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Der gesuchte Begriff oder Autor findet sich in folgenden 7 Einträgen:
| Begriff/ Autor/Ismus |
Autor |
Eintrag |
Literatur |
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| Unendlichkeitsaxiom | Unendlichkeitsaxiom: Ein Axiom der Mengenlehre, das sicherstellt, dass es unendliche Mengen gibt. Formuliert wird es z.B. so, dass eine Bildungsvorschrift für das Zustandekommen von Elementen einer beschriebenen Menge angegeben wird. Wenn {x} der Nachfolger von x ist, so wird durch die Vereinigung x U {x} die Fortsetzung gebildet. Siehe auch Mengenlehre, Nachfolger, Vereinigung, Axiome. |
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| Unendlichkeitsaxiom | Field | II 337 Unendlichkeitsaxiome/Field: Problem: Die Mengenlehre ohne Unendlichkeitsaxiome ist nicht "konservativ". >Konservativität/Field, >Mengenlehre, >Axiome. |
Field I H. Field Realism, Mathematics and Modality Oxford New York 1989 Field II H. Field Truth and the Absence of Fact Oxford New York 2001 Field III H. Field Science without numbers Princeton New Jersey 1980 Field IV Hartry Field "Realism and Relativism", The Journal of Philosophy, 76 (1982), pp. 553-67 In Theories of Truth, Paul Horwich Aldershot 1994 |
| Unendlichkeitsaxiom | Gödel | Berka I 367 Unendlichkeitsaxiom/Gödel: Das Unendlichkeitsaxiom kann man wie folgt formulieren: "Es gibt genau abzählbar viele Individuen."(1) >Unendlichkeit, >Individuen, >Abzählbarkeit, >Quantifikation, >Allgemeingültigkeit/Gödel. 1. K. Gödel: Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, Mh. Math. Phys. 38 (1931) 175-198. |
Göd II Kurt Gödel Collected Works: Volume II: Publications 1938-1974 Oxford 1990 Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |
| Unendlichkeitsaxiom | Hilbert | Berka I 122 Def Zahl/Logische Form/Erweiterter Funktionenkalkül/Hilbert: Auch der allgemeine Zahlbegriff lässt sich logisch formulieren: Soll ein Prädikatenprädikat φ(F) eine Zahl darstellen, so muss φ folgenden Bedingungen genügen: 1. Bei zwei gleichzahligen Prädikaten F und G muss φ für beide zutreffen oder für beide nicht zutreffen. 2. Sind zwei Prädikate F und G nicht gleichzahlig, darf φ höchstens für eins der beiden Prädikate F und G zutreffen. Logische Form: (F)(G){(φ(F) & φ(G) > Glz (F,G) & [φ(F) & Glz (F,G) > φ(G)]}. Der ganze Ausdruck stellt eine Eigenschaft von φ dar. Bezeichnen wir diese mit Z(φ), können wir also sagen: Eine Zahl ist ein Prädikatenprädikat φ, das die Eigenschaft Z(φ) besitzt. >Zahlen, >Definitionen, >Definierbarkeit, >Unendlichkeit, >Axiome, >Axiomensysteme, >Prädikate, >Eigenschaften. Problem/Unendlichkeitsaxiom/Hilbert: Ein Problem tritt auf, wenn wir nach den Bedingungen fragen, unter der zwei Prädikatenprädikate φ und ψ mit den Eigenschaften Z(φ) und Z(ψ) dieselbe Zahl definieren. Unendlichkeitsaxiom/Gleichzahligkeit/Hilbert: Die Bedingung für die Gleichzahligkeit bzw. dafür, dass zwei Prädikatenprädikate φ und ψ dieselbe Zahl definieren, besteht darin, dass φ(P) und ψ(P) für dieselben Prädikate P wahr und für dieselben Prädikate falsch sind, dass also die Beziehung besteht: (P)(φ(P) ↔ ψ(P)) I 122 Problem: Wenn der Gegenstandsbereich endlich ist, werden alle Zahlen gleichgesetzt, die größer sind als die Anzahl der Gegenstände im Individuenbereich. >Endlichkeit/Hilbert, >Endlichkeit, >Finitismus. Denn ist die Anzahl z.B. kleiner als 1060 und nehmen wir für φ und ψ die Prädikate, die die Zahlen 1060 und 1060 + 1 definieren, so trifft sowohl φ als auch ψ auf kein Prädikat P zu. Die Relation (P)(φ(P) ↔ ψ(P)) ist also für φ und ψ erfüllt, d.h. φ und ψ würden dieselbe Zahl darstellen. Lösung/Hilbert: Unendlichkeitsaxiom: Man muss den Individuenbereich als unendlich voraussetzen. Auf einen logischen Nachweis für die Existenz einer unendlichen Gesamtheit wird dabei freilich verzichtet.(1) 1. D. Hilbert & W. Ackermann: Grundzüge der Theoretischen Logik, Berlin, 6. Aufl. Berlin/Göttingen/Heidelberg 1972, §§ 1,2. |
Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |
| Unendlichkeitsaxiom | Quine | IX 205 Def Unendlichkeitsaxiom/Quine: unendlich viele Elemente in Typen sollen möglich sein. Eine Möglichkeit: Tarski: dass es eine nicht leere Klasse x² gibt, derart, dass jedes ihrer Elemente Teilklasse eines weiteren Elements ist. Russell: zu jedem x² e N ³ gibt es eine Klasse y1 mit x² Elementen: kurz L² ε N³. (1) Ex² (Ey1(y1ε x²) u ∀y1[y1 ε x² › Ez1(y1 ‹ z1 ε x²)]). Vs: manche meinten, die Frage, ob es unendlich viele Individuen gäbe, sei eher eine Frage der Physik oder Metaphysik. Es sei unangemessen, die Arithmetik davon abhängen zu lassen. Russell und Whitehead bedauerten das UA und das Auswahlaxiom und machten beide von speziellen Fällen abhängig, So wie ich die meisten Komprehensionsannahmen. Fregesche natürliche Zahlen/Quine: sind von der Notwendigkeit es Unendlichkeitsaxioms geplagt, und zwar auch dann, wenn wir die Typentheorie, Liberalisierung und kumulative Typen oder endlich heterogene Klassen zulassen. Denn innerhalb jedes Typs gibt es eine endliche Schranke, wie groß eine Klasse sein kann, es sei denn, es gibt unendlich viele Individuen. Zermelos Zahlbegriff wäre hier eine Lösung, bringt aber Probleme mit der vollständigen Induktion. IX 206 Reelle Zahlen/Quine: für sie und darüber hinaus sind aber immer Unendlichkeitsaxiome notwendig. Unendlichkeitsaxiom/Zermelo: (5) Ex[Λ ε x u ∀y(y ε x › {y} ε x)]. Es postuliert eine Klasse, zu der zumindest alle natürlichen Zahlen in Zermelos Sinn gehören. Es ist äquivalent zu "N ε ϑ" denn N ist selbst ein x, das (5) erfüllt und umgekehrt, wenn x (5) erfüllt, so N ‹ x., und somit "N ε ϑ" nach dem Aussonderungsschema. Im Unterschied zu dem von Russell sagt dieses UA nichts über die Existenz von Individuen aus. Aber es trennt die letzten Verbindungen zur Typentheorie. Zermelos und Neumanns Zahlen sind sogar zur kumulativen Typentheorie antithetisch, denn eine solche Klasse sprengt die Grenzen aller Typen. Unendlichkeitsaxiome/Russell: wurde bei ihm durch das Subtraktionsgesetz "S'x = S'y > x = y" hervorgerufen. Andersrum gesagt: es wurde gebraucht, damit die natürlichen Zahlen nicht abbrechen. Gleicherweise für die reellen Zahlen. Aber seine Bedeutung geht noch weiter: jeder nachfolgende Typ ist die Klasse aller Teilklassen seines Vorgängers und somit nach dem Satz von Cantor größer als sein Vorgänger. Unendlich viele Individuen anzunehmen, bedeutet daher, höhere Unendlichkeiten ohne Ende anzunehmen. Bsp die Potenzklasse in (7) sagt, dass {x:x ‹ N} ε ϑ, und diese letzte Klasse ist nach dem Satz von Cantor größer als N. Und so geht es weiter nach oben. Unendlichkeitsaxiom/Zermelo: sprengt die Typengrenzen. Quine pro: das befreit uns von der Bürde die den Typenindices vergleichbar ist, denn selbst in der Typentheorie mit universellen Variablen waren wir zur Fregeschen Fassung der natürlichen Zahlen gezwungen, das bedeutete Anerkennung einer unterschiedlichen 5 in jedem Typ (über Klassen von Individuen) einer unterschiedlichen 6 in jedem Typ, einem unterschiedlichen N in jedem Typ usw. Dazu kommt noch, durch die ganze Hierarchie hindurch eine Vervielfachung aller Details der Theorie der reellen Zahlen. 3/5 ist in jedem nachfolgenden Typ etwas anderes und ebenso π, Q, R. Für alle diese Konstanten ist praktisch eine Beibehaltung der Typenindices erforderlich. In Zermelos System mit seinem Unendlichkeitsaxiom entfallen mit der Aufgabe der Typengrenzen solche Vervielfachungen. Zermelos Schutz bestand darin, daß er zu große Klassen mied. Für die umgekehrte Zusicherung, daß Klassen nur dann nicht existieren können, wenn sie größer wären als alle existierenden, wurden in seinem Aussonderungsschema nur sehr wenig Vorkehrungen getroffen. IX 208 Das machten erst Fraenkel und Skolem in ihrem Axiomenschema der Ersetzung. VII (e) 93 Unendlichkeitsaxiom/QuineVsRussell: Principia Mathematica(1) müssen durch das Unendlichkeitsaxiom ergänzt werden, wenn gewisse mathematische Prinzipien abgeleitet werden sollen. - Unendlichkeitsaxiom: sichert die Existenz einer Klasse mit unendlich vielen Elementen. - New Foundation/Quine: stattdessen kommt mit der Allklasse aus: V oder x^ (x = x). >Unendlichkeit, >Klassen. 1. Whitehead, A.N. and Russel, B. (1910). Principia Mathematica. Cambridge: Cambridge University Press. |
Quine I W.V.O. Quine Wort und Gegenstand Stuttgart 1980 Quine II W.V.O. Quine Theorien und Dinge Frankfurt 1985 Quine III W.V.O. Quine Grundzüge der Logik Frankfurt 1978 Quine V W.V.O. Quine Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989 Quine VI W.V.O. Quine Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995 Quine VII W.V.O. Quine From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953 Quine VII (a) W. V. A. Quine On what there is In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (b) W. V. A. Quine Two dogmas of empiricism In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (c) W. V. A. Quine The problem of meaning in linguistics In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (d) W. V. A. Quine Identity, ostension and hypostasis In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (e) W. V. A. Quine New foundations for mathematical logic In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (f) W. V. A. Quine Logic and the reification of universals In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (g) W. V. A. Quine Notes on the theory of reference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (h) W. V. A. Quine Reference and modality In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (i) W. V. A. Quine Meaning and existential inference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VIII W.V.O. Quine Bezeichnung und Referenz In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 Quine IX W.V.O. Quine Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967 Quine X W.V.O. Quine Philosophie der Logik Bamberg 2005 Quine XII W.V.O. Quine Ontologische Relativität Frankfurt 2003 Quine XIII Willard Van Orman Quine Quiddities Cambridge/London 1987 |
| Unendlichkeitsaxiom | Tarski | Berka I 474 Existenz/Existenzannahme/Tarski: Problem: Wenn wir (...) in den Axiomen die existentiellen Voraussetzungen eliminieren, so verschwindet die eineindeutige Zuordnung. - Jedem Ausdruck wird auch weiterhin eine natürliche Zahl entsprechen, aber nicht umgekehrt auch jeder natürlichen Zahl ein Ausdruck. >Eindeutigkeit, >Abbildung, >Relationen, >Funktionen, >Weitere Autoren zu Unendlichkeitsaxiom. Berka I 519 Unendlichkeitsaxiom/Tarski: Mit dem Unendlichkeitsaxiom verzichten wir auf das Postulat, nach dem nur die in jedem Individuenbereich richtigen Aussagen beweisbare Sätze der Logik sein sollen.(1) 1. A.Tarski, Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, Commentarii Societatis philosophicae Polonorum. Vol 1, Lemberg 1935 |
Tarski I A. Tarski Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923-38 Indianapolis 1983 Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |
| Unendlichkeitsaxiom | Wittgenstein | IV 83 Unendlichkeitsaxiom/Russell/Wittgenstein/Tractatus: würde sich in der Sprache dadurch ausdrücken, dass es unendlich viele Namen mit verschiedener Bedeutung gäbe. (5.534) Lösung: Wenn wir Scheinsätze (Bsp "a = a", Bsp "(Ex) x = a") vermeiden (diese lassen sich in einer richtigen Begriffsschrift gar nicht hinschreiben), dann vermeiden wir die Probleme mit Russells Unendlichkeitsaxiom. |
W II L. Wittgenstein Vorlesungen 1930-35 Frankfurt 1989 W III L. Wittgenstein Das Blaue Buch - Eine Philosophische Betrachtung Frankfurt 1984 W IV L. Wittgenstein Tractatus logico-philosophicus Frankfurt/M 1960 |
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