Lexikon der Argumente

Philosophische Themen und wissenschaftliche Debatten

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Der gesuchte Begriff oder Autor findet sich in folgenden 7 Einträgen:

Begriff/ Autor/Ismus	Autor	Eintrag	Literatur
Arithmetik	Waismann	I 50 Arithmetik/Waismann: wird auf Logik gegründet. Dabei macht man starken Gebrauch von Begriffen der Mengenlehre, bzw. des Klassenkalküls. Die Behauptung, die Mathematik sei nur ein >Teil der Logik schließt zwei Thesen ein, die nicht immer deutlich auseinandergehalten werden: a) Die Grundbegriffe der Arithmetik lassen sich durch Definition auf rein logische zurückführen b) Die Grundsätze der Arithmetik lassen sich durch Beweis herleiten aus rein logischen Sätzen. >Grundbegriffe, >Aussagen, >Definitionen, >Definierbarkeit.	Waismann I F. Waismann Einführung in das mathematische Denken Darmstadt 1996 Waismann II F. Waismann Logik, Sprache, Philosophie Stuttgart 1976
Erfüllbarkeit	Tarski	Berka I 482 Erfüllung/Tarski: Erfüllbarkeit hängt nur von jenen Gliedern der Folge ab, die (im Hinblick auf ihre Indices) den freien Variablen der Aussagenfunktion entsprechen. >Folgen, >Aussagenfunktion, >Folge (Sequenz)/Tarski. Im Fall einer Aussage (ohne freie Variablen) hängt die Erfüllung gar nicht von den Eigenschaften der Glieder ab. >Aussagen. Jede unendliche Folge von Klasse erfüllt eine gegebene wahre Aussage - ((s) weil sie keine freien Variablen enthält). >Freie Variablen, >Gebundene Variablen. Falsche Aussage: wird von keiner Folge erfüllt. Variante: Erfüllung durch endliche Folgen: nach dieser Auffassung erfüllt nur die leere Folge eine wahre Aussage (weil diese keine Variablen hat). Berka I 483 Erfüllung/Folgen/Aussagen/Tarski: (hier: durch endliche Folgen): Bsp die Aussage (nicht Aussagenfunktion) ∩1U2l1,2. d.h. "∏xlN∏xllNIxlxll " Nach Def 22 (Erfüllung) erfüllen die Aussagenfunktion l1,2 jene und nur jene Folgen f von Klassen, für die f1 < f2, ihre Negation dagegen, d.h. die Funktion ~(l1,2) nur jede Folgen, für die f1 ⊂ f2 gilt - infolgedessen erfüllt eine Folge f die Funktion ∩2~(l1,2) nur dann, wenn jede Folge g, die sich von f höchstens an 2-ter Stelle unterscheidet, die Funktion ~(l1,2) erfüllt, also die Formel: g1 ⊂ g2 verifiziert - da g1 = f1 und die Klasse g2 eine ganz beliebige sein kann, so erfüllen die Funktion ∩2~(l1,2) nur derartige Folgen f, dass - für eine beliebige Klasse b - f1 ⊂ b. Berka I 505 Erfülltsein/Erfüllung/Tarski: Erfüllung ist bisher mehrdeutig, weil Relationen verschiedener Gliederzahl oder auch zwischen Gegenständen und Klassen, oder Bereichen verschiedener semantischer Kategorien möglich sind. - Daher gibt es eigentlich unendlich viele verschiedene Erfüllungs-Begriffe. Problem: Dann gibt es keine einheitliche Methode zur Konstruktion des Begriffs der wahren Aussage. Lösung: Zuflucht zum Klassenkalkül: Erfüllung durch eine Folge von Gegenständen.⁽¹⁾ >Wahrheitsdefinition, >Wahrheitstheorie, >Klassenkalkül. 1. A.Tarski, Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, Commentarii Societatis philosophicae Polonorum. Vol 1, Lemberg 1935	Tarski I A. Tarski Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923-38 Indianapolis 1983 Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983
Kalkül	Tarski	Berka I 505 Klassenkalkül/Tarski: Erfüllung durch Folgen von Gegenständen.⁽¹⁾ >Folge (Sequenz)/Tarski, >Erfüllung/Tarski, >Erfüllbarkeit/Tarski, >Wahrheit/Tarski, >Klassenkalkül. 1. A.Tarski, Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, Commentarii Societatis philosophicae Polonorum. Vol 1, Lemberg 1935	Tarski I A. Tarski Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923-38 Indianapolis 1983 Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983
Kriterien	Tarski	Horwich I 130 Wahrheitskriterium/Kriterium/Tarski: Ein Wahrheitskriterium werden wir wohl nie finden - aber auch nicht für die meisten anderen Begriffe einschließlich der Physik.⁽¹⁾ >Wahrheitskriterium, >Definition/Kriterium. 1. A. Tarski, The semantic Conceptions of Truth, Philosophy and Phenomenological Research 4, pp. 341-75 Skirbekk I 177 Wahrheitskriterium/Tarski: Es gibt kein Wahrheitskriterium das zeigt, dass kein Satz einer empirischen Theorie falsch ist. - ((s) Das Kriterium ist nicht in den Aussagen selbst - diese sind alle verschieden.). Gemeinsamkeit wahrer Sätze: ist Wahrheit, nicht ein Kriterium wie Schwärze der Kohle und Weiße des Schnees.⁽²⁾ Vgl. >Wahrheit/Quine. 2. A.Tarski, „Die semantische Konzeption der Wahrheit und die Grundlagen der Semantik“ (1944) in. G: Skirbekk (Hg.) Wahrheitstheorien, Frankfurt 1996 Berka I 492 Wahrheit/Kriterium/strukturell/Tarski: ein strukturelles W-Kriterium gestattet es, jeder Aussage der Sprache eine ihr äquivalente Aussage effektiv zuzuordnen, die, wenn sie nicht quantitativ ist, offensichtlich wahr oder offensichtlich falsch ist- das geht im Klassenkalkül. - Strukturelle Charakteristik der wahren Aussagen möglich, wenn man zeigen kann, dass die Klasse der Individuen unendlich ist. ((s) Weil dann Richtigkeit und Beweisbarkeit zusammenfallen). >allgemeines Wahrheitskriterium, >Definition/Tarski, >Richtigkeit, >Beweisbarkeit. I 502 Wahrheitskriterium/strukturelles Kriterium/Tarski: Ein strukturelles Kriterium wird uns dadurch geliefert, dass wir feststellen, dass der Begriff der wahren Aussage (aus § 3) und der des beweisbaren Satzes (aufgrund der Matrizenmethode) denselben Umfang haben. >Begriffsumfang. Problem: das gilt nur für einfachste Sprachen - (d.h. mit nur einer einzigen semantischen Kategorie, Bsp nur Individuen).⁽³⁾ >Bedeutungskategorien. 3. A.Tarski, Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, Commentarii Societatis philosophicae Polonorum. Vol 1, Lemberg 1935	Tarski I A. Tarski Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923-38 Indianapolis 1983 Horwich I P. Horwich (Ed.) Theories of Truth Aldershot 1994 Skirbekk I G. Skirbekk (Hg) Wahrheitstheorien In Wahrheitstheorien, Gunnar Skirbekk Frankfurt 1977 Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983
Letztbegründung	Waismann	I 50 Letztbegründung/Fundierung/Mathematik/Wainsmann: Die Frage nach dem letzten Ankergrund ist mit diesen Forschungen nicht gelöst, sondern nur weiter zurückgeschoben. Eine Begründung kommt mit Hilfe der Arithmetik nicht in Frage, wir haben ja schon die letzten Anhaltspunkte der arithmetischen Deduktion erreicht. Aber es scheint sich eine solche Möglichkeit aufzutun, wenn man über die Arithmetik hinausblickt: das führt zum dritten Standpunkt. >Fundierung. Arithmetik/Waismann: wird auf Logik gegründet. Dabei macht man starken Gebrauch von Begriffen der Mengenlehre, bzw. des Klassenkalküls. Die Behauptung, die Mathematik sei nur ein >Teil der Logik schließt zwei Thesen ein, die nicht immer deutlich auseinandergehalten werden: a) Die Grundbegriffe der Arithmetik lassen sich durch Definition auf rein logische zurückführen b) Die Grundsätze der Arithmetik lassen sich durch Beweis herleiten aus rein logischen Sätzen. >Logik, >Beweise, >Beweisbarkeit, >Empirismus. I 51 Es sieht so aus, dass die Sätze der Logik Tautologien sind. (Wittgenstein 1921 führte überhaupt den Begriff der Tautologie ein). >Tautologien. Dass die ganze Logik damit nichtssagend wird, diese Einsicht fehlte Frege noch völlig, weil er das Wesen der Logik gar nicht verstand! Freges Meinung nach sollte die Logik eine beschreibende Wissenschaft sein, wie die Mechanik. Und auf die Frage, was sie beschreibe antwortete er: die Beziehungen zwischen idealen Gegenständen, wie "und", "oder", "wenn" usw. Platonische Auffassung von einem Reich von unerschaffenen Gebilden. Die Zurückführung der Mathematik auf die Logik verlor daher für die Mathematiker an Wert. Es schien vielmehr nötig, die Widerspruchslosigkeit der Logik mit mathematischen Mitteln sicherzustellen. Da die Mathematik aber logische Schlussregeln verwendet muss das Ziel in einer gemeinsamen Entwicklung gesucht werden. Das wird mit einer axiomatischen Methode versucht. Sie ist zuerst in der Geometrie versucht worden, bevor sie in andere Bereiche eindrang. >Platonismus, >G. Frege.	Waismann I F. Waismann Einführung in das mathematische Denken Darmstadt 1996 Waismann II F. Waismann Logik, Sprache, Philosophie Stuttgart 1976
Methode	Tarski	Berka I 401 Widerspruchsfreiheit/WSF/Beweis/Widerspruchsfreiheitsbeweis/Gödel: Widerspruchsfreiheitsbeweis lässt sich nicht durchführen, wenn die Metasprache keine Variablen höheren Typs enthält. >Metasprache, >Ausdrucksfähigkeit, >vgl. >Typentheorie. Unentscheidbarkeit: wird beseitigt, wenn man die untersuchte Theorie (Objektsprache) mit Variablen höheren Typs bereichert.⁽¹⁾ >Entscheidbarkeit. 1. A.Tarski, „Grundlegung der wissenschaftlichen Semantik“, in: Actes du Congrès International de Philosophie Scientifique, Paris 1935, Bd. III, ASI 390, Paris 1936, S. 1-8 I 462 Metasprache/Tarski: Die Metasprache ist unser eigentliches Untersuchungsobjekt. - ((s) Wegen der Anwendungsbedingung des Wahrheitsbegriffs.) I 464 Metasprache/Tarski: 2. Kategorie von Ausdrücken: spezifische Termini von strukturell-deskriptivem Charakter. >Strukturell-deskriptiver Name. Namen von konkreten Zeichen und Ausdrücken des Klassenkalküls Namen von Klassen von Folgen solcher Ausdrücke und von zwischen ihnen bestehenden strukturellen Relationen. Jedem Ausdruck der betrachteten Sprache (Objektsprache) kann man - einerseits einen individuellen Namen dieses Ausdrucks, und - andererseits einen Ausdruck, der die Übersetzung dieses Ausdrucks in die Metasprache ist, zuordnen - das ist entscheidend für die Konstruktion der Wahrheitsdefinition. >Wahrheitsdefinition/Tarski. I 464 Name/Übersetzung/Metasprache/Objektsprache/Tarski: Unterschied: Ein Ausdruck der Objektsprache kann in der Metasprache a) einen Namen erhalten, oder b) eine Übersetzung. Berka I 525 Morphologie/Tarski: Unsere Metasprache enthält hier die gesamte Objektsprache - d.h. für uns aber nur logische Ausdrücke der allgemeinen Klassentheorie - d.h. nur strukturell-deskriptive Termini. >Homophonie. Damit haben wir die Morphologie der Sprache, d.h. sogar den Begriff der Folgerung zurückgeführt. I 526 Damit haben wie die Logik dieser untersuchten Wissenschaft als einen Teil der Morphologie begründet.⁽²⁾ >Beschreibungsebenen, >Semantische Geschlossenheit. 2. A.Tarski, Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, Commentarii Societatis philosophicae Polonorum. Vol 1, Lemberg 1935	Tarski I A. Tarski Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923-38 Indianapolis 1983 Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983
Wahrheit	Hilbert	Berka I 395 Wahrheit/absolute Wahrheit/Hilbert: Axiome und beweisbare Sätze sind Abbilder der Gedanken, die das Verfahren der bisherigen Mathematik ausmachen, aber sie sind nicht selbst die absoluten Wahrheiten. >Axiome, >Axiomensysteme, >Axiome/Hilbert. Def Absolute Wahrheit/Hilbert: Absolute Wahrheiten sind die Einsichten, die durch meine >Beweistheorie hinsichtlich der Beweisbarkeit und Widerspruchsfreiheit der Formelsysteme geliefert werden. Durch dieses Programm ist die Wahrheit der Axiome für unsere Beweistheorie schon vorgezeichnet.⁽¹⁾ 1. D. Hilbert: Die logischen Grundlagen der Mathematik, in: Mathematische Annalen 88 (1923), S. 151-165. Berka I 486 Relative Wahrheit/Richtigkeit im Bereich/Tarski: Relative Wahrheit spielt eine viel größere Rolle als der (Hilbertsche) Begriff der absoluten Wahrheit, von dem bisher die Rede war: Def richtige Aussage im Bereich a/Tarski: Jede Aussage im Bereich a ist richtig, die dann (im üblichen Sinn ((s) Putnam würde Schreibweise mit Sternchen wählen)) wahr wäre, wenn wir den Umfang der Individuen auf die gegebene Klasse a beschränken. D.h. Wenn wir die Termini "Individuum" als "Element der Klasse a" "Klasse von Individuen" als "Unterklasse der Klasse a" usw. interpretieren. Klassenkalkül: hier müsste man Ausdrücke Bsp vom Typ "∏xp" als "für jede Unterklasse x der Klasse a: p" interpretieren, und Bsp "Ixy" als "die Unterklasse x der Klasse a ist in der Unterklasse y der Klasse a enthalten". Dann modifizieren wir Def 22 und 23. Als abgeleitete Begriffe werden wir den Begriff der Aussage, die in einem Individuenbereich mit k Elementen richtig ist und der Aussage, die in jedem Individuenbereich richtig ist, einführen⁽²⁾. >Wahrheit/Tarski, >Wahrheitsdefinition/Tarski. 2. A. Tarski: Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, Commentarii Societatis philosophicae Polonorum. Vol 1, Lemberg 1935.	Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983