sowenig wie 0,333... eine Abkürzung ist und der induktive Beweis nicht die Abkürzung für unendlich viele Syllogismen (VsPoincaré). Tatsächlich beginnen wir mit der Aufstellung der Formeln a+b = b+a a+(b+c) = (a+b)+c einen ganz neuen Kalkül, der aus den Berechnungen der Arithmetik auf keine Weise abgeleitet werden kann. >Kalkül, >Unendlichkeit, >Abkürzungen, >Gleichungen. Aber: Prinzip/Induktion/Kalkül/Definition/Poincaré/Waismann: …das ist das Richtige an Poincarés Behauptung, das Prinzip der Induktion sei nicht logisch zu beweisen. >Beweise, >Beweisbarkeit. VsPoincaré: Aber er stellt nicht, wie er meinte, ein synthetisches Urteil a priori dar, es ist überhaupt keine Wahrheit, sondern eine Festsetzung: Wenn die Formel f(x) für x=1 gilt und f(c+1) aus f(c) folgt, so sagen wir, es sei "die Formel f(x) für alle natürlichen Zahlen bewiesen". A. d'Abro Die Kontroversen über das Wesen der Mathematik 1939 in Kursbuch 8 Mathematik 1967 46 Induktion/PoincaréVsHilbert: In einigen seiner Demonstrationen wird das Induktionsprinzip gebraucht, und behauptet, diese Prinzip sei der Ausdruck einer außerlogischen Anschauung des menschlichen Geistes. Poincaré schließt daraus, dass die Geometrie nicht auf rein logische Weise von einer Gruppe von Postulaten abgeleitet werden kann. >Geometrie, >Postulate, >Ableitung, >Ableitbarkeit. 46 Induktion wird in der Mathematik fortwährend angewendet, u.a. auch bei Euklids Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen. >Euklid, >Primzahlen. Induktionsprinzip/Poincaré: Das Induktionsprinzip kann kein Gesetz der Logik sein, denn es ist durchaus möglich, eine Mathematik zu konstruieren, in der das Induktionsprinzip geleugnet wird. Auch Hilbert führt es unter seinen Postulaten nicht auf, er scheint also auch der Meinung zu sein, dass es kein reines Postulat ist.	Waismann I F. Waismann Einführung in das mathematische Denken Darmstadt 1996 Waismann II F. Waismann Logik, Sprache, Philosophie Stuttgart 1976
Leere Menge	Quine	IX 218 Leere Menge/Nullklasse/Quine: Λ ungleich 0! (Für Freges 0, nämlich {Λ}. ad IX 226ff Leere Menge/Nullklasse/(s): anders als Definitionslücke (Bsp Stetigkeit, durch Null teilen.) - Echte Lücke: eine wohldefinierte Bedingung wird nicht erfüllt, Bsp Primzahlen zwischen 31 und 37: 5 natürliche Zahlen erfüllen die Bedingung nicht, 0 natürliche Zahlen erfüllen die Bedingung, für unendlich viele rationale Zahlen oder reelle Zahlen ist die Bedingung nicht definiert. ((s) Allklasse/(s): fraglich, ob, wenn es nichts gibt, was die Bedingung nicht erfüllt, überhaupt von einer Menge gesprochen werden kann (weil es keinem Begriff entspricht. > Komprehensionsaxiom). - Andersherum: was sollte die Bedingung für die Allklasse sein?) Weitere Einträge zu Leere Menge/Quine.	Quine I W.V.O. Quine Wort und Gegenstand Stuttgart 1980 Quine II W.V.O. Quine Theorien und Dinge Frankfurt 1985 Quine III W.V.O. Quine Grundzüge der Logik Frankfurt 1978 Quine V W.V.O. Quine Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989 Quine VI W.V.O. Quine Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995 Quine VII W.V.O. Quine From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953 Quine VII (a) W. V. A. Quine On what there is In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (b) W. V. A. Quine Two dogmas of empiricism In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (c) W. V. A. Quine The problem of meaning in linguistics In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (d) W. V. A. Quine Identity, ostension and hypostasis In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (e) W. V. A. Quine New foundations for mathematical logic In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (f) W. V. A. Quine Logic and the reification of universals In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (g) W. V. A. Quine Notes on the theory of reference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (h) W. V. A. Quine Reference and modality In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (i) W. V. A. Quine Meaning and existential inference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VIII W.V.O. Quine Bezeichnung und Referenz In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 Quine IX W.V.O. Quine Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967 Quine X W.V.O. Quine Philosophie der Logik Bamberg 2005 Quine XII W.V.O. Quine Ontologische Relativität Frankfurt 2003 Quine XIII Willard Van Orman Quine Quiddities Cambridge/London 1987
Notwendigkeit	d’Abro	A. d'Abro Die Kontroversen über das Wesen der Mathematik 1939 in Kursbuch 8 Mathematik 1967 28 Bsp Wenn Euklid beim Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen Faktoren einführt, ist das ein Kunstgriff und folgt nicht aus einer logischen Notwendigkeit. >Logische Notwendigkeit, >Notwendigkeit, >Beweise, >Beweisbarkeit.	Link zu Abkürzungen/Autoren
Strukturen	Bourbaki	Thiel I 270 Bourbaki spricht von einer Neuordnung des Gesamtgebiets der Mathematik nach "Mutterstrukturen". In der modernen Mathematik werden Abstrakta, insbesondere also Strukturen, als Äquivalenzklassen und somit als Mengen aufgefasst. >Mengen, >Mengenlehre, >Strukturen/Mathematik, >Abstrakta, >Äquivalenzklassen. Thiel I 307 Bourbaki stellt den klassischen "Disziplinen" die "modernen Strukturen" gegenüber. Die Theorie der Primzahlen ist der Theorie der algebraischen Kurven eng benachbart. >Primzahlen. Die Euklidische Geometrie grenzt an die Theorie der Integralgleichungen. Das Ordnungsprinzip wird eins der Hierarchie der Strukturen sein, die von einfachen zum Komplizierten und von Allgemeinen zum Besonderen geht. >Geometrie.	T I Chr. Thiel Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995
Unendlichkeit	Thiel	Thiel I 59 Unendlich/Thiel: zur "Potentialität" der Wahl muss man nicht alle Grundzahlen in ihrer "Aktualität" aufmarschieren lassen. Wenn die Endlichkeit auch in gewissem Sinn in der Unendlichkeit vorkommt, ist doch nicht jeder Satz über Endliches normalerweise ein Spezialfall von Sätzen über Unendliches. I 60 Bsp Untersuchung, ob es vielleicht eine Reihe der Eigenschaften der Grundzahlen gibt, ähnlich wie die Reihe der Grundzahlen selbst. Dafür müssen wir zwischen Eigenschaften und Aussageformen unterscheiden, durch die wir sie darstellen. Hier einstellige Aussageform: Bsp die Eigenschaft, eine gerade Zahl zu sein. Mittels Strichliste I 60 ...+ Frage: ob sich in einer beliebigen arithmetisch geeigneten Sprache die eine Eigenschaft von Grundzahlen darstellenden Aussageformen in eine Reihe ordnen lassen: Cantor Diagonalverfahren/Thiel: Es wird unendlich viele solche Aussagenformen geben. Wir hätten die unendliche Reihe Aq(m), A2(m), A3(m), ... I 62 ... die Aussageform "~An(n)" stellt eine wohldefinierte Eigenschaft von Grundzahlen dar, sofern uns nur eine Reihe wie oben gegeben ist. In dieser Reihe kann aber keine zu der neu konstruierten Aussageform logisch äquivalente Aussageform und insbesondere nicht sie selbst vorkommen! Thiel I 157 Unendlich/Thiel: Bsp "Es gibt unendlich viele Primzahlen". Zur Erfassung dieses Satzes genügt natürlich nicht eine Formulierung im Sinne von "Zu jeder Primzahl gibt es eine weitere". Denn dies würde ja auch gelten, wenn 2 und 3 die einzigen Primzahlen wären! Gemeint ist aber, dass es zu beliebig vielen Primzahlen stets mindestens eine von ihnen allen verschiedene weitere gibt. I 158 Das kann man anders viel einfacher angeben, nämlich mittels einer Ordnungsbeziehung. (m)(En) (m I 159 Dadurch wird ausgedrückt, dass es unendlich viele Grundzahlen gibt. Obwohl es unendlich viele Primzahlen gibt, können wir zu einer Einkleidung des Euklidischen Satzes nicht einfach auf einem zum gerade gewählten parallelen Weg gelangen, indem wir p und q für m und n einsetzen. Denn ein vergleichbarer Kalkül ist für Primzahlen bisher nicht bekannt. Das "im weiteren Sinne kalkulatorische" Verfahren aber, zu je endlich vielen Primzahlen eine weitere zu berechnen, bildet bereits selbst den Beweis des Euklidischen Satzes. ..+..I 160 Begründung des Euklidischen Satzes. I 161 Unendlich: Bsp die geraden Zahlen bilden nur "die Hälfte" des Bereichs der Grundzahlen, dennoch gibt es unendlich viele gerade Zahlen, und zwar genauso vielen, wie man durch paarweise Zuordnung erfährt: 1 2 3 4 5 ... 2 4 6 8 10... Galilei wandte das auch auf Quadratzahlen an, und erklärte, dass wir dem Unendlichen irrigerweise "Eigenschaften zusprechen, die wir an dem Endlichen kennen". Aber die Attribute "groß" und "klein" kommen dem Unendlichen nicht zu. Lange nach Galileis "Discorsi" hat die Mathematik Wege gefunden, von "größer" und "kleiner" zu sprechen, wenn auch nicht in dem Sinn der Wegnahme eines Teilbereichs, so dass die Gegenstände des Teilbereichs oder die verbliebenen wechselseitig eindeutig zugeordnet werden könnten. I 162 Neu war, dass die Bereiche z.B. der Primzahlen, Geraden, Ungeraden Ganzen usw. alle "gleich viele" Gegenstände zu enthalten schienen. I 163 Das wird durch umkehrbar eindeutige Zuordnung von Zahlenpaaren gezeigt. ((s) Dazu ausführlicher Waismann). >F. Waismann. I 164 An diesen Erörterungen zeigt sich der Widerstreit zweier Auffassungen vom Unendlichen: Eigenschaft oder Prozess. >Unendlich/Cantor.	T I Chr. Thiel Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995
Unvollständigkeit	Gödel	Thiel I 227 ff Unvollständigkeitssatz/Gödel/Thiel: ... dieser metamathematischen Aussage [dem Unvollständigkeitssatz] entspricht in F eine einstellige Aussageform G(x) die dann in der abzählenden Folge irgendwo vorkommen muss. Nimmt G(x) die h'te Stelle ein, so ist sie also identisch mit der dort als Ah(x) bezeichneten Aussageform. Gödels Resultat wird sein, dass in F weder die aus G(x) durch die Einsetzung von h entstehende Aussage G(h) noch deren Negat ~G(h) ableitbar ist. "In F unentscheidbar". Angenommen, G(h) sei in F ableitbar, dann wäre nur die Ableitung wahrer Aussagen zu gestatten, also G(h) wäre auch wahr. Es würde also, da G(x) als Bild von $Ax(x) in F eingeführt wurde, $Ah(h) gelten. Das hieße aber, da ja Ah(x) mit G(x) identisch ist, $G(h). G(h) wäre also in F unableitbar. Das ist ein Widerspruch. >Ableitung, >Ableitbarkeit. Diese Ableitung beweist zunächst nur die Geltung der "Wenn-Dann-Aussage" S G(h)>$ G(h). Das muss jetzt noch eingesetzt werden: (S G(h)>$ G(h))> $ G(h). Das geht aus dem allgemeinen Schema (A>~A)>~A hervor. Nehmen wir dann andererseits an, dass das Negat ~G(h) ableitbar sei, dann wäre auch ~G(h) wahr. Das wäre gleichbedeutend mit der Geltung von ~$ Ah(h) also mit S Ah(h). Thiel I 228 Das wiederum stimmt mit S G(h) überein, so dass beide, Behauptung und Negat ableitbar wären, und wir einen formalen Widerspruch hätten. Wenn F überhaupt widerspruchsfrei ist, kann auch unsere zweite Annahme S ~G(h) nicht gelten. Dies ist eine unentscheidbare Aussage. Vgl. >Entscheidbarkeit, >Unentscheidbarkeit. Thiel I 228 Diese Beweisskizze stellt ein Programm auf. Wichtige Rolle bei der Ausführung dieses Programms spielen die "Gödelisierung" und die sogenannte "negative Vertretbarkeit" bestimmter Relationen in F. Def Gödelisierung: Die "Gödelisierung" ist zunächst einmal nur eine umkehrbar eindeutige Zuordnung von Grundzahlen zu Zeichenreihen. Wir wollen die Ausdrücke von F in klammerfreie Form bringen. >Gödelzahlen. Dazu schreiben wir die logischen Verknüpfungszeichen nicht mehr zwischen, sondern vor die Ausdrücke. Wir schreiben die Verknüpfungszeichen als "Indizes" an den Ordnungsfunktor G. Terminologie: Ordnungsfunktor G. Quantoren: Quantoren behandeln wir wie zweistellige Funktoren, deren erstes Argument der Index, das zweite die quantifizierte Aussageform ist. >Quantoren, >Quantifikation. Thiel I 229 Dann erhält die Aussage (x)(y)(z) ((x=y)>(zx = zy) die Gestalt (x)(y)(z)G > G = xyG = G mal zxG mal zy. Wir können die Glieder der unendlichen Variablenfolgen jeweils durch einen die Sorte signalisierenden Standardbuchstaben und z.B. vorangestellte Punkte wiedergeben: also etwa x,y,z,...durch x,°x,°°x,... Als Zählzeichen nehmen wir statt \|,\|\|,\|\|\|,... Nullen mit entsprechend vielen vorangestellten Strichen 0,'0,''0,... >Folgen. Mit dieser Konvention ist jedes Zeichen in F entweder eine 0 oder einer der einstelligen Funktoren G1 (der erste Anordnungsfunktor!) , ', ~. Zweistellige: G2, dreistellige G4 usw. Thiel I 229 Bsp Gödelisierung, Gödelzahl, Gödelnummer: Es werden jeweils Primzahlen zugeordnet. >Primzahlen. Thiel I 230 Auf diese Weise kann jeder Zeichenreihe von F eindeutig eine Gödelnummer zugeordnet werden und gesagt werden, wie sie berechnet werden kann. Da jede Grundzahl eine eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlen besitzt, lässt sich von jeder gegebenen Zahl feststellen, ob sie überhaupt Gödelnummer einer Zeichenreihe von F ist. Metamathematische und arithmetische Relationen entsprechen einander: Bsp Thiel I 230 Wir ersetzen in ~G = x'x das x durch 0 und erhalten ~G = 0'0. Die Gödelnummer der ersten Reihe ist. 2²³ x 3¹³ x 5³⁷ x 7²⁹ x 11³⁷, die der zweiten Zeichenreihe: 2²³ x 3¹³ x 5³¹ x 7²⁹ x 11³¹. Der Übergang von der Gödelnummer der ersten zu der der zweiten Reihe erfolgt mittels Division durch 5⁶ x 11⁶ und diese Beziehung (von Produkt und Faktor) ist die der metamathematischen Beziehung der Zeichenreihen entsprechende arithmetische Beziehung zwischen ihren Gödelnummern. Thiel I 231 Diese Beziehungen sind sogar effektiv, da man die Gödelnummer jedes Gliedes der Beziehung aus denen ihrer übrigen Glieder effektiv (Gödel sagt "rekursiv") berechnen kann. >Rekursion. Den wichtigsten Fall bildet natürlich die Beziehung Bxy zwischen der Gödelnummer x, einer Beweisfigur Gz1...zk und der Gödelnummer y ihrer Endfolge... . Thiel I 233 "Negationstreue Vertretbarkeit": Gödel zeigt, dass es zu jeder rekursiven k-stelligen Relation R eine k-stellige Aussageform A in F von der Art gibt, dass A ableitbar ist, falls R gilt, und ~A falls R nicht gilt. Wir sagen, dass die Aussageform A die Relation R in F negationstreu vertritt. Thiel I 234 Nach alldem folgt, dass, wenn F ω-widerspruchsfrei ist, weder G noch ~G in F ableitbar ist. G ist eine "in F unentscheidbare Aussage". Das Auftreten von unentscheidbaren Aussagen in diesem Sinne ist nicht dasselbe wie die Unentscheidbarkeit von F in dem Sinne, dass es kein gewissermaßen mechanisches Verfahren gibt. >Entscheidbarkeit. Thiel I 236 Zwar gibt es für F kein solches Entscheidungsverfahren, aber das ist nicht dasselbe wie die gezeigte "Unvollständigkeit", was man daraus sehen kann, dass Gödel 1930 zwar die klassische Quantorenlogik als vollständig erwiesen hat, es aber auch hier kein Entscheidungsverfahren gibt. Def Unvollständig/Thiel: Unvollständig wäre eine Theorie nur, wenn sich ein wahrer Satz über Gegenstände der Theorie angeben ließe, der nachweislich nicht aus dem der Theorie zugrunde liegenden Axiomensystem ableitbar wäre. ((s) Dann wäre das System nicht maximalkonsistent.) Ob dies im Fall der Arithmetik durch die Konstruktion der Gödelschen Aussage G geschehen sei, war lange Zeit mit Nein beantwortet worden, mit der Begründung, G sei keine "richtige" arithmetische Aussage. Das hat sich vor etwa 20 Jahren dadurch erledigt, dass kombinatorische Sätze gefunden wurden, die im Vollformalismus ebenfalls nicht ableitbar sind. Gödel/Thiel: So kann an der Unvollständigkeit nicht mehr gezweifelt werden. Dies ist kein Aufweis der Grenzen menschlicher Erkenntnis, nur Aufweis einer sachimmanenten Grenze der axiomatischen Methode. Thiel I 238 ff Eine der Pointen des Beweises für den Gödelschen Unableitbarkeitssatz war, dass die der selbstverständlichen Effektivität aller Beweise im Vollformalismus F entsprechende Effektivität der metamathematischen Ableitbarkeitsbeziehung ihr genaues Gegenstück in der Rekursivität der arithmetischen Beziehungen zwischen den Gödelnummern der Beweisfiguren und Endformeln hat, und dass diese Parallelität für überhaupt alle effektiv entscheidbaren metamathematischen Beziehungen und ihrer arithmetischen Gegenstücke gesichert werden kann. >Ableitung, >Ableitbarkeit.	Göd II Kurt Gödel Collected Works: Volume II: Publications 1938-1974 Oxford 1990 T I Chr. Thiel Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995
Verstehen	Wolfram	Brockman I 282 Verstehen/Außerirdische/Wolfram: Wenn wir eine Sequenz von Primzahlen beobachten würden, die aus einem Pulsar erzeugt werden, würden wir fragen, was sie erzeugt hat. Würde das bedeuten, dass eine ganze Zivilisation aufgewachsen ist und Primzahlen entdeckte und Computer und Radiosender erfand und dies tat? Oder gibt es nur einen physikalischen Prozess, der Primzahlen erzeugt? Es gibt einen kleinen zellularen Automaten, der Primzahlen herstellt. Man kann sehen, wie er funktioniert, wenn man ihn auseinandernimmt. Er hat in sich eine kleines Ding, das in ihm hüpft, und es kommt eine Reihe von Primzahlen heraus. Es brauchte nicht die ganze Geschichte der Zivilisation und Biologie und so weiter, um zu diesem Punkt zu gelangen. >Irreduzibilität/Wolfram. Wolfram, Stephen (2015) „Artificial Intelligence and the Future of Civilization” (edited live interview), in: Brockman, John (ed.) 2019. Twenty-Five Ways of Looking at AI. New York: Penguin Press.	Brockman I John Brockman Possible Minds: Twenty-Five Ways of Looking at AI New York 2019

Der gesuchte Begriff oder Autor findet sich in folgenden Thesen von Autoren des zentralen Fachgebiets.

Begriff/ Autor/Ismus	Autor	Eintrag	Literatur
Fiktionalsmus	Field, Hartry	I 3 Field: These: der Sinn in dem "2+2=4" wahr ist, ist eher der Sinn, in dem "Oliver Twist lebte in London" wahr ist: nämlich entsprechend einer wohlbekannten Geschichte, beziehungsweise in Bezug auf die Standardmathematik. D.h. er glaubt nicht buchstäblich, daß "2+2=4"! Field pro Fiktionalismus: diese Sichtweise ist die korrekte. I 5 Def starken Fiktionalismus: schwacher F. plus die Doktrin, daß schwacher F und Platonismus unterschieden werden müssen. Field pro starker F: These: schwacher Fiktionalismus und Platonismus fallen nicht zusammen. I 22 Lösung/Wagner: (1982): These: wir haben eine gute Geschichte über natürliche Zahlen und eine gute Geschichte über Mengen usw. Innerhalb dieser Geschichten ist es völlig unwichtig, ob man z.B. Zahlen mit Mengen oder mit etwas anderem identifiziert. II 323 Fiktionalismus/Mathematik/Objektivität/Field: These: es gibt überhaupt keine mathematischen Objekte. a) Das führt zur selben Begrenzung der mathematischen Objektivität: alles geht, "anything goes", solange es Konsistenz (WSF) im obigen (weiten) Sinn erfüllt. II 324 b) Modale Interpretation/Fiktionalismus/Field: könnte sagen, eine nicht-direkte Sicht der mathematischen Sprache nach der Bsp "Es gibt Primzahlen größer als eine Milliarde" nicht die Existenz von irgendetwas behauptet, sondern nur eine modale Behauptung macht. III 2 Statt dessen: These: Mathematik als Fiktion auffassen.	Link zu Abkürzungen/Autoren