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Der gesuchte Begriff oder Autor findet sich in folgenden 10 Einträgen:
| Begriff/ Autor/Ismus |
Autor |
Eintrag |
Literatur |
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| Ausgeschlossenes Drittes | Heyting | I 67 Satz vom Ausgeschlossenen Dritten/VsIntuitionismus: Man wirft dem Intuitionisten nicht vor, dass er zu wenig annimmt, wie der Vertreter der klassischen Mathematik denkt, sondern viel zu viel. >Intuitionismus, >VsIntuitionismus. Z.B. ist das Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten für die meisten Menschen ebenso evident wie das der vollständigen Induktion. Warum lehnt er das eine ab und gibt das andere zu? Intuitionismus: Tatsächlich müssen intuitionistische Behauptungen demjenigen dogmatisch erscheinen, der sie als Behauptungen über Tatsachen auffasst, aber so sind sie nicht gemeint. Sie bestehen aus gedanklichen Konstruktionen. Mathematische Ideen gehören zu meiner höchst privaten Gedankenwelt, z.B. "Ich habe 2 und 3 addiert und dann 4 und i und habe festgestellt, dass das zum selben Resultat führt". >Konstruktivismus. I 68 Das vermittelt keine Erkenntnisse über die Außenwelt, sondern über meine Gedanken. Man muss zwischen der bloßen Ausübung der Mathematik und ihrer Bewertung unterscheiden. Der Wert hängt immer von unseren philosophischen Ideen ab. >Mathematik, >Beschreibungsebenen. Wenn Wissenschaft wirklich zur Formalisierung der Sprache neigt, dann gehört die intuitionistische Mathematik nicht zur Wissenschaft in dem Sinne des Wortes. Sie ist vielmehr eine Erscheinung des Lebens, eine natürliche Tätigkeit des Menschen. Die meta-mathematischen Überlegungen mögen nützlich sein, sie lassen sich nicht in die intuitionistische Mathematik eingliedern. >Entdeckungen, >Metamathematik. I 69 Die Mathematik von intuitionistischen Standpunkt ist das Studium gewisser Funktionen des menschlichen Geistes. >Wissenschaft. |
Heyting I Arend Heyting Streitgespräch In Kursbuch 8/1967, H. M. Enzensberger Frankfurt/M. 1967 Heyting II Arend Heyting Intuitionism: An Introduction (Study in Logic & Mathematics) 1971 |
| Beweistheorie | Hilbert | Berka I 384 Beweistheorie/Hilbert: Zunächst werden die Begriffe und Sätze der zu untersuchenden Theorie durch ein formales System dargestellt, und ohne Bezugnahme auf ihre Bedeutung nur formal behandelt. I 385 Beweistheorie: Diese (daran anschließende) Untersuchung ist auf die logische Bedeutung ihrer Begriffe und Schlussweisen angewiesen. Der formalen Theorie wird also eine sinnvolle Metatheorie (Beweistheorie) gegenübergestellt(1). Berka I 395 Beweistheorie/Hilbert: Grundgedanke, These: Alles was bisherige Mathematik ausmacht, wird streng formalisiert, so wird die eigentliche Mathematik ein Bestand an Formeln. Neu dabei sind die logischen Zeichen "folgt" (›) und "nicht". Schlussschema: S S › T T wo jedes Mal die Prämissen, d.h. (S und S › T) jede entweder ein Axiom ist, bzw. durch Einsetzung aus einem Axiom entsteht oder mit der Endformel übereinstimmt. Def beweisbar/Hilbert: Eine Formel ist beweisbar, wenn sie entweder ein Axiom ist oder durch Einsetzen aus diesem entsteht, oder Endformel eines Beweises ist. >Beweise, >Beweisbarkeit. Metamathematik/Beweistheorie/Hilbert: Die Beweistheorie kommt nun zur eigentlichen Mathematik hinzu: Im Gegensatz zu den rein formalen Schlussweisen der eigentlichen Mathematik kommt hier das inhaltliche Schließen zur Anwendung. Allerdings lediglich zum Nachweis der Widerspruchsfreiheit der Axiome. >Axiome, >Axiomensysteme, >Axiome/Hilbert. In dieser Metamathematik wird mit den Beweisen der eigentlichen Mathematik operiert und diese bilden selbst den Gegenstand der inhaltlichen Untersuchung. >Metamathematik. So vollzieht sich die Entwicklung des mathematischen Gesamtwissens auf zweierlei Art: a) durch Gewinnung neuer beweisbarer Formeln aus den Axiomen durch formales Schließen und b) durch Hinzufügung neuer Axiome nebst Nachweis der Widerspruchsfreiheit durch inhaltliches Schließen. >Widerspruchsfreiheit, >Materiale Implikation. Berka I 395 Wahrheit/absolute Wahrheit/Hilbert: Axiome und beweisbare Sätze sind Abbilder der Gedanken, die das Verfahren der bisherigen Mathematik ausmachen, aber sie sind nicht selbst die absoluten Wahrheiten. >Wahrheit/Hilbert. Def absolute Wahrheit/Hilbert: Absolute Wahrheiten sind die Einsichten, die durch meine >Beweistheorie hinsichtlich der Beweisbarkeit und Widerspruchsfreiheit der Formelsysteme geliefert werden. Durch dieses Programm ist die Wahrheit der Axiome für unsere Beweistheorie schon vorgezeichnet.(2) 1. K. Schütte: Beweistheorie, Berlin/Göttingen/Heidelberg 1960, S. 2f. 2. D. Hilbert: Die logischen Grundlagen der Mathematik, in: Mathematische Annalen 88 (1923), S. 151-165. |
Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |
| Formale Sprache | Thiel | Thiel I 80 Formelsprache der Logik/Lorenzen/Thiel: Paul Lorenzen: "protologischer Ansatz": Regelsystem zur Herstellung von aus 0 und + linear zusammengesetzten Figuren. "A" vertrete als schematischer Buchstabe derartige Figuren. Regeln: (1) > + (2) A > A 0 (3) A > + A +. nach diesem "Kalkül" ist z.B. die Figur ++00+ herstellbar: (1), 2 mal (2), dann (3). I 80/81 Jede herstellbare Figur muss entweder rechts ein 0 oder links ein + haben. Testfigur 0++ geht daher nicht. Führten wir die Zusatzregel: (4) A > 0 A + hinzu, würde sie herstellbar. Dagegen würde folgende Regel keine neuen Figuren ermöglichen: (5) A > + + A. Das nennt man "Überflüssigkeit" (in der Metamathematik "Zulässigkeit") Solche Regelsysteme können auch als "operative Logik" bezeichnet werden. I 83 Sie können der Einführung von Junktoren dienen (I 82 Bsp v) Protologik liegt demnach noch vor der Logik. >Junktoren, >Logik, >Einführung, >Kalkül, >Formalisierung, >Systeme. |
T I Chr. Thiel Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995 |
| Grundbegriffe | Lorenzen | Thiel I 80 Formelsprache der Logik/Protologik/Lorenzen: Paul Lorenzen: "protologischer Ansatz": Regelsystem zur Herstellung von aus 0 und + linear zusammengesetzten Figuren "A" vertrete als schematischer Buchstabe derartige Figuren): Regeln: (1) > + (2) A > A 0 (3) A > + A +. nach diesem "Kalkül" ist z.B. die Figur ++00+ herstellbar: (1), 2 mal (2), dann (3). I 80/81 Jede herstellbare Figur muss entweder rechts ein 0 oder links ein + haben. Testfigur 0++ geht daher nicht. Führten wir die Zusatzregel: (4) A > 0 A + hinzu, würde sie herstellbar. Dagegen würde folgende Regel keine neuen Figuren ermöglichen: (5) A > + + A. Das nennt man "Überflüssigkeit" (in der Metamathematik "Zulässigkeit"). Solche Regelsysteme können auch als "operative Logik" bezeichnet werden. I 83 Sie können der Einführung von Junktoren dienen (I 82 Bsp v) Protologik liegt demnach noch vor der Logik. >Logik, >Dialogische Logik, >Regeln, >Regelsysteme, vgl. >Axiome, >Axiomensysteme, >Junktoren. |
Lorn I P. Lorenzen Constructive Philosophy Cambridge 1987 T I Chr. Thiel Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995 |
| Intuitionismus | Heyting | I 59ff Intuitionismus/Heyting: Brouwer untersuchte die gedankliche mathematische Konstruktion als solche, ohne nach der Natur der Dinge zu fragen, etwa, ob diese Dinge unabhängig von unserer Kenntnis über sie existieren. >L. Brouwer. I 60 Satz vom ausgeschlossenen Dritten: Bsp Nichtgültigkeit des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten: Wir vergleichen die Definitionen zweier natürlicher Zahlen, k und l. (a) k ist die größte Primzahl von der Art, dass k 1 auch eine Primzahl ist, wenn es keine solche Zahl gibt, ist k = 1. (b) l ist die größte Primzahl von der Art, dass l 2 auch eine Primzahl ist, wenn es keine solche Zahl gibt, ist l = 1. Intuitionisten lehnen b) als Definition einer ganzen Zahl ab. K kann wirklich errechnet werden (k=3) während wir keine Methode haben, l zu ermitteln, da es nicht bekannt ist, ob die Folge der Primzahlzwillinge unendlich ist oder nicht. Die Intuitionisten betrachten etwas nur als wohldefiniert, wenn eine Methode zur Ermittlung gegeben ist. >Satz vom Ausgeschlossenen Dritten, >Zahlen. Klassische Mathematik: Man kann doch einwenden, dass der Umfang unseres Wissens über die Existenz des letzten Zwillings rein zufällig ist. Und gänzlich belanglos in Fragen der mathematischen Wahrheit. Existenz/Intuitionismus/Heyting: Das Argument des Vertreters der klassischen Mathematik ist metaphysischer Art. Wenn existieren nicht "konstruierbar" heißt, muss es metaphysische Bedeutung haben. Vgl. >Konstruktivismus. I 61 Klassische Mathematik/VsIntuitionismus/Heyting: Angenommen, am 1. Jan. 1970 wird bewiesen, dass es unendlich viele Zwillinge gibt, l also gleich 1 ist. War es vor dem Datum nicht so? (Menger 1930)(3) Intuitionismus/Heyting: Eine mathematische Behauptung stellt fest, dass eine gewisse Konstruktion möglich ist. Bevor es die Konstruktion gibt, gibt es sie nicht. Sogar die Intuitionisten sind überzeugt, dass Mathematik in irgendeinem Sinn auf ewigen Wahrheiten beruht, aber wenn man versucht, diesen Sinn zu definieren, verfängt man sich in Metaphysik. >Metaphysik. I 62 Formalismus/Carnap/Heyting: Es bleibt immer der Zweifel, welche Schlussweisen korrekt sind, und welche nicht. (Carnap, 1934(1), S. 44; 1937(2), S. 51) >Korrektheit. I 63 Intuitionismus: Wir sind gerade nicht an der formalen Seite interessiert, sondern an der Art von Schlüssen in der Metamathematik. Es gibt eine grundsätzliche Mehrdeutigkeit der Sprache. Klassische Mathematik: Die Semantiker sind noch schlimmere Relativisten als die Formalisten und Intuitionisten. Vgl. >Semantische Wahrheit, >Wahrheitsbedingungen. I 65 Intuitionismus: Es gibt eine Intuitionistische Logik, Bsp Transitivität. Schlussfolgerung: Logik ist ein Teil der Mathematik und kann daher nicht als ihre Grundlage genommen werden. >Logik, >Mathematik, >Transitivität. 1. R. Carnap, Logische Syntax der Sprache, Wien 1934, S. 44. 2. R. Carnap, Testability and Meaning, in: Philosophy of Science 4, 1937, S. 51. 3. Karl Menger. Der Intuitionismus. Blätter Für Deutsche Philosophie 4:311--325 (1930) |
Heyting I Arend Heyting Streitgespräch In Kursbuch 8/1967, H. M. Enzensberger Frankfurt/M. 1967 Heyting II Arend Heyting Intuitionism: An Introduction (Study in Logic & Mathematics) 1971 |
| Isomorphie | Waismann | I 53 Isomorphie/Mathematik/Allgemeinheit/Verallgemeinerung/Axiome/Hilbert/Waismann: Neu: in der modernen Mathematik kam man zu der Einsicht, dass sich geometrische Sätze auf ein ganz anderes Gebiet übertragen lassen. Bsp alle Sätze, die von den Geraden unseres Raumes handeln, können so gedeutet werden, dass sie von den Punkten eines vierdimensionalen Raums handeln. Die beiden Gedankensysteme sind völlig isomorph (gleichgebaut). Das sinnliche Aussehen spielt also für die Geltung der Sätze gar keine Rolle. Man verzichtet nun bewusst darauf, zu sagen, was eine Gerade ist. >Geometrie, >Raum. I 54 Unter Punkt, Gerade, Ebene versteht man irgendwelche Dinge, für die die aufgestellten Axiome zutreffen. Hilbert gibt ein Bsp: Die Zahlenverteilung von Abweichungen bei der Züchtung von Drosophila (Fliegen) stimmen mit den linearen Euklidischen Axiomen der Kongruenz und über den geometrischen Begriff "zwischen" überein. So einfach und so genau, wie man sich nicht hätte träumen lassen. >Analogien, >Beweise, >Beweisbarkeit. I 55 Letzter Schritt: auch noch die Zeichen des Logikkalküls werden inhaltlich unbestimmt. (Verknüpfungszeichen). >Logische Kostanten, >Geichheitszeichen, >Verknüpfungen, >Identität. Problem: Widerspruchsfreiheit muss man erst definieren z.B.: Def widerspruchsfrei: ist ein Formelsystem, wenn in ihm niemals 1 ungleich 1 auftritt. >Widerspruchsfreiheit. Metamathematik ist dann inhaltlich, mit dem Hauptziel der Widerspruchslosigkeit. >Wahrheit/Waismann, >Wahrheit/Hilbert >Axiome/Hilbert. Hilbert: Die Axiome und beweisbaren Sätze sind Abbilder der Gedanken, die das übliche Verfahren der bisherigen Mathematik ausmachten, aber sie sind nicht selbst die Wahrheiten im absoluten Sinn. . |
Waismann I F. Waismann Einführung in das mathematische Denken Darmstadt 1996 Waismann II F. Waismann Logik, Sprache, Philosophie Stuttgart 1976 |
| Kalkül | Thiel | Thiel I 20/21 Kalkül/Ontologie/Mathematik/Thiel: Kalkültheorie: Zur Tätigkeit des Mathematikers gehört ja sowohl, Kakülregeln gemäß zu verfahren, als auch darüber zu reflektieren. Die Grenze zwischen Mathematik und Metamathematik ist fragwürdig. Die Grenzziehung dient nur bestimmten Zwecken, ist ist manchmal hinderlich: Bsp Neunerprobe: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. Thiel I 211 Kalkül/Thiel: Bsp Die konstruktive Arithmetik mit dem Kalkül N und der Konstruktionsgleichheit von Zählzeichen liefert ein operatives Modell der Axiome. Mathematiker verfahren in der Praxis und in Büchern keineswegs so. Die ist Praxis nicht lückenlos. I 213 Insistieren auf "sauberen" Lösungen kommt erst bei metamathematischen Bedürfnissen auf. Terminologie/Schreibweise: Regelpfeil: >> Implikation imp Für alle gilt: V Regel (VP) A(y) imp B >>Vx A(x) imp B. I 214 Alltagssprachliche Übersetzung: Die Regel (VP) besagt, dass wir von einer gültigen Implikationsformel A(y) imp B, in der "y" als freie Variable vorkommt, übergehen dürfen zu einer, in der die Aussageform "A(y)" durch einen Existenzquantor quantifiziert ist. Präzisierung: "y" darf in der Konklusion der Regel nicht frei vorkommen und "x" muss frei für yx, d.h. nicht in den Wirkungsbereich eines schon vorhandenen Quantors mit dem Index "x" geraten. Das betrifft aber nur die Beweispraxis. Beweistheoretische Überlegungen erfordern weitere Präzisierung. Der Gegenstand der vorgenommenen Formalisierung kann in so hohem Maße differenziert werden, dass wir von einem neuen Gegenstand sprechen müssen. Thiel I 216 Ein "vollformalisierter" Kalkül für die Arithmetik bei Lorenzen 1962 besteht aus 75 Regeln, darunter solchen mit 7 Prämissen. I 217 Wir können solche Regelsysteme "linearisieren": d.h. grundlegende Regeln ohne Prämissen einführen und dann aufsteigend fortsetzen. I 219 Ideal ist das lückenlose syntaktische Erfassen von Beweisen. >Beweise, >Beweisbarkeit, >Syntax, >Formalisierung. |
T I Chr. Thiel Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995 |
| Mathematik | Brouwer | Thiel I 242/243 Brouwer/Thiel: Für Brouwer sind sämtliche Gesetze der formalen Logik nur Extrapolationen aus Verhältnissen bei endlichen Mengen. Manche versagen bei unendlichen Gesamtheiten. >Mengen, >Mengenlehre, >Unendliches, >Endlichkeit. In Anlehnung an Jacques Herbrand stellt Brouwer folgende Kriterien für das Vorgehen der Metamathematik auf (Hilbert hat selbst keinen Kriterienkatalog): 1. Nur mit einer endlichen Anzahl von Gegenständen und Funktionen operieren. Insbesondere darf jede Ausdrucksbildungsregel und jede Schlussregel nur endlich viele Prämissen enthalten. >Prämissen, >J. Herbrand. 2. Der Wert jeder verwendeten Funktion für jedes Argument muss eindeutig berechnet werden können. >Eindeutigkeit, >Funktionen, >Berechenbarkeit. 3. Niemals darf die Menge aller zu einer unendlichen Gesamtheit gehörenden Objekte betrachtet werden. Demgemäß darf die Definition eines mathematischen Objektes nicht Def >imprädikativ sein in dem Sinne, dass in der definierenden Bedingung eine dieses Objekt ("später") als Element enthaltende Menge auftritt. >Imprädikativität, >Prädikativität. 4. Die Existenz eines Objekts soll nur unter Aufweis desselben oder eines konstruktiven Verfahrens behauptet werden. >Existenzbehauptung. 5. Jede Behauptung einer Aussage über "alle x" eines Bereichs muss von einer Anweisung begleitet sein, wie sich für ein beliebig vorgelegtes xo aus dem Bereich die Aussage A(xo) beweisen lässt. >Allaussage. I 242 Def finit: Verbot des (sorglosen) Umgangs mit unendlichen Gesamtheiten. Vgl. >Finitismus. Hilbert akzeptierte die von Brouwer provozierte neue Ausgangslage. Es gab in der Geschichte prominente Beispiele von Fehlern die durch falsche Übertragungen von endlichen auf unendliche Gesamtheiten entstanden waren. >D. Hilbert. |
T I Chr. Thiel Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995 |
| Mathematik | Lorenzen | Thiel I 225 Arithmetik/Lorenzen: Die Arithmetik ist die Theorie in der das Unendliche in seiner einfachsten Form auftritt, sie ist im Wesentlichen nichts anderes als die Theorie des Unendlichen selbst. >Unendlichkeit, >Zahlen. Die Arithmetik als Theorie der Zeichenmenge (z.B. Strichliste) ist in dem Sinne universell, als in ihr die Eigenschaften und Relationen jeder anderen unendlichen Zeichenmenge stets auf irgendeine Weise "abgebildet" werden können. Die Komplexität der Materie hat dazu geführt, dass ein Großteil der Sekundärliteratur zu Gödel auf Metaphern wie "Spiegelung" "Selbstrückbezüglichkeit" usw. eine Menge Unsinn in die Welt gesetzt hat. I 224 Der logisch-arithmetische Vollformalismus wird mit F bezeichnet. Er enthält u.a. induktive Definitionen der Zählzeichen, der Variablen für sie, die Regeln der Quantorenlogik und die als Regeln geschriebenen Dedekind-Peanoschen Axiome. I 226 Die Ableitbarkeit oder Unableitbarkeit einer Formel bedeutet nichts anderes, als Existenz bzw. Nichtexistenz einer Beweisfigur oder eines Stammbaums mit A als Endformel. >Ableitung, >Ableitbarkeit, >Syntax. Deshalb entsprechen auch die metamathematischen Aussagen "ableitbar", bzw. "unableitbar" jeweils umkehrbar eindeutig einer sie charakterisierenden Grundzahl. >Metamathematik. |
Lorn I P. Lorenzen Constructive Philosophy Cambridge 1987 T I Chr. Thiel Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995 |
| Theorien | Thiel | Thiel I 73 Theorie/Mathematik/Thiel: Der Ausdruck "Metamathematik" war in anderer Bedeutung schon im 19. Jahrhundert aufgetreten, neu formuliert von Hilbert. Hilbert hatte nachgewiesen, dass bei Euklid nicht alle in den geometrischen Sätzen verwendeten Eigenschaften wirklich aus den in den Axiomen erfassten Grundeigenschaften entwickelt sind. Es war also unvollständig. >Axiome, >Axiome/Hilbert. Nach Arbeiten Cantors Ende des 19. Jahrhunderts sah es so aus, als könnte man tatsächlich ein vollständiges Axiomensystem finden. Dazu hätte es freilich keiner Metamathematik bedurft. >Vollständigkeit, >Unvollständigkeit. I 75 Metamathematik macht einen Unterschied zwischen dem Nachweis, dass eine Aussage A nicht widerlegt werden kann, (dem Nachweis, dass ihr Gegenteil nicht begründbar ist) und einer "positiven" Begründung von A. Das erste ist eine Widerlegung von ~A also ein Beweis von ~~A, das zweite ein Beweis von A. I 76 Neu: In der Metamathematik werden die Existenzaussagen strenger aufgefasst. Wer jetzt die Existenz eines Beweises behauptet, muss auch einen nachprüfbaren Weg angeben, wie man einen solchen Beweis konstruieren kann. Def "effektive" oder "konstruktive" Existenzbehauptung. >Beweise, >Beweisbarkeit, >Syntax. |
T I Chr. Thiel Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995 |
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