Lexikon der Argumente

Philosophische Themen und wissenschaftliche Debatten

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Der gesuchte Begriff oder Autor findet sich in folgenden 10 Einträgen:

Begriff/ Autor/Ismus	Autor	Eintrag	Literatur
Ausgeschlossenes Drittes	Lorenzen	Berka I 271 Satz vom Ausgeschlossenen Dritten/Dialogische Logik/intuitionistisch/logische Konstanten/Lorenzen: Gibt man den Partikeln auch in der Metasprache ihren dialogischen Sinn, so kann man natürlich nicht mehr allgemein das nur klassisch gültige A v i A beweisen. >Dialogische Logik, >Beweisbarkeit, >Metasprache, >Logische Partikel, >Intuitionismus. Lösung/Gentzen: Man betrachtet die Sequenzen mit zusätzlichen unendlichen Regeln: (n)A > B(n) v C > A > (x)B(x) v C (n)A u B(n) > C > A u (Ex)B(x) > C die zur Ableitung zugelassen werden. Axiom: als Axiome werden alle Sequenzen A u p > q v B für falsche bzw. wahre konstante Primformeln p bzw. q zugelassen. >G. Gentzen. LorenzenVsRekursivität/LorenzenVsFormalismus: Das ist kein Formalismus im Sinn einer Definition einer rekursiven Aufzählung mehr, sondern ein "Halbformalismus" (Begriff von Schütte). >Rekursion, >Rekursivität. Dieser ist trivialerweise widerspruchsfrei (wsf). Jede in der Peano Arithmetik ableitbare Formel ist es auch hier. >Widerspruchsfreiheit. Das ist ein "konstruktiver" Widerspruchsfreiheitsbeweis, wenn man das dialogische Verfahren als konstruktiv anerkennt. >Konstruktivismus. I 272 Unendlich/Prämissen/dialogische Logik/Lorenzen: man kann zu jeder im Peano Formalismus ableitbaren Formel eine Schrittzahl l < e0 mit e₀ = ω hoch ω hoch ω hoch... angeben. P kann also aus einer ihm von O gegebenen Ableitung einer Formel zunächst eine Ordinalzahl l < e₀ berechnen, ferner die Regel im Halbformalismus angeben, nach der diese Formel dort im letzten Schritt abzuleiten ist und, wenn O jetzt eine der Prämissen wählt, so kann er dafür eine kleinere Ordinalzahl berechnen. Das Berechnungsverfahren ist dabei rekursiv, also sogar im engsten Sinn konstruktiv. >Rekursion. Die Aussageformen, die im Widerspruchsfreiheitsbeweis gebraucht werden, sind dagegen im allgemeinen nicht rekursiv.⁽¹⁾ 1. P. Lorenzen, Ein dialogisches Konstruktivitätskriterium, in: Infinitistic Methods, (1961), 193-200	Lorn I P. Lorenzen Constructive Philosophy Cambridge 1987 Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983
Church-Turing -These	Lorenzen	Berka I 266 Church-These/Lorenzen: Die These ist eine Gleichsetzung von "konstruktiv" mit "rekursiv". >Konstruktivismus, >Rekursion, >Rekursivität. LorenzenVsChurch: zu enge Auffassung: so gestattet sie schon nicht mehr die freie Verwendung der Quantifikation über die natürlichen Zahlen. >Quantifikation, >Zahlen, >Unendlichkeit. I 267 Entscheidungsproblem/ChurchVsLorenzen: (laut Lorenzen): Vorteil: größere Klarheit: bei Beschränkung auf rekursive Aussageformen kann niemals Streit entstehen, ob eine der zugelassenen Aussagen wahr oder falsch ist. Die Definition der Rekursivität garantiert ja gerade die Entscheidungsdefinitheit, d.h. die Existenz eines Entscheidungsverfahrens. >Entscheidbarkeit, Entscheidungsproblem.⁽¹⁾ 1. P. Lorenzen, Ein dialogisches Konstruktivitätskriterium, in: Infinitistic Methods, (1961), 193-200	Lorn I P. Lorenzen Constructive Philosophy Cambridge 1987 Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983
Endlichkeit	Hilbert	Thiel I 245 Endlichkeit/Finitheit/Finit/Hilbert: Es geht im Sinne Hilberts nur darum, wie sich Aussagen über unendliche Objekte zirkelfrei mit Hilfe "finiter" Methoden rechtfertigen lassen. >Unendlichkeit, >Zirkularität, vgl. >Rekursion, >Rekursivität. Hilbert fand die Finitheit in den "operativen" Verfahren vor allem der Kombinatorik, der Arithmetik, und der elementaren Algebra schon exemplarisch verwirklicht. Sie waren bis in das zweite Drittel des 19. Jahrhunderts "genetisch" (=konstruktiv) aufgebaut, während der Aufbau der Geometrie als Paradebeispiel für den Axiomatischen Aufbau einer Disziplin galt. >Konstruktivismus, >Geometrie, >Zahlentheorie, >Arithmetik, >Axiome, >Axiomensysteme. I 246 Jede finite Operation ist ein für die handelnde Person überschaubarer Bereich. Dieser Schauplatz kann im Fortgang des Verfahrens wechseln. I 247 Dass die für Gödels Beweis benötigten arithmetischen Funktionen sogar primitiv rekursiv sind (I 232) ist insofern bemerkenswert, als durchaus nicht alle effektiv berechenbaren Funktionen primitiv rekursiv sind, die primitiv rekursiven Funktionen also eine echte Teilklasse der berechenbaren Funktionen bilden. >K. Gödel, >Vollständigkeit/Gödel, >Unvollständigkeit/Gödel. I 248 Eine effektiv berechenbare, aber nicht primitiv rekursive Funktion wird z.B. durch folgende Schemata zur Berechnung ihrer Werte erklärt (nicht bewiesen) (x' ist der Nachfolger von x): ψ(0,n) = n' ψ(m',0) = ψ(m,1) ψ(m',n')= ψ(m,ψ(m',n)). I 248 Will man dem allgemeinen Berechenbarkeitsbegriff näherkommen, muss man als neues Ausdruckmittel, den sogenannten µ Operator hinzunehmen. I 249 Berechenbarkeit/Church/Thiel: Wie nahe ist man damit einem Begriff der "allgemeinen Berechenbarkeit" gekommen? Es gibt den Begriff der "Turing Berechenbarkeit", der "l-Definierbarkeit bei Church und der "kanonischen Systeme" bei Post. . >Berechenbarkeit, >A. Turing. Jede Funktion, die in einer dieser Klassen liegt, liegt nachweislich auch in den anderen. Church: Church hat daraufhin die Vermutung ausgesprochen, dass damit eine adäquate Präzisierung des allgemeinen Berechenbarkeitsbegriffs erreicht sei. >"Church These". Er meint aber, dass das eine "außermathematische" Vermutung sei, und keines mathematischen Beweises fähig. Es handelt sich um einen intuitiven Begriff. Ob eine derartige Präzisierung "adäquat" sei, sei mit mathematischen Mitteln nicht zu beantworten. >Beweise, >Beweisbarkeit, >Adäquatheit. I 250 Es bleiben außer Finitheit und Konstruktivität noch andere Fragen: Keine der Definitionen für die angebotenen Funktionenklassen ist nämlich finit (z.B. µ-rekursive Funktionen). Der Versuch, mit klassischen Mitteln effektive Ausführbarkeit zu beschreiben bleibt fragwürdig, deuten wir den Existenzquantor aber konstruktiv, so haben wir den Begriff der Konstruktivität bereits vorausgesetzt. >Quantifikation, >Existenzquantifikation, >Quantoren.	T I Chr. Thiel Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995
Entscheidbarkeit	Lorenzen	Berka I 267 Entscheidungsproblem/Rekursion/Rekursivität/dialogische Logik/Lorenzen: ist R(x,y) eine entscheidungsdefinite Aussageform, so braucht aber schon (Ex) R(x,y) nicht mehr entscheidungsdefinit zu sein. Trotzdem braucht aber andererseits die Behauptung solcher Aussagen wie (1) (Ex) R(x,n) keine sinnlosen Wortstreit auszulösen! Es liegt ja nahe zu vereinbaren, dass derjenige, der (1) behauptet, auch verpflichtet ist, eine Zahl m anzugeben, so dass (2) R(m,n) wahr ist. Kann er das nicht, hat er seine Behauptung "verloren".⁽¹⁾ >Dialogische Logik/Lorenzen. 1. P. Lorenzen, Ein dialogisches Konstruktivitätskriterium, in: Infinitistic Methods, (1961), 193-200	Lorn I P. Lorenzen Constructive Philosophy Cambridge 1987 Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983
Entscheidbarkeit	Quine	II 112 Beweistheoretische Analogie/Quine: Begriff des mechanischen Verfahrens: ist die Rekursivität (z.B. um Gödels Satz oder Churchs Satz der Unentscheidbarkeit zu beweisen oder auch nur zu formulieren.) Doch zum Nachweis der Entscheidbarkeit der Theorie benötigen wir keine Definition des mechanischen Verfahrens, wir legen einfach eine Methode vor, die jeder mechanisch nennen würde. >Methode, >Rekursion. II 191ff, Unentscheidbare Logiken: die allgemeine Theorie für ein einziges symmetrisches zweistelliges Prädikat. II 198 Ebenfalls unentscheidbar: Die allgemeine Theorie zweistelliger Formeln, die außer (Ex)(y)(Ez) zu Anfang keinerlei Quantoren aufweisen. >Quantoren.	Quine I W.V.O. Quine Wort und Gegenstand Stuttgart 1980 Quine II W.V.O. Quine Theorien und Dinge Frankfurt 1985 Quine III W.V.O. Quine Grundzüge der Logik Frankfurt 1978 Quine V W.V.O. Quine Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989 Quine VI W.V.O. Quine Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995 Quine VII W.V.O. Quine From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953 Quine VII (a) W. V. A. Quine On what there is In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (b) W. V. A. Quine Two dogmas of empiricism In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (c) W. V. A. Quine The problem of meaning in linguistics In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (d) W. V. A. Quine Identity, ostension and hypostasis In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (e) W. V. A. Quine New foundations for mathematical logic In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (f) W. V. A. Quine Logic and the reification of universals In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (g) W. V. A. Quine Notes on the theory of reference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (h) W. V. A. Quine Reference and modality In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (i) W. V. A. Quine Meaning and existential inference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VIII W.V.O. Quine Bezeichnung und Referenz In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 Quine IX W.V.O. Quine Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967 Quine X W.V.O. Quine Philosophie der Logik Bamberg 2005 Quine XII W.V.O. Quine Ontologische Relativität Frankfurt 2003 Quine XIII Willard Van Orman Quine Quiddities Cambridge/London 1987
Kybernetik	Foerster	Brockman I 209 Kybernetik/Kreislauf/Zirkularität/Foerster: Die Substanz dessen, was wir aus der Kybernetik gelernt haben, ist das Denken in Kreisläufen: A führt zu B, B zu C, aber C kann zu A zurückkehren. Solche Argumente sind nicht linear, sondern zirkulär. >Zirkularität, >Rekursion, >Denken. Der wesentliche Beitrag der Kybernetik zu unserem Denken besteht darin, zirkuläre Argumente zu akzeptieren. Das bedeutet, dass wir uns mit zirkulären Prozessen auseinandersetzen und verstehen müssen, unter welchen Umständen ein Gleichgewicht und damit eine stabile Struktur entsteht. >Rekursivität, >Prozesse, >Replikation, vgl. >Künstliche Intelligenz, >Künstliches Bewusstsein, >Roboter, >Maschinenlernen. Obrist, H.U. “Making the Invisible Visible: Art Meets AI”, in: Brockman, John (ed.) 2019. Twenty-Five Ways of Looking at AI. New York: Penguin Press.	Förster I H. von Foerster Wissen und Gewissen Frankfurt 1997 Brockman I John Brockman Possible Minds: Twenty-Five Ways of Looking at AI New York 2019
Mengenlehre	Lorenzen	Berka I 269 Induktive Definition/Mengenlehre//LorenzenVsMengenlehre: Bsp Eine induktive Definition einer Menge M durch a(y) > y ε M, x ε M u b(x,y) > y ε M worin a(x) und b(x,y) schon definierte Formeln seien, in denen M nicht vorkommt, wird mengentheoretisch dadurch "erklärt", dass M der Durchschnitt aller der Mengen N sein solle, die diese Implikationen mit N statt M erfüllen. Dialogische Logik/Lorenzen: Wer aber eine Behauptung n ε M (sic) verteidigen will, wird schwerlich alle diese Mengen N bemühen. Als Proponent P wird er vielmehr dem Opponenten O gegenüber entweder direkt a(n) verteidigen oder zunächst ein m angeben, das er b(m,n) und m ε M verteidigen will. https://www.philosophie-wissenschaft-kontroversen.de/gesamtliste.php?thema=Dialogische%20Logik. Schrittzahl/Lorenzen: Damit wir dieses Vorgehen als den dialogischen Sinn der induktiven Definition von M festsetzen können, muss zusätzlich noch von P verlangt werden, dass er zu jeder Behauptung der Form x ε M die Schrittzahl angibt, die er zum vollständigen Beweis benötigt. Bsp Angenommen, er führt n ε M auf die Behauptung m ε M zurück und hat er für n ε M I 270 die Schrittzahl v angegeben, so muss er für m ε M eine Schrittzahl µ < v angeben. Ohne eine solche Angabe könnte P bei der folgenden induktiven Definition der Ordnung "kleiner" < für die ganzen Zahlen Bsp 0 < y für positive Zahlen y x < y _> x +/ 1 < y +/ 1 z.B. 1 < 0 behaupten, und dafür einen "Beweis" mit Hilfe von 0 < 1, 1 < 2, 2 < 3... beginnen. Natürlich könnte der den Beweis nicht zu Ende führen, aber das könnte O ihm nicht nachweisen. Dialogische Logik/Lorenzen: Es ist in diese Dialogen ja nie gestattet, plötzlich in "freier Rede" auf den Gegner einzureden. Muss P dagegen zusätzlich eine Schrittzahl v angeben, so wird er spätestens nach v Schritten seine Behauptung verloren haben. Schrittzahl: Die Schrittzahlen sind hier selbstverständlich natürliche Zahlen. Will man auch unendlichen induktiven Definitionen, d.h. solchen mit unendlich vielen Prämissen einen dialogischen Sinn geben, so muss man transfinite Ordinalzahlen als Schrittzahl zulassen. Induktive Definition/LorenzenVsHerbrand: Bsp Es sei eine Funktionenfolge f1, f2...schon definiert und es werde das Induktionsschema a(y) > y ε M (x)fx(y) ε M > y ε M angeschrieben. Diese Definition ist keineswegs "imprädikativ". >Imprädikativität. Aber sie ist auch nicht eigentlich konstruktiv. Wir haben hier ja unendlich viele Prämissen f1(y) ε M, f2(y) ε M ... die zum Beweis von y ε M erforderlich sind. Unendlich: Im Dialog kann man nicht jede Prämisse verteidigen, man wird daher O erlauben, eine fm(y) ε M auszuwählen. Diese muss P dann behaupten und verteidigen. Zusätzlich muss P eine im allgemeinen transfinite Ordinalzahl als Schrittzahl angeben. Schrittzahl: Die Schrittzahl einer Prämisse muss dabei stets kleiner als die Schrittzahl der Konklusion angegeben werden. Gewinnstrategie von P: P muss für alle Wahlen des Opponenten die Schrittzahlen liefern. II. Zahlenklasse/Zweite Zahlenklasse/Lorenzen: Mengentheoretisch beweist man leicht die Existenz geeigneter Ordinalzahlen der II. Zahlenklasse. Man kann ja durch transfinite Rekursion definieren: y ε M0 <> a(y) y ε Mλ <> (x)fx(y) ε Ux x < λ Mx. dann ist M = Ul l> µ Ml für ein geeignetes µ und wenn M eine Menge natürlicher Zahlen sein soll, kann µ der II. Zahlenklasse entnommen werden, Konstruktiv: soll die induktive Definition aber konstruktiv sein, so müssen auch die benutzten Ordinalzahlen "konstruktiv" sein. Hier liegt es nahe, sich auf die rekursiven Ordinalzahlen von Church und Kleene zu beschränken.⁽¹⁾ >Konstruktivismus, >Intuitionismus, >Rekursion, >Rekursivität. 1. P. Lorenzen, Ein dialogisches Konstruktivitätskriterium, in: Infinitistic Methods, (1961), 193-200	Lorn I P. Lorenzen Constructive Philosophy Cambridge 1987 Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983
Rekursion	Maturana	I 275 Rekursion/Rekursivität/Maturana: Rekursion setzt Unabhängigkeit der Systeme voraus. >Systeme, >Unabhängigkeit. Bsp Zirkuläre Operation des Nervensystem ist nur rekursiv im Hinblick auf den historischen Fluss der Ereignisse - nicht mit sich selbst. >Nervensystem, >Ereignisse.	Maturana I Umberto Maturana Biologie der Realität Frankfurt 2000
Unendlichkeit	Lorenzen	Berka I 266 Überabzählbar/unendlich/LorenzenVsMengenlehre: Fabelreich des "Überabzählbaren". ((s) nicht konstruierbar) >Konstruktivismus, >Mengenlehre/Lorenzen. Berka I 272 Unendlich/Prämissen/Dialogische Logik/Lorenzen: Man kann zu jeder im Peano-Formalismus ableitbaren Formel eine Schrittzahl l < e0 mit e0 = ω hoch ω hoch ω hoch... angeben. Proponent P kann also aus einer ihm von Opponent O gegebenen Ableitung einer Formel zunächst eine Ordinalzahl l < e0 berechnen, ferner die Regel im Halbformalismus angeben, nach der diese Formel dort im letzten Schritt abzuleiten ist und, wenn O jetzt eine der Prämissen wählt, so kann er dafür eine kleinere Ordinalzahl berechnen. >Ableitung, >Ableitbarkeit. Das Berechnungsverfahren ist dabei rekursiv, also sogar im engsten Sinn konstruktiv. >Konstruktivismus, >Rekursion, >Rekursivität, >Berechenbarkeit. Die Aussageformen, die im Widerspruchsfreiheitsbeweis gebraucht werden, sind dagegen im allgemeinen nicht rekursiv.⁽¹⁾ >Widerspruchsfreiheit, >Beweise, >Beweisbarkeitt. 1. P. Lorenzen, Ein dialogisches Konstruktivitätskriterium, in: Infinitistic Methods, (1961), 193-200	Lorn I P. Lorenzen Constructive Philosophy Cambridge 1987 Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983
Unvollständigkeit	Gödel	Thiel I 227 ff Unvollständigkeitssatz/Gödel/Thiel: ... dieser metamathematischen Aussage [dem Unvollständigkeitssatz] entspricht in F eine einstellige Aussageform G(x) die dann in der abzählenden Folge irgendwo vorkommen muss. Nimmt G(x) die h'te Stelle ein, so ist sie also identisch mit der dort als Ah(x) bezeichneten Aussageform. Gödels Resultat wird sein, dass in F weder die aus G(x) durch die Einsetzung von h entstehende Aussage G(h) noch deren Negat ~G(h) ableitbar ist. "In F unentscheidbar". Angenommen, G(h) sei in F ableitbar, dann wäre nur die Ableitung wahrer Aussagen zu gestatten, also G(h) wäre auch wahr. Es würde also, da G(x) als Bild von $Ax(x) in F eingeführt wurde, $Ah(h) gelten. Das hieße aber, da ja Ah(x) mit G(x) identisch ist, $G(h). G(h) wäre also in F unableitbar. Das ist ein Widerspruch. >Ableitung, >Ableitbarkeit. Diese Ableitung beweist zunächst nur die Geltung der "Wenn-Dann-Aussage" S G(h)>$ G(h). Das muss jetzt noch eingesetzt werden: (S G(h)>$ G(h))> $ G(h). Das geht aus dem allgemeinen Schema (A>~A)>~A hervor. Nehmen wir dann andererseits an, dass das Negat ~G(h) ableitbar sei, dann wäre auch ~G(h) wahr. Das wäre gleichbedeutend mit der Geltung von ~$ Ah(h) also mit S Ah(h). Thiel I 228 Das wiederum stimmt mit S G(h) überein, so dass beide, Behauptung und Negat ableitbar wären, und wir einen formalen Widerspruch hätten. Wenn F überhaupt widerspruchsfrei ist, kann auch unsere zweite Annahme S ~G(h) nicht gelten. Dies ist eine unentscheidbare Aussage. Vgl. >Entscheidbarkeit, >Unentscheidbarkeit. Thiel I 228 Diese Beweisskizze stellt ein Programm auf. Wichtige Rolle bei der Ausführung dieses Programms spielen die "Gödelisierung" und die sogenannte "negative Vertretbarkeit" bestimmter Relationen in F. Def Gödelisierung: Die "Gödelisierung" ist zunächst einmal nur eine umkehrbar eindeutige Zuordnung von Grundzahlen zu Zeichenreihen. Wir wollen die Ausdrücke von F in klammerfreie Form bringen. >Gödelzahlen. Dazu schreiben wir die logischen Verknüpfungszeichen nicht mehr zwischen, sondern vor die Ausdrücke. Wir schreiben die Verknüpfungszeichen als "Indizes" an den Ordnungsfunktor G. Terminologie: Ordnungsfunktor G. Quantoren: Quantoren behandeln wir wie zweistellige Funktoren, deren erstes Argument der Index, das zweite die quantifizierte Aussageform ist. >Quantoren, >Quantifikation. Thiel I 229 Dann erhält die Aussage (x)(y)(z) ((x=y)>(zx = zy) die Gestalt (x)(y)(z)G > G = xyG = G mal zxG mal zy. Wir können die Glieder der unendlichen Variablenfolgen jeweils durch einen die Sorte signalisierenden Standardbuchstaben und z.B. vorangestellte Punkte wiedergeben: also etwa x,y,z,...durch x,°x,°°x,... Als Zählzeichen nehmen wir statt \|,\|\|,\|\|\|,... Nullen mit entsprechend vielen vorangestellten Strichen 0,'0,''0,... >Folgen. Mit dieser Konvention ist jedes Zeichen in F entweder eine 0 oder einer der einstelligen Funktoren G1 (der erste Anordnungsfunktor!) , ', ~. Zweistellige: G2, dreistellige G4 usw. Thiel I 229 Bsp Gödelisierung, Gödelzahl, Gödelnummer: Es werden jeweils Primzahlen zugeordnet. >Primzahlen. Thiel I 230 Auf diese Weise kann jeder Zeichenreihe von F eindeutig eine Gödelnummer zugeordnet werden und gesagt werden, wie sie berechnet werden kann. Da jede Grundzahl eine eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlen besitzt, lässt sich von jeder gegebenen Zahl feststellen, ob sie überhaupt Gödelnummer einer Zeichenreihe von F ist. Metamathematische und arithmetische Relationen entsprechen einander: Bsp Thiel I 230 Wir ersetzen in ~G = x'x das x durch 0 und erhalten ~G = 0'0. Die Gödelnummer der ersten Reihe ist. 2²³ x 3¹³ x 5³⁷ x 7²⁹ x 11³⁷, die der zweiten Zeichenreihe: 2²³ x 3¹³ x 5³¹ x 7²⁹ x 11³¹. Der Übergang von der Gödelnummer der ersten zu der der zweiten Reihe erfolgt mittels Division durch 5⁶ x 11⁶ und diese Beziehung (von Produkt und Faktor) ist die der metamathematischen Beziehung der Zeichenreihen entsprechende arithmetische Beziehung zwischen ihren Gödelnummern. Thiel I 231 Diese Beziehungen sind sogar effektiv, da man die Gödelnummer jedes Gliedes der Beziehung aus denen ihrer übrigen Glieder effektiv (Gödel sagt "rekursiv") berechnen kann. >Rekursion. Den wichtigsten Fall bildet natürlich die Beziehung Bxy zwischen der Gödelnummer x, einer Beweisfigur Gz1...zk und der Gödelnummer y ihrer Endfolge... . Thiel I 233 "Negationstreue Vertretbarkeit": Gödel zeigt, dass es zu jeder rekursiven k-stelligen Relation R eine k-stellige Aussageform A in F von der Art gibt, dass A ableitbar ist, falls R gilt, und ~A falls R nicht gilt. Wir sagen, dass die Aussageform A die Relation R in F negationstreu vertritt. Thiel I 234 Nach alldem folgt, dass, wenn F ω-widerspruchsfrei ist, weder G noch ~G in F ableitbar ist. G ist eine "in F unentscheidbare Aussage". Das Auftreten von unentscheidbaren Aussagen in diesem Sinne ist nicht dasselbe wie die Unentscheidbarkeit von F in dem Sinne, dass es kein gewissermaßen mechanisches Verfahren gibt. >Entscheidbarkeit. Thiel I 236 Zwar gibt es für F kein solches Entscheidungsverfahren, aber das ist nicht dasselbe wie die gezeigte "Unvollständigkeit", was man daraus sehen kann, dass Gödel 1930 zwar die klassische Quantorenlogik als vollständig erwiesen hat, es aber auch hier kein Entscheidungsverfahren gibt. Def Unvollständig/Thiel: Unvollständig wäre eine Theorie nur, wenn sich ein wahrer Satz über Gegenstände der Theorie angeben ließe, der nachweislich nicht aus dem der Theorie zugrunde liegenden Axiomensystem ableitbar wäre. ((s) Dann wäre das System nicht maximalkonsistent.) Ob dies im Fall der Arithmetik durch die Konstruktion der Gödelschen Aussage G geschehen sei, war lange Zeit mit Nein beantwortet worden, mit der Begründung, G sei keine "richtige" arithmetische Aussage. Das hat sich vor etwa 20 Jahren dadurch erledigt, dass kombinatorische Sätze gefunden wurden, die im Vollformalismus ebenfalls nicht ableitbar sind. Gödel/Thiel: So kann an der Unvollständigkeit nicht mehr gezweifelt werden. Dies ist kein Aufweis der Grenzen menschlicher Erkenntnis, nur Aufweis einer sachimmanenten Grenze der axiomatischen Methode. Thiel I 238 ff Eine der Pointen des Beweises für den Gödelschen Unableitbarkeitssatz war, dass die der selbstverständlichen Effektivität aller Beweise im Vollformalismus F entsprechende Effektivität der metamathematischen Ableitbarkeitsbeziehung ihr genaues Gegenstück in der Rekursivität der arithmetischen Beziehungen zwischen den Gödelnummern der Beweisfiguren und Endformeln hat, und dass diese Parallelität für überhaupt alle effektiv entscheidbaren metamathematischen Beziehungen und ihrer arithmetischen Gegenstücke gesichert werden kann. >Ableitung, >Ableitbarkeit.	Göd II Kurt Gödel Collected Works: Volume II: Publications 1938-1974 Oxford 1990 T I Chr. Thiel Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995

Der gesuchte Begriff oder Autor findet sich in Auseinandersetzungen folgender wissenschaftlicher Lager:

Begriff/ Autor/Ismus	Pro/Versus	Eintrag	Literatur
Konstruktivism Rekursivität	Pro	Berka I 266 Konstruktivismus: Lorenzen pro - LorenzenVsHerbrand - LorenzenVsChurch (zu enge Auffassung von Konstruktivität als Rekursivität) - LorenzenVsImprädikativität	Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983